Giáo trình XSTK Đại Học Bách Khoa Hà Nội

Tập đề cương cô đọng tổng hợp kiến thức của giáo sư Trần Đức Nghĩa dành cho sinh viên Đai học Bách Khoa Hà Nội , các trường khác cũng có thể tham khảo........................................................

[SAMI-HUST]Viện Toán ứng dụng Tin học, ĐHBK Hà Nội Chương 1: Sự kiện ngẫu nhiên phép tính xác suất Lê Xuân Lý (1) Hà Nội, tháng năm 2018 (1) Lê Xuân Lý Email: lexuanly@gmail.com Giải tích kết hợp Xác suất thống kê Hà Nội, tháng năm 2018 / 68 Quy tắc cộng Quy tắc cộng Ví dụ Có loại phương tiện để sinh viên học: phương tiện cá nhân phương tiện công cộng Phương tiện cá nhân: xe đạp, xe máy, xe hơi, Phương tiện công cộng: bus, taxi, xe ôm, xích lơ, Có cách sinh viên học? (sv chọn loại trên, khơng bồ chở) Có cách phương tiện cá nhân cách phương tiện cơng cộng Có + = cách Lê Xuân Lý Xác suất thống kê Hà Nội, tháng năm 2018 / 68 Giải tích kết hợp Quy tắc cộng Quy tắc cộng Ví dụ Có loại lựa chọn mua bàn ăn: bàn gỗ, bàn sắt bàn inox Bàn gỗ: có kiểu, Bàn sắt có kiểu, Bàn inox có kiểu, Có cách mua bàn ăn Có + + = 13 cách Lê Xuân Lý Xác suất thống kê Giải tích kết hợp Hà Nội, tháng năm 2018 / 68 Hà Nội, tháng năm 2018 / 68 Quy tắc cộng Quy tắc cộng Chú ý 1.1 Một cơng việc chia làm k trường hợp: trường hợp thứ có n1 cách giải quyết, trường hợp thứ có n2 cách giải quyết, trường hợp thứ k có nk cách giải Khi có n1 + n2 + + nk cách giải công việc Lê Xuân Lý Xác suất thống kê Giải tích kết hợp Quy tắc nhân Quy tắc nhân Ví dụ Để bay từ Hà Nội tới London phải qua trạm dừng chân Hong Kong Có hãng hàng không phục vụ bay từ Hà Nội tới Hong Kong (Vietnam airline, Pacific Airline) có hãng hàng khơng phục vụ bay từ Hong Kong tới London (Air Hong Kong Limited, Cathay Pacific Airways, CR Airways, Hong Kong Airlines) Hỏi có cách bay từ Hà Nội đến London qua trạm dừng chân Hong Kong? Để theo cách ta chia làm bước thực hiện: Bước 1: HN ⇒ HK: có cách chọn, Bước 2: HK ⇒ LĐ: có cách chọn, Số cách là: 2.4 = Lê Xuân Lý Xác suất thống kê Giải tích kết hợp Hà Nội, tháng năm 2018 / 68 Quy tắc nhân Quy tắc nhân Ví dụ Một người có áo,4 quần đơi giày Hỏi người có cách mặc đồ (gồm áo, quần đôi giày) Công việc chia làm bước: Bước 1: chọn áo: có cách, Bước 2: chọn quần: có cách, Bước 3: chọn đơi giày: có cách, Số cách mặc đồ: 5.4.2 = 40 cách Lê Xuân Lý Xác suất thống kê Hà Nội, tháng năm 2018 / 68 Giải tích kết hợp Quy tắc nhân Quy tắc nhân Chú ý 1.2 Một công việc chia làm k giai đoạn: giai đoạn thứ có n1 cách giải quyết, giai đoạn thứ có n2 cách giải quyết, giai đoạn thứ k có nk cách giải Khi có n1 × n2 × nk cách giải công việc Lê Xuân Lý Xác suất thống kê Giải tích kết hợp Hà Nội, tháng năm 2018 / 68 Hà Nội, tháng năm 2018 / 68 Quy tắc nhân Ví dụ Có cách từ A1 đến A3 Đi từ A1 đến A3 có trường hợp: Đi trực tiếp từ A1 đến A3: có cách Đi gián tiếp từ A1 đến A3 thơng qua A2: có 3.2 = Tổng số cách từ A1 đến A3: + = Lê Xuân Lý Xác suất thống kê Giải tích kết hợp Quy tắc nhân Ví dụ Có khóa mắc hình vẽ Mỗi khóa có trạng thái đóng mở Có cách thực với khóa mạch AC Có cách thực với khóa để AC thơng mạch Mỗi khóa có cách, nên số cách thực với khóa: 25 = 32 AC thông mạch tương đương AB BC thơng mạch +) AB thơng mạch: tổng có 23 cách thực với khóa Có cách mạch không thông Ab thông mạch: 23 − = cách +) BC thông mạch: 22 − = cách AC thông mạch: 7.3 = 21 Lê Xuân Lý Xác suất thống kê Giải tích kết hợp Hà Nội, tháng năm 2018 10 / 68 Quy tắc nhân Câu hỏi trắc nghiệm Có cửa hàng cạnh Có khách đến, khách chọn ngẫu nhiên cửa hàng để vào số trường hợp chọn cửa hàng là: Đáp án: 1D Số trường hợp chọn cửa hàng cho cửa hàng có khách vào A B C 24 D 256 Đáp án: 2C Lê Xuân Lý A B Xác suất thống kê C 24 D 256 Hà Nội, tháng năm 2018 11 / 68 Giải tích kết hợp Giải tích kết hợp TỔNG KẾT Ta có tập hợp gồm n phần tử, từ n phần tử ta chọn k phần tử Tuỳ vào điều kiện chọn phần tử (có thứ tự, có lặp) số cách chọn k phần tử có khác Lê Xuân Lý Xác suất thống kê Giải tích kết hợp Hà Nội, tháng năm 2018 12 / 68 Giải tích kết hợp Câu hỏi trắc nghiệm III Một nhóm học sinh gồm nam nữ GV cần chọn em Số cách chọn em tùy ý A 2520 B 252 C 60 Đáp án: 1B D 30240 Số cách chọn em có nữ nam A 105 B 11025 C 630 D 210 Đáp án: 2D IV Một bàn dài có 10 ghế có 10 học sinh(có bạn An Bình) Số cách xếp 10 học sinh tùy ý vào bàn là: A 14400 B 3628800 C 100 D 125470 Đáp án: 1B Số cách xếp 10 học sinh ngồi vào bàn để An Bình ngồi cạnh là: A 362880 B 80640 C 725760 D 40320 Đáp án: 2C Lê Xuân Lý Xác suất thống kê Hà Nội, tháng năm 2018 13 / 68 Sự kiện phép toán Phép thử kiện Phép thử kiện Định nghĩa 2.1 phép thử : việc thực nhóm điều kiện để quan sát tượng Kết cục : kết mà ta không chia nhỏ Không gian mẫu : tập gồm tất kết cục xảy Ký hiệu: Ω Sự kiện : tập không gian mẫu Đơn giản hơn: kết mà ta quan tâm kiện Sự kiện ký hiệu chữ in: A, B, C, Ví dụ Khảo sát thời điểm ngủ dậy buổi sáng Ngày hơm có ngủ dậy muộn không? Sáng bước khỏi nhà Xét xem bước chân trái hay chân phải trước Quan sát thời tiết ngày hơm Ngày hơm có mưa hay khơng? Mua xổ số Vietlott Hơm có trúng xổ số Vietlott không? Lê Xuân Lý Xác suất thống kê Sự kiện phép toán Hà Nội, tháng năm 2018 15 / 68 Phép thử kiện Phép thử kiện Như kiện xảy ta thực phép thử Sự kiện sơ cấp : Là kiện phân tích Sự kiện chắn : Là kiện xảy phép thử, ký hiệu Ω Sự kiện : Là kiện không xảy thực phép thử Ký hiệu ∅ Sự kiện ngẫu nhiên : Là kiện xảy khơng xảy thực phép thử Phép thử ngẫu nhiên : Phép thử mà kết kiện ngẫu nhiên Để thuận tiện, kiện thường ký hiệu chữ in: A, B, C, Ví dụ Gieo xúc xắc, Ω= “Gieo mặt có số chấm ≤ ≥ ” kiện chắn; ∅= “Gieo mặt chấm” kiện không thể; A = “Gieo mặt chẵn” kiện ngẫu nhiên Lê Xuân Lý Xác suất thống kê Hà Nội, tháng năm 2018 16 / 68 Sự kiện phép toán Phép thử kiện Phép thử kiện Ví dụ Xét gia đình có Gọi: A: “gia đình có trai gái” B: "gia đình có con" C: "gia đình có con" Sự kiện kiện chắn, sk không xảy ra, kiện ngẫu nhiên? Ví dụ Hộp có viên bi có bi xanh bi đỏ Lấy ngẫu nhiên bi xem màu Gọi: A: “lấy bi xanh” B: "lấy bi màu đỏ" C: "lấy bi" Sự kiện kiện chắn, sk không xảy ra, kiện ngẫu nhiên? Lê Xuân Lý Xác suất thống kê Sự kiện phép toán Hà Nội, tháng năm 2018 17 / 68 Quan hệ phép toán kiện Quan hệ kiện Giả sử A B hai kiện phép thử Quan hệ kéo theo Sự kiện A gọi kéo theo kiện B, ký hiệu A ⊂ B (hoặc A ⇒ B), A xảy B xảy Quan hệ tương đương Sự kiện A gọi tương đương với kiện B, ký hiệu A ⇔ B (hoặc A = B), A ⇒ B B ⇒ A Lê Xuân Lý Xác suất thống kê Hà Nội, tháng năm 2018 18 / 68 Sự kiện phép toán Quan hệ phép toán kiện Ví dụ Sinh viên mua tờ vé số Gọi: A: “sv có vé số trúng giải đặc biệt” B: "sv có vé số trúng giải" A ⇒ B hay B ⇒ A dùng biểu đồ Ven để minh họa Ví dụ 10 Tung xúc xắc lần Gọi: A: “xúc xắc mặt có số chấm chẵn” B: "xúc xắc mặt có số chấm 4" C: "xúc xắc mặt có số chấm 2, 4, 6" D: "xúc xắc mặt có số chấm nhỏ 4" A ⇒ B hay B ⇒ A A ⇒ C hay C ⇒ A A ⇒ D hay D ⇒ A Lê Xuân Lý Xác suất thống kê Sự kiện phép toán Hà Nội, tháng năm 2018 19 / 68 Quan hệ phép toán kiện Sự kiện tổng C = A + B: xảy có kiện A B xảy Ví dụ 11 A:"sinh viên X thi qua môn a" B: "sinh viên X thi qua môn b" A + B: "Sinh viên thi qua môn a, b" Lê Xuân Lý Xác suất thống kê Hà Nội, tháng năm 2018 20 / 68 Sự kiện phép toán Quan hệ phép toán kiện Quan hệ phép toán kiện Chú ý 2.1 A1 + A2 + · · · + An kiện xảy có n kiện xảy Mọi kiện ngẫu nhiên biểu diễn dạng tổng số kiện sơ cấp Sự kiện chắn Ω cịn gọi khơng gian kiện sơ cấp Ví dụ 12 Gieo xúc xắc Ta có kiện sơ cấp Ai (i = 1, 6), Ai kiện xuất mặt i chấm i = 1, 2, , A= “Xuất mặt có số chấm chẵn”, ta suy A = A2 + A4 + A6 B = “Xuất mặt có số chấm khơng vượt 3”, ta suy B = A1 + A2 + A3 Khi C = A + B = A1 + A2 + A3 + A4 + A6 Lê Xuân Lý Xác suất thống kê Sự kiện phép toán Hà Nội, tháng năm 2018 21 / 68 Quan hệ phép toán kiện Quan hệ phép toán kiện Sự kiện tích Sự kiện C = A.B (hoặc AB): xảy A B xảy H = A1 A2 An : kiện xảy n kiện xảy Ví dụ 13 A:"sinh viên X thi qua môn a" B: "sinh viên X thi qua môn b" A.B: "Sinh viên thi qua môn a, b" Lê Xuân Lý Xác suất thống kê Hà Nội, tháng năm 2018 22 / 68 Kiểm định giả thuyết mẫu Kiểm định cho kỳ vọng Kiểm định giả thuyết mẫu Các bước làm kiểm định Bước 1: Gọi biến ngẫu nhiên, xây dựng cặp giả thuyết - đối thuyết Bước 2: Chọn tiêu chuẩn kiểm định Tính giá trị quan sát k Bước 3: Xác định miền bác bỏ H0 : Wα Bước 4: Kiểm tra xem giá trị quan sát k ∈ Wα hay không định Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Thống kê - Kiểm định giả thuyết Kiểm định giả thuyết mẫu Hà Nội, 6/34 tháng năm 2018 / 34 Kiểm định cho kỳ vọng Kiểm định cho kỳ vọng - σ biết Trường hợp 1: σ biết Chọn tiêu chuẩn kiểm định: Z = X − µ0 √ n ∼ N (0; 1) giả thuyết H0 σ Từ mẫu cụ thể (x1 , x2 , , xn ), ta tính giá trị quan sát: k = x − µ0 √ n σ Miền bác bỏ H0 xác định cho trường hợp sau: H0 H1 Miền bác bỏ H0 : Wα µ = µ0 µ = µ0 (−∞; −u1− α2 ) ∪ (u1− α2 ; +∞) µ = µ0 µ > µ0 (u1−α ; +∞) µ = µ0 µ < µ0 (−∞; −u1−α ) Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Thống kê - Kiểm định giả thuyết Hà Nội, 7/34 tháng năm 2018 / 34 Kiểm định giả thuyết mẫu Kiểm định cho kỳ vọng Kiểm định cho kỳ vọng - σ biết Ví dụ Doanh thu cửa hàng biến ngẫu nhiên X(triệu/tháng) có độ lệch chuẩn triệu/tháng Điều tra ngẫu nhiên doanh thu 500 cửa hàng có qui mơ tương tự ta tính doanh thu trung bình 10 triệu/tháng Có người cho thu nhập trung bình cửa hàng loại phải triệu/tháng Với mức ý nghĩa 5% kết luận nhận xét Bài làm X doanh thu cửa hàng loại xét, EX = µ , V X = σ với σ = Cặp giả thuyết: H0 : µ = µ0 H1 : µ > µ0 (với µ0 = 9) X − µ0 √ Chọn tiêu chuẩn kiểm định: Z = n ∼ N (0; 1) H0 σ x − µ0 √ 10 − √ Giá trị quan sát k = n= 500 = 11, 18 σ Với α = 0, 05, miền bác bỏ H0 : Wα = (u1−α ; +∞) = (u0,95 ; +∞) = (1, 645; +∞) Do k ∈ Wα nên ta bác bỏ H0 chấp nhận H1 Nghĩa nhận xét Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Thống kê - Kiểm định giả thuyết Kiểm định giả thuyết mẫu Hà Nội, 8/34 tháng năm 2018 / 34 Kiểm định cho kỳ vọng Kiểm định cho kỳ vọng - σ chưa biết Trường hợp 2: σ chưa biết Do σ chưa biết nên ta thay s Chọn tiêu chuẩn kiểm định: Z = X − µ0 √ n ∼ t(n − 1) giả thuyết H0 s Từ mẫu cụ thể (x1 , x2 , , xn ), ta tính giá trị quan sát: k = x − µ0 √ n s Miền bác bỏ H0 xác định cho trường hợp sau: Miền bác bỏ H0 : Wα H0 H1 µ = µ0 µ = µ0 µ = µ0 µ > µ0 (t(n − 1; − α); +∞) µ = µ0 µ < µ0 (−∞; −t(n − 1; − α)) Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) (−∞; −t(n − 1; − Thống kê - Kiểm định giả thuyết α )) ∪ (t(n − 1; − α ); +∞) Hà Nội, 9/34 tháng năm 2018 / 34 Kiểm định giả thuyết mẫu Kiểm định cho kỳ vọng Kiểm định cho kỳ vọng - σ chưa biết Chú ý Nếu n > 30 ta chuyển từ tiêu chuẩn kiểm định theo phân phối Student sang phân phối chuẩn, nghĩa ta dùng : Chọn tiêu chuẩn kiểm định: Z = X − µ0 √ n ∼ N (0; 1) giả thuyết H0 s Từ mẫu cụ thể (x1 , x2 , , xn ), ta tính giá trị quan sát: k = x − µ0 √ n s Miền bác bỏ H0 xác định cho trường hợp sau: H0 H1 Miền bác bỏ H0 : Wα µ = µ0 µ = µ0 (−∞; −u1− α2 ) ∪ (u1− α2 ; +∞) µ = µ0 µ > µ0 (u1−α ; +∞) µ = µ0 µ < µ0 (−∞; −u1−α ) Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Thống kê - Kiểm định giả thuyết Kiểm định giả thuyết mẫu Hà Nội, 10/34 tháng năm 2018 10 / 34 Kiểm định cho kỳ vọng Kiểm định cho kỳ vọng - σ chưa biết Ví dụ: Ví dụ trước sửa hợp với thực tế Doanh thu cửa hàng biến ngẫu nhiên X(triệu/tháng) Điều tra ngẫu nhiên doanh thu 500 cửa hàng có qui mơ tương tự ta tính doanh thu trung bình 10 triệu/tháng độ lệch chuẩn mẫu hiệu chỉnh triệu/tháng Có người cho thu nhập trung bình cửa hàng loại phải triệu/tháng Với mức ý nghĩa 5% kết luận nhận xét Bài làm X doanh thu cửa hàng loại xét, EX = µ , V X = σ Cặp giả thuyết: H0 : µ = µ0 H1 : µ > µ0 (với µ0 = 9) X − µ0 √ Chọn tiêu chuẩn kiểm định: Z = n ∼ t(n − 1) H0 s x − µ0 √ 10 − √ Giá trị quan sát k = n= 500 = 11, 18 s Với α = 0, 05, miền bác bỏ H0 : Wα = (t(n − 1; − α); +∞) = (t(499; 0, 95); +∞) = (1, 645; +∞) Do k ∈ Wα nên ta bác bỏ H0 chấp nhận H1 Nghĩa nhận xét Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Thống kê - Kiểm định giả thuyết Hà Nội, 11/34 tháng năm 2018 11 / 34 Kiểm định giả thuyết mẫu Kiểm định cho kỳ vọng Kiểm định cho kỳ vọng - σ chưa biết Chú ý Do n > 30 nên ta hồn tồn chuyển phân phối Student thành phân phối chuẩn Bài giải làm sau: Bài làm X doanh thu cửa hàng loại xét, EX = µ , V X = σ Cặp giả thuyết: H0 : µ = µ0 H1 : µ > µ0 (với µ0 = 9) X − µ0 √ n ∼ N (0; 1) H0 s 10 − √ x − µ0 √ n= 500 = 11, 18 Giá trị quan sát k = s Với α = 0, 05, miền bác bỏ H0 : Wα = (u1−α ; +∞) = (u0,95 ; +∞) = (1, 645; +∞) Chọn tiêu chuẩn kiểm định: Z = Do k ∈ Wα nên ta bác bỏ H0 chấp nhận H1 Nghĩa nhận xét Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Thống kê - Kiểm định giả thuyết Kiểm định giả thuyết mẫu Hà Nội, 12/34 tháng năm 2018 12 / 34 Kiểm định cho kỳ vọng Kiểm định mãu cho kỳ vọng Ví dụ Điều tra suất lúa diện tích 100 hécta trồng lúa vùng, ta thu bảng số liệu sau: Năng suất (tạ/ha) Số có suất tương ứng 41 10 44 20 45 30 46 15 48 10 52 10 54 Liệu kết luận "Năng suất lúa trung bình hécta khơng thấp 48 tạ/ha" hay khơng với mức ý nghĩa 5%? Ví dụ Quan sát tuổi thọ số người vùng ta có bảng số liệu sau: Tuổi(năm) Số người 20-30 30-40 14 40-50 25 50-60 40 60-70 35 70-80 13 Với mức ý nghĩa 5% liệu ta khẳng định tuổi thọ trung bình người vùng 60 hay khơng? Lê Xn Lý (SAMI-HUST) Thống kê - Kiểm định giả thuyết Hà Nội, 13/34 tháng năm 2018 13 / 34 Kiểm định giả thuyết mẫu Kiểm định cho tỷ lệ Kiểm định cho tỷ lệ Bài toán Xác suất xảy kiện A p Do p nên người ta thực n phép thử độc lập, điều kiện Trong có m phép thử xảy A f = m/n ước lượng điểm không chệch cho p Câu hỏi: Hãy so sánh p với giá trị p0 cho trước Cách giải quyết: tương tự cách làm cho kỳ vọng Bài toán đặt ta cần so sánh p với giá trị p0 cho trước Giả thuyết H0 Đối thuyết H1 p ≤ p0 p > p0 p = p0 p = p0 p ≥ p0 p < p0 Tuy nhiên giả thuyết có dấu "=" nên người ta cần viết giả thuyết H : p = p0 Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Thống kê - Kiểm định giả thuyết Kiểm định giả thuyết mẫu Hà Nội, 14/34 tháng năm 2018 14 / 34 Kiểm định cho tỷ lệ Kiểm định giả thuyết cho tỷ lệ Cách giải Cách xử lý tương tự với kỳ vọng Chọn tiêu chuẩn kiểm định: Z = √ f − p0 n ∼ N (0; 1) giả thuyết H0 p0 (1 − p0 ) Từ mẫu thu thập, ta tính giá trị quan sát: k = Z = m n Miền bác bỏ H0 xác định cho trường hợp sau: √ f − p0 n với p0 (1 − p0 ) f= H0 H1 Miền bác bỏ H0 : Wα p = p0 p = p0 (−∞; −u1− α2 ) ∪ (u1− α2 ; +∞) p = p0 p > p0 (u1−α ; +∞) p = p0 p < p0 (−∞; −u1−α ) Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Thống kê - Kiểm định giả thuyết Hà Nội, 15/34 tháng năm 2018 15 / 34 Kiểm định giả thuyết mẫu Kiểm định cho tỷ lệ kiểm định cho tỷ lệ Ví dụ Tại bến xe, kiểm tra ngẫu nhiên 100 xe thấy có 35 xe xuất phát Với mức ý nghĩa 5% khẳng định tỷ lệ xe xuất phát thấp 40% hay không? Bài làm Gọi p tỷ lệ xe xuất phát Cặp giả thuyết: H0 : p = p0 H1 : p < p0 (với p0 = 0, 4) √ f − p0 n ∼ N (0; 1) giả thuyết H0 p0 (1 − p0 ) √ 35/100 − 0, √ f − p0 n= √ 100 = −1, 02 0, 4.0, p0 (1 − p0 ) Tiêu chuẩn kiểm định: Z = Giá trị quan sát k = Với α = 0, 05, miền bác bỏ H0 : Wα = (−∞; −u1−α ) = (−∞; −u0,95 ) = (−∞; −1, 645) Do k ∈ / Wα nên ta khơng có sở bác bỏ H0 Nghĩa khẳng định Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Thống kê - Kiểm định giả thuyết Kiểm định giả thuyết mẫu Hà Nội, 16/34 tháng năm 2018 16 / 34 Kiểm định cho tỷ lệ Kiểm định mẫu cho tỷ lệ Ví dụ Lấy ngẫu nhiên kết khám bệnh 120 người quan thấy có 36 người bị máu nhiễm mỡ Với mức ý nghĩa 5% liệu khẳng định tỷ lệ người bị máu nhiễm mỡ quan cao 25% Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Thống kê - Kiểm định giả thuyết Hà Nội, 17/34 tháng năm 2018 17 / 34 Kiểm định giả thuyết mẫu Kiểm định cho phương sai Kiểm định cho phương sai Bài tốn Cho biến ngẫu nhiên X có EX = µ, V X = σ Mẫu cụ thể X (x1 , x2 , , xn ) Chú ý: cỡ mẫu n ≤ 30 ta phải thêm điều kiện X ∼ N (µ, σ ) Câu hỏi: Hãy so sánh σ với giá trị σ02 cho trước Cách giải Bài toán đặt ta cần so sánh σ với giá trị σ02 cho trước σ = σ02 σ = σ02 Giả thuyết H0 Đối thuyết H1 σ ≤ σ02 σ > σ02 σ ≥ σ02 σ < σ02 Tuy nhiên giả thuyết ln có dấu "=" nên người ta cần viết giả thuyết H0 : σ = σ02 Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Thống kê - Kiểm định giả thuyết Kiểm định giả thuyết mẫu Hà Nội, 18/34 tháng năm 2018 18 / 34 Kiểm định cho phương sai Kiểm định cho phương sai Cách làm (n − 1)s2 ∼ χ2 (n − 1) giả thuyết H0 Tiêu chuẩn kiểm định: Z = σ0 Từ mẫu cụ thể (x1 , x2 , , xn ), ta tính giá trị quan sát: k = (n − 1)s2 σ02 Miền bác bỏ H0 xác định cho trường hợp sau: H0 σ02 σ02 σ02 σ = σ = σ2 = Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Miền bác bỏ H0 : Wα H1 2 σ02 σ02 σ02 σ = σ > σ2 < (0; χ2n−1; α ) ∪ (χ2n−1;1− α ; +∞) (χ2n−1;1−α ; +∞) (−∞; χ2n−1;α ) Thống kê - Kiểm định giả thuyết Hà Nội, 19/34 tháng năm 2018 19 / 34 Kiểm định giả thuyết mẫu Kiểm định cho phương sai kiểm định cho phương sai Ví dụ Đo đường kính 12 sản phẩm dây chuyền sản xuất, người kỹ sư kiểm tra chất lượng tính s = 0, Biết độ biến động sản phẩm lớn 0,2 dây chuyền sản xuất phải dừng lại để điều chỉnh Với mức ý nghĩa 5%, người kỹ sư có kết luận gì? Bài làm: X đường kính sản phẩm, EX = µ , V X = σ Cặp giả thuyết: H0 : σ = σ02 H1 : σ > σ02 (với σ0 = 0, 2) (n − 1)s2 Chọn tiêu chuẩn kiểm định: Z = ∼ χ2 (n − 1) H0 σ0 Giá trị quan sát k = (n − 1)s2 11.0, 32 = = 24, 75 σ02 0, 22 Với α = 0, 05, miền bác bỏ H0 : Wα = (χ2n−1;1−α ; +∞) = (χ211;0,95 ; +∞) = (19, 6752; +∞) Do k ∈ Wα nên ta bác bỏ H0 chấp nhận H1 Nghĩa dây chuyền cần điều chỉnh độ biến động lớn mức cho phép Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Thống kê - Kiểm định giả thuyết Kiểm định giả thuyết hai mẫu Hà Nội, 20/34 tháng năm 2018 20 / 34 Hà Nội, 22/34 tháng năm 2018 22 / 34 Kiểm định cho kỳ vọng ———————————————————————— Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Thống kê - Kiểm định giả thuyết Kiểm định giả thuyết hai mẫu Kiểm định cho kỳ vọng Kiểm định giả thuyết cho kỳ vọng Bài toán Cho hai biến ngẫu nhiên X có EX = µ1 , V X = σ12 Y có EY = µ2 , V Y = σ22 Mẫu cụ thể X (x1 , x2 , , xn1 ), Y (y1 , y2 , , yn2 ) Chú ý: Nếu cỡ mẫu nhỏ ta phải thêm giả thuyết biến ngẫu nhiên gốc tuân theo phân phối CHUẨN Bài toán đặt ta cần so sánh giá trị kỳ vọng µ1 với µ2 Giả thuyết H0 Đối thuyết H1 µ = µ2 µ = µ2 µ1 ≤ µ2 µ1 > µ µ1 ≥ µ2 µ1 < µ Tuy nhiên giả thuyết ln có dấu "=" nên người ta cần viết giả thuyết H : µ1 = µ2 Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Thống kê - Kiểm định giả thuyết Kiểm định giả thuyết hai mẫu Hà Nội, 22/34 tháng năm 2018 22 / 34 Kiểm định cho kỳ vọng Kiểm định cho kỳ vọng - σ12 , σ22 biết Trường hợp 1: σ12 , σ22 biết Chọn tiêu chuẩn kiểm định: Z= X − Y − (µ1 − µ2 ) σ12 σ2 + n1 n2 ∼ N (0; 1) giả thuyết H0 µ1 − µ2 = Từ mẫu cụ thể (x1 , x2 , , xn1 ), (y1 , y2 , , yn2 ), ta tính giá trị quan sát: x−y k= σ2 σ12 + n1 n2 Miền bác bỏ H0 xác định cho trường hợp sau: H0 H1 Miền bác bỏ H0 : Wα µ1 = µ2 µ1 = µ2 (−∞; −u1− α2 ) ∪ (u1− α2 ; +∞) µ1 = µ2 µ1 > µ (u1−α ; +∞) µ1 = µ2 µ1 < µ (−∞; −u1−α ) Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Thống kê - Kiểm định giả thuyết Hà Nội, 23/34 tháng năm 2018 23 / 34 Kiểm định giả thuyết hai mẫu Kiểm định cho kỳ vọng Kiểm định cho kỳ vọng - σ12 , σ22 chưa biết Trường hợp 2: σ12 , σ22 chưa biết Chọn tiêu chuẩn kiểm định: Z= X − Y − (µ1 − µ2 ) (n1 − 1)s21 + (n2 − 1)s22 1 ( + ) n1 + n2 − n1 n2 ∼ t(n1 + n2 − 2) giả thuyết H0 µ1 − µ2 = Từ mẫu cụ thể (x1 , x2 , , xn1 ), (y1 , y2 , , yn2 ), ta tính giá trị quan sát: x−y k= (n1 − 1)s21 + (n2 − 1)s22 1 ( + ) n1 + n2 − n1 n2 Miền bác bỏ H0 xác định cho trường hợp sau: Miền bác bỏ H0 : Wα H0 H1 µ1 = µ2 µ = µ2 µ1 = µ2 µ1 > µ2 (−∞; −t(n1 + n2 − 2; − α )) ∪ (t(n1 + n2 − 2; − α ); +∞) (t(n1 + n2 − 2; − α); +∞) (−∞; −t(n1 + n2 − 2; − α)) µ1 = µ2 µ1 < µ2 Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Thống kê - Kiểm định giả thuyết Kiểm định giả thuyết hai mẫu Hà Nội, 24/34 tháng năm 2018 24 / 34 Kiểm định cho kỳ vọng Kiểm định cho kỳ vọng - σ12 , σ22 chưa biết Chú ý: σ12 , σ22 chưa biết, n1 , n2 lớn Chọn tiêu chuẩn kiểm định: Z= X − Y − (µ1 − µ2 ) s22 s21 + n1 n2 ∼ N (0; 1) giả thuyết H0 µ1 − µ2 = Từ mẫu cụ thể (x1 , x2 , , xn1 ), (y1 , y2 , , yn2 ), ta tính giá trị quan sát: x−y k= s21 s22 + n1 n2 Miền bác bỏ H0 xác định cho trường hợp sau: H0 H1 Miền bác bỏ H0 : Wα µ1 = µ2 µ1 = µ2 (−∞; −u1− α2 ) ∪ u1− α2 ; +∞) µ1 = µ2 µ1 > µ (u1−α ; +∞) µ1 = µ2 µ1 < µ (−∞; −u1−α ) Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Thống kê - Kiểm định giả thuyết Hà Nội, 25/34 tháng năm 2018 25 / 34 Kiểm định giả thuyết hai mẫu Kiểm định cho kỳ vọng Kiểm định mẫu cho kỳ vọng Ví dụ Khảo sảt điểm thi mơn Xác suất thống kê sinh viên lớp A, B ta có kết quả: •Trường A: n = 64, x = 7, 32, s1 = 1, 09 •Trường B: n = 68, x = 7, 66, s1 = 1, 12 Với mức ý nghĩa 1% kết luận kết thi lớp B cao lớp A hay không? Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Thống kê - Kiểm định giả thuyết Kiểm định giả thuyết hai mẫu Hà Nội, 26/34 tháng năm 2018 26 / 34 Kiểm định cho kỳ vọng Kiểm định mẫu cho kỳ vọng Bài làm Gọi X, Y điểm thi môn XSTK lớp A, B tương ứng EX = µ1 , V X = σ12 EY = µ2 , V X = σ22 Cặp giả thuyết: H0 : µ1 = µ2 H1 : µ1 < µ2 Chọn tiêu chuẩn kiểm định: Z = Giá trị quan sát k = x−y s21 s2 + n1 n2 X −Y ∼ N (0; 1) H0 s21 s22 + n1 n2 7, 32 − 7, 66 = = −31, 43 1, 092 1, 122 + 64 68 Với α = 0, 01, miền bác bỏ H0 : Wα = (−∞; −u1−α ) = (−∞; −u0,99 ) = (−∞; −2, 33) Do k ∈ Wα nên ta bác bỏ H0 chấp nhận H1 Nghĩa kết luận Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Thống kê - Kiểm định giả thuyết Hà Nội, 27/34 tháng năm 2018 27 / 34 Kiểm định giả thuyết hai mẫu Kiểm định mẫu cho tỷ lệ Kiểm định mẫu cho tỷ lệ Bài toán Giả sử p1 , p2 tương ứng tỷ lệ phần tử mang dấu hiệu A tổng thể thứ tổng thể thứ hai Mẫu tổng thể thứ nhất: Thực n1 phép thử độc lập điều kiện, có m1 phép thử xảy kiện A Mẫu tổng thể thứ hai: Thực n2 phép thử độc lập điều kiện, có m2 phép thử xảy kiện A Câu hỏi: Hãy so sánh p1 với p2 Cách giải Bài toán đặt ta cần so sánh p1 p2 Giả thuyết H0 Đối thuyết H1 p1 ≤ p2 p1 > p p1 = p2 p1 = p2 p1 ≥ p2 p1 < p Tuy nhiên giả thuyết ln có dấu "=" nên người ta cần viết giả thuyết H : p1 = p2 Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Thống kê - Kiểm định giả thuyết Kiểm định giả thuyết hai mẫu Hà Nội, 28/34 tháng năm 2018 28 / 34 Kiểm định mẫu cho tỷ lệ Kiểm định giả thuyết mẫu cho tỷ lệ Cách giải Chọn tiêu chuẩn kiểm định: f1 − f2 Z= ∼ N (0; 1) giả thuyết H0 1 f (1 − f )( + ) n1 n2 Từ mẫu thu thập, ta tính giá trị quan sát: k = với f1 = f1 − f2 1 f (1 − f )( + ) n1 n2 m1 m2 m1 + m2 n1 f1 + n2 f2 , f2 = ,f = = n1 n2 n1 + n2 n1 + n2 Miền bác bỏ H0 xác định cho trường hợp sau: H0 H1 Miền bác bỏ H0 : Wα p1 = p2 p1 = p2 (−∞; −u1− α2 ) ∪ (u1− α2 ; +∞) p1 = p2 p1 > p (u1−α ; +∞) p1 = p2 p1 < p (−∞; −u1−α ) Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Thống kê - Kiểm định giả thuyết Hà Nội, 29/34 tháng năm 2018 29 / 34 Kiểm định giả thuyết hai mẫu Kiểm định mẫu cho tỷ lệ Kiểm định giả thuyết mẫu cho tỷ lệ Ví dụ Kiểm tra sản phẩm chọn ngẫu nhiên nhà máy sản xuất ta số liệu sau: • Nhà máy thứ nhất: kiểm tra 100 sản phấm có 20 phế phẩm • Nhà máy thứ hai : kiểm tra 120 sản phấm có 36 phế phẩm Với mức ý nghĩa α = 0, 05 coi tỷ lệ phế phẩm nhà máy thứ cao nhà máy thứ hay không? Bài làm: Gọi p1 , p2 tỷ lệ phế phẩm nhà máy thứ thứ hai n1 = 100, m1 = 20 n2 = 120, m2 = 36 • Cặp giả thuyết: H0 : p1 = p2 , H1 : p1 < p2 m1 m2 m1 + m2 • Với f1 = = 0, 2; f2 = = 0, 3; f = = 0, 227 Giá trị quan sát n1 n2 n1 + n2 f1 − f2 0, − 0, k= = = 1, 763 1 1 f (1 − f )( + ) 0, 227(1 − 0, 227)( + ) n1 n2 100 120 • Với α = 0, 05 ta có miền bác bỏ H0 : Wα = (−∞; −u1−α ) = (−∞; −u0,95 ) = (−∞; −1, 645) • Do k ∈ Wα nên ta bác bỏ H0 , chấp nhận H1 Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Thống kê - Kiểm định giả thuyết Kiểm định giả thuyết hai mẫu Hà Nội, 30/34 tháng năm 2018 30 / 34 Kiểm định mẫu cho phương sai Kiểm định mẫu cho phương sai Bài toán Cho hai biến ngẫu nhiên X có EX = µ1 , V X = σ12 Y có EY = µ2 , V Y = σ22 Mẫu cụ thể X (x1 , x2 , , xn1 ), Y (y1 , y2 , , yn2 ) Bài toán đặt ta cần so sánh giá trị kỳ vọng σ12 với σ22 Giả thuyết H0 Đối thuyết H1 σ12 = σ22 σ12 = σ22 σ12 ≤ σ22 σ12 > σ22 σ12 ≥ σ22 σ12 < σ22 Tuy nhiên giả thuyết ln có dấu "=" nên người ta cần viết giả thuyết H0 : σ12 = σ22 Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Thống kê - Kiểm định giả thuyết Hà Nội, 31/34 tháng năm 2018 31 / 34 Kiểm định giả thuyết hai mẫu Kiểm định mẫu cho phương sai Kiểm định mẫu cho phương sai Cách làm Tiêu chuẩn kiểm định: K = s21 σ22 s22 σ12 giả thuyết H0 ta có K ∼ F (n1 − 1, n2 − 1) Từ mẫu cụ thể (x1 , x2 , , xn1 ), (y1 , y2 , , yn2 ), suy giá trị quan sát: k = s21 s22 Miền bác bỏ H0 xác định cho trường hợp sau: Miền bác bỏ H0 : Wα H0 H1 σ12 = σ22 σ12 = σ22 σ12 = σ22 σ12 > σ22 (F (n1 − 1; n2 − 1; − α); +∞) σ12 = σ22 σ12 < σ22 (0; F (n1 − 1; n2 − 1; α)) (0; F (n1 − 1; n2 − 1; α2 )) ∪ (F (n1 − 1; n2 − 1; − Chú ý: F (n1 − 1; n2 − 1; p) = Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) α ); +∞) F (n1 − 1; n2 − 1; − p) Thống kê - Kiểm định giả thuyết Kiểm định giả thuyết hai mẫu Hà Nội, 32/34 tháng năm 2018 32 / 34 Kiểm định mẫu cho phương sai kiểm định cho phương sai Ví dụ Hai máy A, B gia công loại chi tiết máy Người ta muốn kiểm tra xem hai máy có độ xác hay khơng Để làm điều người ta tiến hành lấy mẫu thu kết sau: Máy A: 135 138 136 140 138 135 139 Máy B: 140 135 140 138 135 138 140 Với mức ý nghĩa 5% kiểm tra xem máy có độ xác hay khơng? Biết kích thước chi tiểt máy làm tuân theo phân phối chuẩn Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Thống kê - Kiểm định giả thuyết Hà Nội, 33/34 tháng năm 2018 33 / 34 Kiểm định giả thuyết hai mẫu Kiểm định mẫu cho phương sai kiểm định cho phương sai Ví dụ Gọi X, Y đường kính chi tiết máy A B làm X ∼ N (µ1 ; σ12 ) Y ∼ N (µ2 ; σ22 ) Cặp giả thuyết: H0 : σ12 = σ22 H1 : σ12 = σ22 s21 Chọn tiêu chuẩn kiểm định: K = ∼ F (n1 − 1; n2 − 1) H0 s2 Với mẫu số liệu ta có s1 = 3, 905; s22 = s21 3, 905 Giá trị quan sát k = = = 0, 781 s2 Với α = 0, 05, miền bác bỏ H0 : Wα = (−∞; F (n1 − 1; n2 − 1; α2 )) ∪ (F (n1 − 1; n2 − 1; − α2 ); +∞) Với mức ý nghĩa α = 0, 05 , n1 = n2 = ta có F (6; 6; 0, 025) = 0, 17 F (6; 6; 0, 975) = 5, 82 Wα = (0; 0, 17) ∪ (5, 82; +∞) Do k ∈ / Wα nên ta chấp nhận H0 Nghĩa độ xác máy Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Thống kê - Kiểm định giả thuyết Hà Nội, 34/34 tháng năm 2018 34 / 34 ... phân phối xác suất Hà Nội, 35/69 tháng năm 2018 35 / 69 Biến ngẫu nhiên liên tục Hàm mật độ xác suất Hàm mật độ xác suất Ví dụ Cho hàm số f (x) = a sin 2x Tìm a để hàm trở thành hàm mật độ xác suất... (H) 0.815 Xác suất thống kê Hà Nội, tháng năm 2018 68 / 68 Chương 2: Biến ngẫu nhiên luật phân phối xác suất Lê Xuân Lý (1) Viện Toán ứng dụng Tin học, ĐHBK Hà Nội Hà Nội, tháng năm 2018 (1) Email:... nhận giá trị khoảng [0; +∞) Nhiệt độ Hà Nội lúc 6h sáng hàng ngày Số iphone phải bảo hành Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Biến ngẫu nhiên luật phân phối xác suất Hà Nội, 5/69 tháng năm 2018 / 69 Mở đầu