Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1 8.. Theo bất đẳng thức Côsi có.[r]
(1)Câu Câu 1.a (1,0đ) ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM - ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN IV NĂM 2014 MÔN: TOÁN; KHỐI: A, A1 (Đáp án - thang điểm gồm 06 trang) Nội dung 2x −1 Cho hàm số y = x +1 * Tập xác định: D = ℝ \{−1} * Sự biến thiên: y ' = ; y ' > 0, ∀x ∈ D ( x + 1)2 Hàm số đồng biến trên các khoảng ( −∞; −1) và ( −1;+∞ ) Điểm 0,25 Giới hạn: lim y = +∞; lim+ y = −∞ lim y = 2; lim y = x →−1− x →−∞ x →−1 x →+∞ 0,25 Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = −1 và tiệm cận ngang y = - Bảng biến thiên −1 +∞ −∞ x + y' +∞ + 0,25 y −∞ Đồ thị : Đồ thị cắt trục Oy điểm ( 0; −1) , 1 2 y cắt trục hoành điểm ;0 Đồ thị nhận điểm I ( −1; ) làm tâm đối xứng O -4 -3 -2 x -1 -1 0,25 -2 -3 -4 Câu 1.b (1,0đ) Gọi I là tâm đối xứng (C ) Viết phương trình tiếp tuyến (C ) biết tiếp tuyến cắt … 2m − M m; ∈ (C ), m ≠ −1 m +1 y = y '(m)( x − m) + Phương trình tiếp tuyến M 2m − 2m − m − 2m − ⇔ y= x − m + ⇔ y = x + ( ) m +1 (m + 1) m +1 ( m + 1) (m + 1) 2m − A −1; , B ( 2m + 1; ) m +1 Tâm đối xứng I (−1; 2) IA = 3IB ⇔ (C ) là 0,25 0,25 0,25 m = = 2m + ⇔ = m + ⇔ (m + 1) = ⇔ m +1 m +1 m = −2 Với m = ⇒ phương trình tiếp tuyến y = 3x − Với m = −2 ⇒ phương trình tiếp tuyến y = x + 11 0,25 (2) Câu2 (1,0) Giải phương trình Điều kiện cos x ≠ sin x + cos x − + sin x + cos x = (1) 2cos x − 1 (1) ⇔ sin x + cos x − + ( 2cos x − 1) ( ) 0,25 sin x + cos x = ⇔ sin x + cos x − + sin x cos x + 2cos x − sin x − cos x = ⇔ sin x + 2cos x − = + cos x − = ⇔ sin x + cos x = 1 π ⇔ sin x + cos x = ⇔ sin x + = 2 6 π π x + = + k 2π , k ∈ ℤ x = kπ , k ∈ ℤ 6 ⇔ ⇔ x = π + kπ , k ∈ ℤ π π 2 x + = + k 2π , k ∈ ℤ 6 ⇔ sin x + Tập x = kπ , k ∈ ℤ thỏa mãn điều kiện.Tập x = Câu (1,0đ) π 0,25 0,25 0,25 x + ∈ ( 0; +∞ ) , y ∈ ( 0; +∞ ) và phương trình (3) ⇔ f ( ) x + = f ( y) ⇔ y = x + ⇔ x = y − Thay x = y − vào phương trình (2) ta có y − + y + y + = (4) , không phải là nghiệm phương trình (4) Xét y > Đặt g ( y ) = y − + y + y + Xét y = 0,25 + kπ , k ∈ ℤ thỏa mãn điều kiện với 4π k = 2n + 1, n ∈ ℤ Vậy các nghiệm phương trình là x = kπ , k ∈ ℤ; x = + n 2π , n ∈ ℤ 3x + (1) x + y + = y − + y x+2 Giải hệ phương trình 9y − + x + y + = (2) x > −2 Điều kiện (*) y ≥ 3x + 1 Ta có x + y + = y − + ⇔ x+2− − x + = y − − y (3) y y x+2 x+2 Xét hàm số f (t ) = t − 3t − , t ∈ ( 0; +∞ ) ; t 2t − 3t + (t − 1)2 (2t + 1) f '(t ) = 2t − + = = t t2 t2 Do t > ⇒ f '(t ) ≥ 0, ∀t ∈ ( 0; +∞ ) ⇒ Hàm số f (t ) đồng biến trên khoảng ( 0; +∞ ) Ta có 0,25 0,25 (3) g '( y ) = 2y +1 2 + > 0, ∀y > Hàm số g ( y ) đồng biến trên ; +∞ 9 y − 2 y2 + y + 9 Mặt khác g (2) = ⇒ Phương trình (4) có nghiệm y = Với y = ⇒ x = Câu 4(1,0đ) Tính tích phân I = ∫ (x + x ) ex −1 0,25 dx I= ∫ (x + x) e x −1 dx = ∫ (x + 1)x e x −1 dx Đặt t = x − ⇒ dt = xdx Đổi cận x = ⇒ t = 0; x = ⇒ t = 0,25 1 I = ∫ ( t + ) et dt ⇔ I = ∫ ( t + ) et dt 20 Câu (1,0đ) u = t + du = dt t Đặt ⇒ Có I = ( t + 2) e − et dt ∫ t t dv = e dt v = e ⇔ I = 3e − − et 2e − ⇔ I = 3e − − e + = 2e − ⇔ I = Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a …… 0,25 0,25 0,25 S B C H A D Gọi H là trung điểm cạnh AB ; ∆SAB cạnh a nên SH ⊥ AB và SH = a a2 5a a + a2 = ⇒ HC = 4 3a 5a Xét ∆SHC có SH + HC = + = 2a = SC ⇒ ∆SHC vuông H ⇒ SH ⊥ HC 4 SH ⊥ HC ⇒ SH ⊥ ( ABCD) ⇒ SH là đường cao hình chóp S ABCD SH ⊥ AB HC = HB + BC = 1a a SH S□ ABCD = a = 3 ∆SHC = ∆SHD ⇒ SD = SC = a Thể tích khối chóp S ABCD là V = ∆SBD có SB = a, SD = a 2, BD = a Theo định lí côsin có 0,25 0,25 (4) SB + SD − BD a + 2a − 2a 2 14 = = ⇒ sin BSD = SB.SD 4 2a.a 1 14 a Diện tích tam giác ∆SBD là S ∆SBD = SB.SD.sin BSD = a.a = 2 4 1 a3 Thể tích khối chóp S BCD là VS BCD = SH S ∆BCD = SH S□ ABCD = 12 a3 3 3V a 21 Mặt khác VS BCD = d ( C ,( SBD ) ) S ∆SBD ⇒ d ( C ,( SBD) ) = S BCD = 12 = S ∆SBD a a 21 Vậy khoảng cách từ C đến mặt phẳng ( SBD ) là Cho các số thực dương x, y, z Tìm giá trị lớn biểu thức P= − x + y + z + ( x + 2)( y + 2)( z + 2) cos BSD = Câu (1,0đ) ( a + b) Dấu " = " xảy a = b Ta có ( x + y)2 ( z + 2)2 x2 + y ≥ ;z + ≥ ⇒ x + y + z + ≥ ( ( x + y ) + ( z + 2) ) 2 1 2 ⇒ x2 + y2 + z + ≥ ( x + y + z + 2) ⇒ ≤ x2 + y + z + x + y + z + Áp dụng bất đẳng thức a + b ≥ 0,25 0,25 0,25 Theo bất đẳng thức Côsi có ( x + y + z + 6) ( x + 2)( y + 2)( z + 2) ≤ ⇒− 27 216 Do đó P ≤ − x + y + z + ( x + y + z + 6)3 216 ≤− ( x + 2)( y + 2)( z + 2) ( x + y + z + 6)3 Đặt t = x + y + z + ⇒ t > Khi đó ta có P ≤ 216 − t (t + 4)3 216 648 − , t > ; f '(t ) = − + ; t (t + 4) t (t + 4)4 216 Bảng biến thiên hàm số f (t ) = − ,t > t (t + 4)3 Xét hàm số f (t ) = t f '(t ) f (t ) Suy P ≤ t = f '(t ) = ⇔ t = 0,25 +∞ + 0,25 − 1 Dấu " = " xảy x = y = z = Vậy giá trị lớn P là 8 0,25 (5) A Câu (1,0đ) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC M G K B E H N C 13 17 ; ; 5 5 Gọi N là trung điểm cạnh BC Điểm E là trung điểm đoạn HK ⇒ E 18 12 HK = − ; Tam giác ABC cân A nên AN qua E và vuông góc với HK Phương 5 18 13 12 17 13 17 x − + y − = ⇔ −3 x − + y − = 5 5 5 5 5 5 0,25 ⇔ −3 x + y + = ⇔ x − y − = Gọi M là trung điểm cạnh AB, theo giả thiết có CM :12 x + y − 43 = G = CM ∩ AN ⇒ G là trọng tâm tam giác ABC và tọa độ G là nghiệm hệ 3 x − y − = x = 7 0,25 ⇔ ⇒ G ;3 12 x + y − 43 = y = trình AN : − 43 − 12c C ∈ CM ⇒ C c; ; 37 7−c xM = xM − c = − c − c + 6c CM = CG ⇒ ⇒ ⇒M ; y − 43 − 12c = − 43 − 12c y = + 6c M M 5 2 0,25 27 − 5c −22 + 6c 5c − 20 − 12c KM = ; ; ; KC = 5 10 27 − 5c 5c − −22 + 6c 20 − 12c KM ⊥ KC ⇒ KM KC = ⇒ + =0 10 5 ⇔ (27 − 5c)(5c − 4) + 2(−22 + 6c )(20 − 12c ) = c = ⇔ −169c + 923c − 988 = ⇔ 19 Kết hợp xC > ⇒ xC = ⇒ C (4; −1) c = 13 16 Vecto HC = − ; − là vecto phương đường thẳng AC nên đường thẳng này có 5 0,25 16 16 vecto pháp tuyến n = ; − ⇒ AC : ( x − ) − ( y + 1) = ⇔ x − y − 33 = 5 5 8 x − y − 33 = x = ⇔ ⇒ A(5;7 ) 3 x − y − = y = Tọa độ điểm A là nghiệm hệ (6) Câu (1,0đ) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng ∆ : x−2 y−2 z+2 … = = 1 −1 H A B I Gọi H là hình chiếu vuông góc I trên ∆ ⇒ H là trung điểm đoạn AB x = + t Phương trình tham số ∆ : y = + t ⇒ H (2 + t ; + t ; −2 − t ) z = −2 − t 0,25 IH = ( t − 1; + t ; −2 − t ) Đường thẳng ∆ có vecto phương u = (1;1; −1) IH ⊥ ∆ ⇒ IH ⊥ u ⇒ IH u = ⇔ t − + + t + + t = ⇔ t = −1 ⇒ H (1;1; −1) IH = (1 − 3) + + = S ∆IAB = ⇔ 1 IH AB = ⇔ AB = ⇔ AB = ⇒ HA = 3 2 Xét tam giác vuông IAH có IA2 = IH + HA2 = + 27 = 33 ⇒ IA = 33 Bán kính mặt cầu R = IA = 33 Phương trình mặt cầu ( x − 3) + y + z = 33 Câu9 (1,0đ) Cho số phức z thỏa mãn z − z + 7i Tính z = + 3i a − bi − (1 + 3i )(6 + 7i ) ⇔ (a − bi )(1 + 3i ) − (a + bi ) = + 25i + 21i ⇔ a + 3ai − bi − 3bi − a − bi = ⇔ 3b + (3a − 2b)i = −3 + 5i 3a − 2b = a = ⇔ ⇔ ⇒ z = 1− i 3b = −3 b = −1 ( Ta có z = (1 − i ) = (1 − i ) ) a + bi + 7i = + 3i 0,25 0,25 0,25 (1 − i ) = (1 − 2i + i ) (1 − i ) = (−2i ) (1 − i ) = −8i (1 − i ) = 8i (1 − i ) = + 8i 0,25 0,25 Gọi số phức z = a + bi (a, b ∈ ℝ) ⇒ z = a − bi thay vào (1) ta có 0,25 3 0,25 (7)