Viết phương trình mặt phẳng P chứa đường thẳng 2 và tạo với đường thẳng 1 một góc 300.. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức.[r]
(1)Gv: Hoàng Văn Trường ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2012 Môn thi : TOÁN ( ĐỀ 192) Câu I: (2 điểm) Cho hàm số y = - x3 + 3mx2 -3m – 1 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = Tìm các giá trị m để hàm số có cực đại, cực tiểu Với giá trị nào m thì đồ thị hàm số có điểm cực đại, điểm cực tiểu đối xứng với qua đường thẳng d: x + 8y – 74 = Câu II: (2 điểm) Giải phương trình : + (sinx + cosx) + sin2x + cos2x = Tìm m để phương trình Câu III: (2 điểm) x x m.( x 4) x2 x x 14 m 0 4 x có nghiệm thực x y z Trong không gian với hệ trục toạ độ Đềcác Oxyz, cho hai đường thẳng 1 : , x y 1 z 1 2 : 1 Chứng minh hai đường thẳng 1 và 2 chéo Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng 2 và tạo với đường thẳng 1 góc 300 Câu IV: (2 điểm) ln( x 1) I dx x3 1 Tính tích phân : Cho x, y, z > và x + y + z ≤ xyz Tìm giá trị lớn biểu thức 1 P x yz y zx z xy Câu Va: (2 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Đềcác Oxy, cho tam giác ABC cân A , phương trình cạnh AB: x + y – = , phương trình cạnh AC : x – 7y + = 0, đường thẳng BC qua điểm M(1; 10) Viết phương trình cạnh BC và tính diện tích tam giác ABC 2.x x Tìm số hạng không chứa x khai triển nhị thức Niutơn An2 Cnn11 4n n , biết k k (n là số nguyên dương, x > 0, An là số chỉnhhợp chập k n phần tử, Cn là số tổ hợp chập k n phần tử) ……………… Hết ……………… (2) Gv: Hoàng Văn Trường ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2012 Môn thi : TOÁN ( ĐỀ 192) Câu I-1 Nội dung Điểm Khi m = Ta có hàm số y = - x + 3x – Tập xác định D = R Sự biến thiên Chiều biến thiên y’ = - 3x2 + 6x , y’ = x = v x = y’> x ( 0;2) Hàm số đồng biến trên khoảng ( 0; 2) y’ < x (- ∞; 0) (2; +∞).Hàm số nghịch biến trên các khoảng (- ∞;0) và (2; +∞) Cực trị Hàm số đạt cực đại x = 2, yCĐ = y(2) = Hàm số đạt cực tiểu x = 0, yCT = y(0) = - Lim ( x 3x 4) , Lim ( x 3x 4) x Giới hạn x Đồ thị hàm số không có tiệm cận Tính lồi, lõm và điểm uốn y’’ = - 6x +6 , y’’ = x = Bảng biến thiên x -∞ +∞ y’ + y +∞ (I) -2 -4 -∞ 0,25 0,25 0,25 Đồ thị Đồ thị hàm số cắt trục Ox tai các điểm (- 1; 0) , (2; 0) Đồ thị hàm số cắt trục Oy tai điểm (0 ; -4) Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm uốn I(1;- 2) Hệ số góc tiếp tuyến điểm uốn là k = y’(1) = y f(x)=-x^3+3x^2-4 x -3 -2 -1 0,25 -1 -2 -3 -4 -5 -6 I-2 Ta có y’ = - 3x2 + 6mx ; y’ = x = v x = 2m Hàm số có cực đại , cực tiểu phương trình y’ = có hai nghiệm phân biệt m Hai điểm cực trị là A(0; - 3m - 1) ; B(2m; 4m3 – 3m – 1) Trung điểm I đoạn thẳng AB là I(m ; 2m3 – 3m – 1) AB (2 m ; m ) u Vectơ ; Một vectơ phương đường thẳng d là (8; 1) I d Hai điểm cực đại , cực tiểu A và B đối xứng với qua đường thẳng d AB d 8(2m3 3m 1) 74 0 m AB.u 0 m=2 0,25 0,25 0,25 0,25 (3) Gv: Hoàng Văn Trường II-1 Tập xác định D = R ( s inx sin x) cos x (1 cos2 x) 0 Phương trình đã cho tương đương với ( s inx 2s inx.cos x) ( cos x 2cos x) 0 s inx( cos x ) cos x( 2cos x) 0 cos x s inx cos x ( cos x)(s inx cos x) 0 5 5 x k 2 x k 2 x k t anx II-2 Điều kiện: ,k Z 0,25 0,25 x2 x m | x | x2 x x 14 m 0 4 x 2 ( x x 8) m x x x x m 0 Đặt t = 2x x 0,25 0,25 x 2 x 0 x x 4 8 x x 0 Phương trình đã cho tương đương với 0,25 (1) ; Khi x - 2; 4) thì t 0; 3 0,25 (2) m Phương trình trở thành : - t – mt + 2t – – m = t 2t t 1 t 2t t 2t f (t ) ; t 0;3 t 1 Xét hàm số ; f’(t) = (t 1) ; f’(t) = t = - v t = Bảng biến thiên hàm số f(t) trên đoạn ; t -∞ -4 -1 +∞ f’(t) - + + + -2 2 f(t) III-1 0,25 -6 Phương trình đx cho có nghiệm x - 2; 4) Phương trình (2) có nghiệm t 0; Đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số f(t) , t 0; - ≤ m ≤ - u1 (1; 2;1) Đường thẳng 1 có vectơ phương , Điểm M O(0; 0; 0) 1 u (1; 1;3) Đường thẳng 2 có vectơ phương , điểm N(1;-1;1) 2 2 1 1 2 u1 , u2 ; ; ( 5; 2;1) 3 1 Ta có ; ON (1; 1;1) u , u ON 0 Ta có Suy hai đường thẳng 1 và 2 chéo 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 (4) Gv: Hoàng Văn Trường III -2 x y 0 Phương trình đường thẳng 2 : 3 y z 0 0,25 (5) Gv: Hoàng Văn Trường Phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng 2 có dạng (x + y) + (3y + z + 2) = với 2 + 2 x + ( + 3)y + z + 2 = Một vectơ pháp tuyến mặt phẳng (P) là n ( ; 3 ; ) | c os( u , n) | Mặt phẳng (P) tạo với đường thẳng 1 góc 300 Ta có sin(1,(P)) = |1. 2( 3 ) 1. | 2 2 Đặt u ln( x 1) dx dv x 2x du x v x2 0,25 Do đó I = 2 ln ln x ln ln dx d ( x 1) 1 dx x x 1 x x 1 1 IV -2 ln ln 2 ln | x | ln | x | 1 Từ giả thiết ta có xyz ≥ x + y + z ≥ Áp dụng BĐT Cauchy ta có Va-1 3 ( xyz )2 = 3 xyz ln 0,25 ln (xyz)3 ≥ 27.xyz 0,25 xyz ≥ 3 3 ( xyz ) 3 ( xyz )2 y2 + zx + zx ≥ ; z2 + xy + xy ≥ 1 1 1 2 2 3 3 ( xyz ) 3 ( xyz ) 3 ( xyz ) ( xyz ) (3 3) Từ đó ta có P x y z x y z x y z xyz Từ đó ta có Max P = đạt x2 + yz + yz ≥ 0,25 0,25 ln( x 1) dx 2 1 x ( x 1) 2x 0,25 sin300 = ( 3 ) 3 5 | 5 | 22 - - 102 = (2 - 5)( + 2) = 2 = 5 v = - 2 Với 2 = 5 chọn = 5, = ta có phương trình mặt phẳng (P) là: 5x + 11y + 2z + = Với = - 2 chọn = 2, = - ta có phương trình mặt phẳng (P) là: 2x – y – z – = Kết luận: Có hai phương trình mặt phẳng (P) thoả mãn 5x + 11y + 2z + = ; 2x – y – z – = IV-1 0,25 ; x y 0 x 2 y 1 Hay A(2;1) Toạ độ điểm A là nghiệm hệ phương trình: x y 0 xy x 7y 5 x y 0 d1 x y 0 d 2 Phương trình đường phân giác góc A là Do tam giác ABC cân A nên đường phân giác kẻ từ A là đường cao * Nếu d1 là đường cao tam giác ABC kẻ từ A thì phương trình cạnh BC là 3x – y + = * Nếu d2 là đường cao tam giác ABC kẻ từ A thì phương trình cạnh BC là x + 3y - 31 = TH1: Phương trình cạnh BC: 3x – y + = x y 0 x y 4 Hay B(-1; 4) Toạ độ điểm B là nghiệm hệ phương trình 3x y 0 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 (6) Gv: Hoàng Văn Trường Toạ độ điểm C là nghiệm hệ phương trình Diện tích tam giác ABC là : 11 x x y 0 x y y 1 24 36 S d (C , AB) AB 2 5 Hay C( 11 ; 5 ) (đvdt) (7) Gv: Hoàng Văn Trường TH2: Phương trình cạnh BC: x +3y - 31 = x y 0 x 11 y 14 Hay B(-11; 14) Toạ độ điểm B là nghiệm hệ phương trình x y 31 0 101 x x y 0 x y 31 18 y Toạ độ điểm C là nghiệm hệ phương trình Hay C( 1 104 676 S d (C , AB ).AB 13 2 5 (đvdt) Diện tích tam giác ABC là : Va-2 0,25 101 18 ; n Giải phương trình An Cn 1 4n ; Điều kiện: n ≥ ; n N (n 1)! n(n 1) n(n 1) 4 n n(n 1) 4 n 2!(n 1)! Phương trình tương đương với n2 – 11n – 12 = n = - (Loại) v n = 12 ) 0,25 12 2x x Với n = 12 ta có nhị thức Niutơn: k 12 12 k C (2 x) Số hạng thứ k + khai triển là : Tk +1 = Hay Tk+ = C12k x 12 k .x k = C12k 212 k x x k 0,25 ; k N, ≤ k ≤ 12 24 k k N , k 12 k 8 24 k Số hạng này không chứa x C 7920 Vậy số hạng thứ không chứa x là T9 = 12 0,25 0,25 (8)