NGÂN HÀNG ĐỀ THI CHÍNH QUY MÔN TOÁN CAO CẤP

HỌC VIỆN CƠNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THƠNG CỘNG HỒ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM HỘI ĐỒNG RA ĐỀ THI MÔN HỌC, HỌC PHẦN Độc lập - Tự – Hạnh phúc NGÂN HÀNG ĐỀ THI Mơn: TỐN CAO CẤP DÙNG CHO ĐÀO TẠO HỆ ĐẠI HỌC CHÍNH QUY KHỐI NGÀNH KINH TẾ MỖI ĐỀ CÂU (Mỗi phần A, B, C, D chọn câu tổng điểm thi 10) A) PHẦN A Loại điểm Câu A 1.2: Tìm giới hạn lim ( x + x sin x ) x →0 Câu A 2.2: Tìm giới hạn lim ( − cos3 x ) x x →0 Câu A 3.2: Tìm giới hạn x 1 lim+  ÷ x →0  x  Câu A 4.2: Tìm giới hạn x xe x →+∞ e x + lim Câu A 5.2: Tìm A để hàm số sau liên tục x =  ( x − 1) arctan x  nÕu x ≠ f ( x) =  x2 −1  A nÕu x =  Câu A 6.2: Tìm A để hàm số sau liên tục x =  ln ( + x )  nÕu x ≠ f ( x ) =  x (cos x − 1)  nÕu x = A Câu A 7.2: Tìm giới hạn sau:  1 lim  −  x → ln( x + 1) x  Câu A 8.2: Tìm giới hạn lim+ x →0 2x + e 3x Câu A 9.2: Tìm giới hạn lim x →0− Câu A 10.2: Tìm giới hạn 3+ e 4x ( ) lim cos x + − cos x x →+∞ Loại điểm Câu A 1.3: a) Tìm giới hạn arcsin x x → ( x + 4)sin x lim b) Tính tích phân sau: ∫x arccos x dx Câu A 2.3: a) Chứng tỏ phương trình x5 − x3 + x + =0 x2 − có nghiệm thực b) Tính tích phân sau: π sin x ∫0 cos2 xdx Câu A 3.3: a) Tìm số A để hàm số sau liên tục ¡   f ( x) = 1 + x  A + x nÕu x < nÕu x ≥ b) Tính tích phân sau: π ∫ x sin 2 x dx Câu A 4.3: a) Xét liên tục hàm số sau: sin π x nÕu x ≤ f ( x) =   − x nÕu x > b) Tính tích phân sau: ∫ x + 2arcsin x 1− x dx Câu A 5.3: a) Tìm giới hạn e2 x − 1 lim ln x →0+ x + x b) Tính tích phân sau: sin x ∫ cosx − 1dx Câu A 6.3: a) Tìm giới hạn lim x ln(1+ x ) x →0+ b) Tính tích phân sau: ∫ Câu A 7.3: a) Tìm giới hạn sau: x2 − dx 2x x + cos x x →+∞ x − sin x lim b) Tính tích phân sau: ∫ x arctanx dx Câu A 8.3: a) Tìm A để hàm số sau liên tục ¡ nÕu x ≤ A  πx  f ( x ) =  cos 2   ( x − 1) b) Tính tích phân sau: ∫ (2+ nÕu x > ) x−3 x x−3 dx Câu A 9.3: a) Tìm giới hạn   lim x  x − x +1 ÷ x →+∞   b) Tính tích phân sau: ∫e x dx Câu A 10.3: a) Tìm giới hạn lim ( x + x →+∞ x ) x b) Tính tích phân sau: ∫( x xdx + 1) x + B) PHẦN B Loại điểm Câu B 1.2: Cho y = x x Tính dy (2) Câu B 2.2: Cho y = x2 + Tính d y (2) x e Câu B 3.2: Tính đạo hàm hàm số f ( x) = x − Câu B 4.2: Cho f ( x) = Tính f ( n ) ( x) x −9 Câu B 5.2: Chứng tỏ với a, b ∈ (−1,1), a < b arcsin b − arcsin a ≥ b − a Câu B 6.2: Hàm số 0  f ( x ) =  ( x + 1) ln x   x −1 nÕu x ≤ nÕu x > có khả vi x = hay khơng? Câu B 7.2: Tính đạo hàm cấp 25 hàm số f ( x) = x cos x Câu B 8.2: Tính đạo hàm hàm số:  sin x  f ( x) =  x 0  nÕu x ≠ nÕu x = Câu B 9.2: Dùng định nghĩa, tính đạo hàm hàm số f ( x) = x + Câu B 10.2: Tính đạo hàm cấp n hàm số f ( x) = 3x − 4x + Loại điểm Câu B 1.3: a) Cho f ( x ) hàm số liên tục [ 0,1] , khả vi ( 0,1) Chứng minh tồn f ′(c) 3c c ∈ (0,1) cho f (1) − f (0) = +∞ b) Tính tích phân suy rộng sau: dx ∫ ( x − 1) Câu B 2.3: a) Tính đạo hàm cấp 30 hàm số f ( x ) = x sin x b) Tính tích phân suy rộng sau: −2 xe x ∫−∞ ( x + 1)2 dx Câu B 3.3: a) Chứng minh 3b − 3a >b−a ln b) Tính tích phân suy rộng sau: với < a < b +∞ ∫x dx +x Câu B 4.3: a) Cho f ( x) = ( x − 1)( x − 2)( x − 5)( x − 6) Tính df (2) b) Tính tích phân suy rộng sau: ∫ 4− x dx 2− x Câu B 5.3: x2 t a) Cho F ( x) = ∫ te dt Tính F ′( x) x b) Tính tích phân suy rộng sau: +∞ ∫x dx x −1 Câu B 6.3: a) Cho f ( x) = x , tính d f (1) x +2 b) Tính tích phân suy rộng sau: +∞ ∫ 5 x9 e − x dx Câu B 7.3: a) Tính gần số A = sin(arccos 0, 01) b) Tính tích phân suy rộng sau: dx x −1 ∫ Câu B 8.3: x3 + x − Tính d n f ( x) với n > 2x +1 b) Tính tích phân suy rộng sau: a) Cho f ( x) = ∫ dx 4x − x2 Câu B 9.3:  ln ( + 3x )  a) Cho f ( x) =  x A  nÕu x ≠ nÕu x = Tìm A để f khả vi x = Khi đó, tính f ′(0) b) Tính tích phân suy rộng sau: π cosx + sin x ∫0 sin x dx Câu B 10.3: a) Chứng minh x + x + cos x + sin x ≥ với x ≥ b) Tính tích phân suy rộng sau: +∞ ∫e dx +4 x C) PHẦN C Loại điểm x2 y + y Tính df (1,1) Câu C 1.2: Cho f ( x, y ) = x − y2 +1 Câu C 2.2: Tính đạo hàm riêng cấp hai hàm số f ( x, y ) = y sin xy Câu C 3.2: Cho f ( x, y ) = arctan x Tính df (2,1) x + y2 Câu C 4.2: Cho f ( x, y ) = x − y Tính d f (1, 0) Câu C 5.2: Cho y = y ( x) hàm số ẩn xác định từ hệ thức x + y + arctany = Tính y ′( x ), y ′′( x ) Câu C 6.2: Cho z = yf ( x + y ) f hàm số có đạo hàm liên tục Tính A = 1 z′x − z ′y + z 2x 3y 3y Câu C 7.2: Tìm cực trị hàm số f ( x , y ) = x + y − x y − y Câu C 8.2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số f ( x, y ) = x y + xy − x + miền D xác định ≤ x ≤ 1, ≤ y ≤ Câu C 9.2: Tìm cực trị hàm số x − x2 y + y Câu C 10.2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số f ( x, y ) = f ( x, y ) = xy − x − y miền tam giác ABC , A(0,0), B (3,0), C (0,3) Loại điểm Câu C 1.3: a) Cho z = x + y , x = u + 2v − w, y = u − v + 2w Tính đạo hàm riêng zu′ (u , v, w), zv′ (u , v, w), zw′ (u , v, w) b) Tìm cực trị hàm số f ( x, y ) = x − xy + y Câu C 2.3: x a) Cho z = f (3 y − ) f hàm số có đạo hàm cấp hai liên tục Tính A = z′′xx + z′x − z′′xy x 3x b) Tìm cực trị hàm số f ( x, y ) = x − xy + y + 12 y Câu C 3.3: a) Cho f ( x, y ) = x x + y + ye xy Tính df ( x, y ) b) Cho z = e − x f ( x + y ) f hàm số có đạo hàm cấp hai liên tục Tính A = z′′xx − z′′yy + z′y − z Câu C 4.3: a) Cho f ( x, y ) = x4 + y Tính df (1,0) x2 + y b) Cho y = y ( x) hàm số ẩn xác định từ hệ thức x + xy + arcsin y = π Tính y ′( x ), y ′(0) Câu C 5.3: x y a) Cho z = z ( x, y ) hàm số ẩn xác định từ hệ thức cos + = z z Tính dz (0,1) b) Tìm cực trị hàm số f ( x, y ) = e x ( x − x − y + y ) Câu C 6.3: a) Tính đạo hàm riêng cấp hàm số sau: y f ( x, y ) = x y cos x b) Cho u = u ( x, y ), v = v( x, y ) hàm số ẩn xác định hệ thức u + v = y  3 u + v = x − x + y Tính du ( x, y ), dv( x, y ) Câu C 7.3: a) Tính gần A = 3e0,02 + 0,992 b) Tính đạo hàm riêng cấp hai hàm số z = ( x − 3xy ) cos y Câu C 8.3: a) Cho u = x + xy − cos z x = s + t , y = s − 2t , z = s + st Tính đạo hàm riêng u′s ( s, t ), ut′ ( s, t ) b) Tìm cực trị hàm số f ( x, y ) = ( x + y )( x + y ) Câu C 9.3: a) Tính đạo hàm riêng vi phân toàn phần hàm số u ( x, y , z ) = x y z ( x > 0) b) Cho z = f ( x, y ) hàm số ẩn xác định phương trình y z − xarctany − ln = z x Tính gần giá trị f (0,99; 0,02) Câu C 10.3: a) Cho z = −2 t t x + y x = e , y = te Tính đạo hàm z′(t ) b) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số f ( x, y ) = x + y miền D xác định x + y ≤ 10 D) PHẦN D Loại điểm Câu D 1.2: Tìm nghiệm phương trình vi phân y′′ − y′ + y = xe x thỏa mãn điều kiện y (0) = 2, y ′ (0) = Câu D 2.2: Giải phương trình vi phân: ydx − xdy = x 3e x dx Câu D 3.2: Tìm tích phân tổng qt phương trình: y − x y′ − xyy′ = Câu D 4.2: Giải phương trình vi phân: y′′ + y = 2sin x Câu D 5.2: Giải phương trình vi phân y′ − y − = x ln x x Câu D 6.2: Giải phương trình vi phân sau: y′ − 2 x x + 1) = y ( y x +1 Câu D 7.2: Giải phương trình vi phân sau: y′′ + y′ = e x cos x Câu D 8.2: Giải phương trình vi phân sau y′′ + y′ + y = 3cos x Câu D 9.2: Giải phương trình vi phân sau: y +1 3y2 − x dx + dy = y y2 Câu D 10.2: Tìm nghiệm phương trình ( y sin y + 1) + x − x dy − sin ydx = thỏa mãn điều kiện y (1) = π Loại điểm 11 Câu D 1.3: a) Giải phương trình vi phân ( x + y )dx − xdy = b) Tìm nghiệm phương trình vi phân y′′ − y′ + y = 2e x thỏa mãn điều kiện y′(0) = 3, y′′(0) = Câu D 2.3: Giải phương trình vi phân sau:    ÷dx +  +   x2 + y ÷    b) y′′ + y′ + y = sin x  ÷dy = x2 + y ÷  x a)  x + y Câu D 3.3: Giải phương trình vi phân sau: ( ) x a) x y + e dx − x dy = b) y′′ − y′ − y = 2e3 x + x Câu D 4.3: a) Tìm nghiệm phương trình vi phân ( x − 2)dy + ydx = thỏa mãn điều kiện y (0) = b) Giải phương trình vi phân y′′ + y′ − y = x 2e x Câu D 5.3: Giải phương trình vi phân sau: a) y′ − y = y 2e x b) y′′ + y = cos x + Câu D 6.3: a) Tìm tích phân tổng qt phương trình ( x + y ) y′ = b) Giải phương trình vi phân 12 y′′ + y′ + y = x Câu D 7.3: a) Giải phương trình vi phân ( y − 2e ) dx − dy = −x b) Tìm nghiệm phương trình y′′ + y = 3cos x thỏa mãn điều kiện y (0) = 1, y′(0) = Câu D 8.3: Giải phương trình vi phân sau: a) xy y′ − x = y b) y′′ − y = x cos x + sin x Câu D 9.3: Giải phương trình vi phân sau: a) y′ + y = x2 y2 x b) y′′ + y′ − y = e −3 x + cosx Câu D 10.3: Giải phương trình vi phân sau: a) y dx + (2 xy + 7)dy = b) y′′ − y′ = sin 2 x 13 ... D xác định x + y ≤ 10 D) PHẦN D Loại điểm Câu D 1.2: Tìm nghiệm phương trình vi phân y′′ − y′ + y = xe x thỏa mãn điều kiện y (0) = 2, y ′ (0) = Câu D 2.2: Giải phương trình vi phân: ydx − xdy... = y y2 Câu D 10.2: Tìm nghiệm phương trình ( y sin y + 1) + x − x dy − sin ydx = thỏa mãn điều kiện y (1) = π Loại điểm 11 Câu D 1.3: a) Giải phương trình vi phân ( x + y )dx − xdy = b) Tìm... Câu D 7.2: Giải phương trình vi phân sau: y′′ + y′ = e x cos x Câu D 8.2: Giải phương trình vi phân sau y′′ + y′ + y = 3cos x Câu D 9.2: Giải phương trình vi phân sau: y +1 3y2 − x dx + dy =