b Chứng minh rằng cho n số tự nhiên bao giờ ta cũng có thể chọn một số hoặc một vài số có tổng chia hết cho n... ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM Câu..[r]
(1)TRƯỜNG THCS ĐỒNG TĨNH ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI Năm học: 2013–2014 Môn: Toán Thời gian làm bài: 120 phút Đề thi này gồm 01 trang Thí sinh dự thi không sử dụng máy tính cầm tay Câu ( 1,5 điểm) x y z 216 a) Tìm x, y, z biết: 12 và xyz = 125 b) Tìm x, y biết: 2x 2013 x 2y 2014 0 Câu ( 2,0 điểm) a) Rút gọn A 1 1 100 101 2 2 2009 2008 2007 b) Chứng tỏ số A 75.(4 1) 25 chia hết cho 100 Câu ( 2,0 điểm) ax bx +c a b c a a) Cho b1 c1 chứng minh rằng, giá trị biểu thức P = a1x b1x +c1 không phụ thuộc vào giá trị x b) Tổng các luỹ thừa bậc ba ba số là -1009 Biết tỉ số số thứ và số thứ hai là , tỉ số số thứ và số thứ ba là Tìm ba số đó? Câu ( 2,0 điểm) a) Tìm tất các số nguyên tố a và b cho cho 7a + b và ab + 11 là số nguyên tố b) Chứng minh cho n số tự nhiên ta có thể chọn số vài số có tổng chia hết cho n Câu ( 2,5 điểm) Cho tam giác ABC có AB = AC Trên tia đối tia BC lấy điểm D, trên tia đối tia BA lấy điểm E cho ED = EB ABC 180 BAC a) Chứng tỏ b) Chứng minh DE // AC ––––––––––––––––HẾT––––––––––––––––– Cán coi thi không giải thích gì thêm Họ tên thí sinh SBD: (2) ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM Câu 1a Nội dung x y z Đặt 12 x = 12k, y = 6k và z =3k 216 216 Vì xyz = 125 nên 12k.6k.3k = 125 1 k3 k 125 12 x= ;y= 5;z= Ta có 2|2x - 3| 0 với x 2013 x 2y 1b 0 với x x 2x 0 y 3 Dấu ‘=’ xảy x 2y 0 3 x ;y Vậy A 2a 2014 1 1 99 100 2 2 2A 2101 2101 nên A = 3.2101 2A + A = A 75.(42009 42008 42007 1) 25 = (100 25).(42009 42008 42007 1) 25 2009 2008 2007 2009 2008 2007 =100.(4 1) 25.(4 1) 25 2009 2008 2007 2009 2008 2007 = 100.(4 1) 25.(4 1) 2009 2008 2007 2009 2008 2007 =100.(4 1) 25.(4 4) 2009 2008 2007 2008 2007 2006 =100.(4 1) 100.(4 1) 100 a b c Đặt k = a1 b1 c1 3a 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 1 1 100 101 2 2 1 2b Điểm c k c Với x = thì P = a b c ax bx c ax bx c k a b c a x b x c a x b x c 1 1 1 1 Với x thì Vậy giá trị P không phụ thuộc vào giá trị x 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 (3) 3b x y3 z 1009 x x y x y Ta có: y x x z x y z z 9 x 4k, y 6k, z 9k x y3 z 4k 6k 9k 64k 216k 729k 1009k 1009 0,25 k k 0,25 4a 0,25 3 x 1.4 y 1.6 z 1.9 Ta có: ab + 11 > nên là số nguyên tố lẻ Nên ab là chẵn đó a = b = TH1: a = thì 7a + b = 14 + b ab + 11 = 2b + 11 Để 14 + b là số nguyên tố thì b lẻ đó b 3 +) Nếu b > thì b có dạng 6k + và 6k – ( k là số nguyên) b = 6k + thì 14 + b = 6k + 15 là hợp số b = 6k – thì 2b + 11 = 12k + là hợp số Dó đó b > không thỏa mãn +) b = thử lại thỏa mãn TH2: Tương tự b = và a = Vậy a = 2; b = a = b = b) Gọi n số tự nhiên là a1 ;a ; a ; a n 0,25 0,5 0,5 Xét S1 a1 S1 a1 a S1 a1 a a n 4b TH1: Nếu n tổng đó có tổng chia hết cho n thì đó là tổng cần tìm TH2: Nếu n tổng đó không có tổng nào chia hết cho n Chia n tổng trên cho n thì số dư có thể là 1, 2, …, n – Theo nguyên lý Dirichlet có ít hai tổng chia n có cùng số dư Giả sử hai tổng đó là Sk và Sl với k < l n 0,25 0,25 0,25 Sl a1 a a k a k 1 a l Sk a1 a a k Sl Sk a k 1 a l Hiệu này là tổng phải tìm 0,25 (4) Câu 0,5 Vẽ hình ghi GT, KL a) Lấy I là trung điểm BC Cm ABI = ACI (c.c.c) Suy ABC BCA BAC ABC BCA 1800 (Tính chất tổng ba góc tam giác) BAC 2ABC 1800 ABC 180 BAC Suy b) ABC BCA DBE Tương tự ta có BDE Mà DBE ABC (đối đỉnh) Do đó BDE ABC Suy DE // AC (So le trong) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 (5)