b Tìm m để hàm số 1 có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó lập thành một tam giác có diện tích bằng 4.. Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác ABC vuông tại A, AB [r]
(1)TÔI SẼ ĐỖ ĐẠI HỌC ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2014 - Lần Môn: TOÁN; khối: A - A1 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề I.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu (2,0 điểm) Cho hàm số: y = x – 2mx + 2m + m (1), có đồ thị (C), m là tham số thực a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) m = b) Tìm m để hàm số (1) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó lập thành tam giác có diện tích Câu (1,0 điểm) Giải phương trình: sin7x – 2sin4x.sin3x – cosx = Câu (1,0 điểm) Giải phương trình: 2x – 9x + + + = (x R) Câu (1,0 điểm) Tính tích phân: I =(x + sinx).sinxdx Câu (1,0 điểm) Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác ABC vuông A, AB = a, BC = 2a, hình chiếu vuông góc A’ trên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm G tam giác ABC và góc AA’ tạo với mặt phẳng (ABC) 600 Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' và khoảng cách hai đường thẳng B’C’ và CA’ Câu (1,0 điểm) Cho a, b, c là ba số thực thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị lớn biểu thức: P= + + II.PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh làm hai phần riêng (phần A phần B) A Theo chương trình Chuẩn Câu 7a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân A, cạnh đáy BC có phương trình (d): x + y + = 0, phương trình đường cao kẻ từ B là (d): x – 2y – = Tìm tọa độ đỉnh A tam giác ABC biết điểm M(2;1) thuộc đường cao kẻ từ C Câu 8a (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(1;1;–1), B(1;1;2); C(–1;2;–2) và mặt phẳng (P) có phương trình x – 2y + 2z + = Viết phương trình mặt phẳng ( ) qua A, vuông góc với mặt phẳng (P) và cắt đoạn thẳng BC I cho IB = 2IC Câu 9a (1,0 điểm) Cho số phức z thỏa mãn (z + 2) = 19 – 4i Tìm môđun số phức w = z + z + B Theo chương trình Nâng cao Câu 7b (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có AC = 2BD, ngoại tiếp đường tròn (C): (x – 1) + (y + 1) = 20 và điểm B thuộc đường thẳng d: 2x – y – = Viết phương trình cạnh AB hình thoi biết B có hoành độ dương Câu 8b (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(–1; 2; 3) và phương trình mặt phẳng (P): x + 2y – z + = Đường thẳng d qua A cắt trục Ox điểm B, cắt mặt phẳng (P) điểm C cho AC = 2AB Tìm tọa độ điểm C Câu 9b (1,0 điểm) Tìm số phức z thỏa |z + 1| = |z + i| và z + là số thực - HẾT Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh: ĐÁP ÁN CHÍNH THỨC ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN - NĂM 2014 - KHỐI A Câu ( 2,0 điểm) Đáp án Cho hàm số: y = x – 2mx + 2m + m (1), có đồ thị (C), m là tham số thực a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) m = Với m = ta có: y = x - 2x + Tập xác định: D = R Sự biến thiên: y' = 4x - 4x, y' = Giới hạn: y = y = + Điểm 0.25 0.25 (2) (1,0 điểm) (1,0 điểm) Hàm số nghịch biến trên khoảng (-;-1) và (0;1) Hàm số đồng biến trên khoảng (-1;0) và (1;+) Hàm số đạt cực đại (0;3) và đạt cực tiểu (-1;2) và (1;2) Bảng biến thiên: 0.25 Đồ thị: 0.25 b) Tìm m để hàm số (1) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó lập thành tam giác có diện tích ■ Ta có y' = 4x - 4mx, y' = 0.25 Hàm số có cực trị y' = có nghiệm phân biệt m > ■Với điều kiện (*), phương trình y' = có nghiệm x = - , x = 0, x = 0.25 Hàm số đạt cực trị x, x, x Gọi là điểm cực trị đồ thị hàm số ■ Ta có AB = AC = m + m, BC = 4m ABC cân A 0.25 Gọi M là trung điểm BC M(0; m - m + 2m) AM = m Vì ABC cân A nên AM là đường cao, đó S = AM.BC ■ Ta có: S = AM.BC = 0.25 m=8 m = 32 = m = (thỏa (*) Vậy yêu cầu bài toán m = Giải phương trình: sin7x – 2sin4x.sin3x - cosx = (*) (*) sin7x - (cosx - cos7x) - cosx = 0.25 sin7x + cos7x = 2cosx 0.25 sin7x + cos7x = cosx cos(7x - ) = cosx 0.25 (k Z) (k Z) 0.25 Vậy phương trình (*) có hai họ nghiệm Giải phương trình: 2x – 9x + + + = (x R) Điều kiện x , phương trình đã cho trở thành: 0.25 2(x – 3x + 2) = (2x + - ) + (x - ) 2(x – 3x + 2) = + 0.25 2(x – 3x + 2) = + 0.25 Với x , ta có: 0.25 + + = + = < (*) vô nghiệm Vậy phương trình có hai nghiệm là x = hay x = (3) (1,0 điểm) (1,0 điểm) Tính tích phân: I = (x + sinx).sinxdx = xsinxdx + sinxdx = I + I 0.25 ■ Với I = sinxdx, đặt t = cosx dt = -sinxdx 0.25 Khi x = t = 0, x = t = và t = cosx sinx = - t Vậy I = -(1 - t)dt = (1 - t)dt = (t - ) = ■ Với I = xsinxdx, đặt 0.25 Vậy I = uv - vdu = (-xcosx) + cosxdx = (sinx) = Vậy I = I + I = 0.25 Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác ABC vuông A, cạnh AB = a, BC = 2a, hình chiếu vuông góc A’ trên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm G tam giác ABC và góc AA’ tạo với mặt phẳng (ABC) 600 Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' và khoảng cách hai đường thẳng B’C’ và CA’ Từ A'G (ABC) A'G là hình chiếu AA' lên (ABC) 0.25 Gọi M là trung điểm BC Từ giả thiết ta có: BC = 2a, AM = a, AG = = , A'G = AG.tan 60 = 0.25 0.25 Ta có: AC = , V = A'G.S = a.a = a(đvtt) Kẻ AK BC K và GI BC I GI // AK = = GI = = = Kẻ GH A’I H (1) (1,0 điểm) Do BC GH (2) Từ (1) và (2) GH (A'BC) d[G,(A'BC)] = GH Vì B'C' // BC, BC (A'BC) nên B'C' // (A'BC) và A'C (A'BC) d(B'C', A'C) = d(B'C',(A'BC)] = d[B',(A'BC)] Mặt khác ta thấy AB’ cắt mp(A’BC) N là trung điểm AB’ Do đó: d(B',(A'BC)] = d(A,(A'BC) = 3d(G,(A'BC)] = 3GH d(B'C'A'C)] = = = = d(B'C'A'C)] = Cho a, b, c là ba số thực thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị lớn biểu thức: 0.25 P= + + ■ Đặt x = , y = , z = Ta được: P = + + ■ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được: x + + + 4x và x + y 2xy x + 2x + 2y + 4x + 4xy + = 4(x + xy + 1) Chứng minh tương tự ta có y + 2y + 2z + 4(y + yz + 1) z + 2z + 2x + 4(z + zx + 1) Vậy P + + ■ Mà xyz = nên + + = + + = + + =1 ■ Do đó P Dấu xảy x = y = z a = b = c = Vậy Max P = a = b = c = 0.25 0.25 0.25 0.25 (4) 7.a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân A, cạnh đáy BC có phương trình (d): x + y + = 0, phương trình đường cao kẻ từ B là (d): x - 2y - = Tìm tọa độ đỉnh A tam giác ABC biết điểm M(2;1) thuộc đường cao kẻ từ C 0.25 Ta có B = BC d nên tọa độ B là nghiệm hệ phương trình B(0;-1) Gọi u = (1;1), u = (1;-2) lần lươt là vectơ pháp tuyến (VTPT) d và d Gọi phương trình d qua M(2;1) có dạng: y - y = k(x - x) (k ≠ 0) y = kx - 2k + kx - y - 2k + = (d) và (d) có VTPT là u = (k; -1) Ta có ABC là cân A cos(d; d) = cos(d;d) = = 2k - 5k + = Với k = d: x - 2y = (loại vì song song d, d và d phải cắt nhau) Với k = d: 2x - y - 3= (nhận) Khi đó C = d BC C(; ) AB d AB: x + 2y + m 8.a (1,0 điểm) 0.25 0.25 0.25 = 0, AB qua B(0; -1) m = AB: x + 2y + = AC d AC: 2x + y + n = 0, AC qua C(; ) n = AC: 6x + 3y + = Mặt khác A = AB AC A( ; ) Vậy tọa độ điểm A cần tìm là A( ; ) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(1;1;–1), B(1;1;2); C(–1;2;–2) và mặt phẳng (P) có phương trình x – 2y + 2z + = Viết phương trình mặt phẳng ( ) qua A, vuông góc với mặt phẳng (P) và cắt đoạn thẳng BC I cho IB = 2IC Ta có I = BC () nên I, B, C thẳng hàng, lại có IB = 2IC = –2 (*) 0.25 Gọi I(x ,y ,z) và = (x - 1,y - 1,z - 2) và = (x + 1,y - 2,z + 2) Từ (*) I(; ; ) 0.25 Gọi , vectơ pháp tuyến (VTPT) mặt phẳng () và (P) Ta có () qua A và I = (; ; ) (*) () (P) = (1; -2; 2) (**) 0.25 Từ (*), (**) nên ta chọn = ; = (2;3;2) Vậy phương trình () có dạng là: 2(x - 1) + 3(y - 1) + 2(z + 1) = 0.25 (5) 9.a (1,0 điểm) 7.b (1,0 điểm) Hay (): 2x + 3y + 2z - = Cho số phức z thỏa mãn (z + 2) = 19 - 4i Tìm môđun số phức w = z + z + Gọi z = x + yi (x, y R, i = -1) và = x - yi Ta có (z + 2) = 19 - 4i 0.25 [(x + 2) + yi ](x - yi) = 19 - 4i x(x + 2) + y - 2yi = 19 - 4i 0.25 Với z = + 2i ta có w = (3 + 2i) + (3 + 2i) + = + 14i |w| = 0.25 Với z = -5 + 2i ta có w = (-5 + 2i) + (-5 + 2i) + = 17 - 18i |w| = 0.25 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có AC = 2BD, ngoại tiếp đường tròn (C): (x – 1) + (y + 1) = 20 và điểm B thuộc đường thẳng d: 2x – y – = Viết phương trình cạnh AB hình thoi biết B có hoành độ dương 0.25 ■ Đường tròn (C) có tâm I(1;-1) và bán kính R = Đặt BI = x > Do AC = 2BD AI = 2BI = 2x Kẻ IH AB IH = R = ■ AIB có + = + = x = (do x > 0) 0.25 Suy IB = 5, Gọi B d B(t; 2t - 5) (t > 0) (t - 1) + (2t - 4) = 25 ■ Với b = B(4;3) Phương trình cạnh AB có dạng: a(x - 4) + b(y - 3) = (a + b > 0) 0.25 Có d(I,AB) = IH = R = 11a - 24ab + 4b = ■ Với a = 2b, chọn a = 2, b = 1, AB: 2x + y - 11 = 0.25 Với a = , chọn a = 2, b = 11, AB: 2x + 11y - 41 = Vậy phương trình cạnh AB là 2x + y - 11 = hay 2x + 11y - 41 = 8.b Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(–1; 2; 3) và phương trình mặt phẳng (P): x + 2y – z + (1,0 = Đường thẳng d qua A cắt trục Ox điểm B, cắt mặt phẳng (P) điểm C cho AC = 2AB điểm) Tìm tọa độ điểm C Ta có B = d Ox B(b; 0; 0) và C = d Ox C(x; y; z) 0.25 Vì A, B, C thẳng hàng và AC = 2AB nên có hai trường hợp xảy là 0.25 = - = Với = - 0.25 Mặt khác C (P) b = C(-5; 6; 9) Với = 0.25 Lại có C (P) b = - C(-1; -2; -3) Vậy tọa độ điểm cần tìm là C(-5; 6; 9) và C(-1; -2; -3) 9.b Câu 9b Tìm số phức z thỏa |z + 1| = |z + i| và z + là số thực (1,0 ■ Gọi z = x + yi (x, y R, i = -1) 0.25 điểm) Ta có: |z + 1| = |z + i| |(x + 1) + yi| = |x + (y + 1)i| = 2x + = 2y + x=y ■ Vậy z = x + xi 0.25 Ta có z + = x + xi + = x + xi + = (x + ) + (x - )i ■ Để z + là số thực phần ảo x - = x = Vậy có hai số phức z thỏa yêu cầu bài toán là z = + i hay z = - - i Thí sinh có cách giải khác đáp án đúng đáp số thì điểm tối đa 0.25 0.25 (6) (7)