Bài viết đề xuất xây dựng lược đồ chữ ký số dựa trên bài toán logarit rời rạc kết hợp khai căn trên Zp, đây là một dạng bài toán khó mới, thuộc lớp các bài toán chưa có cách giải về mặt toán học. Việc xây dựng lược đồ chữ ký số dựa trên tính khó của bài toán logarit rời rạc kết hợp khai căn này cho phép nâng cao độ an toàn của thuật toán.
Nguyễn Đức Thụy, Bùi Tất Hiếu, Lưu Hồng Dũng 40 XÂY DỰNG LƯỢC ĐỒ CHỮ KÝ SỐ DỰA TRÊN BÀI TOÁN LOGARIT RỜI RẠC KẾT HỢP KHAI CĂN TRÊN Zp A CONSTRUCTION METHOD OF DIGITAL SIGNATURE SCHEME BASED ON THE DISCRETE LOGARIT COMBINING FINDING ROOT PROBLEM ON ZP Nguyễn Đức Thụy1, Bùi Tất Hiếu2, Lưu Hồng Dũng3 Trường Cao đẳng Kinh tế - Kỹ thuật Tp.HCM; thuyphulam2013@gmail.com Trường Cao đẳng Du lịch Hà Nội; buitathieu@yahoo.com Học viện Kỹ thuật Quân sự; luuhongdung@gmail.com Tóm tắt - Các lược đồ chữ ký số thường xây dựng dựa số tốn khó nghiên cứu kỹ lưỡng Các DSS biết đến nhiều dựa ba tốn khó sau đây: 1) Bài tốn phân tích số nguyên lớn thừa số nguyên tố: n = p.q, p q số nguyên tố lớn; 2) Bài toán logarit rời rạc trường hữu hạn nguyên tố Zp; 3) Bài tốn logarit rời rạc nhóm điểm số đường cong eliptic Bài báo đề xuất xây dựng lược đồ chữ ký số dựa toán logarit rời rạc kết hợp khai Zp, dạng tốn khó mới, thuộc lớp tốn chưa có cách giải mặt tốn học Việc xây dựng lược đồ chữ ký số dựa tính khó tốn logarit rời rạc kết hợp khai cho phép nâng cao độ an toàn thuật toán Abstract - The digital signature schemes (DSSes) are based on some well investigated hard computational problems The most efficient known DSSes are based on the following three difficult problems: 1) Factorization of a composite number n = p.q, where p and q are two large primes; 2) Finding discrete logarithm modulo large prime number Zp; 3) Finding discrete logarithm in a group of points of some elliptic curve The paper proposes building a digital signature scheme based on the difficulty of the discrete logarithm combining finding root problem on Zp,.This problem is a new difficult problem type, the problems class without mathematical solution Building a digital signature scheme based on the difficulty of the discrete logarithm combining finding root problem allows us to improve the security of the algorithm Từ khóa - Chữ ký số; thuật tốn chữ ký số; lược đồ chữ ký số; toán Logarit rời rạc; toán khai Key words - Digital signature; Digital signature algorithm; Digital Signature Scheme (DSS); Discrete Logarithm Problem (DLP); Finding Root Problem (FRP) Đặt vấn đề Trong [9], đề xuất phương pháp xây dựng thuật tốn chữ ký số dựa tính khó việc giải toán logarit rời rạc Zp Ưu điểm phương pháp đề xuất từ triển khai lớp thuật tốn chữ ký số cho ứng dụng khác Tuy nhiên, độ an tồn thuật tốn chữ ký xây dựng theo phương pháp đảm bảo độ khó việc giải tốn logarit rời rạc – DLP Zp Do đó, có giải thuật thời gian đa thức cho toán (DLP) tính an tồn thuật tốn bị phá vỡ hoàn toàn Nâng cao độ an toàn cho thuật tốn chữ ký số dựa tính khó việc giải đồng thời tốn khó hướng tiếp cận nhận nhiều quan tâm nhà nghiên cứu Trong [10 – 17] tác giả đề xuất số thuật toán chữ ký xây dựng đồng thời hai toán phân tích số logarit rời rạc Trong báo này, với mục đích nâng cao độ an tồn cho thuật tốn chữ ký số, nhóm tác giả tiếp tục phát triển phương pháp đề xuất [9] sở tính khó giải tốn mới, gọi toán logarit rời rạc kết hợp khai Zp, ký hiệu: DLRP (Discrete Logarithm combining Finding Root Problem) Đây dạng tốn khó lần đầu đề xuất ứng dụng cho việc xây dựng thuật toán chữ ký số có nhiều triển vọng cho phép xây dựng thuật toán phù hợp với ứng dụng thực tế địi hỏi độ an tồn cao Với cặp số nguyên dương ( y1 , y2 ) Z *p , tìm Bài tốn khó phương pháp xây dựng thuật toán chữ ký số 2.1 Bài toán logarit rời rạc - khai Zp Bài toán logarit rời rạc kết hợp khai trường Zp đề xuất phát biểu sau: số x1 x2 thỏa mãn hệ phương trình sau: x1 + x2 mod p = y1 (x1 ) ( x1 )−1 x2 mod p = y (x1 ) Về mặt hình thức, x1 số, x2 biến cần tìm tốn trở thành tốn logarit rời rạc Zp – DLP Tuy nhiên, x1 ẩn số x2, giải thuật cho DLP áp dụng với toán Tương tự, x2 số x1 biến tốn lại trở thành toán khai Zp – FRP [18] Song x2 biến cần tìm, giải thuật cho FRP không áp dụng toán đề xuất Trong toán học, tốn thực chất hệ phương trình phi tuyến thuộc lớp tốn chưa có cách giải, giải thuật cho DLP FRP khơng áp dụng với tốn Điều cho thấy, tốn đề xuất có mức độ khó cao DLP FRP 2.2 Xây dựng lược đồ chữ ký dựa tính khó tốn đề xuất 2.2.1 Thuật tốn sinh khóa Ở phương pháp xây dựng thuật tốn chữ ký đề xuất, toán logarit rời rạc kết hợp khai Zp sử dụng để hình thành cặp khóa bí mật cơng khai đối tượng ký Trong đó, p tham số hệ thống (tham số miền) nhà cung cấp dịch vụ tạo ra, p số nguyên tố cần phải chọn cho việc giải toán DLP khó Cặp (x1, x2) khóa bí mật (y1,y2) khóa cơng khai tương ứng đối tượng ký hệ thống Để tạo khóa x1 thực thể ký cần tạo trước số nguyên tố q ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, VOL 17, NO 7, 2019 thỏa mãn: q|(p – 1) số Z Khóa x1 tạo * p theo: x1 = p −1 q Nên: ( v = u ( y1 ) y2 + ( x1 + x2 ) ( y1 ) E + mod p Khóa x2 giá trị chọn ngẫu nhiên khoảng (1, q) Sau đó, khóa công khai tạo từ (x1, x2) theo (1.1): y1 = ( x1 ) x1 + x2 mod p , y = (x1 ) ( x1 )−1 x2 Bảng Thuật tốn sinh khóa −1 −1 v = ( y1 ) ( u y2 + x1 E + −1 ( + x2 E + ( x1 ) Z Từ (8) (9) ta có: −1 x2 −1 Hay: (u (( y ) u u= ) y2 + + ( x1 + x2 ) ( y1 ) E + −1 ( −1 ) −1 (10) −1 (( y ) −1 ) y2 + v Ở đây: v giá trị khoảng (1,q) Cũng giả thiết phương trình kiểm tra lược đồ có dạng: mod p u= (( y ) −1 ) y2 + ( k − x1 ( y1 ) E −1 − x2 ( y1 ) ( E + ( x1 ) Z −1 −1 )) k (4) Trong đó: H(.) hàm băm k Z q* R = ( x1 ) mod p u thành phần thứ theo (3): S = (x1 ) mod p v Bảng Thuật toán ký Đặt: (5) Khi đưa phương trình kiểm tra dạng: (6) (S )y (R )y ( y1 )E ( y2 )Z mod p Từ (1), (2), (3) (6) ta có: (( x ) (x1 ) Input: p, q, x1, x2, y1, y2, M Output: (R,S) E H (M ) select k: k q ( ) u ( y1 ) y + −1 ( −1 (k − x1 ( y1 ) E − −1 ) − x ( y1 ) E + (x1 ) Z ) mod q −1 −1 v ( y1 ) (u y + x1 E + −1 + x E + ( x1 ) Z mod q −1 (x1 )k mod p = Z −1 ) mod p x2 Z (7) Từ (7) suy ra: v y1 ( u y2 + ( x1 + x2 ) E + ( x1 ) x2 Z ) mod q −1 (11) mod q Từ (11) (8), tính thành phần thứ chữ ký theo (2): Z ( x1 ) mod p E = H (M ) và: R S mod p = ( x1 ) mod p ( x1 + x ) E −1 k Với: (x1 ) −1 Hay: (3) R S mod p −1 Từ thuật tốn ký mơ tả Bảng sau: S = (x1 ) mod p E ( k − ( x1 + x2 ) ( y1 ) E −1 (2) (R ) ( y1 ) ( y2 ) −1 − ( x1 ) x2 ( y1 ) Z ) mod q S tính từ v theo cơng thức: u y −1 mod p R = (x1 ) mod p (x1 ) −1 + ( x1 ) x2 ( y1 ) Z +u ) mod q = k Chú thích: - len(.): Hàm tính độ dài (theo bit) số nguyên - p: Tham số hệ thống/tham số miền - q, x1, x2: Khóa bí mật - y1, y2: Khóa cơng khai đối tượng ký 2.2.2 Thuật toán ký Giả sử (R,S) chữ ký lên tin M, u giá trị khoảng (1,q) R tính từ u theo cơng thức: y2 + ( x1 + x2 ) ( y1 ) E + Từ (10), suy ra: −1 (x1 )v y (9) + ( x1 ) x2 ( y1 ) Z ) mod q = k y1 ( x1 ) x1 + x2 mod p , y (x1 )( x1 ) return {q, x1, x2, y1, y2} (8) )) mod q (v + u ) mod q = k if (x1 = 1) then goto [2] select x2: x2 q y −1 Mặt khác, từ (2), (3) (4) ta có: ( p −1) / q mod p x1 −1 Hay: ((u ( y ) Input: p – số nguyên tố, lq – độ dài (tính theo bit) số nguyên tố q Output: q, x1, x2, y1, y2 generate q: len(q) = lq, q|(p-1) select α: p −1 + ( y1 ) ( x1 ) x2 Z ) mod q mod p (1) Chú ý rằng, tham số q sử dụng với vai trị khóa bí mật tương tự x1 x2 thuật toán ký Thuật tốn sinh khóa mơ tả lại Bảng sau đây: (S )y 41 ( )) R ( x1 ) mod p u S ( x1 )v mod p return (R,S) Chú thích: - M: tin cần ký, với: M {0,1} - (R,S): chữ ký U lên M Nguyễn Đức Thụy, Bùi Tất Hiếu, Lưu Hồng Dũng 42 2.2.3 Thuật toán kiểm tra chữ ký Thuật toán kiểm tra lược đồ giả thiết là: (S ) y ( R ) ( y1 ) ( y ) y E R S mod p Từ (2), (3), (5), (8), (11) (14) ta lại có: Z = R S mod p = ( x1 ) ( x1 ) mod p u = ( x1 ) mod p Ở đây, E giá trị đại diện tin cần thẩm tra: E = H (M ) Nếu M chữ ký (R,S) thỏa mãn đẳng thức chữ ký coi hợp lệ tin xác thực nguồn gốc tính tồn vẹn Ngược lại, chữ ký bị coi giả mạo tin bị phủ nhận nguồn gốc tính tồn vẹn Do đó, vế trái đẳng thức kiểm tra tính theo: y (12) A = (S ) mod p −1 v ( ( −1 u + ( y1 ) u y2 + x1 E + x2 E + ( x1 ) Z −1 −1 )) mod p ( −1 −1 ) mod p = ( x1 ) u + u ( y1 ) y2 + ( y1 ) x1 E + ( y1 ) x2 E + ( x1 ) Z = ( x1 ) u ( y1 ) y2 +1 + ( y1 ) x2 E + ( x1 ) Z + ( y1 ) x1 E = ( x1 )( ( ) −1 ) ( −1 ( y1 ) y2 +1 mod p = ( x1 ) ( −1 −1 −1 −1 ) −1 −1 ( mod p )) ( −1 ) −1 −1 ( −1 ( −1 ) −1 −1 ( −1 y E Z (13) đây: Z = R S mod p (14) điều kiện chữ ký hợp lệ là: A = B Khi đó, thuật tốn kiểm tra lược đồ đề xuất mô tả Bảng sau: Bảng Thuật toán kiểm tra Input: p, y1, y2, M, (R,S) Output: true / false E H (M ) A (S ) y1 mod p Z R S mod p B (R) y2 ( y1 )E ( y )Z mod p if ( A = B ) then {return true } else {return false } Chú thích: - M, (R,S): tin, chữ ký cần thẩm tra - Nếu kết trả true tính tồn vẹn nguồn gốc M khẳng định Ngược lại, kết false M bị phủ nhận nguồn gốc tính tồn vẹn 2.2.4 Tính đắn lược đồ đề xuất Điều cần chứng minh là: Cho p, q số nguyên tố với: q | ( p − 1) , H : 0,1 Z n , | q || n || p | , p , x +x y1 = ( x1 ) mod p , x2 q , x1 = ( p −1) / q mod p , y = (x1 ) ( x1 )−1 x2 u= (( y ) −1 E = H (M ) , k q , mod p , ) y2 + −1 ( Z = ( x1 ) mod p , k ) ( k − x1 ( y1 ) E − x2 ( y1 ) E + ( x1 ) Z ) mod q , −1 −1 −1 v = ( y1 ) (u y2 + x1 E + x2 (E + (x1 ) Z ))mod q , u v Nếu: R = (x1 ) mod p , S = (x1 ) mod p Z = R S mod p , −1 −1 y A = (S ) mod p , B = (R) y2 ( y1 )E ( y )Z mod p thì: A = B Tính đắn thuật toán đề xuất chứng minh sau: Từ (3), (8) (12) ta có: A = ( S ) mod p = ( x1 ) y = ( x1 ) ( u= ( ( y1 )−1 u y2 + x1 E + x2 = ( x1 )( Với: v y1 ( mod p −1 −1 u y2 + x1 E + x2 E + ( x1 ) Z (( y ) −1 −1 )) mod p ) (k − x ( y ) E − ( E + ( x ) Z ) ) mod q y2 + − x2 ( y1 ) )) mod p E + ( x1 ) Z y1 −1 −1 −1 1 (15) −1 ) k − x2 ( y1 ) E + ( x1 ) Z − x1 ( y1 ) E + x2 ( y1 ) E + ( x1 ) Z + ( y1 ) x1 E mod p = ( x1 ) mod p = Z k (16) Thay (1), (2), (5) (16) vào (13) ta được: B = (R ) ( y1 ) ( y ) mod p y B = (R) ( y1 ) ( y ) mod p ) −1 vế phải tính theo: −1 k − x1 ( y1 ) E − x2 ( y1 ) E + ( x1 ) Z ( y1 ) y2 +1 + x2 ( y1 ) E + ( x1 ) Z + ( y1 ) x1 E = (x1 ) u y2 = (x1 ) E Z (x1 ) ( x1 + x2 ) E (x1 ) ( x1 )−1 x2 Z mod p (17) (u y + x E + x (E +( x ) Z )) mod p −1 2 Từ (15) (17) suy điều cần chứng minh: A = B 2.2.5 Ví dụ Tính đắn lược đồ đề xuất minh họa ví dụ số sau: a Sinh tham số khóa (Bảng 1) Input: p – số nguyên tố, lq – độ dài (tính theo bit) số nguyên tố q Output: q, x1, x2, y1, y2 - Giá trị p: 1112504748194107058548379149876527136337231 9494651382867527128102052391566875979592156815 6524417444891805426748144310226815292210566874 56481556094275955901 - Giá trị q: 1396040063414249106233756715423506814076734227141 - Giá trị x1: 4058370318607681007755510762685178271365232 1929471000568735620774126567223984754965898162 8005083289795572876280216639462805193338400762 227172605620843386 - Giá trị x2: 1336469017197379871919685315068540686272278035577 - Giá trị y1: 4166414543853754477463513432272555621490994 1901511883506834222768226003954066407701818701 1737172556088349519326398149222698213562535746 2427830114211211397 - Giá trị y2: 3444900405691608012655812518275077028167817 3954520452155461712791247704263118008086208153 1110700411769515287169190952536509099543212503 8309781498783298331 b Sinh chữ ký (Bảng 2) Input: p, q, y1, y2, x1, x2, M Output: (R,S) - Bản tin: M = “THIS IS A NEWDIGITAL SIGNATURE ALGRITHM !” - Giá trị k: ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, VOL 17, NO 7, 2019 1255212206829023352132843655989569922266921693676 - Giá trị E tính được: 994797757898549782843311219613797155198103919360 - Giá trị R tính được: 4449911408752777649244040466206307370345414 1929343934596076092067962791347983369564752943 5255945295141087456014749221312569125192026273 7597326392043100028 - Giá trị S tính được: 8726662134419522036019694497359990811104394 1598406241186524326179846189573383626435667071 6353450614720987111795916106614857121946988458 1337455422383981655 c Kiểm tra chữ ký (Bảng 3) Input: p, y1, y2, (R,S), M + Trường hợp 1: - Bản tin: M = “THIS IS A NEWDIGITAL SIGNATURE ALGRITHM !” - Giá trị R cần kiểm tra: 4449911408752777649244040466206307370345414 1929343934596076092067962791347983369564752943 5255945295141087456014749221312569125192026273 7597326392043100028 - Giá trị S cần kiểm tra: 8726662134419522036019694497359990811104394 1598406241186524326179846189573383626435667071 6353450614720987111795916106614857121946988458 1337455422383981655 - Giá trị E tính được: 994797757898549782843311219613797155198103919360 - Giá trị Z tính được: 6906971967963642513654078827923678321013235 4165420687120820589978943542468944086437422274 3202530983070198874182835401612482869547363913 8169566805153939123 - Giá trị A tính được: 4672624538388502266835853716710549106327303 0654205315339132641545609008093755946635143008 5314736282096802082511226037032882409747824832 7543711674383209614 - Giá trị B tính được: 4672624538388502266835853716710549106327303 0654205315339132641545609008093755946635143008 5314736282096802082511226037032882409747824832 7543711674383209614 Output: (R,S) = true Chú thích: Trường hợp kết cho thấy chữ ký hợp lệ tính tồn vẹn tin chữ ký đảm bảo + Trường hợp 2: - Bản tin: M = “THIS IS A NEWDIGITAL SIGNATURE ALGRITHM ” - Giá trị R cần kiểm tra: 43 4449911408752777649244040466206307370345414 1929343934596076092067962791347983369564752943 5255945295141087456014749221312569125192026273 7597326392043100028 - Giá trị S cần kiểm tra: 8726662134419522036019694497359990811104394 1598406241186524326179846189573383626435667071 6353450614720987111795916106614857121946988458 1337455422383981655 - Giá trị E tính được: 459428129146552511017466774377333633894779435085 - Giá trị Z tính được: 6906971967963642513654078827923678321013235 4165420687120820589978943542468944086437422274 3202530983070198874182835401612482869547363913 8169566805153939123 - Giá trị A tính được: 4672624538388502266835853716710549106327303 0654205315339132641545609008093755946635143008 5314736282096802082511226037032882409747824832 7543711674383209614 - Giá trị B tính được: 2092530588255877058475346020861947849287161 9098055755472151142456277874491594998297359048 1783036341432328353498341496594709850878863929 2155159467540424063 Output: (R,S) = false Chú thích: Trường hợp kết cho thấy chữ ký không hợp lệ ký tự cuối tin bị sửa đổi + Trường hợp 3: - Bản tin: M = “THIS IS A NEWDIGITAL SIGNATURE ALGRITHM !” - Giá trị R cần kiểm tra: 4449911408752777649244040466206307370345414 1929343934596076092067962791347983369564752943 5255945295141087456014749221312569125192026273 7597326392043100020 - Giá trị S cần kiểm tra: 8726662134419522036019694497359990811104394 1598406241186524326179846189573383626435667071 6353450614720987111795916106614857121946988458 1337455422383981650 - Giá trị E tính được: 994797757898549782843311219613797155198103919360 - Giá trị Z tính được: 3844497704372142663146652508134385887429567 1303561714050415768364551394492036594500866235 8048595180941298839593305260276003644856674845 1335740220074232991 - Giá trị A tính được: 1406677822597821802010526057075954693241085 6857650576352585936590763908843256504202090165 Nguyễn Đức Thụy, Bùi Tất Hiếu, Lưu Hồng Dũng 44 5785689180545584176292246996396677465791624524 7844607175313754533 - Giá trị B tính được: 9939385551582310543738421446931192840015113 8197085285633813123513787042678692559553651709 8339876103450401240752626350520689260376315350 1037477621806591752 Output: (R,S) = false Chú thích: Trường hợp kết cho thấy chữ ký không hợp lệ chữ số cuối R S bị thay đổi 2.2.6 Mức độ an toàn lược đồ đề xuất Mức độ an toàn lược đồ đề xuất đánh giá qua khả chống lại số dạng công như: - Tấn cơng khóa bí mật Ở lược đồ đề xuất, cặp tham số x1, x2 sử dụng làm khóa bí mật để hình thành chữ ký Vì thế, lược đồ bị phá vỡ tham số bị lộ, nói cách khác kẻ cơng phải giải tốn logarit rời rạc kết hợp khai Zp Do đó, mức độ an toàn lược đồ đề xuất xét theo khả chống cơng làm lộ khóa bí mật đánh giá mức độ khó việc giải DLRP Cần ý, DLRP dạng tốn khó mới, mà có giải thuật thời gian đa thức cho FRP DLP khơng có nghĩa giải tốn Ngồi ra, tham số q sử dụng với vai trị khóa bí mật thuật tốn ký Như vậy, để phá vỡ tính an tồn thuật tốn, kẻ cơng cịn phải giải tốn tìm bậc x1 Tuy nhiên, việc tìm bậc x1 khơng thể thực được, x1 tham số bí mật - Tấn cơng giả mạo chữ ký Từ thuật tốn kiểm tra (Bảng 3) thuật toán đề xuất cho thấy, cặp (R,S) giả mạo công nhận chữ ký hợp lệ với tin M thỏa mãn điều kiện: (S ) y (R ) y ( y1 )R.S mod p ( y )E mod p (18) Từ (18), chọn trước R tính S điều kiện (18) có dạng: (S ) y a (y2 ) ( R S ) mod p mod p (19) Cịn chọn trước S tính R điều kiện (18) trở thành: (R ) y b (y2 ) ( R.S ) mod p mod p (20) Với a, b số, dễ thấy (19) (20) dạng tốn khó chưa có cách giải tương tự toán logarit rời rạc kết hợp khai Zp Kết luận Bài báo đề xuất xây dựng thuật tốn chữ ký số dựa tính khó giải tốn logarit rời rạc – khai Zp Mức độ an toàn thuật toán xây dựng theo phương pháp đảm bảo mức độ khó việc giải tốn Ở đây, toán logarit rời rạc kết hợp khai Zp dạng tốn khó mới, lần đầu đề xuất ứng dụng việc xây dựng thuật toán chữ ký số Từ phương pháp đề xuất xây dựng lớp thuật tốn chữ ký số có độ an tồn cao cho ứng dụng thực tế TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] R.L Rivest, A Shamir, and L.M Adleman A Method for Obtaining Digital Signatures and Public Key Cryptosystems Communications of the ACM, 1978, vol 21, no 2, pp 120–126 [2] Rabin M.O Digitalized Signatures and Public Key Functions as Intractable as Factorization - Technical report MIT/LCS/TR-212, MIT Laboratory for Computer Science, 1979 [3] ElGamal T A public key cryptosystem and a signature scheme based on discrete logarithms IEEE Transactions on Information Theory 1985, Vol IT-31, No pp.469–472 [4] Schnorr C.P Efficient signature generation by smart cards J Cryptology 1991 vol pp 161–174 [5] National Institute of Standards and Technology, NIST FIPS PUB 186 Digital Signature Standard, U.S Department of Commerce, 1994 [6] GOST R 34.10-94 Russian Federation Standard Information Technology Cryptographic data Security Produce and check procedures of Electronic Digital Signature based on Asymmetric Cryptographic Algorithm Government Committee of the Russia for Standards, 1994 (in Russian) [7] ANSI X9.62 and FIPS 186-2 Elliptic curve signature algorithm, 1998 [8] GOST R 34.10-2001 Russian Federation Standard Information Technology Cryptographic data Security Produce and check procedures of Electronic Digital Signature Government Committee of the Russia for Standards, 2001 (in Russian) [9] Nguyen Duc Thuy and Luu Hong Dung, “A New Construction Method of Digital Signature Algorithms”, IJCSNS International Journal of Computer Science and Network Security Vol 16 No 12 pp 53-57, December 2016 ISSN: 1738 - 7906 [10] Q X WU, Y X Yang and Z M HU, "New signature schemes based on discrete logarithms and factoring", Journal of Beijing University of Posts and Telecommunications, vol 24, pp 61-65, January 2001 [11] Z Y Shen and X Y Yu, "Digital signature scheme based on discrete logarithms and factoring", Information Technology, vol 28, pp 21-22, June 2004 [12] Shimin Wei, “Digital Signature Scheme Based on Two Hard Problems”, IJCSNS International Journal of Computer Science and Network Security, VOL.7 No.12, December 2007 [13] Eddie Shahrie Ismail, Tahat N.M.F., Rokiah R Ahmad, “A New Digital Signature Scheme Based on Factoring and Discrete Logarithms”, Journal of Mathematics and Statistics, 04/2008; 12(3) DOI: 10.3844/jmssp.2008.222.225 Source:DOAJ [14] Qin Yanlin, Wu Xiaoping, “New Digital Signature Scheme Based on both ECDLP and IFP”, Computer Science and Information Technology, 2009 ICCSIT 2009 2nd IEEE International Conference on, 8-11 Aug 2009, E-ISBN: 978-1-4244-4520-2, pp 348 - 351 [15] Swati Verma1, Birendra Kumar Sharma, “A New Digital Signature Scheme Based on Two Hard Problems”, International Journal of Pure and Applied Sciences and Technology, ISSN 2229 – 6107, Int J Pure Appl Sci Technol., 5(2) (2011), pp 55-59 [16] Sushila Vishnoi, Vishal Shrivastava, “A new Digital Signature Algorithm based on Factorization and Discrete Logarithm problem”, International Journal of Computer Trends and Technology, volume 3, Issue 4, 2012 [17] A.N Berezin, N.A Moldovyan, V.A Shcherbacov, "Cryptoschemes Based on Difficulty of Simultaneous Solving Two Different Difficult Problems", Computer Science Journal of Moldova, vol.21, no.2(62), 2013 [18] N.A Moldovyan, "Digital Signature Scheme Based on a New Hard Problem", Computer Science Journal of Moldova, vol.16, no.2(47), 2008 (BBT nhận bài: 03/3/2019, hoàn tất thủ tục phản biện: 04/7/2019) ... (20) dạng tốn khó chưa có cách giải tương tự toán logarit rời rạc kết hợp khai Zp Kết luận Bài báo đề xuất xây dựng thuật tốn chữ ký số dựa tính khó giải toán logarit rời rạc – khai Zp Mức độ an... thuật tốn xây dựng theo phương pháp đảm bảo mức độ khó việc giải tốn Ở đây, toán logarit rời rạc kết hợp khai Zp dạng tốn khó mới, lần đầu đề xuất ứng dụng việc xây dựng thuật toán chữ ký số Từ phương... Ở lược đồ đề xuất, cặp tham số x1, x2 sử dụng làm khóa bí mật để hình thành chữ ký Vì thế, lược đồ bị phá vỡ tham số bị lộ, nói cách khác kẻ cơng phải giải tốn logarit rời rạc kết hợp khai Zp