Trong chương trình giải tích 12 ban cơ bản hiện nay, chương số phức được đưa vào ở dạng đại số,trong đó gồm các phần : khái niệm về số phức, cộng trừ nhân chia hai số phức,phương trình b[r]
(1)PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ I.Lý chọn đề tài Trong các đề thi Tốt nghiệpTHPT- Cao đẳng-Đại học câu số phức thường xuất đề thi môn toán Số phức không phải là câu hỏi khó,đây là bài toán “nhẹ nhàng”,học sinh có thể dễ dàng ghi điểm đầu tư chút vấn đề này.Song đây là dạng toán lạ với học sinh ,lớp 12 học sinh tiếp cận số phức , đặc biệt nội dung này phân phối thời lượng không nhiều (10 tiết học và tiết kiểm tra chương trình bản),và phần cuối cùng chương trình giải tích lớp 12 Nên vận dụng học sinh bị ảnh hưởng tính chất tập số thực (học sinh học số thực từ lớp 7) ví dụ học sinh hay z nhầm môđun số phức là giá trị tuyệt đối z,nhiều nhầm tưởng tính chất tập số thực đúng trên tập số phức,nên lúng túng giải bài toán số phức Năm học 2013-2014 tôi phân công giảng dạy các lớp:12A5,12A6, 12A8.Phần lớn học sinh có đầu vào thấp,khả tư và tính toán còn hạn chế Song có thuận lợi là lớp 12A6,12A8 lớp có tiết tự chọn và có tiết phụ đạo trên tuần, học sinh ngoan ham học Với tất lý trên,cùng với kinh nghiệm thân sau thời gian đã trực tiếp giảng dạy lớp 12 và luyện thi Tốt nghiệp THPT-Cao đẳng-Đại học Tôi mạnh dạn tổng hợp ,phân loại và viết thành đề tài “ MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ SỐ PHỨC” để trao đổi với đồng nghiệp và làm tài liệu giúp các em học sinh ôn luyện các kỳ thi Tốt nghiệp THPT-Cao đẳng-Đại học II Mục đích, yêu cầu Hình thành kỹ năng, kỹ xảo giải bài tập số phức chương trình Học sinh biết vận dụng kỹ năng, kỹ xảo trên làm công cụ giải dạng toán số phức giúp các em có tâm tốt nhất, tự tin bước vào các kỳ thi và “ghi điểm” III.Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Khách thể: Học sinh 12A6,12A8 Trường THPT Hai Bà Trưng Thạch Thất Hà Nội Đối tượng: Các bài toán số phức dạng đại số trong: Sách giáo khoa, tài liệu tham khảo, các đề thi IV.Nhiệm vụ nghiên cứu Hệ thống kiến thức số phức dạng đại số Phân loại và hướng dẫn học sinh giải bài tập số phức dạng đại số V.Phương pháp nghiên cứu Trong quá trình thực đề tài, tôi đã sư dụng các phương pháp nghiên cứu sau Điều tra, quan sát thực tiễn Nghiên cứu lý luận Thực nghiệm sư phạm Tổng kết kinh nghiệm (2) Lấy ý kiến đồng nghiệp Nghiên cứu tài liệu và sản phẩm hoạt động sư phạm VI.Kế hoạch ,thời gian nghiên cứu Đề tài nghiên cứu từ tháng năm 2013 đến tháng năm 2014 Giai đoạn 1(từ tháng đến tháng 10 năm 2013) Nghiên cứu lý luận Nghiên cứu tài liệu và sản phẩm hoạt động sư phạm Hoàn thành đề cương đề tài Giai đoạn 2(từ tháng 11 năm 2013 đến tháng năm 2014) Điều tra, quan sát thực tiễn Thực nghiệm sư phạm Lấy ý kiến đồng nghiệp Đánh máy thảo,hoàn thành sơ đề tài Giai đoạn 3( tháng năm 2014) Tổng kết kinh nghiệm Hoàn thành đề tài nộp cho Hội đồng khoa học cấp trường PHẦN II: NỘI DUNG A.CƠ SỞ LÝ LUẬN : (3) Trong chương trình giải tích 12 (ban bản) nay, chương số phức đưa vào dạng đại số,trong đó gồm các phần : khái niệm số phức, cộng trừ nhân chia hai số phức,phương trình bậc với hệ số phức, phương trình bậc hai với hệ số thực, chiếm vị trí khá quan trọng và thường có các đề thi tốt nghiệp ,Đại học và Cao đẳng Phần lớn học sinh còn lúng túng việc phân tích đề để tìm lời giải Chính vì mà tôi đã nghiên cứu, biên soạn đề tài này nhằm giúp hình thành kỹ năng, kỹ xảo giải bài tập số phức chương trình Từ đó học sinh biết vận dụng kỹ năng, kỹ xảo trên làm công cụ giải dạng toán số phức (học sinh đúng hướng và tìm lời giải ).Giúp các em có tâm tốt nhất, tự tin bước vào các kỳ thi và “ghi điểm”phần này B THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ : Đây là vấn đề học sinh phổ thông ,Bộ giáo dục đã chuyển tải nội dung này từ nội dung học đại học năm thứ xuống lớp 12(bắt đầu từ năm học 2008-2009 đến này).Với thời lượng cho phép không nhiều (10 tiết học và tiết kiểm tra chương trình bản), Chất lượng học sinh lớp không cao, các em hay nhầm lẫn các kiến thức số thực và số phức song đa số các ngoan có ý thức vươn lên Nên để phát huy tính động và sáng tạo học sinh tôi đã phân loại bài tập này và xếp thứ tự các bài tập từ dễ đến khó ,nhằm giúp học sinh làm bài tốt phần số phức các kỳ thi tới C.GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I Một số kiến thức số phức Số i - Là nghiệm phương trình: x2 +1=0 Ta có: i2= –1 Định nghĩa số phức - Mỗi biểu thức dạng a+bi ,trong đó a,b là các số thực, i 2= –1được gọi là số phức; a là phần thực, b là phần ảo số phức - Thường kí hiệu số phức là: z - Tập hợp các số phức kí hiệu: C Hai số phức - Hai số phức gọi là phần thực và phần ảo chúng tương ứng Ta có: a+bi= c+di ¿ ⇔ a=c b=d ¿{ ¿ - Số thực a là số phức có phần ảo Kí hiệu: a=a+0i Suy số thực là số phức; hay R C - Số ảo (hay số ảo ) là số phức có phần thực Kí hiệu: 0+bi hoặc: bi - Số = + 0i = 0i vừa là số thực, vừa là số ảo - Đặc biệt i=0+1.i Suy số i gọi là đơn vị ảo Biểu diễn hình học số phức y - Số phức z=a+bi có biểu diễn hình học b M (4) mặt phẳng Oxy là điểm M(a; b) Mặt phẳng tọa độ Oxy với việc biểu diễn số phức gọi là mặt phẳng phức: Gốc tọa độ O biểu diễn số Các điểm trên trục hoành Ox biểu diễn các số thực, đó trục Ox còn gọi là trục thực Các điểm trên trục tung Oy biểu diễn các số ảo, đó trục Oy còn gọi là trục ảo Môđun số phức - Kí hiệu: z (môđun số phức z) z - Cách tính: = hệ Oxy - Công thức: - Nhận xét: OM a bi = , với M(a; b) là điểm biểu diễn hình học số phức z √ a2 +b2 =0 (Môđun số 0) z=0 ⇔| z|=0 Nếu z là số thực thì môđun z là giá trị tuyệt đối số thực đó Nếu z là số ảo thì môđun z là giá trị tuyệt đối phần ảo số ảo đó y Số phức liên hợp - Số phức z=a+bi có số phức liên hợp kí hiệu là: z - Công thức: z =a–bi M - Trong mặt phẳng Oxy, điểm M(a; b) biểu diễn số b phức z và điểm M’(a; –b) biểu diễn số phức z , là a hai điểm đối xứng qua trục Ox -b Phép cộng và phép trừ hai số phức M’ a) Định nghĩa: Phép cộng và phép trừ hai số phức thực theo quy tắc cộng, trừ hai đa thức - Tổng quát: (a + bi) + (c + di) = (a + c) +(b + d)i (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i b) Tính chất - Tính chất kết hợp: ( z+ z ' )+ z ''=z + ( z ' + z '' ) , ∀ z,z',z'' ∈C - Tính chất giao hoán: z+ z ' =z ' + z , ∀ z,z' ∈C - Cộng với 0: z+ 0=0+ z , ∀ z ∈ C c) Ý nghĩa hình học phép cộng và phép trừ số phức - Trong mặt phẳng Oxy, điểm M(a; b) biểu diễn số phức z = a + bi và ta coi vectơ u =(a;b) biểu diễn số phức z = a + bi - Như điểm M biểu diễn số phức z thì véctơ OM biểu diễn số phức đó - Nếu véctơ u , v theothứ tự biểu diễn số phức z, z’ thì: u + v biểu diễn số phức z + z’ u - v biểu diễn số phức z - z’ x (5) Phép nhân hai số phức a) Định nghĩa: Phép nhân hai số phức thực theo quy tắc nhân hai đa thức, sau đó thay i2= –1 vào kết nhận - Tổng quát: (a+bi).(c+di) = ac + adi + bci + bdi2 = ac + adi + bci – bd = (ac – bd) + (ad + bc) i - Chú ý: Phép cộng và phép nhân các số phức có tất các tính chất phép cộng và phép nhân các số thực b) Tính chất: - Tính chất giao hoán: z z ' =z ' z , ∀ z,z' ∈ C - Tính chất kết hợp: ( z z ' ) z ''=z ( z ' z '' ) , ∀ z,z',z'' ∈ C - Tính chất phân phối: z ( z ' + z '' )=z z ' + z z '', ∀ z,z',z'' ∈ C - Nhân với 1: z=z 1=z , ∀ z ∈C 9.Tổng và tích hai số phức liên hợp - Với z = a + bi, ta có z = a – bi - Ta có: z + z = 2a, hay tổng số phức và số phức liên hợp nó hai lần phần thực số phức đó z z z = a2 + b2 = , hay tích số phức và số phức liên hợp nó bình phương môđun số phức đó Vậy tổng và tích số phức và số phức liên hợp nó là số thực 10 Phép chia hai số phức - Chia số phức c+di cho số phức a+bi khác là tìm số phức z cho: c + di = (a + bi).z Số phức z gọi là thương phép chia c+di cho a+bi c +di Kí hiệu: z= a+ bi - Cách tìm z: c +di (c +di).(a-bi) (ac+ bd)+( ad − bc)i ac+ bd ad − bc = = = 2 + 2 i a+ bi (a+ bi).(a − bi) a2+ b2 a +b a +b z −1 - Chú ý: Số phức z ≠ , thì số phức z = z = là số nghịch đảo số | z| z= phức z khác 11 Phương trình bậc hai với hệ số thực trên tập số phức - Cho phương trình bậc hai: az2 + bz + c = 0, (a, b, c R , a ≠ 0¿ Ta có Δ=b2 − 4ac b Khi Δ=0 , phương trình có nghiệm thực z = − 2a -b ± √ Δ Khi Δ> , phương trình có hai nghiệm thực z1,2 = 2a Δ Khi < 0, phương trình không có nghiệm thực, có hai nghiệm √ ¿ Δ∨¿ -b ± i phức z1,2 = 2a ¿ Nhận xét: Trong tập hợp số phức, phương trình bậc hai có hai nghiệm ( không thiết phân biệt) (6) Tổng quát: Người ta chứng minh rằng, phương trình bậc n, n nguyên dương: a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 +…+ an-1x + an =0 (a0, a1, a2,…, an C, a0 0) luôn có n nghiệm phức( các nghiệm không thiết phân biệt) II MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ SỐ PHỨC DẠNG 1: Lũy thừa i i0 = i1 i i = -1 i i i 1 Phương pháp: Cần nhớ Khi tính lũy thừa i ta lấy số mũ chia cho xem xét kỹ số dư i k 1 i k 1 i Ví dụ Hãy tính i k 2 i 1997 a) i i k 3 i i 2014 b) i Giải 1997 a) Ta có i b) Ta có =i 499 i = i i 4.499 1 i 2014 i 4.5032 503 .i 1499.i i 1503.i Ví dụ 2 Với i là đơn vị ảo ( i ) ,chứng minh rằng: a) 1 i i i3 i i5 i6 2014 i 2014 i 2015 2008 2009 2010 2011 2012 2013 b) i i i i i i 2016 1 Giải 1 i i a) Ta có i3 i i5 i 2014 i i i 1 i 2014 i 2015 2008 2009 2010 2011 2012 2013 b)Ta có i i i i i i i 4.5032 (1 i ) 4.502 i (1 i i i ) = 2016 2014 i 2014 =-1(đpcm) i 2014 (1 i ) 2008 i (1 i i i i i ) 2016 2016 1 2016 1 (đpcm) Bài tập tương tự Chứng minh i i Với i là đơn vị ảo i 2.Với i là đơn vị ảo 2008 2009 2010 2011 2012 2013 i i i i i i 2i i 2 i i i 2i Chứng minh i i2 i3 i i5 i i5 3.Với i là đơn vị ảo i Chứng minh i 4.Với i là đơn vị ảo i i i i i5 i i i8 i 2i Chứng 2020 minh 1 (7) Dạng : Phép cộng , phép trừ và hai số phức Phương pháp: Sử dụng các công thức (a + bi) + (c + di) = (a + c) +(b + d)i (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i (a+bi).(c+di) = ac + adi + bci + bdi2 = ac + adi + bci – bd = (ac – bd) + (ad + bc) i Phép cộng và phép trừ hai số phức thực theo quy tắc cộng, trừ hai đa thức Phép nhân hai số phức thực theo quy tắc nhân hai đa thức, sau đó thay i2= –1 vào kết nhận Ví dụ Hãy thực các phép tính sau: a) ( 2-3i )+(-1+4i) b) (-3+4i)-(4i 2i ) c) 1-2i 2i Giải b) (-3+4i)-(4i 2i ) (-3+4i)-(-4-2i ) 1 6i a) ( 2-3i )+(-1+4i)=1+i c) 1-2i 2i =-3+2i+6i+4=1+8i Bài tập tương tự Thực các phép tính sau: a (2 - 3i)(3 + i) d (2+i)3- (3-i)3 1 3i 2 b (3 + 4i)2 e 3i (5 i )(6 i ) Thực phép tính: 1 2i a (2 - i) + i 2i i c Thực phép tính: c f i (3 i)(3 i) b 3i 3 3 i d a (2 - 3i)(3 + i) b (3 + 4i)2 Dạng 3:Phép chia hai số phức Phương pháp: Sử dụng công thức i i i 1 3i c c +di (c +di).(a-bi) (ac+ bd)+( ad − bc)i ac+ bd ad − bc = = = 2 + 2 i a+ bi (a+ bi).(a − bi) a2+ b2 a +b a +b z −1 - Chú ý: Số phức z ≠ , thì số phức z = z = là số nghịch đảo số | z| z= phức z khác z1 Ví dụ Cho hai số phức: z1 5i ; z2 i Tính z2 (8) Lời giải: z1 5i z2 3 i i 5i 8 4 i 3 i 3i 2 3i Ta có: Ví dụ 2.Cho số phức z = 4-3i tìm Lời giải: 3i = (3i) = + Ta có: = = Bài tập tương tự Thực các phép tính sau: 1 i 3i a i b 5i Thực các phép tính sau: 1 i z 1 i 1 1 i c i b i 2i d 8i 2i z a Thực các phép tính : 3i 6i 2i 3i (1 2i ) (1 i )2 (2 i )3 (2 i)3 ; b) ; c ) ; 2 3 (1 i )(1 i ) (3 i ) (2 i ) (2 i ) (2 i ) a) 2 d) (2 – i)6 Dạng 4: Tìm số phức liên hợp Phương pháp: Sử dụng công thức Nếu z = a + bi thì z = a - bi Cần nhớ các công thức: z Nếu z = a + bi thì z + z = 2a và z z = a2 + b2 = Chú ý: Cho z1 , z2 là số phức ta có: 1) z1 z2 z1 z2 4) z1 z2 z1 z2 2) z1.z2 z1.z2 5) z1.z2 z1.z2 z1 z1 3) z2 z2 6) z1 z2 z1 z2 Thật ta chứng minh các công thức trên: Giả sử z1 a bi z1 a bi và z2 c di 1)Ta có : z1 z2 (a bi) (c di) (a c) (b d )i = = (a c) (b d )i (a bi ) (c di ) z1 z2 (đpcm) 2) Tương tự 3) Giả sử z1 z z2 Ta có z1 z.z2 , suy z1 z.z2 hay z z1 z2 (9) z1 z1 Vậy z2 z2 (đpcm) 4)Ta có : z1 z2 z1 z2 z1 z2 (đpcm) 5)Ta có : z1.z2 z1.z2 z1.z2 (đpcm) 6)Ta có : z1 z2 z1 ( z2 ) z1 ( z2 ) z1 z2 (đpcm) Ví dụ Xác định z , biết a) z = - 2i b) z = 2-3i c) z = -3+4i d) z 5i 1 i z 1 i e) f) z i Lời giải: a) Ta có: z 2i b)Ta có: z 2 3i c) Ta có: z 4i i (5 i )(1 i) 5 5i i i 6i z 2 3i 1 i i (1 i )(1 i ) d) Cách 1: Ta có Suy z 2 3i 5i i i (5 i )(1 i ) 5i i i z 1 i2 1 i i i (1 i )(1 i ) Cách 2: Ta có 6i 2 3i z 2 3i Suy 1 i 1 1 i z i i (1 i )(1 i) i 2 e) Ta có: z 1 z i 2 Suy 2 f) Ta có: z i 1 2i i 2i z 2i Bài tập tương tự Xác định z , biết z=2-3i z= 1-2i 2i z=-3+4i-4i 2i 2-3i z= 1+i Dạng 5: Tìm các đại lượng số phức (phần thực,phần ảo,môđun) Phương pháp: Cần nhớ - Đối với số phức z= a+bi ,trong đó a,b là các số thực, i2= –1 Ta nói a là phần thực, b là phần ảo số phức - Môđun số phức z= a+bi là số thực không âm kí hiệu Ví dụ z = a +b (10) Tìm môđun số phức z 1 4i i Lời giải: 3 3 Vì i 1 3i 3i i 1 3i i 2i Suy ra: Ví dụ z 2i z 1 22 z1 z1 Cho hai số phức: z1 5i ; z2 i Tính z2 và z2 Lời giải: i 8 4 i i 3 z1 5i z2 3 i z1 22 z2 5i 3i 2 3i Ví dụ Tìm phần thực và phần ảo số phức sau: 2 z= 1-2i 3i 2i 2i z=1+2i 5i i i a) b) Lời giải: a) Ta có: z=1+2i 5i 2i 9i =1+2i+5 2i -3 Vậy số phức có phần thực -3 và phần ảo z= 1-2i 3i 2i 2i =1-4i+4i 2i 6i 1 2i b) Ta có: Vậy số phức có phần thực và phần ảo -2 Ví dụ 2013 2014 Tìm phần thực và phần ảo số phức z 2014i 2013i Lời giải: 2013 2014 2014 i 1006 .i 2013 i 1007 2014i 2013 Ta có: z 2014i 2013i Vậy số phức có phần thực 2013 và phần ảo 2014 Bài tập tương tự Bài 1: Tìm môđun số phức : z = – 3i + (1 – i)3 Bài 2: Cho hai số phức z1 2 5i, z =3-2i Xác định phần thực và phần ảo số phức z1 z2 Bài 3: Cho hai số phức z1 3i, z =-3-4i Xác định môđun số phức z2 z2 z12 Bài 4: Xác định phần ảo và tính môđun số phức z, biết: a) b) z i 3i i 2i z 2i 1 i (11) c) z i 1 2i z 1 mi mi Bài Cho số phức Xác định số thực m để z là số ảo Bài 6: Xác định phần thực và phần ảo và tính môđun số phức liên hợp các số phức z: z i - 1-2i 2 z 3i 4i 5i 2i 3i Bài 7: Xác định môđun số phức z, biết: z 2i + 2+ 2i 2 z 3i + 4+ 3i i i Dạng 6: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức Phương pháp :+ Gọi số phức có dạng : z = x + yi với x,y là các số thực và i + Dựa vào giả thiết bài toán tìm xem với điểm M( x; y) thỏa mãn phương trình nào + Kết luận tập hợp điểm biểu diễn số phức z đã cho Ví dụ Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện : z 4i 2 Lời giải: Đặt z = x + yi; x, y và i , ta có: z 4i 2 x 3 x 3 y i 2 x 3 2 y 2 y 22 Vậy tập hợp các điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z = x + yi thỏa mãn điều kiện đã cho là đường tròn tâm I(3; -4); bán kính R = Ví dụ Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện: z i z z 2i Lời giải: Gọi z = x + yi ; với x, y và i , Ta có: z i z z 2i x y 1 i y i 2 x y 1 y x2 2y Vậy tập hợp các điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z = x + yi thỏa y x2 mãn điều kiện đã cho là parabol (12) Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện : z 5i 2 Lời giải: Đặt z = x + yi ,với x, y và i , Ta có: z - 5i + = (x + 2) + (y - 5)i z 5i 2 Suy ra: x 2 2 2 y 2 x y 4 Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(-2; 5), bán kính R = Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thõa mãn điều kiện: a z i (1 i ) z c z z 8 (Đề thi TSĐH khối B năm 2010) b z z 4 Lời giải a.Giả sử điểm M(x;y) biểu diễn số phức z=x+yi ( x; y ) Ta có: Nên z - i=x+(y-1)i và (1+i)z=(1+i)(x+yi)=x-y+(x+y)i z i (1 i ) z x ( y 1)i x y ( x y )i x ( y 1) ( x y )2 ( x y ) x ( y 1) 2 Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thõa mãn yêu cầu bài toán là 2 đường tròn có phương trình x ( y 1) 2 b.Trong mặt phẳng Oxy.Giả sử các điểm M, F1 , F2 biểu số phức z, -1, Suy ra: F1M biểu diễn số phức z-(-1)=z+1 ; F2 M biểu diễn số phức z-1.Với F1 , F2 nằm trên trục thực Ox -Khi đó điều kiện: z z 4 MF1 MF2 4 và F1 F2 2 Vậy tập hợp các điểm M là Elip có trục lớn và trục bé x2 y 1 Phương trình Elip mặt phẳng tọa độ Oxy là: c.Tương tự câu b giả sử các điểm M, F1 , F2 biểu số phức z, -5, Với F1 , F2 nằm trên trục thực Ox Tương tự câu b ta có: z z 8 MF2 MF1 8 và F1 F2 10 (13) MF MF 8 Tập hợp các điểm thỏa mãn với F1 F2 10 là Hypebol có hai tiêu điểm thuộc trục Ox, độ dài trục thực là và trục ảo là Phương trình Hypebol mặt phẳng tọa độ Oxy là H: x2 y2 1 16 Ví dụ 5: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn mặt phẳng phức số phức (1 i 3) z biết số phức z thỏa mãn: z 2 Lời giải Đặt z a bi (a; b R) , x yi ( x; y ) Ta có z 2 (a 1) b 4 (1) x a b Từ (1 i 3) z x yi (1 i 3)(a bi) y a b x a b y 3(a 1) b Từ đó ( x 3) ( y 3) 4 ( a 1) b ( a 1) b 32 (1) 2 Vậy tập hợp các điểm cần tìm là hình tròn ( x 3) ( y 3) 32 có tâm I (3; 3) , bán kính R 4 Bài tập tương tự Bài 1: Xác định tập hợp các điểm biểu diển số phức Z trên mặt phẳng tọa độ Z Z 4 thỏa mãn điều kiện : Bài 2: Xác định tập điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn : a) z a ai, a R b) z i là số ảo ĐS: a) Đường thẳng y = x b) Trục ảo Oy trừ (i) Bài 3: Xác định tập điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn : z i z i 9 a) z2 là số thực âm b) ĐS: a) Trục thực Ox từ gốc O b) Elip Bài 4: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z = x + yi với x, y thuộc R và thỏa mãn : z 3 x y 1 b) x 0, y 0 a) Bài 5: a) Xác định tập hợp các điểm M mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z = x + yi x, y R thỏa mãn điều kiện z2 z 0 (14) b) Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời các điều kiện : z2 z 2 x y z2 z z2 z 0và z 1 z 0 x y HD: a) Suy Vậy tập hợp cần tìm là hai đường thẳng : y = x z 1 x 2 z b) nên có hai số phức thỏa mãn đề bài là : z = 2(1 + i) và z2 = 2(1 – i) Dạng Giải phương trình, hệ phương trình trên tập số phức Phương pháp : - Phương trình bậc hai với hệ số thực trên tập số phức Cho phương trình bậc hai: az2 + bz + c = 0, (a, b, c R , a ≠ 0¿ Ta có Δ=b2 − 4ac b Khi Δ=0 , phương trình có nghiệm thực z = − 2a -b ± √ Δ Khi Δ> , phương trình có hai nghiệm thực z1,2 = Khi 2a Δ < 0, phương trình không có nghiệm thực, có hai nghiệm √ ¿ Δ∨¿ phức z1,2 = -b ± i 2a ¿ Chú ý : - Việc giải các phương trình có bậc lớn thường sử dụng phương pháp phân tích thành nhân tử, đặt ẩn phụ… để chuyển dạng bậc hai - Việc giải các,phương trìnhtrên tập số phức tương tự trên tập số thực Ví dụ Giải các phương trình sau trên tập số phức 4 a ( z 1) ( z 3) 128 0 b ( z 1)( z 2)( z 4)( z 7) 0 c z z z z 0 0 Lời giải a Đặt t z 1 thì phương ( z 1) ( z 3) 128 0 trình trở thành (t 2) (t 2) 128 0 2 Khai triển và rút gọn ta được: t 24t 80 0 , suy t ; t 20 2 Với t ta có t 4i t 2i ; t 2i 2 Với t 20 ta có t 20i t 2 5i ; t 5i Vậy phương trình có nghiệm: z1 2i ; z2 2i ; z3 5i z3 5i b PT z 1 z z z 34 z z z z 34 1 ; (15) 2 t t 15 34 Đặt t z z z z t 15 thì (1) trở thành t 15t 34 0 t 2; t 17 2 +) Với t=2 thì z z 2 z z 0 z1 2; z2 2 +) Với t= -17 thì z z 17 z z 10 0 2 Ta có ' 3 10 i z3 i; z4 i Vậy các nghiệm cần tìm là: z1 2; z2 2; z3 i; z4 i c Xét phương trình z z z z 0 2 - Với z=0 thì phương trình (2) có dạng 4=0 (vô lí) -Với z 0 , chia hai vế (2) cho z ta z2 z 4 2 0 z z 0 z z z z 3 2 4 t z z z t z z z z Đặt nên phương trình (3) trở thành 2 t t 0 t t 0 t 1; t 2 t z z Với t=-1 ta có 7i 7i z z 0 z z 0 z1 ; z2 z 2 -Với t=2 ta có z 2 z z 0 z z 0 z3 1 i; z4 1 i z Vậy phương trình đã cho có nghiệm phức là z1 7i 7i ; z2 ; z3 1 i; z4 1 i 2 Ví dụ 2 Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức phương trình: z z 10 0 2 Tính giá trị biểu thức A = z1 z2 Lời giải: 2 Ta có: = - 10 = -9 = 9i Phương trình có các nghiệm: z1 = - - 3i; z2 = - + 3i 2 2 2 Ta có: z1 z2 1 3 1 20 Ví dụ Tìm các số thực b, c để phương trình z bz c 0 nhận số phức z 1 i làm nghiệm Hướng dẫn tóm tắt : (16) Vì z = + i là nghiệm phương trình: z2 + bx + c = nên: b c 0 b (1 i)2 b(1 i) c 0 b c (2 b)i 0 2 b 0 c 2 Ví dụ 4 Giải phương trình sau tập số phức: z – z 6z – 8z –16 0 Hướng dẫn tóm tắt : z z 2 z 2 2i z – z 6z – 8z –16 0 (z 1)(z 2)(z 8) 0 z 2i Ví dụ z i 10 Tìm số phức z thỏa mãn: và z.z 25 Lời giải: Đặt z = a + bi với a, b , ta có: a b 25 a b 1 i 10 a 3 b 4 a 5 a b 25 2a b 10 b 0 z.z 25 z i 10 a b 25 2 a b 1 10 Vậy có hai số phức cần tìm : z = + 4i , z = + 0i Ví dụ z z2 Cho số phức z = - 3i Tìm z z z 3i 3i 11 27i Lời giải: z z 11 27i 11 27i 3i 37 141i 3i 32 25 z Ví dụ Giải phương trình sau (ẩn z): z z 5i Lời giải: Giả sử z a bi ; z z 5i 2 (*) a bi a bi 1 10i 25i 3a 24 3a bi 24 10i b 10 a z 10i b 10 Ví dụ Giải phương trình sau trên (ẩn z): z z z z 0 Lời giải: z z z z 0 z 1 z 0 z z (do z 0) (17) 1 z+ z w z Đặt w = z , ta được: w=1 w w 0 w w 0 w=-3 1 z 1 z z z Do đó: (1) hay (2) + Giải (1) z z 0 Ta có: 3i 1 3i 3i z1 ; z2 2 Vậy phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt: + Giải (2) z 3z 0 Ta có: 9 5 z3 Vậy phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt: Tóm lại phương trình đã cho có bốn nghiệm: 3 3 ; z4 2 3i 3i 3 3 z1 ; z2 z3 ; z4 2 ; 2 Ví dụ ( z2 9)( z4 z2 4) 0 Giải phương trình sau trên tập số phức: Hướng dẫn tóm tắt : z2 2 PT (z 1) 5 z 3i z2 z 3i z z i Ví dụ 10 Cho z1 , z2 là các nghiệm phức phương trình z z 11 0 Tính giá trị biểu thức : Hướng dẫn tóm tắt : z1 z2 ( z1 z2 )2 Giải PT đã cho ta các nghiệm: 3 i, z2 1 i 2 3 2 22 | z1 || z2 | ; z1 z2 2 Suy z1 1 2 z1 z2 11 Do đó: ( z1 z2 ) Bài tập tương tự Bài 1: Giải các phương trình sau trên tập số phức: a x2 + = b x2 - 3x + = d x2 - 2x + 18 = e x4 + x2 -2 = Bài Giải phương trình sau trên tập số phức: c x2 - = g x3 +27 = (18) a 2 z z z 1 0 b z 3i z 2z 5 0 c 2z 3z 5z 0 Bài Giải phương trình x 0 trên tập số phức Bài Tìm hai số phức biết tổng chúng và tích chúng Bài Giải phương trình sau trên tập hợp số phức: z z 17 0 i 3i z 1 i i Bài Giải phương trình: Dạng Ứng dụng số phức tổ hợp Trong Toán học, số phức dùng để giải nhiều bài toán từ sơ cấp đến cao cấp.Trong phạm vi sang kiến kinh nghiệm tôi đề cập đến ứng dụng số phức bài toán tổ hợp Có khá nhiều bài toán khó khăn(thậm chí khó khăn) việc tìm tòi lời giải, đặc biệt là lời giải cách tự nhiên lại giải cách đơn giản ứng dụng số phức.Muốn làm tốt các bài tập, cần chú ý khai triển nhị thức Newtơn Ví dụ.Tính tổng: 2012 2014 S1 C2014 C2014 C2014 C2014 C2014 C2014 C2014 2011 2013 S C2014 C2014 C2014 C2014 C2014 C2014 C2014 Lời giải Xét khai triển nhị thức Newton: 1 i 2014 2013 2014 C2014 iC2014 i 2C2014 i 3C2014 i 4C2014 i 2010C2014 i 2014C2014 1khi 4m i k 4m i k 1khi k 4m i k 4m m Vì 1 i nên ta có 1 i 2014 2014 2013 2014 C2014 iC2014 i 2C2014 i 3C2014 i 4C2014 i 2010C2014 i 2014C2014 2012 2014 2011 2013 (C2014 C2014 C2014 C2014 C2014 ) i C2014 C2014 C2014 C2014 C2014 Mặt khác 1 i 2014 1 i 1007 2i 1007 21007 i 21007.i Từ và ta có: 2012 2014 S1 C2014 C2014 C2014 C2014 C2014 C2014 C2014 0 2011 2013 S C2014 C2014 C2014 C2014 C2014 C2014 C2014 21007 Vậy: S1 0 và S2 21007 Bài tập tương tự Tính tổng: 2 1 (19) 20 O 2010 A C2011 C2011 C2011 C2011 C2011 2009 2011 B C2011 C2011 C2011 C2011 C2011 2008 2010 M C2010 C2010 C2010 C2010 C2010 2007 2009 N C2010 C2010 C2010 C2010 C2010 BÀI TẬP SỐ PHỨC TRONG CÁC ĐỀ THI Bài Giải phương trình 2x 5x 0 trên TN THPT – 2006 tập số phức 7 x1 i x2 i 4 ; 4 Đáp số: Bài Giải phương trình x 4x 0 trên tập số phức TN THPT – 2007 (lần 1) Đáp số: x1 2 3i ; x2 2 3i Bài Giải phương trình x 6x 25 0 trên tập số phức TN THPT – 2007 (lần 2) Đáp số: x1 3 4i ; x2 3 4i Bài Tìm giá trị biểu thức: P (1 3i) (1 TN THPT – 2008 (lần 1) 3i) Đáp số: P Bài Giải phương trình x 2x 0 trên tập số phức TN THPT – 2008 (lần 2) Đáp số: x1 1 i ; x2 1 i Bài Giải phương trình 8z2 4z 0 TN THPT – 2009 (CB) Bài Giải phương trình Đáp số: 2z iz 0 TN THPT – 2009 (NC) Bài Giải phương trình trên tập số phức 1 1 x1 i x2 i 4 ; 4 trên tập số phức Đáp số: 2z 6z 0 x1 i ; x2 i trên tập số phức TN THPT – 2010 (GDTX) Đáp số: x1 3 i x2 i 2 ; 2 Bài Cho hai số phức: z1 1 2i , z2 2 3i Xác định phần thực và phần ảo số phức z1 2z2 TN THPT – 2010 (CB) Đáp số: Phần thực – ; Phần ảo Bài 10 Cho hai số phức: z1 2 5i , z2 3 4i Xác định phần thực và phần ảo số phức z1.z2 TN THPT – 2010 (NC) Đáp số: Phần thực 26 ; Phần ảo i z i 4 5i Bài 11 Giải phương trình trên tập số phức TN THPT – 2011 (CB) Đáp số z 3 i z 1 0 Bài 12 Giải phương trình trên tập số phức TN THPT – 2011 (NC) Đáp số z 3i z i (20) Bài 13 Tìm các số phức 25i 2z z và z , biết TN THPT – 2012 (CB) z 3 4i z z 9 4i Đáp số 25i 3i z i z 4i 0 Bài 14 Cho số phức z thỏa mãn Tìm số phức liên hợp z TN THPT – 2013 (CB) z 3 i Đáp số Bài 15 Cho số phức z thỏa mãn: (1 i) (2 i)z 8 i (1 2i)z Xác định phần thực và phần ảo z CĐ Khối A,B,D – 2009 (CB) Đáp số: Phần thực ; Phần ảo -2 Bài 16 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: (2 3i)z (4 i)z (1 3i) Xác định phần thực và phần ảo z CĐ Khối A,B,D – 2010 (CB) Đáp số: Phần thực -2 ; Phần ảobằng Bài 17 2i Cho số phức z thỏa mãn CĐ Khối A,B,D – 2011 (CB) Đáp số: z z 4i 20 .Tính môđun z z 5 2i z 2 i i z i Tìm tọa độ điểm Bài 18 Cho số phức z thỏa mãn: biểu diễn z mặt phẳng tọa độ 0xy CĐ Khối A,B,D – 2012 (CB) Đáp số: Điểm biểu diễn z là 7 M ; 10 10 Bài 19 Cho số phức z thỏa mãn: 2i z i 4 i Tìm phần thực và phần ảo số phức w z z CĐ Khối A,B,D – 2009 (CB) Đáp số: Phần thực ; Phần ảo -1 Bài 20 a/Gọi z1, z2 là hai nghiệm phức phương trình 2 giá trị biểu thức A | z1 | | z2 | ĐH Khối A – 2009 (CB) Đáp số: A = 20 z 2z 10 0 Tính b/Cho z1, z2 là các nghiệm phức phương trình z z 11 0 Tính A giá trị biểu thức z1 z2 z1 z2 2 Bài 21 Tìm số phức z thỏa mãn | z (2 i) | 10 và z.z 25 ĐH Khối B – 2009 (CB) Đáp số: z = + 4i z = Bài 22 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn điều kiện | z (3 4i) | 2 ĐH Khối D – 2009 Đáp số: đường tròn tâm I(3 ; – ), (21) bán kính R = Bài 23 Tìm phần ảo số phức z, biết: ĐH Khối A – 2010 (CB) z z ( i)2 (1 Đáp số: 2i) (1 3i)3 1 i Bài 24 Cho số phức z thỏa mãn: Tìm môđun z iz ĐH Khối A – 2010 (NC) Đáp số: Bài 25 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn điều kiện | z i | | (1 i) z | 2 ĐH Khối B – 2010 (CB) Đáp số: đường tròn x ( y ) 2 Bài 26 Tìm số phức z thoả mãn điều kiện | z | và z2 là số ảo ĐH Khối D – 2010 Đáp số: z1 = + i; z2 = – i; z2 = –1 –i; z4 = – 1+ i Bài 27 Tìm tất các số phức z , biết: ĐH Khối A – 2011 (CB) Đáp số: z Bài 28 z 0 z 1 i 2 1 i 2 Tìm môđun số phức z biết : ĐH Khối A – 2011 (NC) Đáp số: Bài 29 z2 z z Tìm số phức z , biết: Z z 1 i z 1 i 2 2i Z 5i 0 z ĐH Khối B – 2011 (CB) Đáp số: z i z 2 i 1 i z i Tìm phần thực và phần ảo số phức Bài 30 ĐH Khối B – 2011 (NC) Đáp số Phần thực ; Phần ảo Bài 31 Tìm số phức z , biết: z 3i z 1 9i ĐH Khối D – 2011 (CB) Đáp số: z 2 i z i Bài 32 Cho số phức z thỏa mãn w 1 z z z 1 2 i ,Tính môđun số phức ĐH Khối A – 2012(NC) Đáp số: w 13 (22) Bài 33 Cho số phức z thỏa mãn phức w z i i z ĐH Khối D – 2012(NC) Đáp số: Bài 34 2i 7 8i 1 i ,Tính môđun số w 5 i z i z 2i Cho số phức z thoả mãn điều kiện Tính môđun số phức w z z 1 z2 ĐH Khối D – 2011 (CB) Đáp số w 10 (23) PHẦN III KẾT LUẬN Đứng trước yêu cầu: Hình thành kỹ nănggiải bài tập số phức chương trình Học sinh biết vận dụng kỹ năng, kỹ xảo trên làm công cụ giải dạng toán số phức giúp các em có tâm tốt nhất, tự tin bước vào các kỳ thi và “ghi điểm” Qua số năm giảng dạy số phức tôi tự đúc rút số kinh nghiệm thể qua đề tài này và thực tế áp dụng đề tài này vào giảng dạy cho các lớp 12a6,12a8 năm học 2013-2014 Kết thu là:95% các em nắm phương pháp giải các dạng toán số phức các kỳ thi và có 90% các em lấy điểm tối đa câu số phức các đề thi tốt nghiệp ,cao đẳng.80% các em lấy điểm tối đa câu số phức các đề thi đại học Số học sinh không lấy điểm tối đa câu số phức các đề thi chủ yếu kỹ tính toán chưa tốt,nhầm lẫn tính toán Với hy vọng bạn đọc thuận lợi việc tìm hiểu, làm quen sử dụng số phức để giải các bài toán phổ thông, từ đó bạn đọc có điều kiện để rèn luyện tư và học môn toán tốt Dù tài liệu học còn ít ỏi và chưa đa dạng, khai thác đề tài có thể chưa thật đầy đủ và các ví dụ minh họa có thể chưa thật đại diện cho dạng toán với nổ lực mình tôi hy vọng qua đề tài này phần nào đó có thể giúp bạn đọc cảm thấy yêu thích số phức đồng thời thu nhiều điều bổ ích Mặc dù đã có dầu tư thời gian và công sức thân sáng kiến kinh nghiệm,song trình độ còn hạn chế kinh nghiệm chưa nhiều, nên đề tài mà tôi nghiên cứu còn hạn chế,chắc chắn không tránh khỏi sai sót, mong nhận góp ý và bảo chân thành từ các bạn đọc nói chung và đặc biệt là các bạn đồng nghiệp nói riêng để đề tài hoàn thiện Tôi Xin chân thành cám ơn! XÁC NHẬN Thạch Thất, ngày 25 tháng năm 2014 CỦATHỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan đây là sáng kiến kinh nghiệm mình viết, không chép nội dung người khác Nguyễn Thị Thư (24) TÀI LIỆU THAM KHẢO 1.Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) – Vũ Tuấn (Chủ biên) Lê Thị Thiên Hương – Nguyễn Tiến Tài – Cấn Văn Tuất Giải Tích 12, NXB Giáo Dục Việt Nam – 2008 2.Phan Huy Khải – Nguyễn Ngọc Thắng – Phan Doãn Thoại Nâng cao và phát triển Giải Tích 12, NXB Giáo Dục Việt Nam – 2010 3.Đề thi tốt nghiệp, cao đẳng, đại học 4.Báo toán học và tuổi trẻ 5.Phân dạng và phương pháp giải toán số phức ( Lê Hoành Phò - NXB Đại học quốc gia Hà Nội - xuất 2008) Ý kiến đánh giá hội đồng khoa học cấp trường (25) Ý kiến đánh giá hội đồng khoa học cấp trên (26) (27)