KS HSG Lan II

Chứng minh rằng tổng của hai số đó cộng với tích của chúng là một số chính phương lẻ.. Dựng ra phía ngoài hai tam giác đều ABE; ACF, lại dựng hình hành AEPF.[r]

ĐÈ THI HỌC SINH GIỎI Môn: Toán Thời gian: 120 phút (không kể thời gian phát đề ) Bài 1: (2 điểm): a Giải phương trình: (x2 – 4x)2 + 2(x – 2)2 = 43 x+ x +1 b Cho phương trình: x −m = x −1 Tìm giá trị m để phương trình vô nghiệm Bài 2: (1 điểm): Chứng minh rằng: 1 1 1   2   2 Nếu a b c và a + b + c = abc thì ta có a b c Bài 3: (2 điểm): a Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x2 - 2xy + y2 + 4x - 4y - * b Chứng minh n  N thì n  n  là hợp số c Cho hai số chính phương liên tiếp Chứng minh tổng hai số đó cộng với tích chúng là số chính phương lẻ Bài 4: (2 điểm): a Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = 2x2 + 3y2 + 4xy - 8x - 2y +18 b Cho a; b; c là ba cạnh tam giác ab bc ca   a  b  c Chứng minh: a  b  c b  c  a c  a  b .Bài 5: (3 điểm): Câu 1(1điểm): Cho tam giác ABC nhọn Dựng phía ngoài hai tam giác ABE; ACF, lại dựng hình hành AEPF Chứng minh PBC là tam giác Câu 2(2điểm): : Cho tam giác ABC có BC = 15 cm, AC = 20 cm, AB = 25 cm a Tính độ dài đường cao CH tam giác ABC b Gọi CD là đường phân giác tam giác ACH Chứng minh BCD cân c Chứng minh: BC2 + CD2 + BD2 = 3CH2 + 2BH2 + DH2 (Giám thị coi thi không giải thích gì thêm) HƯỚNG DẪN CHẤM ĐÈ THI HỌC SINH GIỎI Câu Nội dung bài giải Điểm a/ ( x − x ) +2 ( x −2 )2=43 ⇔ ( x − x ) +2 ( x − x+4 )=43 ; Đặt x2-4x = t Đk: t -4 Khi đó ta có phương trình: t2 + 2t - 35=0 ⇔ (t + 7)(t – 5) = ⇔ t = -7 ( loại) t = Với t = Khi đó: x2 - 4x - 5=0 ⇔ (x +1)(x – 5) = ⇔ x=5 x=-1 Vậy S = { 5; -1} x+2 x+1  b/ ĐK PT x - m x - Câu (2 đ) 0,25 0,25 0,25 (*) x – m 0  x  m x – 0  x  Từ (*) => (x + 2)(x – 1) = (x + 1)(x – m) => mx = – m (**) - Với m = thì PT (**) có dạng : 0x = Trường hợp này PT (**) vô nghiệm (1) 2-m - Với m  thì PT (*) có nghiệm: x = m 2-m Nghiệm x = m là nghiệm PT (*) nó phải thỏa mãn điều kiện: x  m và x  2-m 1  2-m m  m 1 Tức là : m 2-m  m  m + m - 0   m - 1  m +  0 m  m  , m  -2 Như PT (*) vô nghiệm với các giá trị m 1   2 Theo gt: a b c nên a 0,25 ,b 0, c {-2 ; ; 1} 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Ta có: Câu (1đ)  1 1   1 1  1 1    4   2     4      a b c  ab bc ca   a b c a b c 1  a b c     2  4 a b c  abc  a b c 1 Vì a + b + c = abc (gt) nên abc 0,25 0,25  Bài 3: (2đ) 1 1 1    4    2 a b c a b c ( đpcm) 0,25 a)= (x - y)2 +4(x - y) - = (x - y)2 + 4(x - y)2 + -9 = (x - y + 2)2 - 32 = ( x - y + 5)(x - y -1) b) Ta có: n3 + n + = n3 + 1+ n+1= (n + 1)( n2 - n + 1) + (n + 1) 0,75 =(n+1)( n2 - n + 2) * Do n  N nên n + > và n2 - n + >1 Vậy n3 + n + là hợp số Gọi hai số là a2 và (a+1)2 0,5 0.25 0,25 Theo bài ta có: a2 + (a + 1)2 + a2( a + 1)2 = a4 +2a3 + 3a2 + 2a + = (a4 + 2a3 + a2) + 2(a2 + a) + = (a2 + a)2 + 2(a + 1) + Theo bài ta có: a2 + (a + 1)2 + a2( a + 1)2 = a4 +2a3 + 3a2 + 2a + 0,25 = (a4 + 2a3 + a2) + 2(a2 + a) + = (a2 + a)2 + 2(a + 1) + = ( a2 + a + 1)2 là số chính phương lẻ vì a2 + a = a(a + 1) là số chẵn  a2 + a + là số lẻ Ta có: A = 2(x2 + 2xy + y2) + y2 -8x -2y + 18 A = 2[(x+y)2 - 4(x + y) +4] + ( y2 + 6y +9) + A = 2(x + y - 2)2 + (y+3)2 +  Vậy minA = x = 5; y = -3 b) vì a; b; c là ba cạnh tam giác nên: a + b - c > 0; - a + b + c > 0; a - b + c > Đặt x = - a + b + c >0; y = a - b + c >0; z = a + b - c >0 ta có: x + y + z = a + b + c; Bài 4: ( 2đ) a 0,25 0, 0,5 0,25 yz xz x y ;b  ;c  2 ab bc ac ( y  z)( x  z ) ( x  z)( x  y) ( x  y)( y  z )      a b  c  a bc a  b c 4z 4x 4y 0,25 xy yz xz 1 xy yz xz  (    x  y  z )   3( x  y  z )  (2   )  z x y 4 z x y  1 y x z x y z z x y    3( x  y  z )  (  )  (  )  (  )  4 z x z y y x    3( x  y  z )  x  y  z   x  y  z Mà x + y + z = a + b + c nên suy điều phải chứng minh Câu 1: 0,25 0,25 A E 1 F P B C Ta có: AEPF là hình bình hành nên A ^E P= A ^F P Bài 4: (3 đ) Xét  EPB và  FPC, ta có: EB = FP ( = AE) ; EP = FC (= AF) và P E^ B = P F^ C ( vì 600 - A ^E P =600 - A ^F P ) ⇒  EPB =  FPC ( c.g c ) Suy ra: PB = PC (1) Ta có: E ^A F + A ^E P=180 mà Ê1 + Ê2 = 600 Do đó Â3 = Ê2 ⇒^ A3 + ^ E1 =60 0.25 Xét  EPB và  ABC, ta có: EB = AB; EP = AC ( = AF) và Â3 = Ê2 ⇒ 0.25 0,25  EPB =  ABC ( cgc ) Suy ra: PB = BC (2) Từ (1) và (2) ⇒ PB = PC = BC 0,25 Vậy  PBC Câu 2: C B D H A a Dùng định lí Py-ta-go đảo chứng minh được:  ABC vuông C 1 Ta có: SABC = AC.BC = AB.CH ⇒ cm b Dể dàng tính được; HA = 16 cm ; BH = cm CD là tia phân giác  ACH nên suy AD = 10 cm ; HD = cm CH= AC BC 20 15 = = 12 AB 25 0,25 0,5 0,25 0,25 Do đó BC = BD ( = 15 cm ) Vậy  BDC cân B 0,25 c Xét các  vuông : CBH, CAH Ta có: BC2 = BH2 + CH2 ( đl Py-ta-go) CD2 = DH2 + CH2 ( đl Py-ta-go) BD2 = BC2 = BH2 + CH2 ( đl Py-ta-go) Từ đó suy BC2 + CD2 + BD2 = 3CH2 + 2BH2 + DH2 0,25 0,25