ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI M«n : to¸n 7 : n¨m häc 2012-2013 Câu 1 (2,5 điểm). Tính: a/ 7,3. 10,5 + 7,3. 15 + 2,7. 10,5 + 15. 2,7 b/ (6 9 .2 10 + 12 10 ) : (2 19 .27 3 + 15.4 9 .9 4 ) Câu 2 (5 điểm). So sánh A và B trong mỗi trường hợp sau: a/ A = 4025 2012− ; B = 3997 1999− b/ A = 3 21 ; B = 2 31 c/ A = 2000.1999 2011 6.5 2011 4.3 2011 2.1 2011 ++++ ; B= 2012 2012 2012 2012 1001 1002 1003 2000 + + + + Câu 3 (5 điểm). a/ Chứng minh rằng: 3 x+1 + 3 x+2 + 3 x+3 +……+ 3 x+100 chia hết cho 120 (với x ∈ N) b/ Cho 3 2 2 4 4 3 4 3 2 x y z x y z− − − = = . Chứng minh rằng: 2 3 4 x y z = = c/ Cho f(x) là hàm số xác định với mọi x thỏa mãn điều kiện f(x 1 .x 2 ) = f(x 1 ).f(x 2 ) và f(2) = 10. Tính f(32). Câu 4 (5 điểm). Cho tam giác ABC có AB < AC. Trên tia đối của tia CA lấy điểm D sao cho CD = AB. Gọi I là giao điểm các đường trung trực của BC và AD. a/ Chứng minh ∆AIB = ∆DIC b/ Chứng minh AI là tia phân giác của góc BAC. c/ Kẻ IE vuông góc với AB, chứng minh AD 2 1 AE = . 1 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2012 – 2013 Môn Toán 7 CÂU ý ĐÁP ÁN ĐIỂM Câu 1 (2,5đ) a 1,5đ 7,3.10,5 + 7,3.15 + 2,7.10,5 + 15.2,7 = 10,5.(7,3 + 2,7) + 15.(7,3 + 2,7) = 10,5. 10 + 15. 10 = 105 + 150 = 255 0,5 0,5 0,5 b 1đ (6 9 .2 10 + 12 10 ) :(2 19 .27 3 + 15.4 9 .9 4 ) = ( 3 9 .2 9 .2 10 + 2 20 .3 10 ) : (2 19 .3 9 + 3.5.2 18 .3 8 ) = [2 19 .3 9 (1+2.3)] : [2 18 .3 9 (2 +5)] = (2.7) : 7 = 2 0,5 0,25 0,25 Câu 2 (5đ) a 2đ 2012 2012 1 1 1999 1999 ; 4025 4024 2 2 3998 3997 2012 1999 4025 3997 < = = < ⇒ < => 4025 2012− > 3997 1999− Vậy A > B 1,0 0,5 0,5 b 1,5đ A = 3 21 = 3.(3 2 ) 10 = 3.9 10 B = 2 31 = 2.(2 3 ) 10 = 2.8 10 Suy ra A > B 0,5 0,5 0,5 c 1,5đ +++++= +++++− ++++++= ++++− ++++++++= ++++− ++++= −++−+−+−= ++++= 2000 1 1999 1 1003 1 1002 1 1001 1 .2011 1000 1 999 1 3 1 2 1 1 2000 1 1999 1 4 1 3 1 2 1 1.2011 2000 1 6 1 4 1 2 1 .2 2000 1 1999 1 6 1 5 1 4 1 3 1 2 1 1.2011 2000 1 6 1 4 1 2 1 1999 1 5 1 3 1 1.2011 2000 1 1999 1 6 1 5 1 4 1 3 1 2 1 1.2011 2000.1999 2011 6.5 2011 4.3 2011 2.1 2011 A 1 1 1 1 2012. 1001 1002 1003 2000 B = + + + + ÷ Suy ra A < B 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu a 2,5đ 3 x+1 + 3 x+2 + 3 x+3 +…… + 3 x+100 = (3 x+1 + 3 x+2 + 3 x+3 + 3 x+4 ) + (3 x+5 + 3 x+6 + 3 x+7 + 3 x+8 )+…+ (3 x+97 + 0,75 2 3 (5đ) 3 x+98 + 3 x+99 + 3 x+100 ) = 3 x (3+3 2 +3 3 +3 4 ) + 3 x+4 (3+3 2 +3 3 +3 4 ) +…+3 x+96 (3+3 2 +3 3 +3 4 ) = 3 x .120 + 3 x+4 .120 +…+3 x+96 .120 = 120(3 x + 3 x+4 +…+3 x+96 ) M 120 (đpcm) 0,75 0,5 0,5 b 1,5đ 3 2 2 4 4 3 4 3 2 x y z x y z− − − = = . Suy ra: 4(3 2 ) 3(2 4 ) 2(4 3 ) 16 9 4 12 8 6 12 8 6 0 29 x y z x y z x y z x y z − − − = = − + − + − = = Vậy 3 2 0 3 2 (1) 4 2 3 2 4 0 2 4 (2) 3 2 4 x y x y x y z x x z z x − = ⇒ = ⇒ = − = ⇒ = ⇒ = Từ (1) và (2) ta được 2 3 4 x y z = = 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 c 1đ Vì f(x 1 .x 2 ) = f(x 1 ).f(x 2 ) nên f(4) = f(2.2) = f(2). f(2) = 10. 10 = 100 f(16) = f(4.4) = f(4). f(4) = 100. 100 = 10000 f(32) = f(16.2) = f(16). f(2) = 10000. 10 = 100000 0,5 0,25 0,25 Câu 4 (5đ) Hình vẽ I P A C D B E 0,5 a 1,5đ Vì I là giao điểm các đường trung trực của BC và AD nên IB = IC, IA = ID Lại có AB = CD (gt) Do đó ∆AIB = ∆DIC (c.c.c) 0,25 0,5 0,25 0,5 b 1,5đ ∆AID cân ở I, suy ra ∠ DAI = ∠ D ∆AIB = ∆DIC (câu a), suy ra ∠ BAI = ∠ D Do đó ∠ DAI = ∠ BAI. Vậy AI là tia phân giác của góc BAC 0,5 0,25 0,5 0,25 c 1,5đ Kẻ IP ⊥AD, ta có ∆AIE = ∆AIP ( cạnh huyền-góc nhọn) => AE = AP Mà AP = ½ AD (vì P là trung điểm AD) Suy ra AD 2 1 AE = 0,5 0,25 0,5 0,25 3 Câu 5 (2,5đ) a 1đ Trong 100 số đã cho, phải có ít nhất một số âm (vì nếu cả 100 số đều dương thì tích của ba số bất kì không thể là một số âm). Ta tách riêng số âm đó ra. Chia 99 số còn lại thành 33 nhóm, mỗi nhóm 3 thừa số. Theo đề bài, mỗi nhóm đều có tích là một số âm nên tích của 33 nhóm tức là của 99 số là một số âm. Nhân số âm này với số âm đã tách riêng từ đầu ta được tích của 100 số là một số dương. 0,25 0,25 0,25 0,25 b 1,5đ Sắp xếp 100 số đã cho theo thứ tự tăng dần, chẳng hạn a 1 ≤a 2 ≤a 3 ≤ ≤a 100 Các số này đều khác 0 (vì nếu có 1 thừa số bằng 0 thì tích của nó với hai thừa số khác cũng bằng 0, trái với đề bài). Xét tích a 98 .a 99 .a 100 < 0 ⇒ a 98 < 0 (vì nếu a 98 > 0 thì a 99 >0, a 100 > 0, tích của ba số này không thể là một số âm). Vậy a 1 , a 2 , a 3 , , a 98 là các số âm. Xét tích a 1 .a 2 .a 99 < 0 mà a 1 a 2 > 0 nên a 99 <0 Xét tích a 1 .a 2 .a 100 < 0 mà a 1 a 2 > 0 nên a 100 <0 Vậy tất cả 100 số đã cho đều là số âm. 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Ghi chú: - Hướng dẫn chấm chỉ nêu một cách giải cho từng bài. Nếu HS làm cách khác đúng thì cho điểm tương đương. - Bài hình không vẽ hình hoặc hình vẽ sai, không khớp với chứng minh thì không chấm phần chứng minh. - Điểm toàn bài là tổng điểm của tất cả các câu, không làm tròn. 4 . SINH GIỎI NĂM HỌC 2012 – 2013 Môn Toán 7 CÂU ý ĐÁP ÁN ĐIỂM Câu 1 (2,5đ) a 1,5đ 7, 3.10,5 + 7, 3.15 + 2 ,7. 10,5 + 15.2 ,7 = 10,5. (7, 3 + 2 ,7) + 15. (7, 3 + 2 ,7) = 10,5. 10 + 15. 10 = 105 + 150 = 255 0,5 0,5 0,5 b 1đ . LƯỢNG HỌC SINH GIỎI M«n : to¸n 7 : n¨m häc 2012-2013 Câu 1 (2,5 điểm). Tính: a/ 7, 3. 10,5 + 7, 3. 15 + 2 ,7. 10,5 + 15. 2 ,7 b/ (6 9 .2 10 + 12 10 ) : (2 19 . 27 3 + 15.4 9 .9 4 ) Câu 2 (5 điểm) (6 9 .2 10 + 12 10 ) :(2 19 . 27 3 + 15.4 9 .9 4 ) = ( 3 9 .2 9 .2 10 + 2 20 .3 10 ) : (2 19 .3 9 + 3.5.2 18 .3 8 ) = [2 19 .3 9 (1+2.3)] : [2 18 .3 9 (2 +5)] = (2 .7) : 7 = 2 0,5 0,25 0,25 Câu 2 (5đ) a 2đ