4 bai hinh hoc phang hay

Xác định vị trí các điểm D, E, F sao cho diện tích tam giác DEF đạt giá trị lớn nhất... Chứng minh rằng CD luôn đi qua một điểm cố.[r]

CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC PHẲNG Bài 1: Cho tam giác ABC cố định Gọi D, E, F là các điểm di động trên BC, CA, AB cho AD, BE, CF luôn đồng quy O Xác định vị trí các điểm D, E, F cho diện tích tam giác DEF đạt giá trị lớn S BDF x  ; S ABC  x  1  z  1   S DEF S ABC    S DEF  SCED y  S ABC  x  1  y  1   x y z         z    x    x    y    y    z    Cauchy 2S  S 1 x 1 y  1  z  Dấu “=” xảy  D, E , F là trung điểm các đoạn BC , CA, AB Bài 2: Cho đường tròn (O) và đường thẳng d  (O ) Gọi E là chân đường vuông góc từ O tới d M  d  E Từ M kẻ đường tiếp tuyến tới (O ) là MA, MB Gọi C , D là hình chiếu E lên MA, MB Chứng minh CD luôn qua điểm cố DB EC FA x;  y; z EA FB Đặt DC định Do AD, BE , CF luôn đồng quy O , ta có định lý Mê-nê-la-uýt: DB EC FA 1  xyz 1 DC EA FB ; S DEF S ABC   S AEF  S BDF  SCED  S AEF AE AF  S AB AC ABC Mà EC EA EA y     EC y AC y  Do EA Và FA AF z S z z    AEF  FB AB z  S ABC  y  1  z  1 Hoàn toàn tương tự, ta có: Giả sử CD  OE F Từ E kẻ EK  AB K ; AB  OE H Dễ dàng chứng minh OH OE R  OH  T R2 const  H OE cố định AA2 BB2 CC   A1 A2 B1B2 C1C Trước hết ta dễ dàng chứng minh các điểm A, O, B, E , M cùng thuộc  E   AMB  đường tròn đường kính OM Mà ta lại có:  EC  MA   ED  MB  CDK  EK  AB  là đường thẳng Xim-sơn MAB  C , D, K thẳng hàng Do tứ giác OBEM nội tiếp  MOE MBE DBE (1) Ta lại dễ dàng nhận thấy tứ giác DBKE nội tiếp Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp ABC Nối A2C  DBE DKE   Ta có: Do CC2 là phân giác góc C nên C2 A C2 B (2) Từ (1) và (2) suy FKE FOM FEK (do OM / / EK )  FEK cân F  FE FK Mà HKE vuông K  FH  FE  F cố định Mà F  CD  CD luôn qua điểm cố định   Tương tự: AA2 là phân giác góc A nên A2 B  A2C      Suy A2C  C2 A C2 B  A2 B  A2C2  A2 IC A2CI  A2 IC cân  A2 I  A2C (1) Chứng minh tương tự: A2 I  A2 B O Bài 3: Cho ABC có góc nhọn, nội tiếp đường tròn Các đường phân giác AA1; BB1 ; CC1 cắt đường tròn điểm thứ hai là A2 ; B2 ; C Tìm giá trị nhỏ của: Ta có: A2CA1 A1 AB A2 AC  A2 A1C A2CA  A2 A1 A2 A  A2C  A2 I  (do (1)) A2 A A2 I  A2 I A2 A1 (2) Do tứ giác ABA2C nội tiếp, áp dụng định lý Ptôlêmê: AA2 b  c  A2 I a c A2C  b.A2 B a AA2  (3) A2 A A2 I  b  c  A2 A  b  c       A I A A a A A    a  2 Từ (2) và (3) suy ra: B2 B  c  a  C2 C  a  b     ;  C2C1  c  Tương tự: B2 B1  b  2  b c   c a   a b   T        a   b   c  Trước hết, ta thấy các tứ giác AEBD, ADFC nội tiếp 2 Bunhyakovski     b c c a a b      a   b   c   M   ACD ACB AFD AFE   ABC AEF  g g  AED AEC ABD ABC Mà M , N là trung điểm các đoạn BC , EF  1 1 M   a  b  c      9  M 6  T 12 a b c BAM EAN  EAB NAM   ABM AEN   EA AB   NA AM  Dấu “=” xảy  a b c  ABC  EAB NAM (c.g c.)  AEB ANM 90 Vậy Tmin 12  ABC Bài 4: Cho ABC và điểm D là chân đường cao kẻ từ A xuống BC Đường thẳng EF qua D cho AEB AFC 90  E , F  D  Gọi M , N là trung điểm các đoạn BC , EF Chứng minh rằng: ANM 90