Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD với M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và BC.. Gọi H là chân đường cao kẻ từ B xuống CM.[r]
(1)LỚP L.T.Đ.H – K.9 NH – 378 – 135 -* ĐỀ 1: Câu (2 điểm) ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP 12, LẦN II – 2014 Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút 2x x có đồ thị (C) và đường thẳng d: y = 2x + m Chứng minh d Cho hàm số cắt (C) hai điểm A, B phân biệt với số thực m Gọi k1, k2 là hệ số góc y tiếp tuyến (C) A và B Tìm m để Câu (1 điểm) P k1 2015 k2 2015 đạt giá trị nhỏ sin x cos x 4 sin x 4 Giải phương trình: Câu (1 điểm) 1 xy y x 1 x x3 y x x 10 Giải hệ phương trình: Câu (1 điểm) 2 I sin x sin2x ecos x dx Tính tích phân Câu (1 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân C, mặt bên SAB là tam giác vuông cân S Biết khoảng cách AB và SC a và góc mp (SAC) và (SBC) 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC Câu (1 điểm) A 0; 2;8 , B 2; 4; Cho hai điểm Viết phương trình mặt cầu (S), tâm I và (S) qua hai điểm A, B cho độ dài đoạn thẳng OI đạt giá trị nhỏ Câu (1 điểm) Cho tam giác ABC cân A, cạnh đáy BC có phương trình: x + y + = d1 Phương trình đường cao kẻ từ đỉnh B là d : x y 0 Điểm M (2;1) thuộc đường cao vẽ từ đỉnh C Viết phương trình các cạnh bên tam giác ABC Câu (1 điểm) Cho n là số nguyên dương thỏa điều kiện: Cn 2 An 44 Tìm số hạng không phụ thuộc n M x 4x vào x khai triển nhị thức Newton biểu thức Câu (1 điểm) (2) 2 z z i iz 1 z z 1 Cho số phức z thỏa điều kiện: Tính môđun * ĐỀ 2: Câu (2 điểm) y 2x x có đồ thị (H) Viết phương trình tiếp tuyến (H) biết tiếp Cho hàm số điểm tiếp tuyến đó với (H) cách điểm A(0; 1) khoảng Câu (1 điểm) Giải phương trình: Câu (1 điểm) 1 cos x cot x cos x sin x sin 2x 2 x y 1 x y 1 x3 y 7 Giải hệ phương trình: Câu (1 điểm) Tính thể tích khối tròn xoay quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn các đường: sin x e x y cos x ; y 0; x 0; x Câu (1 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, BCD 120 , cạnh bên SD vuông góc với mặt phẳng đáy, mặt phẳng (SAB) tạo với mặt phẳng (SBC) góc 600 Gọi K là trung điểm cạnh SC Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách hai đường thẳng AD, BK Câu (1 điểm) Cho x, y, z là ba số thực dương có tổng P 3 x y z xyz Tìm giá trị nhỏ biểu thức Câu (1 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD với M, N là trung điểm các cạnh AB và BC Gọi H là chân đường cao kẻ từ B xuống CM Tìm tọa độ các 5 N 1; , H 1;0 2 đỉnh hình vuông ABCD, biết và D nằm trên đường thẳng d: x – y – = Câu (1 điểm) Trong không gian với hệ tọa đô Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x – y – z + = và các đường d: x 3 y z x y z x y z ; d1 : ; d2 : 1 2 1 Tìm M d1, thẳng N d2 cho đường thẳng MN song song với mặt phẳng (P), đồng thời MN tạo với d góc cho Câu (1 điểm) cos (3) Tìm các giá trị tham số m để phương trình sau có hai nghiệm trái dấu m 3 16 x 2m 1 x m 0 LỚP L.T.Đ.H – K.9 NH – 378 – 135 -* ĐỀ 1: Câu (2 điểm) ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP 12, LẦN II – 2014 Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút 2x x có đồ thị (C) và đường thẳng d: y = 2x + m Chứng Cho hàm số minh d cắt (C) hai điểm A, B phân biệt với số thực m Gọi k1, k2 là hệ y P k 1 số góc tiếp tuyến (C) A và B Tìm m để Giải: + Xét phương trình hoành độ giao điểm đồ thị (C) và d: 2015 k2 2015 đạt giá trị nhỏ x 2 x m x 2m 0 * + Xét phương trình (*), ta có: 0, m R và x = không là nghiệm (*) nên d luôn 2x x m x2 cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A, B với m + Gọi x1 và x2 là hai nghiệm phương trình (*), theo Viet ta có: x1 x2 b m c 2m ; x1.x2 a a k1 + Hệ số góc tiếp tuyến A, B là: k1.k2 x1 P k1 2015 x2 k2 2015 x1 2 x1.x2 x1 x2 4 k1k2 2015 PMin 22016 k1 k2 , k2 x2 2m m 4 2.22015 22016 x1 x2 , với k1 0; k2 2 x1 x2 Do x1 và x2 phân biệt nên x1 x2 x1 x2 m Vậy m = là giá trị cần tìm Câu (1 điểm) sin x cos x 4 sin x 4 Giải phương trình: Giải: 4 (4) sin x cos x 4 sin x 2sin2x.cos x 2cos 2 x 4 sin x cos x 4 cos x sin2x cos x sin x cos x 0 cos x sin x cos x sin x sin2x cos x 0 ) cos x sin x 0 x k s in3x ) cos x sin x sin2x cos x 0 s in3x cos x cos x Hệ phương trình này vô nghiệm vì: cos x x k 2 ; Thay vào phương trình sin3x sin 3 k 6 sin3 1 VN x k k Z Vậy phương trình có nghiệm là: Câu (1 điểm) 1 xy y x 1 x x3 y x x 10 Giải hệ phương trình: Giải: + Điều kiện: x 0 Nhận xét: x = không thỏa hệ phương trình + Xét x > xy y x 1 3y 3y 3y y y y2 x x 1 x x (1) 1 1 x x x (3) f t t t t 1, t + Từ (1) suy y > Xét hàm số t f / t 1 t t 0 t 1 Ta có: => f(t) luôn đồng biến trên (0; + ) f 3y f 3y x x PT (3) <=> Thay vào PT: * Cách 1: Đặt x3 y x x 10 , ta được: x3 x x x 10 g x x3 x x x 10, x g / x 3x x x x x 0, x x Ta có: => g(x) là hàm số đồng biến trên (0; + ) Mặt khác: g(1) = (5) Vậy PT g(x) = có nghiệm x = Với x = => y = 1/3 1 3 x; y 1; Vậy hệ phương trình có nghiệm nhất: * Cách 2: Đặt x t , t Ta có PT: t t 4t 4t 10 0 t 1 t 5t 6t 6t 6t 10 0 t 1 x 1 1 3 x; y 1; Vậy hệ phương trình có nghiệm nhất: Câu (1 điểm) 2 I sin x sin2x ecos x dx Tính tích phân Giải: 2 I 2sin x cos x sin2x ecos x dx 2cos x 1 ecos x sin xdx Ta có: 0 Đặt t cos x dt sin2xdx u 4t t dv e dt Đặt 1 I 2t 1 1 et dt 4t 1 et dt du 4dt t v e 1 t I 4t 1 e et dt 3e 4et 5 e 0 Câu (1 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân C, mặt bên SAB là tam giác vuông cân S Biết khoảng cách AB và SC a và góc mp (SAC) và (SBC) 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC Giải: + ABC và SAB là hai tam giác vuông cân Gọi H là trung điểm AB => AB vuông góc mặt phẳng (SHC) + Trong tam giác SHC, gọi K là trung điểm CS => HK vuông góc SC => HK = d(AB,SC) = a + Trong tam giác cân ACS, có AK vuông góc CS => góc mp (SAC) và (SBC) góc hai đường thẳng AK và BK và 600 0 Ta cần xác định góc AKB 60 hay AKB 120 * Cách 1: + Tam giác KAB cân K, KH là tia phân giác góc AKB ; Đặt SH = x (6) AH 1 KH Do , Vì tam giác vuông AKH có HK < AH = HB = SH = x, nên 0 suy AKH 45 AKB 90 AKB 120 tan AKH * Cách 2: 0 Nếu góc AKB 60 AKH 30 Trong nửa tam giác AHK, đặt AH = t => HK = x > SH = t (Vô lý, vì SH là cạnh huyền tam giác vuông SHK) Vậy AKB 120 + AKH là nửa tam giác đều, biết HK = a => AK = 2a, AH a AB 2 a + Trong tam giác vuông SKH, có SH a 3, HK a SK a CS 2a 1 SCHS HK CS a.2a a 2 AB CHS Do: nên suy thể tích khối chóp S.ABC là: 1 2a3 VS ABC AB.SCHS 2a 3.a 3 Câu (1 điểm) A 0; 2;8 , B 2; 4; Cho hai điểm Viết phương trình mặt cầu (S), tâm I và (S) qua hai điểm A, B cho độ dài đoạn thẳng OI đạt giá trị nhỏ Giải: * Cách 1: a b2 c 0 ) Gọi H là trung điểm AB H 1; 3;5 Tâm I(a; b; c) (ĐK: IH a; b;5 c , AH 1; 1; 3 2 Do: IH AH 0 a b 3c 11 a b 11 3c (1).(Hoặc tính IA IB ) 121 9c 66c 2 Ta có: (Thay (1) vào) 121 9c 66c 11 2 2 OI a b c c c 3 11 11 OI 11 2 * Vậy OI = 11 , đạt c =3 => a = b = a b a b 2ab a b Mặt cầu (S) có tâm I(1; 1; 3); bán kính R = IA 35 , nên có phương trình là: x 1 y 1 z 3 35 * Cách 2: AB 1;1;3 ; Gọi H là trung điểm AB H 1; 3;5 (7) + Gọi (P) là mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB => (P) qua trung điểm H đoạn n 1;1;3 thẳng AB và có vectơ pháp tuyến là P Phương trình mặt phẳng (P) là: 1 x 1 1 y 3 z 0 x y z 11 0 + Tâm I mặt cầu (S) cách hai đầu đoạn thẳng AB => I (P) + Đoạn thẳng OI có độ dài ngắn <=> Điểm I là hình chiếu vuông góc điểm O trên mặt phẳng (P) u nP 1;1;3 + Xét đường thẳng d qua O, d có vectơ phương d x t y t z 3t I t ; t ;3t => Phương trình tham số d là: + Do I (P) nên tọa độ điểm I thỏa phương trình mặt phẳng (P), từ đó tìm t = * Vậy mặt cầu (S) có tâm I(1; 1; 3); bán kính R = IA 35 , nên có phương trình là: x 1 y 1 z 3 35 Câu (1 điểm) Cho tam giác ABC cân A, cạnh đáy BC có phương trình: x + y + = d1 Phương trình đường cao kẻ từ đỉnh B là d : x y 0 Điểm M (2;1) thuộc đường cao vẽ từ đỉnh C Viết phương trình các cạnh bên tam giác ABC Giải: Trong tam giác cân ABC, vẽ hai đường cao BH, CK (H AC, K AB) + Do B là giao điểm d1 và d2 => B(0; 1) d : a x b y 1 0 ax by 2a b 0 + Phương trình đường cao CK là nBC nd3 nBC nd cos BCK cos CBH nBC nd2 nBC nd + Ta có: 1 2 a b a b2 a a 2 2a 5b.a 2b 0 0 b b a a 1, b d3 : x y 0 + Với b (Loại, vì d2 // d3) a a 2, b d3 : x y 0 b + Với 5 C ; C là giao điểm d1 với d3 => 3 - Đường thẳng d4 chứa cạnh bên AC, vuông góc d2 và qua điểm C nên có phương trình: d : x y 0 - Đường thẳng d5 chứa cạnh bên AB, vuông góc d3 và qua điểm B nên có phương trình : (8) d5 : x y 0 Câu (1 điểm) Cho n là số nguyên dương thỏa điều kiện: Cn 2 An 44 Tìm số hạng không phụ thuộc n M x 4x vào x khai triển nhị thức Newton biểu thức Giải: Cn3 2 An2 44 n! n! 2 44 0 n n 1 n 2n n 1 44 3! n 3 ! n 2 ! n3 15n 14n 264 0 n 12 + Với n = 12, ta có: 12 x2 x 12 k k 1 24 3k x 4 12 M x k x C12 4x k 0 24 3k 0 k 8 + Số hạng không phụ thuộc x, ứng với k thỏa điều kiện: 495 C12 12 * Vậy số hạng không chứa x là: Câu (1 điểm) 1 12 k C12 x k 0 2 z z i iz 1 Cho số phức z thỏa điều kiện: Giải: Đặt z = a + bi, với a, b R Từ giả thiết, ta có: 2 Tính môđun z z 1 a bi a b 1 i b a bi 2 b 1 2a b 1 i 0 1 a 2 b 1 1 b a b 2a b 1 b 1 Từ (2) suy ra: (Với b ) Thay vào (2), ta được: b 3 1 2 b 1 3b 4 b 1 b 1 4 b 1 b 1 (3) Đặt t = b + 1, t b b a 1 4t 3t 0 t b 0,5 b 0,5 a 0,5 PT (3) trở thành: 1 z i 2 Suy ra: z 1 2i 4 z 2i 2i i i z i z i *) Với , ta có: *) Với z 1 7 7 1 z i i 1 i i z 1 2 1 i 2 2 2 , ta có: (9) * ĐỀ 2: Câu (2 điểm) y 2x x có đồ thị (H) Viết phương trình tiếp tuyến (H) biết tiếp Cho hàm số điểm tiếp tuyến đó với (H) cách điểm A(0; 1) khoảng Giải: 2x M x0 ; x0 Gọi là tiếp điểm ( x0 ) Theo bài ta có: MA = 2 x0 x x 0 x0 x0 x02 1 4 x02 2 4 x0 1 x0 x0 Hay x0 0 x0 2 x x0 0 2 x0 x0 1 x0 0 x03 x02 x0 0 x0 1 x0 x02 x0 0 x0 0 y y / x y y 3x x 0 *) Với , phương trình tiếp tuyến là: 1 y y / 2 x 2 y 2 y x 3 *) Với x0 , phương trình tiếp tuyến là: Câu (1 điểm) Giải phương trình: Giải: 1 cos x cot x cos x sin x sin 2x Điều kiện: sinx cos x cos x sin x 2sin x.cos x sin x cos x cos x cos x.sin x sin x 2sin x.cos x 1 cos x cot x cos x sin x sin 2x cos x cos x 2sin x cos x sin x cos x.sin x 0 cos x cos x sin x 0 ) cos x 0 x k x k 2 L ) cos x sin x 0 sin x sin x k 2 N 4 x k x k 2 2, * Vậy phương trình có nghiệm: , k Z Câu (1 điểm) (10) 2 x y 1 x y 1 x3 y 7 Giải hệ phương trình: Giải: + Từ PT thứ hai suy ra: x > 0, kết hợp với điều kiện PT thứ suy ra: y + Biến đổi PT thứ ta được: y 1 x y 1 2 x , chia vế cho x > y 1 y 1 y 1 0 1 x x x Ta có: Thay y = x – vào PT thứ hai: x x x 0 x 2 y 1 * Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (2; 1) Câu (1 điểm) Tính thể tích khối tròn xoay quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn các đường: sin x e x y cos x ; y 0; x 0; x Giải: sin x e x dx V cos x x x x 2sin cos e dx x 2 tan e x dx x x 2 0 cos cos 2 x 1/ x x 1 x u tan e x du e tan e x dx e x tan e x dx x 2 cos x cos Đặt e2 V 2 du 2 e Câu (1 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, BCD 120 , cạnh bên SD vuông góc với mặt phẳng đáy, mặt phẳng (SAB) tạo với mặt phẳng (SBC) góc 600 Gọi K là trung điểm cạnh SC Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách hai đường thẳng AD, BK Giải: Gọi O là giao điểm cùa AC và BD a Tam giác ABC cạnh a => AC = a, OD = Kẻ OH SB H Vì AC (SBD) nên AC SB => SB (AHC) => SB AH và SB HC (11) AHC 600 AHC 1200 AHC 600 AHO 300 Nếu => AHO là nửa tam giác a OB => (vô lý, vì OB là cạnh huyền) Do đó: AHC 120 Lúc đó AHO là nửa tam giác a a OH BH OB OH 3 OH BH OH BD a SD SD BD BH 2 Vì hai tam giác vuông BHO và BDS đồng dạng nên: OH a2 a2 a3 VS ABCD SD.S ABCD S ABCD 2 S ABC 2 * Cách 1: Tính d(AD, BK) Vì BC // AD nên (SBC) // AD => d(AD, BK) = d(D, (SBC)) (1) Trong mặt phẳng (ABCD), kẻ DP BC P, DQ SP Q Vì BC (SDP) => DQ (SBC) (2) a Từ nửa tam giác DCP tính 1 a DQ SD DP a 2 Từ tam giác vuông SDP, ta có: DQ (3) a DQ Từ (1), (2), (3) suy ra: d(AD, BK) = DP * Cách 2: Tính d(AD, BK) Vì BC // AD nên (SBC) // AD => d(AD, BK) = d(D, (SBC)) a3 VS BCD VD.S BC VS A BCD 16 Ta có: 1 a 3a 3a S SBC CH SB 2 3.VD.SBC 3a3 a d D, SBC S SBC 16 3a 2 Câu (1 điểm) Cho x, y, z là ba số thực dương có tổng Tìm giá trị nhỏ biểu thức Giải: P 3 x y z xyz (12) P 3 x y z xyz 3 x y z xy yz zx xyz 3 xy yz zx xyz 27 xy zx yz xyz 27 x y z yz x 27 x x yz x Do : y z 2 yz y z 4 yz yz P 27 x x y z2 (Dấu xảy y = z) y z2 x 2 x x x 27 27 18 x x x3 15 x 27 x 27 2 f x x 15 x 27 x 27 , với < x < Xét hàm số x 1 f / x 3x 30 x 27; f / x 0 x 9 Từ bảng biến thiên, ta có: Min f(x) = 14, đạt x = * Suy ra: Min P = 7, đạt x = y = z = Câu (1 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD với M, N là trung điểm các cạnh AB và BC Gọi H là chân đường cao kẻ từ B xuống CM Tìm tọa độ các 5 N 1; , H 1;0 2 đỉnh hình vuông ABCD, biết và D nằm trên đường thẳng d: x – y – = Giải: + Trong tam giác vuông HBC, có HN là trung tuyến nên: NB = NC = NH = 5/2 + Hai tam giác vuông DCN và CBM nhau, suy ra: DN CM I => ND là đường trung trực đoạn thẳng CH, hay C và H đối xứng qua DN => DHN DCN 90 DH HN HD.HN 0 D 4;0 Gọi D (t; t – 4), dùng điều kiện + Phương trình đường thẳng DN là: x – 2y – = + Phương trình đường thẳng CH là: 2x + y + = => Tọa độ giao điểm I (0; 2) => C(1; 4) B và C đối xứng N => B( 3; 1) Gọi J là trung điểm đường chéo BD => J(1/2; 1/2) Từ đó tìm A(0; 3) * Vậy tọa độ các đỉnh hình vuông ABCD là: A(0; 3), B( 3; 1), C(1; 4), D(4; 0) Câu (1 điểm) Trong không gian với hệ tọa đô Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x – y – z + = và các đường thẳng d: x 3 y z x y z x y z ; d1 : ; d2 : 1 2 1 Tìm M d1, (13) N d2 cho đường thẳng MN song song với mặt phẳng (P), đồng thời MN tạo với d góc cho Giải: cos M d1 M m; 2m 2; m 1 ; N d N n 1; n; 2n MN m n 1; 2m n 2; m 2n nP MN 0 m n 0 m n n 0 N ( P ) n 0 Vì MN // (P) nên: => uMN 3; n 2; n => Đường thẳng MN có vectơ phương là: ud 2; 1; Đường thẳng d có vectơ phương là: uMN ud n 2n cos 3 2n 4n 29 uMN ud Suy ra: n n 2n 4n 29 n n 20n 19 0 ) n m n M 3; 4; , N 0; 1;1 ) n 19 m n 21 M 21; 40; 20 , N 18; 19; 35 Câu (1 điểm) Tìm các giá trị tham số m để phương trình sau có hai nghiệm trái dấu m 3 16 x 2m 1 x m 0 Giải: x Đặt t = (t > 0), phương trình đã cho viết lại là: m 3 t 2m 1 t m 0 1 x Ứng với t > 0, phương trình t = có nghiệm x x1 x2 t1 t2 Vậy yêu cầu bài toán trở thành: Tìm m để Do: x1 < < x2 m 3 t 2m 1 t m 0 1 có hai nghiệm phân biệt t , t cho phương trình < t1 t2 * Cách 1: m 3 t 2m 1 t m 0 1 m f t 3t t t 2t , với t > t 0; t 1 7t / / f t ; f t 0 t 2 t 1 Lập bảng biến thiên, với các giá trị đặc biệt hàm f(t) (14) 47 2 f 1;f 0,58; f 1 0,75 81 7 Từ bảng biến thiên suy các giá trị m cần tìm là: * Cách 2: 1 m m 3 t 2m 1 t m 0 1 có hai nghiệm dương phân biệt t , t Để phương trình thì điều kiện m là: m 0 2m 1 m 3 m 1 20m 11 11 1 m S 2m 20 m 3 m 1 P 0 m 3 (a) t1 t2 t1 t2 t1 t2 t1t2 Mặt khác: 1 2m m 4m 0 0 3m m 3 m 3 m 3 1 m (b) Kết hợp các kết (a) và (b), ta có các giá trị m cần tìm là: - (15)