de da HSG Hoang Hoa

Lưu ý: - Bài hình học sinh không vẽ hình hoặc vẽ sai cơ bản không chấm điểm.. - Học sinh giải cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa..[r]

TRƯỜNG THCS NHỮ BÁ SỸ THỊ TRẤN BÚT SƠN Bài 1: ( 4,0 điểm) Cho biểu thức ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI - LỚP NĂM HỌC 2012 - 2013 MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 18/ 3/ 2013 A 2x  x  x 1   x  5x  x   x a) Rút gọn biểu thức b) Tìm các giá trị nguyên x để A nhận giá trị nguyên Bài 2: ( 6,0 điểm) a) Giải phương trình: x6 – 7x3 – = n b) Tìm các số tự nhiên n để     36 là số nguyên tố B x  x 10 x2  2x  c) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc : 1   a b c Chứng minh có ít d) Cho a b c = và a + b + c = ba số a, b, c Bài 3: (3,0 điểm) a) Tìm tất các số nguyên x, y biết x > y > thỏa mãn: x3 + 7y = y3 + 7x b) Cho  a; b; c  Chứng minh : 2( a3 + b3 + c3)  + a2b + b2c + c2a Bài 4: (5,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC, hai đường cao BE và CF cắt H Chứng minh rằng: a) AB AF = AC AE b) AEF  ABC c) BH.BE + CH.CF = BC2 Bài 5: ( 2,0 điểm) BC  Cho tam giác ABC cân A có BAC 108 Chứng minh tỉ số AC là số vô tỉ …………………………………… HẾT ………………………………… Họ và tên thí sinh:…………………………… Giám thị 1:……………………… Số báo danh:……………………… Giám thị 2:……………………… TRƯỜNG THCS NHỮ BÁ SỸ HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI THỊ TRẤN BÚT SƠN MÔN TOÁN - LỚP Năm học : 2012 - 2013 Bài Nội dung Điểm a/ 2,5 đ 0,5đ ĐKXĐ : x ≠ , x ≠ A Bài 1,0đ 2x  x  x 1   ( x  2).( x  3) x  x  x2  x   ( x  2)( x  3) 1,0đ b/ 1,5 đ x2 A 1  x x 0,25đ 4,0điểm  x2  x  ( x  2)( x  3) có giá trị nguyên A có giá trị nguyên   x –  Ư(4) = {1; -1; 2; - 2; 4; - 4}  x  {3 ; ; ; ; ; - 2} Vì x ≠ , x ≠ nên x  {1 ; ; ; ; - 2} a/ 1,5 đ Ta có x6 – 7x3 – =  (x3 + 1)(x3 – 8) =  (x + 1)(x2 – x + 1)(x – 2)(x2 + 2x + 4) = (1) 0,5đ Do x – x + = (x – ) + > và x2 + 2x + = (x + 1)2 + > 0,5đ Bài 6,0 điểm với x, nên (1)  (x + 1)(x – 2) =  x {- 1; 2} Vậy phương trình có tập nghiệm : S = {- 1; 2} 0,5đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ b/ 1,5 đ n 2   36 n4  16n2  100 ( n  10)  36n  (n  6n  10)(n  6n  10) n Với n = Thì   0,5đ   36 = 100 không phải là số nguyên tố Với n > 0, ta có < n – 6n + 10 < n2 + 6n + 10 n Để     36 là số nguyên tố thì n2 – 6n + 10 =  (n – 3)2 =  n = n Khi đó   0,5đ   36 n Vậy với n = thì  = 37 là số nguyên tố    36 là số nguyên tố 0,5đ c/ 1,5 đ B 3x  x 10 1 2 x  x  = + x  x  = + ( x 1)  0,5đ Ta có : Do (x + 1)2 ≥ với x (dấu “ =” xảy  x = -1 ) 1  ( x 1)  ≤ (dấu “ =” xảy  x = -1 ) 0,5đ 1 ( x  1)   + = (dấu “ =” xảy  x = -1 )  3+ Vậy giá trị lớn B = x = -1 1   a b c  a + b + c - (bc + ca + ab) = d) (1,5đ) a + b + c =  abc - bc - ca - ab + (a + b + c ) - =  (a - 1)(b - 1)(c - 1) =  a 1   b 1   c 1 suy đpcm 0,5đ 0,5 đ 0,5đ 0,5đ a) (1,5đ) x3 + 7y = y3 + 7x  (x - y)(x2 + xy + y2) = 7(x - y)  x2 + xy + y2 = (vì x > y )  1,5 đ  (x - y)2 = - 3xy Do (x - y)2 > nên - 3xy > hay xy Kết hợp < y < x, từ đó suy x = 2, y = Bài xét: với  x  thì x ≥ x3, x2 ≥ x3 nên x2 + x ≥ 3,0 điểm b)(1,5đ).Nhận x3(*) Từ  a; b; c   (1 - a2)(1 - b) + (1 - b2)(1 - c) + (1 - c2)(1 1,5đ a) ≥ nên + a2b + b2c + c2a ≥ (a2 + b2 + c2) + (a + b + c) = (a2 + a) + (b2 + b) + (c2 + c) ≥ 2a3 + 2b3 + 2c3 (theo (*)) đpcm Bài a) (1,5đ) A 5,0 điểm ABE  ACF (g.g) 1,5 đ AB AE E   AC AF  AB.AF = AC.AE F H AB AE AE AF    AC AF AB AC b) (1,5đ) Từ và Â chung AEF  ABC (c.g.c) c) (1,5đ) Vẽ HD  BC B D C 1,5 đ 0,5 đ 0,5 đ BH BD  BC BE  BH.BE = BC.BD (1) BHD  BCE CH CD   BC CF  CH.CF = BC.CD (2) CHD  CBF Cộng vế (1) với (2) : BH.BE + CH.CF = BC(BD + CD) = BC2  0,5 đ 0,5 đ E Bài 720 2,0điểm 360 P 1080 360 A 1080 M 360 B 180 180 120 C   Trong tam giác ABC lấy điểm M cho: MBC 12 ; MCB 18 trên tia đối tia AC lấy điểm E cho CE = CB 1800  360 CEB CBE   720 => Ta có  CME=  CMB(c-g-c)   MBC 120  MBC 600 => ME=MB mà =>  MBA   Mặt khác ta có BEA BAE 72 =>  BAE cân => BA=BE(1)    Kẻ AP là phân giác BAE => PAB PBA 36 => PA=PB 0 APB 1800  2.360 1080    => APE 72 => APE  AEP 72 =>AP=AE (2) từ (1) và (2) => AE=PA=PB AP là phân giác góc EAB nên PE AE PE  PB AE  AB BE AE  AB     PB AB PB AB AB => => PB AB AE  AB  AE AB => AB2=AE(AE+AB) = AE2+AE.AB 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ   AE  AB  AB  AE  AB   AB   2 => 51 AE 5 AE  AB  2 => => AB 0,25đ AE 51 AE  AB 1 CE 1 1      AB AB 2 <=> AC BC 1  => AC BC AC là số vô tỷ Lưu ý: - Bài hình học sinh không vẽ hình vẽ sai không chấm điểm - Học sinh giải cách khác đúng cho điểm tối đa