Tài liệu Tuyºn tªp · thi tuyºn sinh ¤i håc tø 2002 ¸n 2009Mæn To¡nEditor: DongPhD About pdf

Tuyn têp à thi tuyn sinh Ôi hồc tứ 2002 án 2009 Mổn ToĂn Editor: DongPhD About VnMath.Com Ôi số Gi£i t½ch vnMath.com Dàch vư To¡n håc Gi¡o ¡n (Free) SĂch dichvutoanhoc@gmail.com Hẳnh hồc CĂc loÔi khĂc Thổng tin Bi bĂo bờ ẵch (Free) ToĂn hồc vui Kiám tiÃn trản mÔng giáo dục đào tạo Kỳ thi tuyển sinh đại học, cao ĐẳnG năm 2002 -Môn thi : toán Đề thức (Thời gian lµm bµi: 180 phót) _ Câu I (ĐH : 2,5 điểm; CĐ : 3,0 điểm) Cho hàm số : y = − x + 3mx + 3(1 − m ) x + m − m (1) ( m tham số) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = cã ba nghiƯm ph©n biƯt Tìm k để phơng trình: x + x + k − 3k = Viết phơng trình đờng thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số (1) Câu II.(ĐH : 1,5 điểm; CĐ: 2,0 điểm) 2 log x + log x + − 2m = Cho phơng trình : (2) ( m tham số) m = Giải phơng tr×nh (2) vn m m at at h h c c o om m Tìm m để phơng trình (2) có nghiệm thuộc đoạn [ ; 3 ] Câu III (ĐH : 2,0 điểm; CĐ : 2,0 điểm ) cos 3x + sin 3x Tìm nghiệm thuộc khoảng (0 ; ) phơng trình: sin x +  = cos x + + sin x   y =| x − x + | , y = x + Tính diện tích hình phẳng giới hạn đờng: Câu IV.( ĐH : 2,0 điểm; CĐ : 3,0 điểm) Cho hình chóp tam giác S ABC đỉnh S , có độ dài cạnh đáy a Gọi M N lần lợt trung điểm cạnh SB SC Tính theo a diện tích tam giác AMN , biết mặt phẳng ( AMN ) vuông góc với mặt phẳng ( SBC ) Trong không gian với hệ toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz cho hai đờng thẳng: x = 1+ t  x − 2y + z − =  vµ ∆ :  y = + t ∆1 :  x + y − 2z + =  z = + 2t a) Viết phơng trình mặt phẳng ( P) chứa đờng thẳng song song với đờng thẳng b) Cho điểm M (2;1;4) Tìm toạ độ điểm H thuộc đờng thẳng cho đoạn thẳng MH có độ dài nhỏ Câu V.( ĐH : 2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Đêcac vuông góc Oxy , xét tam giác ABC vuông A , phơng trình đờng thẳng BC x y = 0, đỉnh A B thuộc trục hoành bán kính đờng tròn nội tiếp Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác ABC Cho khai triển nhị thức: n n n −1 n −1 −x −  x2   −x   x −1   x −1   − x   x −1  − x  n n  +  = C n  2  + C n  2    + L + C n −1  2   + C n                             ( n số nguyên dơng) Biết khai triển C n = 5C n số hạng thứ t 20n , tìm n x HÕt Ghi chú: 1) Thí sinh thi cao đẳng không làm Câu V n 2) Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh: Sè b¸o danh: giáo dục đào tạo kỳ thi tuyển sinh đại học, cao Đẳng năm 2002 đề thức Môn thi : toán, Khối B (Thời gian lµm bµi : 180 phót) _ C©u I (ĐH : 2,0 điểm; CĐ : 2,5 điểm) y = mx + m − x + 10 Cho hàm số : Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = Tìm m để hàm số (1) có ba điểm cực trị ( ) (1) ( m tham số) Câu II (ĐH : 3,0 điểm; CĐ : 3,0 điểm) Giải phơng trình: sin x − cos x = sin x − cos x Gi¶i bất phơng trình: log x log (9 x 72) ( ) Giải hệ phơng trình: vn m m at at h h c c o om m  x− y = x− y    x + y = x + y + Câu III ( ĐH : 1,0 điểm; CĐ : 1,5 điểm) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đờng : x2 x2 y = y = 4 Câu IV.(ĐH : 3,0 điểm ; CĐ : 3,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy cho hình chữ nhật ABCD có tâm I ;0 , phơng trình đờng thẳng AB lµ x − y + = vµ AB = AD Tìm tọa độ đỉnh 2  A, B, C , D biÕt r»ng ®Ønh A có hoành độ âm Cho hình lập phơng ABCDA1 B1C1 D1 cã c¹nh b»ng a a) TÝnh theo a khoảng cách hai đờng thẳng A1 B vµ B1 D b) Gäi M , N , P lần lợt trung điểm cạnh BB1 , CD , A1 D1 TÝnh gãc gi÷a hai đờng thẳng MP C1 N Câu V (ĐH : 1,0 điểm) Cho đa giác A1 A2 L A2 n (n ≥ 2, n nguyªn ) néi tiếp đờng tròn (O ) Biết số tam giác có đỉnh 2n điểm A1 , A2 , L, A2 n nhiỊu gÊp 20 lÇn số hình chữ nhật có đỉnh 2n ®iĨm A1 , A2 , L, A2 n , t×m n HÕt Ghi chó : 1) ThÝ sinh chØ thi cao đẳng không làm Câu IV b) Câu V 2) Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh: Sè b¸o danh: Bộ giáo dục đào tạo Đề thức Kỳ thi Tuyển sinh đại học ,cao đẳng năm 2002 Môn thi : Toán, Khối D (Thời gian lµm bµi : 180 phót) _ CâuI ( ĐH : điểm ; CĐ : điểm ) y= Cho hµm sè : (1) ( m lµ tham sè ) x Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) ứng với m = -1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đờng cong (C) hai trục tọa độ Tìm m để đồ thị hàm số (1) tiếp xúc với đờng thẳng y = x Câu II ( ĐH : điểm ; CĐ : điểm ) Giải bất phơng trình : Giải hệ phơng trình : (x ) − 3x 2x − 3x − ≥ vn m m at at h h c c o om m (2m − 1)x − m 2 x = 5y − 4y  x  + x +1 = y  x  +2 Câu III ( ĐH : điểm ; CĐ : điểm ) Tìm x thuộc đoạn [ ; 14 ] nghiệm phơng trình : cos 3x − cos x + cos x − = Câu IV ( ĐH : điểm ; CĐ : điểm ) Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt ph¼ng (ABC); AC = AD = cm ; AB = cm ; BC = cm TÝnh khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (BCD) Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz, cho mặt phẳng (P) : 2x y + = (2 m + 1)x + (1 − m )y + m = đờng thẳng d m : ( m tham số ) mx + (2 m + 1)z + m + = Xác định m để đờng thẳng d m song song với mặt phẳng (P) Câu V (ĐH : điểm ) Tìm số nguyên dơng n cho C + 2C + 4C + + n C n = 243 n n n n Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy , cho elip (E) có phơng trình x2 y2 + = Xét điểm M chuyển động tia Ox điểm N chuyển động tia Oy cho 16 đờng thẳng MN tiếp xúc với (E) Xác định tọa ®é cđa M , N ®Ĩ ®o¹n MN cã ®é dài nhỏ Tính giá trị nhỏ -HÕt Chó ý : Thí sinh thi cao đẳng không làm câu V Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh : Sè b¸o danh giáo dục đào tạo - ý I Néi dung §H m = ⇒ y = − x + 3x x = y' = x2 = Tập xác định ∀x ∈ R y ' = −3x + x = −3x( x − 2) , C§ ∑1,0 ® ∑1,5 ® 0,25 ® 0,5® 0,5 ® 0,5 ® 0,25 ® y" = −6 x + = 0, 0,5 đ y" = x = Bảng biÕn thiªn −∞ x − y' + y" y +∞ lâm CT x = y=0⇔ , x = Đồ thị: y vn m m at at h h c c o om m C©u Kỳ thi tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2002 Đáp án thang điểm môn toán khối A +∞ + 0 − U C§ låi − −∞ y (−1) = 4 -1 x ( ThÝ sinh cã thÓ lập bảng biến thiên) I Cách I Ta cã − x + x + k − 3k = ⇔ − x + x = −k + 3k Đặt a = k + 3k Dựa vào đồ thị ta thấy phơng trình x + x = a cã nghiÖm ph©n biƯt ⇔ < a < ⇔ < − k + 3k <  −1 < k < 0≠k C¸ch II Ta cã − x + x + k − 3k = ⇔ ( x − k ) x + (k − 3) x + k − 3k ] = cã nghiƯm ph©n biƯt ⇔ f ( x) = x + (k − 3) x + k − 3k = cã nghiƯm ph©n biƯt kh¸c k  ∆ = −3k + 6k + >  −1 < k < ⇔ ⇔  2 k ≠ ∧ k ≠ k + k − 3k + k − 3k ≠ vn m m at at h h c c o om m [ C¸ch I  x = m −1 y' = ⇔   x2 = m + Ta thÊy x1 x y ' đổi dấu qua x1 x hàm số đạt cực trị x1 x y1 = y ( x1 ) = − m + 3m − vµ y = y ( x ) = m + 3m + Phơng trình đờng thẳng qua điểm cực trị M m − 1;− m + 3m − vµ M m + 1;− m + 3m + lµ: y ' = −3x + 6mx + 3(1 − m ) = −3( x − m) + , ( ) ( ) x − m + y + m − 3m + = ⇔ y = 2x − m2 + m ' Ta thÊy C¸ch II y = −3x + 6mx + 3(1 − m ) = −3( x − m) + , 2 ∆' = 9m + 9(1 − m ) = > ⇒ y ' = cã nghiÖm x1 x y ' đổi dấu qua x1 x hàm số đạt cực trị x1 x Ta có y = − x + 3mx + 3(1 − m ) x + m − m m 1 =  x −  − 3x + 6mx + − 3m + x − m + m 3 Từ ta có y1 = x1 − m + m vµ y = x − m + m Vậy phơng trình đờng thẳng qua điểm cực trị y = x m + m ( II ) Víi m = ta cã log x + log x + − = 3 ∑ 0,5 ® ∑ 0,5 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® - - 0,25® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® ∑1,0 ® ∑1,0 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® - 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® ∑ 0,5 đ 1,0 đ 0,25 đ 0,5 đ Điều kiện x > Đặt t = log x + ≥ ta cã t −1+ t − = ⇔ t + t − = t = −3 ⇔1  t2 = t1 = −3 (lo¹i) , t = ⇔ log x = ⇔ log x = ± ⇔ x = ± 0,25 ® 0,5 ® x = ± tháa m·n ®iỊu kiƯn x > (Thí sinh giải trực tiếp đặt ẩn phụ kiểu khác) 1,0 đ 1,0 đ log x + log x + − 2m − = (2) 3 §iỊu kiƯn x > Đặt t = log x + ≥ ta cã t − + t − m − = ⇔ t + t − 2m − = (3) 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® - 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® x ∈ [1,3 ] ⇔ ≤ log x ≤ ⇔ ≤ t = log x + ≤ vn m m at at h h c c o om m VËy (2) cã nghiÖm ∈ [1,3 ] vµ chØ (3) cã nghiƯm [ 1,2 ] Đặt f (t ) = t + t Cách Hàm số f (t ) hàm tăng đoạn [1; 2] Ta có f (1) = vµ f (2) = Phơng trình t + t = 2m + ⇔ f (t ) = 2m + cã nghiÖm ∈ [1;2]  f (1) ≤ 2m + 2 ≤ m + ⇔ ⇔ ⇔ ≤ m ≤  f (2) ≥ 2m + 2 m + Cách TH1 Phơng tr×nh (3) cã nghiƯm t1 ,t tháa m·n < t1 ≤ t < t +t Do = − < nªn không tồn m 2 TH2 Phơng trình (3) cã nghiÖm t1 ,t tháa m·n t1 ≤ ≤ t ≤ hc ≤ t1 ≤ ≤ t ⇔ −2m(4 − 2m ) ≤ ⇔ ≤ m ≤ (Thí sinh dùng đồ thị, đạo hàm đặt ẩn phụ kiểu khác ) III cos x + sin 3x    sin x +  = cos x + §iỊu kiƯn sin x ≠ − + sin x   cos 3x + sin 3x   sin x + sin x sin x + cos x + sin x   Ta cã  sin x +   = 5 + sin x  + sin x     sin x + cos x − cos x + cos x + sin x   (2 sin x + 1) cos x  =5   =5  = cos x + sin x    + sin x  VËy ta cã: cos x = cos x + ⇔ cos x − cos x + = π cos x = (loại) cos x = x = ± + 2kπ (k ∈ Z ) ∑1,0 ® ∑1,0 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 5π π vµ x = Ta thÊy x1 , x tháa m·n ®iỊu 3 5π π kiƯn sin x Vậy nghiệm cần tìm là: x1 = x = 3 (ThÝ sinh cã thĨ sư dơng c¸c phÐp biến đổi khác) Vì x (0 ; ) nên lấy x1 = y 0,25 đ 0,25 đ ∑1,0 ® ∑1,0 ® vn m m at at h h c c o om m -1 -1 x Ta thÊy phơng trình | x x + |= x + cã nghiÖm x1 = x = Mặt khác | x − x + |≤ x + ∀ x ∈ [0;5] VËy ( ) ( ) ( 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25® 0,25® ∑1® ∑1® ) S = ∫ x + 3− | x − x + | dx = ∫ x + − x + x − dx + ∫ x + + x − x + dx 0 ( ) + ∫ x + − x + x − dx ( ) ( ) ( ) S = ∫ − x + x dx + ∫ x − x + dx + ∫ − x + x dx 1 3 5     1  S =  − x3 + x  +  x3 − x + 6x  +  − x3 + x  0 3 2 3 1   13 26 22 109 S= + + = (®.v.d.t) 3 (Nếu thí sinh vẽ hình không thiết phải nêu bất đẳng thức | x x + |≤ x + ∀ x ∈ [0;5] ) IV S N I M 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® K vn m m at at h h c c o om m A C B Gọi K trung điểm BC I = SK ∩ MN Tõ gi¶ thiÕt a ⇒ MN = BC = , MN // BC ⇒ I trung điểm SK MN 2 Ta cã ∆SAB = ∆SAC ⇒ hai trung tuyÕn tơng ứng AM = AN AMN cân A ⇒ AI⊥MN (SBC )⊥( AMN )  (SBC ) ( AMN ) = MN Mặt khác ⇒ AI⊥(SBC ) ⇒ AI⊥SK AI ⊂ ( AMN ) AIMN Suy SAK cân A ⇒ SA = AK = a 3a a a SK = SB − BK = − = 4 2 2  SK  ⇒ AI = SA − SI = SA −   =   Ta cã S ∆AMN 3a a a 10 − = a 10 = MN AI = (®vdt) 16 chó ý 1) Cã thĨ chøng minh AI⊥MN nh− sau: BC⊥(SAK ) ⇒ MN⊥(SAK ) ⇒ MN⊥AI 2) Cã thể làm theo phơng pháp tọa độ: Chẳng hạn chọn hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz cho a   a   −a   −a  K (0;0;0), B ;0;0 , C  − ;0;0 , A 0; ;0 , S  0; ;h    2    h độ dài đờng cao SH hình chóp S ABC BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2009 Mơn thi: TỐN; Khối: A ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút, khơng kể thời gian phát đề PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm): Câu I (2,0 điểm) x+2 Cho hàm số y = (1) 2x + Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến cắt trục hoành, trục tung hai điểm phân biệt A , B tam giác OAB cân gốc toạ độ O Câu II (2,0 điểm) (1 − 2sin x ) cos x = Giải phương trình (1 + 2sin x )(1 − sin x ) Giải phương trình 3x − + − x − = ( x ∈ Câu III (1,0 điểm) ) π Tính tích phân I = ∫ ( cos3 x − 1) cos x dx vn m m at at h h c c o om m Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D; AB = AD = 2a , CD = a; góc hai mặt phẳng ( SBC ) ( ABCD ) 60 Gọi I trung điểm cạnh AD Biết hai mặt phẳng ( SBI ) ( SCI ) vng góc với mặt phẳng ( ABCD ) , tính thể tích khối chóp S ABCD theo a Câu V (1,0 điểm) Chứng minh với số thực dương x, y, z thoả mãn x ( x + y + z ) = yz , ta có: ( x + y) + ( x + z) + ( x + y )( x + z )( y + z ) ≤ ( y + z ) PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh làm hai phần (phần A B) A Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có điểm I (6;2) giao điểm hai đường 3 chéo AC BD Điểm M (1;5 ) thuộc đường thẳng AB trung điểm E cạnh CD thuộc đường thẳng Δ : x + y − = Viết phương trình đường thẳng AB Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng (S ) : x ( P ) : x − y − z − = phẳng ( P ) cắt mặt cầu ( S ) mặt cầu + y + z − x − y − z − 11 = Chứng minh mặt đường tròn Xác định toạ độ tâm tính bán kính đường trịn Câu VII.a (1,0 điểm) 2 theo 2 Gọi z1 z hai nghiệm phức phương trình z + z + 10 = Tính giá trị biểu thức A = z1 + z2 B Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho đường tròn ( C ) : x + y + x + y + = đường thẳng Δ : x + my − 2m + = 0, với m tham số thực Gọi I tâm đường trịn ( C ) Tìm m để Δ cắt ( C ) hai điểm phân biệt A B cho diện tích tam giác IAB lớn Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x − y + z − = hai đường thẳng x +1 y z + x −1 y − z +1 = = = = , Δ2 : Xác định toạ độ điểm M thuộc đường thẳng Δ1 cho −2 1 khoảng cách từ M đến đường thẳng Δ khoảng cách từ M đến mặt phẳng ( P ) Câu VII.b (1,0 điểm) ⎧log ( x + y ) = + log ( xy ) ⎪ Giải hệ phương trình ⎨ ( x, y ∈ ) ⎪3x − xy + y = 81 ⎩ Hết -Δ1 : 119 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2009 Mơn: TỐN; Khối: B Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y = x − x (1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) Với giá trị m, phương trình x | x − | = m có nghiệm thực phân biệt ? Câu II (2,0 điểm) Giải phương trình sin x + cos x sin x + cos3x = 2(cos x + sin x) vn m m at at h h c c o om m ⎧ xy + x + = y ( x, y ∈ ) Giải hệ phương trình ⎨ 2 ⎩ x y + xy + = 13 y Câu III (1,0 điểm) 3 + ln x Tính tích phân I = ∫ dx ( x + 1) Câu IV (1,0 điểm) Cho hình lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' có BB ' = a, góc đường thẳng BB ' mặt phẳng ( ABC) 60 ; tam giác ABC vuông C BAC = 60 Hình chiếu vng góc điểm B ' lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trọng tâm tam giác ABC Tính thể tích khối tứ diện A ' ABC theo a Câu V (1,0 điểm) Cho số thực x, y thay đổi thoả mãn ( x + y )3 + xy ≥ Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = 3( x + y + x y ) − 2( x + y ) + PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh làm hai phần (phần A B) A Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2,0 điểm) hai đường thẳng Δ1 : x − y = 0, Δ : x − y = Xác định toạ độ tâm K tính bán kính đường trịn (C1 ); biết đường tròn (C1 ) tiếp xúc với đường thẳng Δ1 , Δ tâm K thuộc đường trịn (C ) Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz , cho tứ diện ABCD có đỉnh A(1;2;1), B (−2;1;3), C (2; −1;1) D(0;3;1) Viết phương trình mặt phẳng ( P ) qua A, B cho khoảng cách từ C đến ( P ) khoảng cách từ D đến ( P ) Câu VII.a (1,0 điểm) Tìm số phức z thoả mãn: z − (2 + i ) = 10 z.z = 25 B Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân A có đỉnh A(−1;4) đỉnh B, C thuộc đường thẳng Δ : x − y − = Xác định toạ độ điểm B C , biết diện tích tam giác ABC 18 Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x − y + z − = hai điểm A(−3;0;1), B (1; −1;3) Trong đường thẳng qua A song song với ( P ), viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng nhỏ Câu VII.b (1,0 điểm) x2 − Tìm giá trị tham số m để đường thẳng y = − x + m cắt đồ thị hàm số y = hai điểm phân biệt x A, B cho AB = Hết -1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C ) : ( x − 2) + y = 120 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2009 Mơn: TỐN; Khối: D Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề ĐỀ CHÍNH THỨC PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y = x − (3m + 2) x + 3m có đồ thị (Cm ), m tham số Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho m = Tìm m để đường thẳng y = −1 cắt đồ thị (Cm ) điểm phân biệt có hồnh độ nhỏ Câu II (2,0 điểm) Giải phương trình cos5 x − 2sin 3x cos x − sin x = ⎧ x( x + y + 1) − = ⎪ ( x, y ∈ ) Giải hệ phương trình ⎨ ⎪( x + y ) − x + = ⎩ Câu III (1,0 điểm) dx e −1 Tính tích phân I = ∫ x vn m m at at h h c c o om m Câu IV (1,0 điểm) Cho hình lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vuông B, AB = a, AA ' = 2a, A ' C = 3a Gọi M trung điểm đoạn thẳng A ' C ', I giao điểm AM A ' C Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( IBC ) Câu V (1,0 điểm) Cho số thực không âm x, y thay đổi thoả mãn x + y = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức S = (4 x + y )(4 y + 3x) + 25 xy PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh làm hai phần (phần A B) A Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có M (2;0) trung điểm cạnh AB Đường trung tuyến đường cao qua đỉnh A có phương trình x − y − = x − y − = Viết phương trình đường thẳng AC Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm A(2;1;0), B (1;2;2), C (1;1;0) mặt phẳng ( P) : x + y + z − 20 = Xác định toạ độ điểm D thuộc đường thẳng AB cho đường thẳng CD song song với mặt phẳng ( P ) Câu VII.a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện | z − (3 − 4i ) |= B Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C ) : ( x − 1)2 + y = Gọi I tâm (C ) Xác định toạ độ điểm M thuộc (C ) cho IMO = 30 x+2 y−2 z = = mặt phẳng 1 −1 ( P ) : x + y − z + = Viết phương trình đường thẳng d nằm ( P) cho d cắt vng góc với đường thẳng Δ Câu VII.b (1,0 điểm) x2 + x − hai điểm phân Tìm giá trị tham số m để đường thẳng y = −2 x + m cắt đồ thị hàm số y = x biệt A, B cho trung điểm đoạn thẳng AB thuộc trục tung Hết -2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho đường thẳng Δ : 121 ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2009 Mơn: TỐN; Khối A (Đáp án - thang điểm gồm 04 trang) BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ĐỀ CHÍNH THỨC ĐÁP ÁN − THANG ĐIỂM Câu Điểm (1,0 điểm) Khảo sát… • Tập xác định: D = • Sự biến thiên: ⎧ 3⎫ \ ⎨− ⎬ ⎩ 2⎭ - Chiều biến thiên: y ' = −1 ( x + 3) < 0, ∀x ∈ D 0,25 3⎞ ⎛ ⎛ ⎞ Hàm số nghịch biến trên: ⎜ −∞; − ⎟ ⎜ − ; +∞ ⎟ 2⎠ ⎝ ⎝ ⎠ - Cực trị: khơng có vn m m at at h h c c o om m I (2,0 điểm) Đáp án - Giới hạn tiệm cận: lim y = lim y = x →−∞ x →+∞ 1 ; tiệm cận ngang: y = 2 lim − y = −∞, lim + y = +∞ ; tiệm cận đứng: x = − ⎛ 3⎞ ⎛ 3⎞ x →⎜ − ⎟ x →⎜ − ⎟ ⎝ 2⎠ - Bảng biến thiên: ⎝ 2⎠ x −∞ y' y − − +∞ +∞ − x=− y= 0,25 −∞ • Đồ thị: 0,25 y 0,25 O x (1,0 điểm) Viết phương trình tiếp tuyến… Tam giác OAB vuông cân O, suy hệ số góc tiếp tuyến ±1 Gọi toạ độ tiếp điểm ( x0 ; y0 ) , ta có: −1 = ±1 ⇔ x0 = −2 x0 = −1 (2 x0 + 3) 0,25 0,25 • x0 = −1 , y0 = ; phương trình tiếp tuyến y = − x (loại) 0,25 • x0 = −2 , y0 = ; phương trình tiếp tuyến y = − x − (thoả mãn) Vậy, tiếp tuyến cần tìm: y = − x − 0,25 122 Câu II (2,0 điểm) Đáp án Điểm (1,0 điểm) Giải phương trình… (*) Với điều kiện trên, phương trình cho tương đương: (1 − 2sin x)cos x = 3(1 + 2sin x)(1 − sin x) Điều kiện: sin x ≠ sin x ≠ − 0,25 π⎞ π⎞ ⎛ ⎛ ⇔ cos x − sin x = sin x + cos x ⇔ cos ⎜ x + ⎟ = cos ⎜ x − ⎟ 3⎠ 6⎠ ⎝ ⎝ 2π π π ⇔ x = + k 2π x = − + k 18 0,25 Kết hợp (*), ta nghiệm: x = − π 18 +k 2π (k ∈ ) 0,25 0,25 (1,0 điểm) Giải phương trình… vn m m at at h h c c o om m ⎧2u + 3v = Đặt u = 3 x − v = − x , v ≥ (*) Ta có hệ: ⎨ ⎩5u + 3v = 8 − 2u ⎧ − 2u ⎧ ⎪v = ⎪v = ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ 3 ⎪(u + 2)(15u − 26u + 20) = ⎪15u + 4u − 32u + 40 = ⎩ ⎩ 0,25 0,25 ⇔ u = −2 v = (thoả mãn) Thế vào (*), ta nghiệm: x = −2 III 0,25 0,25 Tính tích phân… (1,0 điểm) π π 2 0 0,25 I = ∫ cos5 xdx − ∫ cos x dx Đặt t = sin x, dt = cos xdx; x = 0, t = 0; x = π π 2 0 π I1 = ∫ cos5 xdx = ∫ (1 − sin x ) cos xdx = ∫ (1 − t π , t = ) 2 π 1 ⎞ ⎛ dt = ⎜ t − t + t ⎟ = ⎠ 15 ⎝ π 12 1⎛ π ⎞2 π I = ∫ cos x dx = ∫ (1 + cos x ) dx = ⎜ x + sin x ⎟ = Vậy I = I1 − I = − 20 2⎝ 15 ⎠0 IV 0,50 0,25 Tính thể tích khối chóp (1,0 điểm) ( SIB ) ⊥ ( ABCD) ( SIC ) ⊥ ( ABCD); suy SI ⊥ ( ABCD) S Kẻ IK ⊥ BC ( K ∈ BC ) ⇒ BC ⊥ ( SIK ) ⇒ SKI = 60 A B 0,50 I D C K Diện tích hình thang ABCD : S ABCD = 3a 3a 3a ; suy S ΔIBC = 2 2S 5a 15a ⇒ SI = IK tan SKI = BC = ( AB − CD ) + AD = a ⇒ IK = ΔIBC = BC 5 15a Thể tích khối chóp S ABCD : V = S ABCD SI = Tổng diện tích tam giác ABI CDI 0,25 0,25 123 Câu V (1,0 điểm) Đáp án Điểm Chứng minh bất đẳng thức… Đặt a = x + y, b = x + z c = y + z Điều kiện x( x + y + z ) = yz trở thành: c = a + b − ab Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương: a3 + b3 + 3abc ≤ 5c3 ; a, b, c dương thoả mãn điều kiện c = a + b − ab = (a + b) − 3ab ≥ (a + b) − (a + b) = (a + b) ⇒ a + b ≤ 2c (1) 4 0,25 0,25 a + b3 + 3abc ≤ 5c ⇔ (a + b)(a + b − ab) + 3abc ≤ 5c ⇔ (a + b)c + 3abc ≤ 5c ⇔ (a + b)c + 3ab ≤ 5c 0,25 (1) cho ta: (a + b)c ≤ 2c 3ab ≤ (a + b) ≤ 3c ; từ suy điều phải chứng minh Dấu xảy khi: a = b = c ⇔ x = y = z (2,0 điểm) (1,0 điểm) Viết phương trình AB vn m m at at h h c c o om m VI.a 0,25 Gọi N đối xứng với M qua I , suy N (11; −1) N thuộc đường thẳng CD A M B I D E N 0,25 E ∈ Δ ⇒ E ( x;5 − x ) ; IE = ( x − 6;3 − x ) NE = ( x − 11;6 − x) E trung điểm CD ⇒ IE ⊥ EN C IE.EN = ⇔ ( x − 6)( x − 11) + (3 − x)(6 − x) = ⇔ x = x = 0,25 • x = ⇒ IE = ( 0; −3) ; phương trình AB : y − = 0,25 • x = ⇒ IE = (1; −4 ) ; phương trình AB : x − y + 19 = 0,25 (1,0 điểm) Chứng minh ( P) cắt ( S ), xác định toạ độ tâm tính bán kính… ( S ) có tâm I (1;2;3), bán kính R = Khoảng cách từ I đến ( P) : d ( I ,( P) ) = 2− 4−3− = < R; suy đpcm 0,25 Gọi H r tâm bán kính đường trịn giao tuyến, H hình chiếu vng góc I ( P) : IH = d ( I ,( P) ) = 3, r = R − IH = 0,25 ⎧ x = + 2t ⎪ y = − 2t ⎪ Toạ độ H = ( x; y; z ) thoả mãn: ⎨ ⎪z = − t ⎪ ⎩ x − y − z − = Giải hệ, ta H (3; 0; 2) VII.a (1,0 điểm) 0,25 0,25 Tính giá trị biểu thức… Δ = −36 = 36i , z1 = −1 + 3i z2 = −1 − 3i 0,25 | z1 | = (−1)2 + 32 = 10 | z2 | = (−1)2 + (−3)2 = 10 0,50 124 Câu Đáp án Điểm A = | z1 | + | z2 | = 20 VI.b (2,0 điểm) 0,25 (1,0 điểm) Tìm m (C ) có tâm I (−2; −2), bán kính R = 0,25 1 IA.IB.sin AIB ≤ R = 1; S lớn IA ⊥ IB 2 −2 − m − m + R =1 ⇔ Khi đó, khoảng cách từ I đến Δ : d ( I , Δ) = =1 + m2 Diện tích tam giác IAB : S = ⇔ (1 − 4m ) = + m ⇔ m = m = 15 0,25 0,25 0,25 (1,0 điểm) Xác định toạ độ điểm M Δ qua A(1;3; −1) có vectơ phương u = (2;1; −2) M ∈ Δ1 ⇒ M (−1 + t ; t; −9 + 6t ) 0,25 vn m m at at h h c c o om m ⎡ ⎤ MA = (2 − t ;3 − t ;8 − 6t ), ⎣ MA, u ⎦ = (8t − 14; 20 − 14t ; t − 4) ⇒ ⎡ MA, u ⎤ = 29t − 88t + 68 ⎣ ⎦ Khoảng cách từ M đến Δ : d ( M , Δ ) = ⎡ MA, u ⎤ ⎣ ⎦ = 29t − 88t + 68 u Khoảng cách từ M đến ( P ) : d ( M ,( P) ) = 29t − 88t + 68 = 11t − 20 t = ⇒ M (0;1; −3); t = VII.b (1,0 điểm) Giải hệ phương trình… −1 + t − 2t + 12t − 18 − 1 + ( −2 ) + 2 2 = ⇔ 35t − 88t + 53 = ⇔ t = t = 53 ⎛ 18 53 ⎞ ⇒ M ⎜ ; ; ⎟ 35 ⎝ 35 35 35 ⎠ ⎧ x + y = xy ⎪ Với điều kiện xy > (*), hệ cho tương đương: ⎨ 2 ⎪ x − xy + y = ⎩ ⎧x = y ⎧x = y ⇔ ⎨ ⇔⎨ ⎩ y = ±2 ⎩y = Kết hợp (*), hệ có nghiệm: ( x; y ) = (2;2) ( x; y ) = (−2; −2) 11t − 20 53 35 0,25 0,25 0,25 0,25 0,50 0,25 -Hết - 125 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ĐỀ CHÍNH THỨC ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2009 Mơn thi: TỐN; Khối: B (Đáp án - thang điểm gồm 04 trang) ĐÁP ÁN − THANG ĐIỂM Câu Điểm (1,0 điểm) Khảo sát… • Tập xác định: D = • Sự biến thiên: 0,25 - Chiều biến thiên: y ' = x3 − x; y ' = ⇔ x = x = ±1 Hàm số nghịch biến trên: ( −∞ ; − 1) (0;1); đồng biến trên: ( −1;0) (1; + ∞) - Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu x = ±1, yCT = −2; đạt cực đại x = 0, yCĐ = 0,25 - Giới hạn: lim y = lim y = +∞ x →−∞ x →+∞ - Bảng biến thiên: vn m m at at h h c c o om m I (2,0 điểm) Đáp án x −∞ −1 y' − + − +∞ y +∞ +∞ 0,25 −2 −2 • Đồ thị: + y 16 −1 O −2 (1,0 điểm) Tìm m 0,25 x −2 x x − = m ⇔ x − x = 2m 0,25 Phương trình có nghiệm thực phân biệt đường thẳng y = 2m cắt đồ thị hàm số y = x − x điểm phân biệt Đồ thị hàm số y = x − x 0,25 y 16 đường thẳng y = 2m 0,25 −2 −1 y = 2m O x Dựa vào đồ thị, yêu cầu toán thoả mãn khi: < 2m < ⇔ < m < 0,25 126 Câu II (2,0 điểm) Đáp án (1,0 điểm) Giải phương trình… Phương trình cho tương đương: (1 − 2sin x)sin x + cos x sin x + cos3 x = cos x ⇔ sin x cos x + cos x sin x + cos3 x = 2cos x π⎞ ⎛ ⇔ sin 3x + cos3x = 2cos x ⇔ cos ⎜ 3x − ⎟ = cos x 6⎠ ⎝ ⇔ x = 3x − Vậy: x = − π π + k 2π x = −3x + + k 2π x = π +k 42 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình… π 2π (k ∈ ) 0,25 ⎧⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎪⎜ x + ⎟ + ⎜ x + ⎟ − 20 = y⎠ ⎝ y⎠ ⎪ ⇔ ⎨⎝ ⎛ x 1⎞ 1⎞ ⎪x ⎟ − = 13 ⎪y = 7−⎜x+ y ⎟ y⎠ y ⎝ ⎠ ⎩ 1⎞ x ⎟+ =7 y⎠ y 1 ⎧ ⎧ ⎪ x + = −5 ⎪x + = y y (I) ⎨ (II) ⇔ ⎨ ⎪ x = 12 y ⎪x = 3y ⎩ ⎩ ⎛ 1⎞ (I) vơ nghiệm; (II) có nghiệm: ( x; y ) = ⎜1; ⎟ ( x; y ) = (3;1) ⎝ 3⎠ ⎛ 1⎞ Vậy: ( x; y ) = ⎜1; ⎟ ( x; y ) = (3;1) ⎝ 3⎠ (1,0 điểm) Tính tích phân… u = + ln x, dv = 1 dx ; du = dx, v = − ( x + 1) x x +1 3 + ln x dx I =− +∫ x + 1 x( x + 1) =− = IV 0,25 0,25 vn m m at at h h c c o om m ⎧⎛ ⎪⎜ x + ⎪⎝ ⇔ ⎨ ⎪⎛ ⎪⎜ x + ⎩⎝ 0,25 + k 2π x ⎧ ⎪x + y + y = ⎪ Hệ cho tương đương: ⎨ (do y = không thoả mãn hệ cho) ⎪ x + x + = 13 ⎪ y y2 ⎩ III Điểm 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 3 + ln 3 dx + + ∫ dx − ∫ x +1 1x 0,25 3 − ln 1⎛ 27 ⎞ + ln x − ln x + 1 = ⎜ + ln ⎟ 16 ⎠ 4⎝ 0,25 Tính thể tích khối chóp… (1,0 điểm) B' A' C' Gọi D trung điểm AC G trọng tâm tam giác ABC ta có B ' G ⊥ ( ABC ) ⇒ B ' BG = 60 3a a a BG = ⇒ BD = A B AB AB AB G D Tam giác ABC có: BC = , AC = ⇒ CD = 2 C AB AB 9a 3a 13 3a 13 9a BC + CD = BD ⇒ + = ⇒ AB = , AC = ; S ΔABC = 13 26 104 16 16 ⇒ B ' G = B ' B.sin B ' BG = 0,50 0,25 127 Câu V (1,0 điểm) Đáp án Điểm 9a Thể tích khối tứ diện A ' ABC : VA ' ABC = VB ' ABC = B ' G.SΔABC = 208 Tìm giá trị nhỏ biểu thức… 0,25 Kết hợp ( x + y )3 + xy ≥ với ( x + y )2 ≥ xy suy ra: ( x + y )3 + ( x + y )2 ≥ ⇒ x + y ≥ 0,25 ( x + y ) + ( x4 + y ) − 2( x2 + y ) +1 2 2 3 ≥ ( x + y ) + ( x + y ) − 2( x + y ) + ⇒ A ≥ ( x + y ) − ( x + y ) + 4 0,25 ( x + y)2 ≥ ⇒ t ≥ ; A ≥ t − 2t + 2 9 ⎛1⎞ Xét f (t ) = t − 2t + 1; f '(t ) = t − > với t ≥ ⇒ f (t ) = f ⎜ ⎟ = ⎡1 ⎞ 2 ⎝ ⎠ 16 ⎢ ; +∞ ⎟ 0,25 A = 3( x + y + x y ) − 2( x + y ) + = Đặt t = x + y , ta có x + y ≥ ⎣2 VI.a 9 ; đẳng thức xảy x = y = Vậy, giá trị nhỏ A 16 16 vn m m at at h h c c o om m A≥ ⎠ 0,25 (1,0 điểm) Xác định toạ độ tâm K (2,0 điểm) Gọi K (a; b); K ∈ (C ) ⇔ (a − 2) + b = (1); (C1 ) tiếp xúc Δ1 , Δ ⇔ a−b = a − 7b (2) 0,25 ⎧5(a − 2) + 5b = ⎧5(a − 2)2 + 5b = ⎧5(a − 2) + 5b = ⎪ (1) (2), cho ta: ⎨ (I) ⎨ (II) ⇔ ⎨ ⎪5 a − b = a − 7b ⎩5(a − b) = a − 7b ⎩5(a − b) = 7b − a ⎩ 0,25 ⎧25a − 20a + 16 = ⎧a = 2b ⎛8 4⎞ ⇔ (a; b) = ⎜ ; ⎟ (I) ⇔ ⎨ vô nghiệm; (II) ⇔ ⎨ ⎝5 5⎠ ⎩b = −2a ⎩25b − 40b + 16 = 0,25 Bán kính (C1 ) : R = a −b = 2 2 ⎛8 4⎞ Vậy: K ⎜ ; ⎟ R = 5 ⎝5 5⎠ 0,25 (1,0 điểm) Viết phương trình mặt phẳng ( P) Mặt phẳng ( P ) thoả mãn yêu cầu toán hai trường hợp sau: Trường hợp 1: ( P ) qua A, B song song với CD Vectơ pháp tuyến ( P) : n = ⎡ AB, CD ⎤ ⎣ ⎦ AB = ( −3; −1; 2), CD = ( −2; 4;0) ⇒ n = (−8; −4; −14) Phương trình ( P ) : x + y + z − 15 = 0,25 0,25 Trường hợp 2: ( P ) qua A, B cắt CD Suy ( P ) cắt CD trung điểm I CD I (1;1;1) ⇒ AI = (0; −1;0); vectơ pháp tuyến ( P) : n = ⎡ AB, AI ⎤ = (2;0;3) ⎣ ⎦ Phương trình ( P ) : x + 3z − = Vậy ( P) : x + y + z − 15 = ( P ) : x + 3z − = VII.a 0,25 0,25 Tìm số phức z (1,0 điểm) Gọi z = x + yi; z − (2 + i) = ( x − 2) + ( y − 1)i; z − (2 + i ) = 10 ⇔ ( x − 2) + ( y − 1) = 10 (1) 0,25 z.z = 25 ⇔ x + y = 25 (2) 0,25 Giải hệ (1) (2) ta được: ( x; y ) = (3;4) ( x; y ) = (5;0) Vậy: z = + 4i z = 0,50 128 Câu VI.b Đáp án Điểm (1,0 điểm) Xác định toạ độ điểm B, C (2,0 điểm) Gọi H hình chiếu A Δ, suy H trung điểm BC 2S AH = d ( A, BC ) = ; BC = ΔABC = AH A Δ B H C AB = AC = AH + 0,25 97 BC = 97 2 ⎧ ⎪( x + 1) + ( y − ) = Toạ độ B C nghiệm hệ: ⎨ ⎪ x − y − = ⎩ ⎛ 11 ⎞ ⎛3 5⎞ Giải hệ ta được: ( x; y ) = ⎜ ; ⎟ ( x; y ) = ⎜ ; − ⎟ ⎝ 2⎠ ⎝2 2⎠ ⎛ 11 ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ 11 ⎞ Vậy B ⎜ ; ⎟ , C ⎜ ; − ⎟ B ⎜ ; − ⎟ , C ⎜ ; ⎟ ⎝ 2⎠ ⎝2 2⎠ ⎝2 2⎠ ⎝ 2⎠ 0,25 0,25 0,25 (1,0 điểm) Viết phương trình đường thẳng… Q A H K Gọi Δ đường thẳng cần tìm; Δ nằm mặt phẳng (Q ) qua A song song với ( P) vn m m at at h h c c o om m B Phương trình (Q) : x − y + z + = 0,25 K , H hình chiếu B Δ, (Q) Ta có BK ≥ BH nên AH đường thẳng cần tìm ⎧ x −1 y +1 z − = = ⎪ ⎛ 11 ⎞ Toạ độ H = ( x; y; z ) thoả mãn: ⎨ −2 ⇒ H = ⎜ − ; ; ⎟ ⎝ 9 9⎠ ⎪x − y + 2z + = ⎩ 0,25 x + y z −1 ⎛ 26 11 ⎞ = = AH = ⎜ ; ; − ⎟ Vậy, phương trình Δ : 26 11 −2 ⎝ 9 9⎠ VII.b 0,25 0,25 Tìm giá trị tham số m (1,0 điểm) ⎧ x2 − ⎧2 x − mx − = 0, ( x ≠ 0) (1) = −x + m ⎪ Toạ độ A, B thoả mãn: ⎨ x ⇔ ⎨ ⎩ y = − x + m ⎪ y = −x + m ⎩ Nhận thấy (1) có hai nghiệm thực phân biệt x1 , x2 khác với m Gọi A( x1 ; y1 ), B ( x2 ; y2 ) ta có: AB = ( x1 − x2 ) + ( y1 − y2 )2 = 2( x1 − x2 ) m2 Áp dụng định lí Viet (1), ta được: AB = ⎡ ( x1 + x2 ) − x1 x2 ⎤ = ⎣ ⎦ + AB = ⇔ m2 + = 16 ⇔ m = ± 0,25 0,25 0,25 0,25 -Hết - 129 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ĐỀ CHÍNH THỨC ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2009 Mơn: TỐN; Khối: D (Đáp án - thang điểm gồm 04 trang) ĐÁP ÁN − THANG ĐIỂM Câu I (2,0 điểm) Đáp án Điểm (1,0 điểm) Khảo sát… Khi m = 0, y = x − x • Tập xác định: D = • Sự biến thiên: 0,25 - Chiều biến thiên: y ' = x3 − x; y ' = ⇔ x = ±1 x = Hàm số nghịch biến trên: (−∞ ; − 1) (0;1); đồng biến trên: (−1;0) (1; + ∞) - Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu x = ±1, yCT = −1; đạt cực đại x = 0, yCĐ = - Giới hạn: lim y = lim y = +∞ x →+∞ - Bảng biến thiên: • Đồ thị: vn m m at at h h c c o om m x →−∞ 0,25 x −∞ −1 y' − + − + +∞ y −1 −1 +∞ +∞ 0,25 y −2 (1,0 điểm) Tìm m −1 0,25 O −1 x Phương trình hồnh độ giao điểm (Cm ) đường thẳng y = −1: x − (3m + 2) x + 3m = −1 Đặt t = x , t ≥ 0; phương trình trở thành: t − (3m + 2)t + 3m + = ⇔ t = t = 3m + 0,25 ⎧0 < 3m + < Yêu cầu toán tương đương: ⎨ ⎩3m + ≠ 1 ⇔ − < m < 1, m ≠ II (2,0 điểm) 0,25 0,25 0,25 (1,0 điểm) Giải phương trình… Phương trình cho tương đương: cos5 x − sin x = sin x 2 ⎛π ⎞ ⇔ sin ⎜ − x ⎟ = sin x ⎝3 ⎠ ⇔ cos5 x − (sin x + sin x) − sin x = 0,25 0,25 130 Câu Đáp án ⇔ π − x = x + k 2π Vậy: x = π 18 +k π π − x = π − x + k 2π x = − π +k π ( k ∈ ) Điểm 0,25 0,25 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình… III Tính tích phân… (1,0 điểm) Đặt t = e x , dx = e3 dt I=∫ = t (t − 1) e vn m m at at h h c c o om m ⎧ ⎪x + y +1− x = ⎪ Hệ cho tương đương: ⎨ ⎪( x + y ) − + = ⎪ x2 ⎩ ⎧ ⎧ ⎪x + y = x −1 ⎪x + y = x −1 ⎪ ⎪ ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ ⎪⎛ − ⎞ − + = ⎪ −6 +2=0 ⎜ ⎟ ⎪⎝ x ⎠ ⎪ x2 x ⎩ x ⎩ ⎧1 ⎧1 ⎪x = ⎪ =1 ⎪ ⇔ ⎨x ⎨ ⎪x + y = ⎪x + y = ⎩ ⎪ ⎩ x=2 ⎧ ⎧x = ⎪ ⇔ ⎨ ⎨ y =1 ⎩ ⎪y = − ⎩ 3⎞ ⎛ Nghiệm hệ: ( x; y ) = (1;1) ( x; y ) = ⎜ 2; − ⎟ 2⎠ ⎝ dt ; x = 1, t = e; x = 3, t = e3 t e3 ⎛ 1⎞ ∫ ⎜ t − − t ⎟ dt ⎝ ⎠ e e3 e3 = ln| t − 1| e − ln| t | e 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 = ln(e + e + 1) − IV 0,25 Tính thể tích khối chóp (1,0 điểm) M A' I C' B' 2a 3a K A C H a B Hạ IH ⊥ AC ( H ∈ AC ) ⇒ IH ⊥ ( ABC ) ; IH đường cao tứ diện IABC IH CI 2 4a = = ⇒ IH = AA ' = ⇒ IH // AA ' ⇒ AA ' CA ' 3 AC = A ' C − A ' A2 = a 5, BC = AC − AB = 2a Diện tích tam giác ABC : SΔABC = AB.BC = a 4a Thể tích khối tứ diện IABC : V = IH S ΔABC = 0,50 131 Câu Đáp án Hạ AK ⊥ A ' B ( K ∈ A ' B) Vì BC ⊥ ( ABB ' A ') nên AK ⊥ BC ⇒ AK ⊥ ( IBC ) Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( IBC ) AK AK = V (1,0 điểm) SΔAA ' B = A' B AA ' AB A ' A2 + AB = 2a Điểm 0,25 0,25 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất… Do x + y = 1, nên: S = 16 x y + 12( x3 + y ) + xy + 25 xy = 16 x y + 12 ⎡( x + y )3 − xy ( x + y ) ⎤ + 34 xy = 16 x y − xy + 12 ⎣ ⎦ Đặt t = xy, ta được: S = 16t − 2t + 12; ≤ xy ≤ ( x + y )2 ⎡ 1⎤ = ⇒ t ∈ ⎢0; ⎥ 4 ⎣ 4⎦ vn m m at at h h c c o om m ⎡ 1⎤ Xét hàm f (t ) = 16t − 2t + 12 đoạn ⎢0; ⎥ ⎣ 4⎦ 191 25 ⎛1⎞ ⎛1⎞ , f⎜ ⎟ = f '(t ) = 32t − 2; f '(t ) = ⇔ t = ; f (0) = 12, f ⎜ ⎟ = 16 16 ⎝ 16 ⎠ ⎝ 4⎠ ⎛ ⎞ 25 ⎛ ⎞ 191 max f (t ) = f ⎜ ⎟ = ; f (t ) = f ⎜ ⎟ = ⎡ 1⎤ ⎝ ⎠ ⎡0; ⎤ ⎝ 16 ⎠ 16 0; ⎢ 4⎥ ⎣ ⎦ 0,25 0,25 ⎢ 4⎥ ⎣ ⎦ Giá trị lớn S ⎧x + y = 25 ⎪ ⎛1 1⎞ ; ⎨ ⇔ ( x; y ) = ⎜ ; ⎟ ⎝2 2⎠ ⎪ xy = ⎩ ⎧x + y = 191 ⎪ ; ⎨ Giá trị nhỏ S 16 ⎪ xy = 16 ⎩ 0,25 0,25 ⎛2+ 2− 3⎞ ⎛2− 2+ 3⎞ ⇔ ( x; y ) = ⎜ ( x; y ) = ⎜ ⎜ ; ⎟ ⎟ ⎜ ; ⎟ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ VI.a (2,0 điểm) (1,0 điểm) Viết phương trình đường thẳng… ⎧7 x − y − = ⇒ A(1;2) Toạ độ A thoả mãn hệ: ⎨ ⎩6 x − y − = B đối xứng với A qua M , suy B = (3; −2) 0,25 Đường thẳng BC qua B vng góc với đường thẳng x − y − = Phương trình BC : x + y + = 0,25 ⎧7 x − y − = 3⎞ ⎛ ⇒ N ⎜ 0; − ⎟ Toạ độ trung điểm N đoạn thẳng BC thoả mãn hệ: ⎨ 2⎠ ⎝ ⎩x + y + = 0,25 ⇒ AC = 2.MN = ( −4; −3) ; phương trình đường thẳng AC : 3x − y + = 0,25 (1,0 điểm) Xác định toạ độ điểm D ⎧x = − t ⎪ AB = (−1;1;2), phương trình AB : ⎨ y = + t ⎪ z = 2t ⎩ 0,25 D thuộc đường thẳng AB ⇒ D(2 − t ;1 + t ;2t ) ⇒ CD = (1 − t ; t ;2t ) 0,25 132 Câu Đáp án Điểm Véc tơ pháp tuyến mặt phẳng ( P ) : n = (1;1;1) C không thuộc mặt phẳng ( P ) 0,50 ⎛5 ⎞ CD //( P) ⇔ n.CD = ⇔ 1.(1 − t ) + 1.t + 1.2t = ⇔ t = − Vậy D ⎜ ; ; −1⎟ 2 ⎝ ⎠ VII.a (1,0 điểm) Tìm tập hợp điểm… Đặt z = x + yi ( x, y ∈ ); z − + 4i = ( x − 3) + ( y + ) i Từ giả thiết, ta có: ( x − 3) + ( y + ) 0,25 2 = ⇔ ( x − ) + ( y + ) = Tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn tâm I ( 3; − ) bán kính R = VI.b (2,0 điểm) 0,50 0,25 (1,0 điểm) Xác định toạ độ điểm M 0,25 Tam giác IMO có OIM = 120 nên OM = IO + IM − IO.IM cos120 ⇔ a + b = 0,25 ⎧ ⎪a = ⎧( a − 1)2 + b = ⎛3 3⎞ ⎪ ⎪ Toạ độ điểm M nghiệm hệ ⎨ Vậy M = ⎜ ; ± ⇔⎨ ⎟ ⎜2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎪a + b = ⎪b = ± ⎩ ⎪ ⎩ 0,50 vn m m at at h h c c o om m Gọi điểm M ( a; b ) Do M ( a; b ) thuộc (C ) nên ( a − 1) + b = 1; O ∈ (C ) ⇒ IO = IM = (1,0 điểm) Viết phương trình đường thẳng… ⎧x+ y −2 z = = ⎪ Toạ độ giao điểm I Δ với ( P) thoả mãn hệ: ⎨ −1 ⇒ I (−3;1;1) ⎪ x + y − 3z + = ⎩ Vectơ pháp tuyến ( P ) : n = (1;2; −3); vectơ phương Δ : u = (1;1; −1) 0,25 Đường thẳng d cần tìm qua I có vectơ phương v = ⎡ n, u ⎤ = (1; −2; −1) ⎣ ⎦ 0,25 ⎧ x = −3 + t ⎪ Phương trình d : ⎨ y = − 2t ⎪ z = − t ⎩ VII.b 0,25 0,25 Tìm giá trị tham số m (1,0 điểm) Phương trình hồnh độ giao điểm: x2 + x − = −2 x + m ⇔ 3x + (1 − m) x − = ( x ≠ 0) x Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 khác với m Hoành độ trung điểm I AB : xI = I ∈ Oy ⇔ xI = ⇔ x1 + x2 m − = m −1 = ⇔ m = 0,25 0,25 0,25 0,25 -Hết - 133 ... ThÝ sinh thi cao đẳng không làm Câu V n 2) Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh: Sè b¸o danh: bé gi¸o dơc đào tạo kỳ thi tuyển sinh đại học, cao Đẳng năm 2002 đề thức Môn thi. .. chó : 1) Thí sinh thi cao đẳng không làm Câu IV b) Câu V 2) Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh: Sè b¸o danh: Bé gi¸o dục đào tạo Đề thức Kỳ thi Tuyển sinh đại học... -Ghi chú: Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh: Số báo danh: 29 Bộ giáo dục đào tạo kỳ thi tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2003 đáp án thang điểm đề thi thức Môn thi : toán Khối