De thi chon HSG

A,p dông chøng minh víi mäi sè nguyªn n gi¸ trÞ c¶... chøng minh BD.CE= BC.[r]

§Ò kiÓm tra chän nguån häc sinh giái M«n to¸n N¨m häc 2009 – 2010 (Thêi gian lµm bµi 120 phót ) Bµi ( ®iÓm ) a Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: A = x4 - 6x3 + 27x2- 54x +32 b Áp dông chøng minh víi mäi sè nguyªn n gi¸ trÞ c¶ biÓu thøc A lµ sè ch½n A = n4 -6n3 +27n -54n +32 lµ sè ch½n Bµi ( ®iÓm )  4x x3  x  x  16  16 x  x  A     : x  x  x  x  x  x 1   Cho hai biÓu thøc : x2  x  B x 1 a Rót gän A , B b Với giá trị nào x thì A + B có giá trị lớn ? Tìm giá trị lớn đó Bµi ( ®iÓm ) 1 1 + + = a) Gi¶i ph¬ng tr×nh : 18 x +9 x +20 x + 11 x+30 x +13 x +42 b) Cho a , b , c lµ c¹nh cña mét tam gi¸c Chøng minh r»ng : A = b+ca− a + a+cb −b + a+bc − c ≥ Bµi ( ®iÓm ) Cho h×nh ch÷ nhËt ABCD ,vÏ BH vu«ng gãc víi AC (H AC) Gäi M,N lÇn lît lµ trung ®iÓm cña c¸c ®o¹n th¼ng AH vµ CD Chøng minh : BM MN Bµi ( ®iÓm ) Cho tam giác ABC , gọi M là trung điểm BC Một góc xMy 600 quay quanh ®iÓm M cho c¹nh Mx , My lu«n c¾t c¹nh AB vµ AC lÇn lît t¹i D vµ E Chøng minh : a) BD.CE= BC b) DM,EM lÇn lît lµ tia ph©n gi¸c cña c¸c gãc BDE vµ CED c) Chu vi tam giác ADE không đổi Bµi ( ®iÓm ) T×m tÊt c¶ c¸c tam gi¸c vu«ng cã sè ®o c¸c c¹nh lµ c¸c sè nguyªn d¬ng vµ sè ®o diÖn tÝch b»ng sè ®o chu vi §¸p ¸n vµ thang ®iÓm Bµi Néi dung Bµi a, Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö : (1,5 ®) A = x4 - 6x3 + 27x2- 54x +32 ®iÓm =(x - 1)(x3- 5x2 +22x -32) = ( x - 1)( x – )( x2-3x + 16) b A,p dông chøng minh víi mäi sè nguyªn n gi¸ trÞ c¶ ®iÓm 1® 0,5 ® biÓu thøc A lµ sè ch½n : 1,5 ® Víi ∀ n Z gi¸ trÞ c¶ biÓu thøc: A = n4 -6n3 +27n -54n +32 A = ( n - 1)( n – )( n2-3n + 16) ∀ n Z => n – , n – nguyªn liªn tiÕp Bµi ®iÓm Z => ( n - 1); ( n – ) lµ hai sè => ( n - 1)( n – ) ⋮ => ( n - 1)( n – ) = k víi k Z => A = 2k.( n2-3n + 16) => A lµ sè ch½n a Rót gän A : ( 1,5 ® ) §KX§ x 1 vµ x   4x x3  x  x  16  16 x  x  A     : x  x  x  x  x  x 1     x  x    16  x  1  x   x : A    2  x2  x  x  x 1  x  2   x   x  1  x   A   2 16 x  x 1  x  2  16 x 1 A  x  x 1 Rót gän B : ( ® ) §KX§ 0,5 ® 0,5 ® 0,5 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,5 ® 0,5 ® 0,25 ® x 1  x  1  x   x2  x  B  x 1  x  1  x  x  1 x+2 = x  x 1 b T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A + B : 1, 5® x 1 vµ x  ta cã Víi §KX§ 0,5 ® 0,25 ® 0,25 ® x 1 x2  x2  x 1 x2  x 1 A B  x  x 1 A B    x       A  B  1 3   x    2 4  đó : A + B  V×  3 VËy gi¸ trÞ lín nhÊt cña A + B lµ 0,25 ® 0,5 ® 0,5 ® 1 Khi đó x + = nê n x =3 2 ( tho¶ m·n §K) Bµi ®iÓm a) Gi¶i ph¬ng tr×nh : ®iÓm Ph©n tÝch c¸c mÉu : x2+9x+20 =(x+4)(x+5) ; x2+11x+30 =(x+6)(x+5) ; x2+13x+42 =(x+6)(x+7) ; 0,5 ® §KX§ : x ≠ − ; x ≠ −5 ; x ≠ − ; x ≠ −7 Ph¬ng tr×nh trë thµnh : <=> <=> ¿ 1 1 + + = ( x+ 4)(x +5) (x+5)(x +6) (x+6)(x +7) 18 ¿ 1 1 1 − + − + − = x + x +5 x +5 x +6 x+ x +7 18 0,5 ® 0,5 ® 1 − = x + x +7 18 <=> 18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4) <=> (x+13)(x-2)=0 Từ đó tìm đợc x=-13; x=2; 0,75 ® §èi chiÕu §K cã S = { -13; } 0,2 5® b Chøng minh r»ng :2 ®iÓm A= a b c + + ≥3 b+c − a a+c −b a+b − c §Æt b+c-a=x >0; c+a-b=y >0; a+b-c=z >0 Từ đó suy 0,5 y+z x+ z x+ y a= ; b= ; c= 2 0,25® ; 0,5 ® Thay vào ta đợc A= y + z + x + z + x+ y = ( y + x )+( x + z )+( y + z ) 2x 2y 2z A'p dông tÝnh chÊt a + b ≥ 2ab => 2 [ x y ] z x z y y x x z y z + ≥ ; + ≥2 ; + ≥ x y z x z y Từ đó suy A ≥ (2+2+2) hay A 0,5 ® 0,5 ® 0,25 ® Bµi diÓm 0,25® 1,5® 1,0 ® *Gäi E lµ trung ®iÓm cña BH DÔ thÊy tø gi¸c MECN lµ h×nh b×nh hµnh  MN// EC * c/m E lµ trùc t©m tam gi¸c MBC: AB BC ME //AB  ME  BC  E lµ trùc t©m cña tam gi¸cMBC * CEMB  MNMB 0,25 ® Bµi ®iÓm y A x E D B M C a chøng minh BD.CE= BC Trong tam gi¸c BDM ta cã : V× ^ M =600 nªn ta cã Suy 0,25 ® : ^ M 3=120 − ^ M1 0,25 ® ^ D 1= ^ M3 Chøng minh Δ BMD ∾ Δ CEM Suy : 1,5 ® ^ ^1 D1=120 − M BD CM = BM CE 0,25 ® (1) 0,5 ® , từ đó BD.CE=BM.CM V× BM=CM= BC 2 , nªn ta cã BD.CE= BC b.C/m : DM,EM lÇn lît lµ tia ph©n gi¸c cña c¸c gãc BDE vµ CED.(1 ®iÓm ) Tõ (1) suy BD MD = CM EM 0,25 ® mµ BM=CM nªn ta cã BD MD = BM EM Chøng minh 0,25 ® 0,25 ® Δ BMD ∾ ΔMED Từ đó suy ^ D 1= ^ D , đó DM là tia phân giác góc BDE Chøng minh t¬ng tù ta cã EM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc CED c) C/m : Chu vi tam giác ADE không đổi (1 điểm ) Gäi H, I, K lµ h×nh chiÕu cña M trªn AB, DE, AC Chøng minh DH = DI, EI = EK TÝnh chu vi tam gi¸c b»ng 2AH; KÕt luËn 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,5 ® 0,5 ® Bài Gọi các cạnh tam giác vuông là x , y , z ; đó cạnh huyền là z ®iÓm (x, y, z lµ c¸c sè nguyªn d¬ng ) Ta cã xy = 2(x+y+z) (1) vµ x2 + y2 = z2 (2) Tõ (2) suy z2 = (x+y)2 -2xy , thay (1) vµo ta cã : z2 = (x+y)2 - 4(x+y+z) z2 +4z =(x+y)2 - 4(x+y) 0,25 d 0,25 ® z2 +4z +4=(x+y)2 - 4(x+y)+4 (z+2)2=(x+y-2)2 , suy z+2 = x+y-2 z=x+y-4 ; thay vào (1) ta đợc : xy=2(x+y+x+y-4) <=> xy-4x-4y=-8 (x-4)(y-4)=8=1.8=2.4 Từ đó ta tìm đợc các giá trị x , y , z là : (x=5,y=12,z=13) ; (x=12,y=5,z=13) ; (x=6,y=8,z=10) ; (x=8,y=6,z=10) *Chú ý cách giải khác đúng cho điểm tối đa 0,5 ® 0,25® 0,25 ® 0,25 ® 0, 25 ®