Chứng minh rằng tổng của hai số đó cộng với tích của chúng là một số chính phương lẻ.. Dựng ra phía ngoài hai tam giác đều ABE; ACF, lại dựng hình hành AEPF.[r]
(1)ĐÈ THI HỌC SINH GIỎI Môn: Toán Thời gian: 120 phút (không kể thời gian phát đề ) Bài 1: (2 điểm): a Giải phương trình: (x2 – 4x)2 + 2(x – 2)2 = 43 x+ x +1 b Cho phương trình: x −m = x −1 Tìm giá trị m để phương trình vô nghiệm Bài 2: (1 điểm): Chứng minh rằng: 1 1 1 2 2 Nếu a b c và a + b + c = abc thì ta có a b c Bài 3: (2 điểm): a Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x2 - 2xy + y2 + 4x - 4y - * b Chứng minh n N thì n n là hợp số c Cho hai số chính phương liên tiếp Chứng minh tổng hai số đó cộng với tích chúng là số chính phương lẻ Bài 4: (2 điểm): a Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = 2x2 + 3y2 + 4xy - 8x - 2y +18 b Cho a; b; c là ba cạnh tam giác ab bc ca a b c Chứng minh: a b c b c a c a b .Bài 5: (3 điểm): Câu 1(1điểm): Cho tam giác ABC nhọn Dựng phía ngoài hai tam giác ABE; ACF, lại dựng hình hành AEPF Chứng minh PBC là tam giác Câu 2(2điểm): : Cho tam giác ABC có BC = 15 cm, AC = 20 cm, AB = 25 cm a Tính độ dài đường cao CH tam giác ABC b Gọi CD là đường phân giác tam giác ACH Chứng minh BCD cân c Chứng minh: BC2 + CD2 + BD2 = 3CH2 + 2BH2 + DH2 (Giám thị coi thi không giải thích gì thêm) (2) HƯỚNG DẪN CHẤM ĐÈ THI HỌC SINH GIỎI Câu Nội dung bài giải Điểm a/ ( x − x ) +2 ( x −2 )2=43 ⇔ ( x − x ) +2 ( x − x+4 )=43 ; Đặt x2-4x = t Đk: t -4 Khi đó ta có phương trình: t2 + 2t - 35=0 ⇔ (t + 7)(t – 5) = ⇔ t = -7 ( loại) t = Với t = Khi đó: x2 - 4x - 5=0 ⇔ (x +1)(x – 5) = ⇔ x=5 x=-1 Vậy S = { 5; -1} x+2 x+1 b/ ĐK PT x - m x - Câu (2 đ) 0,25 0,25 0,25 (*) x – m 0 x m x – 0 x Từ (*) => (x + 2)(x – 1) = (x + 1)(x – m) => mx = – m (**) - Với m = thì PT (**) có dạng : 0x = Trường hợp này PT (**) vô nghiệm (1) 2-m - Với m thì PT (*) có nghiệm: x = m 2-m Nghiệm x = m là nghiệm PT (*) nó phải thỏa mãn điều kiện: x m và x 2-m 1 2-m m m 1 Tức là : m 2-m m m + m - 0 m - 1 m + 0 m m , m -2 Như PT (*) vô nghiệm với các giá trị m 1 2 Theo gt: a b c nên a 0,25 ,b 0, c {-2 ; ; 1} 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Ta có: Câu (1đ) 1 1 1 1 1 1 4 2 4 a b c ab bc ca a b c a b c 1 a b c 2 4 a b c abc a b c 1 Vì a + b + c = abc (gt) nên abc 0,25 0,25 (3) Bài 3: (2đ) 1 1 1 4 2 a b c a b c ( đpcm) 0,25 a)= (x - y)2 +4(x - y) - = (x - y)2 + 4(x - y)2 + -9 = (x - y + 2)2 - 32 = ( x - y + 5)(x - y -1) b) Ta có: n3 + n + = n3 + 1+ n+1= (n + 1)( n2 - n + 1) + (n + 1) 0,75 =(n+1)( n2 - n + 2) * Do n N nên n + > và n2 - n + >1 Vậy n3 + n + là hợp số Gọi hai số là a2 và (a+1)2 0,5 0.25 0,25 Theo bài ta có: a2 + (a + 1)2 + a2( a + 1)2 = a4 +2a3 + 3a2 + 2a + = (a4 + 2a3 + a2) + 2(a2 + a) + = (a2 + a)2 + 2(a + 1) + Theo bài ta có: a2 + (a + 1)2 + a2( a + 1)2 = a4 +2a3 + 3a2 + 2a + 0,25 = (a4 + 2a3 + a2) + 2(a2 + a) + = (a2 + a)2 + 2(a + 1) + = ( a2 + a + 1)2 là số chính phương lẻ vì a2 + a = a(a + 1) là số chẵn a2 + a + là số lẻ Ta có: A = 2(x2 + 2xy + y2) + y2 -8x -2y + 18 A = 2[(x+y)2 - 4(x + y) +4] + ( y2 + 6y +9) + A = 2(x + y - 2)2 + (y+3)2 + Vậy minA = x = 5; y = -3 b) vì a; b; c là ba cạnh tam giác nên: a + b - c > 0; - a + b + c > 0; a - b + c > Đặt x = - a + b + c >0; y = a - b + c >0; z = a + b - c >0 ta có: x + y + z = a + b + c; Bài 4: ( 2đ) a 0,25 0, 0,5 0,25 yz xz x y ;b ;c 2 ab bc ac ( y z)( x z ) ( x z)( x y) ( x y)( y z ) a b c a bc a b c 4z 4x 4y 0,25 xy yz xz 1 xy yz xz ( x y z ) 3( x y z ) (2 ) z x y 4 z x y 1 y x z x y z z x y 3( x y z ) ( ) ( ) ( ) 4 z x z y y x 3( x y z ) x y z x y z Mà x + y + z = a + b + c nên suy điều phải chứng minh Câu 1: 0,25 0,25 (4) A E 1 F P B C Ta có: AEPF là hình bình hành nên A ^E P= A ^F P Bài 4: (3 đ) Xét EPB và FPC, ta có: EB = FP ( = AE) ; EP = FC (= AF) và P E^ B = P F^ C ( vì 600 - A ^E P =600 - A ^F P ) ⇒ EPB = FPC ( c.g c ) Suy ra: PB = PC (1) Ta có: E ^A F + A ^E P=180 mà Ê1 + Ê2 = 600 Do đó Â3 = Ê2 ⇒^ A3 + ^ E1 =60 0.25 Xét EPB và ABC, ta có: EB = AB; EP = AC ( = AF) và Â3 = Ê2 ⇒ 0.25 0,25 EPB = ABC ( cgc ) Suy ra: PB = BC (2) Từ (1) và (2) ⇒ PB = PC = BC 0,25 Vậy PBC Câu 2: C B D H A a Dùng định lí Py-ta-go đảo chứng minh được: ABC vuông C 1 Ta có: SABC = AC.BC = AB.CH ⇒ cm b Dể dàng tính được; HA = 16 cm ; BH = cm CD là tia phân giác ACH nên suy AD = 10 cm ; HD = cm CH= AC BC 20 15 = = 12 AB 25 0,25 0,5 0,25 0,25 (5) Do đó BC = BD ( = 15 cm ) Vậy BDC cân B 0,25 c Xét các vuông : CBH, CAH Ta có: BC2 = BH2 + CH2 ( đl Py-ta-go) CD2 = DH2 + CH2 ( đl Py-ta-go) BD2 = BC2 = BH2 + CH2 ( đl Py-ta-go) Từ đó suy BC2 + CD2 + BD2 = 3CH2 + 2BH2 + DH2 0,25 0,25 (6)