Tài liệu Chương 2. THUYẾT TƯƠNG ĐỐI EINSTEIN doc

Vì khoảng cách không gian, vận tốc tương đối, thời gian đều là những lượng bất biến nên lực trong cơ học cổ điển là một lượng bất biến.. Do đó người ta phải nghĩ đến sự mở rộng nguyên lý

Chương 2 THUYẾT TƯƠNG ĐỐI EINSTEIN

Khi nghiên cứu những vật thể chuyển động với vận tốc rất lớn gần bằng với vận tốc ánh sáng, người ta thấy rằng cơ học cổ điển của Newton không còn thích hợp nữa.

Do đó cần thiết phải xem lại các khái niệm về không gian và thời gian Việc xem xét này thực hiện trong thuyết tương đối

2.1 PHÉP BIẾN ĐỔI GALILEO VÀ QUI TẮC TỔNG HỢP VẬN TỐC NEWTON 2.1.1 Nguyên lý tương đối Galileo - phép biến đổi Galileo.

Mọi chuyển động cơ học đều là tương đối Muốn mô tả chuyển động cơ học của một vật ta phải so sánh vị trí vật đó tại mọi thời điểm với vật khác hoặc hệ khác được coi là đứng yên và gọi là hệ quy chiếu

Cách chọn hệ quy chiếu là hoàn toàn tùy tiện và chỉ phụ thuộc vào sự thuận tiện của việc khảo sát chuyển động Trong các hệ quy chiếu mà ta chọn, hệ cho phép ta mô

tả chuyển động đơn giản nhất trong đại đa số các trường hợp đó là hệ quy chiếu quán tính - một hệ ở rất xa các vật khác và không chịu tác dụng của ngoại lực lên nó - trong các hệ quy chiếu thì định luật của Newton được nghiệm đúng Các hệ quy chiếu quán tính hoặc đứng yên hoặc chuyển động thẳng đều với nhau

Một nguyên lý quan trọng trong cơ học Newton là nguyên lý Galileo (Galileo

Galilei 1564 – 1642) cũng còn gọi là nguyên lý cổ điển: ”Mọi hiện tượng cơ học diễn ra như nhau trong mọi hệ quán tính” Như vậy để mô tả các hiện tượng cơ học mọi hệ

quán tính đều có giá trị như nhau Mọi hệ quán tính đều là bình đẳng không hệ nào ưu tiên hơn

Nguyên lý tương đối Galileo cũng còn phát biểu một cách khác: “Không thể bằng một thí nghiệm cơ học nào có thể xác định được hệ đang chuyển động quán tính hay đứng yên”.

Nếu ta dùng hệ quy chiếu khác nhau để xét chuyển động của một chất điểm thì tọa độ của chất điểm ở các hệ đó sẽ có giá trị khác nhau Quy tắc cho phép ta suy ra tọa độ ở hệ này khi biết tọa độ ở hệ khác gọi là phép biến đổi tọa độ Phép biến đổi tọa

độ phù hợp với nguyên lý tương đối Galileo gọi là phép biến đổi Galileo

z z’









 ' ' '

t t

z z

y y

vt x

x













t t

z z

y y

vt x

x

'

'

0 x

2.1.2 Lượng bất biến và phương trình bất biến - Qui tắc tổng hợp vận tốc Newton - Tính bất biến của các định luật cơ học cổ điển

- Kho ng cách th i gian: là m t l ng b t bi n đ i v i phép bi n đ i Galileo ột lượng bất biến đối với phép biến đổi Galileo ượng bất biến đối với phép biến đổi Galileo ất biến đối với phép biến đổi Galileo ến đối với phép biến đổi Galileo ối với phép biến đổi Galileo ới phép biến đổi Galileo ến đối với phép biến đổi Galileo ổi Galileo

t = invar

- Kho ng cách không gian: l = l’ = invar

- V n t c: Xét hai h 0(x, y, z) và 0’(x’, y’, z’) ận tốc: Xét hai hệ 0(x, y, z) và 0’(x’, y’, z’) ối với phép biến đổi Galileo ệ 0(x, y, z) và 0’(x’, y’, z’)

x’

hệ 0 



v

dt dy

v

z y

/ hệ 0’



















z z

y y

x x

v dt

dz v

v dt

dy v

V v

dt dx

v

/ ' '

/ ' '

/ ' '

v’x = vx - v v' v V

v’y = vy vv' V v’z = vz

ây là các công th c c ng v n t c c đi n

Đây là các công thức cộng vận tốc cổ điển ức cộng vận tốc cổ điển ột lượng bất biến đối với phép biến đổi Galileo ận tốc: Xét hai hệ 0(x, y, z) và 0’(x’, y’, z’) ối với phép biến đổi Galileo ổi Galileo ển

- V n t c t ng đ i.ận tốc: Xét hai hệ 0(x, y, z) và 0’(x’, y’, z’) ối với phép biến đổi Galileo ương đối ối với phép biến đổi Galileo

Hai v t chuy n đ ng có v n t c ận tốc: Xét hai hệ 0(x, y, z) và 0’(x’, y’, z’) ển ột lượng bất biến đối với phép biến đổi Galileo ận tốc: Xét hai hệ 0(x, y, z) và 0’(x’, y’, z’) ối với phép biến đổi Galileo v1, v2 trong h 0 Trong h 0’ hai v t chuy n đ ngệ 0(x, y, z) và 0’(x’, y’, z’) ệ 0(x, y, z) và 0’(x’, y’, z’) ận tốc: Xét hai hệ 0(x, y, z) và 0’(x’, y’, z’) ển ột lượng bất biến đối với phép biến đổi Galileo

có v n t c ận tốc: Xét hai hệ 0(x, y, z) và 0’(x’, y’, z’) ối với phép biến đổi Galileo '

1

v , '

2

v

Theo đ nh ngh a v n t c t ng đ i c a v t 1 so v i v t 2 :ịnh nghĩa vận tốc tương đối của vật 1 so với vật 2 : ĩa vận tốc tương đối của vật 1 so với vật 2 : ận tốc: Xét hai hệ 0(x, y, z) và 0’(x’, y’, z’) ối với phép biến đổi Galileo ương đối ối với phép biến đổi Galileo ủa vật 1 so với vật 2 : ận tốc: Xét hai hệ 0(x, y, z) và 0’(x’, y’, z’) ới phép biến đổi Galileo ận tốc: Xét hai hệ 0(x, y, z) và 0’(x’, y’, z’)

Trong h 0 là: ệ 0(x, y, z) và 0’(x’, y’, z’) v12 v1  v2 ; Trong h 0’ là: ệ 0(x, y, z) và 0’(x’, y’, z’) '

2

' 1

'

12 v v

v   













V v v

V v v













2 2

1 1

' '

 v1- v2 = v' 1 -v' 2

v12= v' 12 Vận tốc tương đối là một lượng bất biến

- Gia tốc: d v' /dt d v/dt lượng bất biến

- Tính bất biến của các định luật cơ học: F

dt

v d





Vế trái khối lượng m là một lượng bất biến, gia tốc cũng là một lượng bất biến Vậy vế trái là một lượng bất biến đối với phép biến đổi Galileo

Vế phải chứa lực F trong cơ học cổ điển ta chỉ biết tới ba loại lực :

Lực phụ thuộc vào khoảng cách không gian (lực hấp dẫn)

Lực phụ thuộc vào vận tốc tương đối (lực ma sát)

Lực phụ thuộc vào thời gian (lực tác dụng lên mặt piston động cơ hơi nước)

Vì khoảng cách không gian, vận tốc tương đối, thời gian đều là những lượng bất biến nên lực trong cơ học cổ điển là một lượng bất biến Vậy chuyển tọa độ bằng phép biến đổi Galileo nó vẫn giữ nguyên dạng toán học

2.2 SỰ BẤT BIẾN CỦA VẬN TỐC ÁNH SÁNG (c) - THÍ NGHIỆM MICHELSON 2.2.1 Sự bất biến của vận tốc ánh sáng

Các phương tình Maxwell về sóng điện từ cho thấy ánh sáng truyền theo mọi

hướng bất kỳ trong chân không với cùng vận tốc c 1 2,99792458.108m/s

0 0







vận tốc giới hạn của mọi vận tốc

Vấn đề đặt ra là ánh sáng lan truyền như thế nào trong một hệ qui chiếu quán tính đang chuyển động so với hệ qui chiếu đứng yên? Nếu ánh sáng truyền từ hệ 0’ dọc theo chiều dương 0x với vận tốc c, đồng thời hệ 0’ cũng đang chuyển động theo chiều dương 0x với vận tốc là u, thì người quan sát tại 0 sẽ thấy ánh sáng truyền đi với vận tốc là:

v = c + u > c ? Nếu đúng như vậy thì c chưa phải là vận tốc giới hạn?

2.2.2 Thí nghiệm Michelson.

Cuối thế kỷ XIX đa số các nhà vật lý tin rằng vũ trụ được lấp đầy bởi một môi trường vật chất đặc biệt gọi là ether hỗ trợ cho sự lan truyền của sóng điện từ Ðiều mà

giả thuyết này dựa vào cơ sở là các sóng cơ học đều cần một môi trường trung gian để truyền tương tác Ánh sáng đi qua ether với tốc độ là c bằng nhau theo mọi hướng

Thí nghiệm thực hiện bằng giao thoa kế gồm:

M 1 O x

u.t M 1

M M 2 L ct ct L

M M

Hình 2.1

Nguồn đơn sắc laser có bước sóng   0 , 633 m, bản nửa phản xạ nửa truyền qua M, hai gương phẳng M1, M2 cùng đặt trong hệ qui chiếu 0’ (đó là một phòng thí nghiệm di động nằm trong môi trường ether) đang chuyển động với vận tốc u theo chiều dương 0x so với hệ qui chiếu đứng yên 0 – hình 2.1

Ánh sáng sau khi qua bản M cho một tia phản xạ đến gương M1 rồi phản xạ trở lại M, truyền qua M để vào kính ngắm N

Tia khúc xạ sau khi qua bản M đến gương M2 rồi phản xạ trở lại M, tại M nó phản

xạ lần nữa để vào kính ngắm N

Gọi khoảng cách từ M đến M1 và M2 là bằng nhau và bằng L

Vì hệ qui chiếu 0’ đang chuyển động, M1 cũng đang chuyển động nên tia sáng đi

từ M đến M1 sẽ đi trên đường xiên có độ dài là:

2 2

c L

L MM







 (2.1) Thời gian ánh sáng đi từ M đến M1 và quay trở về là:

2 2

1 1

1 2

2

u c

L c

MM t





 (2.2) Tia sáng từ M đến M2 có vận tốc tương đối là c-u còn khi nó quay trở lại có vận tốc tương đối là c+u Vậy thời gian từ M đến M2 và quay trở về là:

2 2 2

2

u c

Lc u

c

L u c

L t











 (2.3) Thời gian chênh lệch khi hai tia đến và quay về M là:

2 2

u c

L u

c

Lc t

t t













 (2.4)

Vì u << c nên:

LASER

N





















1 1

1 1

2 2

2



c u

c (2.5) Trong đó:

c

u





1

1 1







c (2.6) Như vậy ta có thể viết lại là:

3 2 2 2 2 2 1 2

2 2

c

Lu u c

L u

c

Lc t

t













Giả thuyết rằng công thức tổng hợp vận tốc Galileo là được thỏa mãn thì hai tia sáng đó khi đi vào ống ngắm N có hiệu quang lộ là Lct và tương ứng lệch pha nhau một lượng:

2

2 2 2

c

Lu t

c









 (2.8) Cường độ sáng tổng hợp trên màn giao thoa (theo 1.11) là:

I0 I01I02 2 I01I02cos  

Trong đó I01, I02 lần lượt là cường độ của hai tia sáng thành phần cùng đi vào ống ngắm N Thí nghiệm được làm lại nhiều lần trong điều kiện người ta quay dụng cụ thí nghiệm theo những góc khác nhau so với trục 0x nhưng vẫn giữ nguyên phương chuyển động của 0 so với 0’ là 0x

Sự tính toán bằng công thức tổng hợp vận tốc Galileo cho ta kết quả là theo những góc khác nhau thì hiệu số pha của các tia sáng thành phần đi vào ống ngắm N là khác nhau Tức là cường độ sáng tổng hợp trên màn giao thoa khác nhau

Theo tính toán thì cường độ sáng tổng hợp trong ống ngắm N sẽ thay đổi rất lớn, rất dễ quan sát khi mà ta quay dụng cụ thí nghiệm theo những góc khác nhau Nhưng thực tế người ta không quan sát được sự thay đổi cường độ sáng khi quay dụng cụ thí nghiệm Tức là hiệu số pha và hiệu thời gian truyền của hai tia sáng là như nhau

Thí nghiệm này có thể chứng tỏ ánh sáng truyền theo mọi phương với cùng vận tốc là c chứ không tuân theo công thức cộng Galileo Không thể có vận tốc lớn hơn c.

2.3 NHỮNG TIÊN ĐỀ CỦA THUYẾT TƯƠNG ĐỐI - BIẾN ĐỔI LORENTZ

2.3.1 Những tiên đề của thuyết tương đối.

2.3.1.1 Tiên đ 1: ề 1: Nguyên lý t ng i Einstein ương đối Einstein đối Einstein.

Năm 1905, Albert Einstein xây dựng Thuyết tương đối đặc biệt, kết hợp không gian và thời gian vào một khái niệm chung, không-thời gian

Thuyết tương đối hẹp dự đoán một sự biến đổi khác nhau giữa các điểm gốc

hơn là cơ học cổ điển, điều này dẫn đến việc phát triển cơ học tương đối tính để thay

thế cơ học cổ điển

Với trường hợp vận tốc nhỏ, hai thuyết này dẫn đến cùng một kết quả.

Theo nguyên lý t ng đ i Galileo ta không th dùng các thí nghi m c h c đ phát hi n raương đối ối với phép biến đổi Galileo ển ệ 0(x, y, z) và 0’(x’, y’, z’) ơng đối ọc để phát hiện ra ển ệ 0(x, y, z) và 0’(x’, y’, z’) các chuy n đ ng quán tính Nh v y có th hy v ng dùng thí nghi m không ph i c h c nh mển ột lượng bất biến đối với phép biến đổi Galileo ư ận tốc: Xét hai hệ 0(x, y, z) và 0’(x’, y’, z’) ển ọc để phát hiện ra ệ 0(x, y, z) và 0’(x’, y’, z’) ơng đối ọc để phát hiện ra ằm phát hi n ra chuy n đ ng quán tính Thí nghi m Michelson nh m m c đích đó và nhi u thíệ 0(x, y, z) và 0’(x’, y’, z’) ển ột lượng bất biến đối với phép biến đổi Galileo ệ 0(x, y, z) và 0’(x’, y’, z’) ằm ục đích đó và nhiều thí ề 1: nghi m khác c ng đã l n l t th t b i Do đó ng i ta ph i ngh đ n s m r ng nguyên lý t ngệ 0(x, y, z) và 0’(x’, y’, z’) ượng bất biến đối với phép biến đổi Galileo ất biến đối với phép biến đổi Galileo ại Do đó người ta phải nghĩ đến sự mở rộng nguyên lý tương ư ĩa vận tốc tương đối của vật 1 so với vật 2 : ến đối với phép biến đổi Galileo ự mở rộng nguyên lý tương ở rộng nguyên lý tương ột lượng bất biến đối với phép biến đổi Galileo ương đối

đ i Galileo ra đ i v i m i hi n t ng v t lý khác ối với phép biến đổi Galileo ối với phép biến đổi Galileo ới phép biến đổi Galileo ọc để phát hiện ra ệ 0(x, y, z) và 0’(x’, y’, z’) ượng bất biến đối với phép biến đổi Galileo ận tốc: Xét hai hệ 0(x, y, z) và 0’(x’, y’, z’)

Tiên đ m t chính là s m r ng nguyên lý t ng đ i Galileo Nh v y:ề 1: ột lượng bất biến đối với phép biến đổi Galileo ự mở rộng nguyên lý tương ở rộng nguyên lý tương ột lượng bất biến đối với phép biến đổi Galileo ương đối ối với phép biến đổi Galileo ư ận tốc: Xét hai hệ 0(x, y, z) và 0’(x’, y’, z’)

“M i hi n t ng v t lý di n ra nh nhau trong m i h quy chi u quán tính ” ượng vật lý diễn ra như nhau trong mọi hệ quy chiếu quán tính ” ật lý diễn ra như nhau trong mọi hệ quy chiếu quán tính ” ễn ra như nhau trong mọi hệ quy chiếu quán tính ” ư ếu quán tính ”

Các định lu t v t lý là gi ng nhau trong m i h quy chi u quán tính; nói cách khác cácận tốc: Xét hai hệ 0(x, y, z) và 0’(x’, y’, z’) ận tốc: Xét hai hệ 0(x, y, z) và 0’(x’, y’, z’) ối với phép biến đổi Galileo ọc để phát hiện ra ệ 0(x, y, z) và 0’(x’, y’, z’) ến đối với phép biến đổi Galileo

ph ng trình mô t các đ nh lu t v t lý là b t bi n đ i v i phép bi n đ i t a đ và th i gian t hương đối ịnh nghĩa vận tốc tương đối của vật 1 so với vật 2 : ận tốc: Xét hai hệ 0(x, y, z) và 0’(x’, y’, z’) ận tốc: Xét hai hệ 0(x, y, z) và 0’(x’, y’, z’) ất biến đối với phép biến đổi Galileo ến đối với phép biến đổi Galileo ối với phép biến đổi Galileo ới phép biến đổi Galileo ến đối với phép biến đổi Galileo ổi Galileo ọc để phát hiện ra ột lượng bất biến đối với phép biến đổi Galileo ừ hệ ệ 0(x, y, z) và 0’(x’, y’, z’) quy chi u quán tính này sang h quy chi u quán tính khác.ến đối với phép biến đổi Galileo ệ 0(x, y, z) và 0’(x’, y’, z’) ến đối với phép biến đổi Galileo

ây là m t tiên đ ng i ta không th ch ng minh, ta có th d a vào th c nghi m, nh ng Đây là các công thức cộng vận tốc cổ điển ột lượng bất biến đối với phép biến đổi Galileo ề 1: ư ển ức cộng vận tốc cổ điển ển ự mở rộng nguyên lý tương ự mở rộng nguyên lý tương ệ 0(x, y, z) và 0’(x’, y’, z’) ững

h qu rút ra t nguyên lý đ th a nh n mà không c n ch ng minh.ệ 0(x, y, z) và 0’(x’, y’, z’) ừ hệ ển ừ hệ ận tốc: Xét hai hệ 0(x, y, z) và 0’(x’, y’, z’) ức cộng vận tốc cổ điển

2.3.1.2 Tiên đề 2

V n t c ánh sáng trong chân không không ph thu c vào v n t c ngu n sáng trong t t c các ật lý diễn ra như nhau trong mọi hệ quy chiếu quán tính ” ối Einstein ụ thuộc vào vận tốc nguồn sáng trong tất cả các ộc vào vận tốc nguồn sáng trong tất cả các ật lý diễn ra như nhau trong mọi hệ quy chiếu quán tính ” ối Einstein ồn sáng trong tất cả các ất cả các ả các

h quán tính v n t c ánh sáng u nh nhau và b ng c = 3.10 ật lý diễn ra như nhau trong mọi hệ quy chiếu quán tính ” ối Einstein đều như nhau và bằng c = 3.10 ư ằng c = 3.10 8 m/s.

Ngh a là c không ph thu c vào chuy n đ ng c a ngu n c ng nh c a ng i quan sátĩa vận tốc tương đối của vật 1 so với vật 2 : ục đích đó và nhiều thí ột lượng bất biến đối với phép biến đổi Galileo ển ột lượng bất biến đối với phép biến đổi Galileo ủa vật 1 so với vật 2 : ồn cũng như của người quan sát ư ủa vật 1 so với vật 2 : ư (máy thu)

C h c d a trên thuy t t ng đ i Einstein g i là c h c t ng đ i C h c này là n nơng đối ọc để phát hiện ra ự mở rộng nguyên lý tương ến đối với phép biến đổi Galileo ương đối ối với phép biến đổi Galileo ọc để phát hiện ra ơng đối ọc để phát hiện ra ương đối ối với phép biến đổi Galileo ơng đối ọc để phát hiện ra ề 1:

t ng cho vi c nghiên c u chuy n đ ng c a các v t có v n t c g n b ng v n t c ánh sáng Nó baoệ 0(x, y, z) và 0’(x’, y’, z’) ức cộng vận tốc cổ điển ển ột lượng bất biến đối với phép biến đổi Galileo ủa vật 1 so với vật 2 : ận tốc: Xét hai hệ 0(x, y, z) và 0’(x’, y’, z’) ận tốc: Xét hai hệ 0(x, y, z) và 0’(x’, y’, z’) ối với phép biến đổi Galileo ằm ận tốc: Xét hai hệ 0(x, y, z) và 0’(x’, y’, z’) ối với phép biến đổi Galileo trùm n i dung c a c h c c đi n Nói cách khác c h c c đi n là tr ng h p đ c bi t c a cột lượng bất biến đối với phép biến đổi Galileo ủa vật 1 so với vật 2 : ơng đối ọc để phát hiện ra ổi Galileo ển ơng đối ọc để phát hiện ra ổi Galileo ển ư ợng bất biến đối với phép biến đổi Galileo ặc biệt của cơ ệ 0(x, y, z) và 0’(x’, y’, z’) ủa vật 1 so với vật 2 : ơng đối

h c t ng đ i.ọc để phát hiện ra ương đối ối với phép biến đổi Galileo

2.3.2 Phép biến đổi Lorentz.

Chúng ta g i bi n c là m t s vi c b t k x y ra t i m t v trí nh t đ nh vào m t th iọc để phát hiện ra ến đối với phép biến đổi Galileo ối với phép biến đổi Galileo ột lượng bất biến đối với phép biến đổi Galileo ự mở rộng nguyên lý tương ệ 0(x, y, z) và 0’(x’, y’, z’) ất biến đối với phép biến đổi Galileo ỳ xảy ra tại một vị trí nhất định vào một thời ại Do đó người ta phải nghĩ đến sự mở rộng nguyên lý tương ột lượng bất biến đối với phép biến đổi Galileo ịnh nghĩa vận tốc tương đối của vật 1 so với vật 2 : ất biến đối với phép biến đổi Galileo ịnh nghĩa vận tốc tương đối của vật 1 so với vật 2 : ột lượng bất biến đối với phép biến đổi Galileo

đi m xác đ nh M i bi n c đ c xác đ nh b ng b n t a đ g m ba t a đ không gian (x,y,z) vàển ịnh nghĩa vận tốc tương đối của vật 1 so với vật 2 : " ến đối với phép biến đổi Galileo ối với phép biến đổi Galileo ượng bất biến đối với phép biến đổi Galileo ịnh nghĩa vận tốc tương đối của vật 1 so với vật 2 : ằm ối với phép biến đổi Galileo ọc để phát hiện ra ột lượng bất biến đối với phép biến đổi Galileo ồn cũng như của người quan sát ọc để phát hiện ra ột lượng bất biến đối với phép biến đổi Galileo

m t t a đ th i gian (t) M t quá trình là m t chu i bi n c n i ti p nhau trong không gian vàột lượng bất biến đối với phép biến đổi Galileo ọc để phát hiện ra ột lượng bất biến đối với phép biến đổi Galileo ột lượng bất biến đối với phép biến đổi Galileo ột lượng bất biến đối với phép biến đổi Galileo " ến đối với phép biến đổi Galileo ối với phép biến đổi Galileo ối với phép biến đổi Galileo ến đối với phép biến đổi Galileo

th i gian

Gi s m t bi n c có t a đ trong h 0 là (x,y,z,t), trong h 0’ là (x’,y’,z’,t’) các công# ột lượng bất biến đối với phép biến đổi Galileo ến đối với phép biến đổi Galileo ối với phép biến đổi Galileo ọc để phát hiện ra ột lượng bất biến đối với phép biến đổi Galileo ệ 0(x, y, z) và 0’(x’, y’, z’) ệ 0(x, y, z) và 0’(x’, y’, z’)

th c bi n đ i Galileo không th dùng đ xác đ nh quan h gi a các t a đ trên, vì chúng mâu thu nức cộng vận tốc cổ điển ến đối với phép biến đổi Galileo ổi Galileo ển ển ịnh nghĩa vận tốc tương đối của vật 1 so với vật 2 : ệ 0(x, y, z) và 0’(x’, y’, z’) ững ọc để phát hiện ra ột lượng bất biến đối với phép biến đổi Galileo ẫn

v i hai tiên đ Einstein Trong thuy t t ng đ i, c không tuân theo đ nh lu t c ng v n t c cới phép biến đổi Galileo ề 1: ến đối với phép biến đổi Galileo ương đối ối với phép biến đổi Galileo ịnh nghĩa vận tốc tương đối của vật 1 so với vật 2 : ận tốc: Xét hai hệ 0(x, y, z) và 0’(x’, y’, z’) ột lượng bất biến đối với phép biến đổi Galileo ận tốc: Xét hai hệ 0(x, y, z) và 0’(x’, y’, z’) ối với phép biến đổi Galileo ổi Galileo

đi n rút ra t phép bi n đ i Galileo.ển ừ hệ ến đối với phép biến đổi Galileo ổi Galileo

2.3.3.1 Phép bi n đ i Lorentz.ến đối với phép biến đổi Galileo ổi Galileo

a i u ki n phép bi n đ i Lorentz.Đây là các công thức cộng vận tốc cổ điển ề 1: ệ 0(x, y, z) và 0’(x’, y’, z’) ến đối với phép biến đổi Galileo ổi Galileo

- Chúng ph i phù h p v i hai tiên đ Einstein.ợng bất biến đối với phép biến đổi Galileo ới phép biến đổi Galileo ề 1:

- Vì hai hệ là tương đương không hệ nào ưu tiên hơn hệ nào Các công thức từ

hệ 0 sang 0’ phải có cùng dạng toán học Nếu một công thức chứa v công thức kia cũng phải chứa -v

- Nếu một biến cố có tọa độ hữu hạn trong một hệ nó cũng phải có tọa độ hữu hạn trong hệ kia

- Khi v = 0 hệ 0 tương đương hệ 0’ các công thức biến đổi phải cho kết quả:

x = x’; y = y’; z = z’; t = t’ Tóm lại các công thức phải có dạng tuyến tính

b Thành lập công thức biến đổi

Xét một hệ quy chiếu quán tính 0xyzt và 0’x’y’z’t’, 0’x’ trượt dọc theo 0x sao cho 0’y’ 0y và 0’z’  0z

Vì không gian đồng nhất và đẳng hướng theo các định nghĩa như trên, ta được:

y’ = y z’ = z

Sự liên hệ giữa (x’,t’) và (x,t)

Ta dùng hai hệ tọa độ không thời gian 0xt đứng yên và 0’x’t’ chuyển động đều đối với 0 theo phương x với vận tốc v

Vì thời gian có tính tương đối t t’

phụ thuộc hệ quy chiếu nên: tt’ (1)

Giã sử tọa độ x’ liên hệ với x và t v

theo phương trình: x’ = f(x,t) (2)

Để tìm dạng f(x,t) ta áp dụng (2) cho điểm gốc 0’ của 0’x’t’ : Tọa độ của 0’ đối với 0xt là: x = vt 0’ x’

Nghĩa là đối với điểm này tọa độ của điểm 0’

bao giờ cũng thỏa mãn: x – vt = 0 (3) 0 x

Hình 2.2 Còn toạ độ của nó đối với hệ 0’x’t’ bao giờ cũng bằng 0: x’ = 0 Muốn phương trình (2) áp dụng đúng cho hệ 0’, nghĩa là khi thay x’ = 0 vào (2) ta phải được biểu thức (3) thì f(x,t) chỉ có thể khác một hệ số nhân  nào đó: x’ = (x – vt) (4)

Tương tự : x = (x’ + vt) (5) Theo tiên đề 1 mọi hệ quán tính tương nhau nghĩa là (4)  (5) bằng cách thay

v = -v’; x’= x ; t’= t Do đó :  

Theo tiên đề 2: Nếu x = ct, thì x’ = ct’, thay (4) vào (5):

(4)   = = = tc ct v



'

(a) (5)   =  = = = (b)

(a) (b)    2 





1

1 2

2

c

v



Hay  





























2 2

2

2 2

/ 1

' ) /

( ' '

/ 1

' '

c v

x c

v t

t

z z

y y

c v

vt x

x





























2 2

2

2 2

/ 1

) /

( '

'

/ 1

'

c v

x c

v t

t

z

z

y

y

c v

vt x

x

(2.8)

2.3.3.2 Hệ quả:

a v << c, các công thức Lorentz trở thành các công thức Galilieo và khi đó:

1-v2/ c2 1 và t-(v/c2)x  t

b v > c, ảo: Khi đó cho phép biến đổi Lorentz mất ý nghĩa vật lý Ở đây v là vận tốc hệ 0’ tức là vận tốc một hệ vật chất đang chuyển động, điều đó có nghĩa là không có vật thể vật chất nào chuyển động với vận tốc lớn hơn vận tốc ánh sáng trong chân không

Các vận tốc thông thường đạt được trong khoa học kỹ thuật và đời sống thì các công thức Galilieo vẫn có thể dùng thay công thức Lorentz được Điều đó giải thích tại sao cho tới đầu thế kỷ XX trước khi có lý thuyết tương đối khoa học vẫn phát triển được

v

trên cơ sở lý thuyết cổ điển và sau khi có thuyết tương đối những thành tựu của vật lý học cổ điển vẫn còn có giá trị

2.4 TÍNH TƯƠNG ĐỐI CỦA KHOẢNG KHÔNG GIAN - THỜI GIAN - HIỆN TƯỢNG DOPPLER ĐỐI VỚI ÁNH SÁNG

2.4.1 Tính tương đối của khoảng không gian.

(Sự rút ngắn chiều dài trong hệ chuyển động )

Xét thanh AB không biến dạng nằm yên trong hệ 0’, chiều dài song song trục 0’x’, chiều dài của thanh:

A l B

0

Hình 2.3

Đo trong hệ 0’ tại đó thanh đứng yên gọi là chiều dài riêng của thanh: l’= x’B – x’A Trong hệ 0 thanh đang chuyển động muốn đo chiều dài của nó trong hệ 0 ta phải xác định xA , xB tại cùng thời điểm : tA = tB : l = xB - xA

Theo phép biến đổi Lorentz:

Hay: l = l’ (2.9) Khi xét một vật có thể tích V, thể tích của nó cũng có thể được viết:

V = V’

Như vậy khi chuyển động kích thước của nó theo phương chuyển động bị co lại theo tỉ lệ: 1/

Nói cách khác khoảng không gian là một lượng tương đối phụ thuộc hệ qui chiếu Thanh B

Thanh A

 a b

Hình 2.3

Hình 2.3.a: theo quan điểm người quan sát a

Hình 2.3.b: theo quan điểm người quan sát b

Phép co Lorentz của hai thanh đồng nhất có chiều dài riêng l’ = 1m chuyển động

so với nhau với vận tốc v = 0,6c

6 0

Xét hai thanh A, B có cùng chiều dài riêng l’ như nhau và chuyển động tương đối với nhau theo chiều dài riêng của chúng có thể coi A đứng yên, B chuyển động với vận

tốc v do đó B co lại; cũng có thể coi A chuyển động với vận tốc -v, B đứng yên do đó A

co lại; hai cách nói trên là tương đ ng nh nhau.ương đối ư

Theo thuyết tương đối mỗi hệ chuyển động có không gian của nó và thời gian riêng của nó Khi đo thanh A trong không gian của nó ta thấy chiều dài của nó là l < l’ số

đo nhỏ hơn không phải vì A thực sự co lại mà là vì ta đã chuyển từ không gian này sang không gian khác để đo nó

Đặt vấn đề xem thanh nào thực sự co lại là một việc vô nghĩa cũng như đặt vấn

đề xem thanh nào chuyển động thực s ự mở rộng nguyên lý tương Chuyển động của một vật phải được xem xét bằng sự so sánh vị trí của nó đối với vật khác coi như đứng yên Cũng như vậy sự co lại của một vật cũng phải được xem xét bằng sự so sánh kích thước đối với vật được coi là đứng yên

2.4.2 Tính tương đối của sự đồng thời.

Xét hai biến cố A và B xảy ra đồng thời (tA = tB) tại tọa độ xA và xB trong hệ 0 Theo phép biến đổi Lorentz quan sát viên đứng trong hệ 0’ chuyển động đối với 0 sẽ thấy biến cố A xảy ra ở thời điểm:

/ 1

x '

2 2

A 2

c v c

v t

t A A





/ 1

x '

2 2

B 2

c v c

v t

t B B







a Nếu xA xB thì t’A = t’B: nghĩa là trong hệ 0 hai biến cố xảy ra đồng thời ở một nơi Quan sát viên hệ 0’ cũng thấy hai biến cố đó xảy ra đồng thời

b Nếu xA xB thì: t’

A  t’

B: nghĩa là trong hệ 0 hai biến cố xảy ra đồng thời ở hai

nơi khác nhau Quan sát viên hệ 0’ thấy hai biến cố đó xảy ra không đồng thời.

Nguyên nhân mà một người quan sát cho rằng chiều dài l ngắn hơn số đo người

quan sát thứ 2 là như sau: Vấn đề là các biến cố đồng thời đối với một người quan sát, nhưng lại không đồng thời đối với người quan sát thứ hai.

Thí dụ: Xe chở hàng đo chiều dài l’ (đứng yên) Người quan sát B đứng giữa xe

và đo chiều dài xe thấy bằng l’ Bây giờ người ta nghĩ cách cho người quan sát A đo chiều dài xe đang chuyển động và do đó xác nhận sự có mặt của phép co Lorentz

Giả sử ở thời điểm khi B qua A theo ý kiến của A ở cả hai đầu xe đồng thời loé lên hai tia chớp Đo khoảng cách giữa hai tia chớp để lại trên xe

A xác nhận kết quả:

2 2

/ 1

l

l  ( l < l’)

y

A   B

 x

A

Hình 2.4



B

Tuy nhiên ta s không l y làm ng c nhiên r ng theo xác nh n c a B thì m i đ u tia ch p% ất biến đối với phép biến đổi Galileo ại Do đó người ta phải nghĩ đến sự mở rộng nguyên lý tương ằm ận tốc: Xét hai hệ 0(x, y, z) và 0’(x’, y’, z’) ủa vật 1 so với vật 2 : ới phép biến đổi Galileo ới phép biến đổi Galileo loé bên ph i Ch c ch n là v i quan đi m c a A ng i trong xe chuy n đ ng v phía tia ch p bên& & ới phép biến đổi Galileo ển ủa vật 1 so với vật 2 : ư ển ột lượng bất biến đối với phép biến đổi Galileo ề 1: ới phép biến đổi Galileo

ph i và m i đ u s nhìn th y nó Nh ng n u B m i đ u nhìn th y tia ch p bên ph i, thì ánh sángới phép biến đổi Galileo % ất biến đối với phép biến đổi Galileo ư ến đối với phép biến đổi Galileo ới phép biến đổi Galileo ất biến đối với phép biến đổi Galileo ới phép biến đổi Galileo này đ n B đ u tiên không tu thu c ai quan sát Nh ng theo ý ki n B, c hai tia ch p phát ra chến đối với phép biến đổi Galileo ỳ xảy ra tại một vị trí nhất định vào một thời ột lượng bất biến đối với phép biến đổi Galileo ư ến đối với phép biến đổi Galileo ới phép biến đổi Galileo ở rộng nguyên lý tương " cách B nh ng kho ng gi ng nhau và ngay sau khi nhìn t n m t đ u tiên lóe sáng bên ph i thì theo ýững ối với phép biến đổi Galileo ận tốc: Xét hai hệ 0(x, y, z) và 0’(x’, y’, z’) &

B tia ch p bên ph i ph i phát đ u tiên ới phép biến đổi Galileo

Ng i quan sát A (đo l) cho r ng các tia ch p không đ ng th i đi t i hai đ u xe Quan sátư ằm ới phép biến đổi Galileo ồn cũng như của người quan sát ới phép biến đổi Galileo viên B chuy n đ ng v phía tia ch p sáng bên ph i và g p nó tr c theo ý ki n anh ta thì tia ch pển ột lượng bất biến đối với phép biến đổi Galileo ề 1: ới phép biến đổi Galileo ặc biệt của cơ ưới phép biến đổi Galileo ến đối với phép biến đổi Galileo ới phép biến đổi Galileo

m i đ u loé lên bên ph i ới phép biến đổi Galileo ở rộng nguyên lý tương

2.4.3 Tính tương đối của khoảng thời gian.

(Sự chậm lại của thời gian trong hệ chuyển động )

Xét một vật hình điểm đứng yên trong hệ 0’ có toạ độ bằng x’, trên đó xảy ra hai biến cố A và B vào những thời điểm t’

A và t’

B, khoảng thời gian giữa hai biến cố đo trong

hệ 0’ là:

t't B'  t A'

Đó là khoảng thời gian đo trong hệ tại đó vật chứa các biến cố là đứng yên ta gọi

là khoảng thời gian riêng giữa hai biến cố

Trong hệ 0:

2 2

' 2 '

/

1 v c

x c

v t





2 2

' 2 '

/

1 v c

x c

v t







Trong hệ 0’ hai biến cố xảy ra một chổ nên: x’

A = x’

B Khoảng thời gian hai biến cố đó trong hệ 0:

' 2

2

' '

/ 1 /

t c

v

t t t t

A B

















Kho ng th i gian riêng hai bi n c ến đối với phép biến đổi Galileo ối với phép biến đổi Galileo t' nh h n ỏ hơn ơng đối t kho ng th i gian đo trong hệ 0(x, y, z) và 0’(x’, y’, z’) chuy n đ ng Nói m t cách khác kho ng th i gian trong h chuy n đ ng trôi ch m h n (ển ột lượng bất biến đối với phép biến đổi Galileo ột lượng bất biến đối với phép biến đổi Galileo ệ 0(x, y, z) và 0’(x’, y’, z’) ển ột lượng bất biến đối với phép biến đổi Galileo ận tốc: Xét hai hệ 0(x, y, z) và 0’(x’, y’, z’) ơng đối tl nới phép biến đổi Galileo

h n) ơng đối th i gian trong h đ ng yên (ệ 0(x, y, z) và 0’(x’, y’, z’) ức cộng vận tốc cổ điển t' nh h n)ỏ hơn ơng đối ; đ ng h đ t trong h chuy n đ ng ch yồn cũng như của người quan sát ồn cũng như của người quan sát ặc biệt của cơ ệ 0(x, y, z) và 0’(x’, y’, z’) ển ột lượng bất biến đối với phép biến đổi Galileo ại Do đó người ta phải nghĩ đến sự mở rộng nguyên lý tương

ch m h n đ ng h đ t trong h đ ng yên và nói chung m i quá trình trong h chuy n đ ng di n raận tốc: Xét hai hệ 0(x, y, z) và 0’(x’, y’, z’) ơng đối ồn cũng như của người quan sát ồn cũng như của người quan sát ặc biệt của cơ ệ 0(x, y, z) và 0’(x’, y’, z’) ức cộng vận tốc cổ điển ọc để phát hiện ra ệ 0(x, y, z) và 0’(x’, y’, z’) ển ột lượng bất biến đối với phép biến đổi Galileo ễn ra

ch m h n các quá trình t ng ng trong h đ ng yên ận tốc: Xét hai hệ 0(x, y, z) và 0’(x’, y’, z’) ơng đối ương đối ức cộng vận tốc cổ điển ệ 0(x, y, z) và 0’(x’, y’, z’) ức cộng vận tốc cổ điển

Cũng như sự co lại của chiều dài, sự chậm lại của thời gian là một hiệu ứng

động học; coi 0 đứng yên thì thời gian trong hệ 0’ chậm lại và ngược lại Không thể đặt vấn đề xem thời gian trong hệ 0 hay hệ 0’ thực sự chậm lại

Thí dụ: meson  được tạo thành trên thượng tầng khí quyển do sự va chạm các hạt proton và neutron thật nhanh, thời gian sống trung bình ’ = 2,2.10-8 s sau đó tự phân rã thành meson µ và neutrino  :

  µ + 

Meson  chuyển động với vận tốc v = 0,999 999 99c trong khoảng ’ = 2,2.10-8 s

nó đi được l = 6,5 m sau đó phân rã, không còn meson  Nhưng người ta quan sát được meson  ngang mặt biển và ngay cả dưới hầm mỏ tức là cách nơi phát sinh từ 40 đến 50 km

Thuyết cổ điển không giải thích được

Thuyết tương đối ’ = 2,2 10-8 s là thời gian riêng gắn liền meson để đo nó

Hệ gắn meson  với hệ gắn Trái đất chuyển động tương đối với nhau với vận

/ 1

1

2

/ 1

1

2

Trong thời gian đó meson  di chuyển l’ # 46 km

Nếu xét hiện tượng trong hệ gắn meson  thì khoảng cách từ meson  đến mặt đất :

m c

v l

l ' 1 2 / 2 6 , 5







Hai cách xét hiện tượng đều giải thích sự có mặt của meson 

2.4.4 Hiện tượng Doppler đối với ánh sáng.

Ta đã xét hiệu ứng Doppler về sự dịch chuyển của tần số sóng âm trong không khí Trước khi có thuyết tương đối, các nhà vật lý tin rằng cần phải có một môi trường gọi là ether làm chỗ tựa cho sự truyền ánh sáng Như vậy công thức Doppler cho sóng

âm được dùng cho ánh sáng bằng cách chỉ thay thế vận tốc ánh sáng c vào vận tốc của

âm Với sự ra đời của thuyết tương đối, Einstein cho rằng sự truyền ánh sáng không đòi hỏi môi trường nào cả và rằng vận tốc tương đối của nguồn và của máy thu là vận tốc duy nhất đáng chú ý

Hiệu ứng Doppler là một hiệu ứng vật lý, đặt tên theo Christian Andreas Doppler, trong đó tần số và bước sóng của các sóng âm, sóng điện từ hay các sóng nói chung bị thay đổi khi mà nguồn phát sóng chuyển động tương đối với người quan sát

Đối với sóng chuyển động trong một môi trường, như sóng âm, nguồn sóng và người quan sát đều có thể chuyển động tương đối so với môi trường Hiệu ứng Doppler lúc đó là sự tổng hợp của hai hiệu ứng riêng rẽ gây ra bởi hai chuyển động này

Cụ thể, nếu nguồn di động trong môi trường phát ra sóng với tần số tại nguồn là

f0, một người quan sát đứng yên trong môi trường sẽ nhận được tần số f:

với c tốc độ lan truyền của sóng trong môi trường, v là thành phần vận tốc chuyển động

của nguồn so với môi trường theo phương chỉ đến người quan sát (âm nếu đi về phía người quan sát, dương nếu ngược lại)

Tương tự, khi nguồn đứng yên còn

người quan sát chuyển động:

Hình 2.5 Sóng phát ra từ một nguồn đang chuyển động từ phải sang trái

x S: nguồn

Sx: phương chuyển động

Hình 2.6 Tần số tăng lên khi nguồn tiến về phía người quan sát,

và giảm đi khi nguồn đi ra xa người quan sát

(2.11)