phương trình và hệ phương trình

CHƯƠNG III: PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH §1 ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH A TĨM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa Cho hai hàm số y = f ( x ) y = g( x ) có tập xác định Df Dg Đặt D = Df Ç Dg Mệnh đề chứa biến " f ( x ) = g( x ) " gọi phương trình ẩn ; x gọi ẩn số (hay ẩn) D gọi tập xác định phương trình x0 Ỵ D gọi nghiệm phương trình f ( x ) = g( x ) " f ( x0 ) = g( x0 ) " mệnh đề Chú ý: Các nghiệm phương trình f ( x ) = g( x ) hoành độ giao điểm đồ thị hai hàm số y = f ( x ) y = g( x ) Phương trình tương đương, phương trình hệ a) Phương trình tương đương: Hai phương trình f1 ( x ) = g1 ( x ) f2 ( x ) = g2 ( x ) gọi tương đương chúng có tập nghiệm Kí hiệu f1 ( x ) = g1 ( x ) Û f2 ( x ) = g2 ( x ) • Phép biến đổi không làm thay đổi tập nghiệm phương trình gọi phép biến đổi tương đương b) Phương trình hệ quả: f2 ( x ) = g2 ( x ) gọi phương trình hệ phương trình f1 ( x ) = g1 ( x ) tập nghiệm chứa tập nghiệm phương trình f1 ( x ) = g1 ( x ) Kí hiệu f1 ( x ) = g1 ( x ) Þ f2 ( x ) = g2 ( x ) c) Các định lý: Định lý 1: Cho phương trình f ( x ) = g( x ) có tập xác định D ; y = h ( x ) hàm số xác định D Khi D , phương trình cho tương đương với phương trình sau 1) f ( x ) + h ( x ) = g( x ) + h ( x ) 2) f ( x ) h ( x ) = g( x ) h ( x ) h ( x ) ¹ với x Ỵ D Định lý 2: Khi bình phương hai vế phương trình, ta phương trình hệ phương trình cho f ( x ) = g( x ) Þ f ( x ) = g2 ( x ) Lưu ý: Khi giải phương trình ta cần ý • Đặt điều kiện xác định(đkxđ) phương trình tìm nghiệm phương trình phải đối chiếu với điều kiện xác định • Nếu hai vế phương trình ln dấu bình phương hai vế ta thu phương trình tương đương • Khi biến đổi phương trình thu phương trình hệ tìm nghiệm phương trình hệ phải thử lại phương trình ban đầu để loại bỏ nghiệm ngoại lai B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI  DẠNG TỐN 1: TÌM ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH Phương pháp giải - Điều kiện xác định phương trình bao gồm điều kiện để giá trị f ( x ) , g( x ) xác định điều kiện khác (nếu có yêu cầu đề bài) - Điều kiện để biểu thức • f ( x ) xác định f ( x ) ³ 93 • • xác định f ( x ) ¹ f ( x) f ( x) xác định f ( x ) > Các ví dụ điển hình Ví dụ 1: Tìm điều kiện xác định phương trình sau: a) x + b) + - x = =1 x - c) + 2x - = d) 3x - - 2x = x- x +1 x - 3x + Lời giải a) Điều kiện xác định phương trình x2 - ¹ Û ïì - x ³ Û b) Điều kiện xác định phương trình ïí ïï x - ợ x2 x ¹ ±2 ïìï x £ Û 2£ x £ í ïï x ³ ỵ ìï ïï x ³ ïìï 2x - ³ 2Û x³ Û íï c) Điều kiện xác định phương trình í ïï 3x - ³ ïï 2 ỵ ïï x ³ ỵ d) Điều kiện xác định phương trình x£ ïì ïìï - 2x ³ Û ïí í ïï x - 3x + ¹ ïï ( x - 1) ( x2 + x - 2) ¹ ỵ ỵ ïìï x £ ì x£ ïìï ïíï x ¹ Û ïíï x < Û í Û ïï ( x - 1) ( x - 2) ¹ ïï ïï x ¹ ỵ ïỵ ïïỵ x ¹ Ví dụ 2: Tìm điều kiện xác định phương trình sau suy tập nghiệm nó: a) 4x + 4x - = - 4x + b) - x2 + 6x - + x3 = 27 c) x + x - = - 3- x d) ( x - 3) ( - 3x ) + 2x = 3x - + Lời giải ìï ïï x ³ ìï 4x - ³ 4Û x=3 Û íï a) Điều kiện xác định phương trình ïí ïï - 4x ³ ïï ỵ ïï x £ ỵ Thử vào phương trình thấy x = thỏa mãn ìï 3ü ï Vậy tập nghiệp phương trình l S = ùớ ùý ùợù 4ùỵ ù b) Điều kiện xác định phương trình - x2 + 6x - ³ Û - ( x - 3) ³ Û x = Thay x = vào thấy thỏa mãn phương trình Vậy tập nghiệp phương trình S = { 3} 94 ìï ìï x ³ x³ ïï ïï ï ïí x ³ x ³ Û c) Điều kiện xác định phương trình í ïï ïï ïỵï - - x ³ ïỵï x £ - Khơng có giá trị x thỏa mãn điều kiện Vậy tập nghiệm phương trình S = Ỉ ìï x - - 3x ³ ) ( ) ï( d) Điều kiện xác định phương trình í (*) ïï x ³ ïỵ Dễ thấy x = thỏa mãn điều kiện (*) ìï ïï x £ ïìï - 3x ³ 3Û x=5 Û íï Nếu x ¹ (*) Û í ïï 3x - ³ ïï ỵ ïï x ³ ỵ Vậy điều kiện xác định phương trình x = x = Thay x = x = vào phương trình thấy có x = thỏa mãn Vậy tập nghiệm phương trình S = { 3} Bài tập luyện tập Bài 3.0: Tìm điều kiện xác định phương trình sau: a) b) + x - = x - = 3x x - x- x +1 c) + 2x - = - 4x d) 2x - = x - 3x + Bài 3.1: Tìm điều kiện xác định phương trình sau suy tập nghiệm nó: a) 4x + 4x - = 4x - + b) - x2 + x - + x = c) 2x + x - = - x + d) x3 - 4x2 + 5x - + x = - x  DẠNG TỐN 2: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHÉP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG VÀ HỆ QUẢ Phương pháp giải Để giải phương trình ta thực phép biến đổi để đưa phương trình tương đương với phương trình cho đơn giản việc giải Một số phép biến đổi thường sử dụng • Cộng (trừ) hai vế phương trình mà khơng làm thay đổi điều kiện xác định phương trình ta thu phương trình tương đương phương trình cho • Nhân (chia) vào hai vế với biểu thức khác không không làm thay đổi điều kiện xác định phương trình ta thu phương trình tương đương với phương trình cho • Bình phương hai vế phương trình ta thu phương trình hệ phương trình cho • Bình phương hai vế phương trình(hai vế ln dấu) ta thu phương trình tương đương với phương trình cho Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Giải phương trình sau x2 1 = - x- a) + b) = x- x - x- x- x- 95 c) x + 3(x4 - 3x2 + 2) = d) x - 1(x2 - x - 2) = Lời giải ìï ìï x ¹ x¹ Û ïí a) ĐKXĐ : ïí ïï x - x - ùù x - ợ ợ Với điều kiện phương trình tương đương với 1+ = Û ( x - 3) ( x + 2) + x + = x - ( x - 3) ( x + 2) Û x2 = Û x = ±3 Đối chiếu với điều kiện ta có nghiệm phương trình x = - b) ĐKXĐ: x > Với điều kiện phương trình tương đương với - ± 13 x2 = 1- ( x - 2) Û x2 + x - = Û x = Đối chiếu với điều kiện ta thấy khơng có giá trị thỏa mãn Vậy phương trình vơ nghiệm c) ĐKXĐ: x ³ - é x+3= Phương trình tương đương với ê êx4 - 3x2 + = ê ë éx = - é x =- ê ê é x=- êx2 - = Û êx = ±1 Û ê Û ê ê ê( x2 - 1) ( x2 - 2) = êx = ± ê êx2 - = ë ê ê ë ë Đối chiếu với điều kiện ta nghiệm phương trình x = - 3, x = ±1 x = ± ìï x ³ ìï x ³ ï Û íï Û x³ d) ĐKXĐ: í ïï x - ³ ïï x ³ ỵ ỵ Với điều kiện phương trình tương đương với éx = é x - 1= ê ê êx = - Û ê2 ê x - x- 2= ê êx = ë ê ë Đối chiếu với điều kiện ta có ngiệm phương trình x = x = Ví dụ 2: Giải phương trình sau a) 2x - = 4x2 - 15 b) x2 - 3x + = - 3x c) 2x + = x - d) 2x + = x - Lời giải ìï 2x - ³ a) ĐKXĐ: ïí (*) ïï 4x - 15 ³ ỵ Với điều kiện (*) phương trình tương đương với 96 ( ) ( ) 4x2 - 15 Û 2x - = 4x2 - 15 éx = ê Û 4x - 2x - 12 = Û ê êx = - ê ë Thay vào điều kiện (*) ta thấy có x = thỏa mãn Vậy phương trình có nghiệm x = 2 ỉ 3ư ữ ỗ b) KX: x - 3x + ỗx - ữ + (luụn ỳng vi mi x ) ữ ỗ 2ứ ố 2x - = Bình phương hai vế phương trình ta x2 - 3x + = ( - 3x ) Û x2 - 3x + = 9x2 - 48x + 64 8x2 - 45x + 60 = Û x = 45 ± 105 16 Thay vào phương trình ta thấy có x = c) Phương trình tương đương với ( 45 - 105 nghiệm phương trình 16 2x + ) = ( x - ) Û 4x2 + 4x + = x2 - 4x + éx = - ê Û 3x + 8x - = Û ê êx = ê ë Vậy phương trình có hai nghiệm x = - x = d) Ta có 2x + = x - Þ ( 2x + 1) = ( x - 1) Þ 4x2 + 4x + = x2 - 2x + Û 3x2 + 6x = éx = Þ ê êx = - ê ë Thử vào phương trình ta thấy khơng có giá trị thỏa mãn Vậy phương trình vơ nghiệm Ví dụ 3: Tìm nghiệm ( x;y ) với x số nguyên dương phương trình sau 20 - 8x + 6x2 - y2 = y - 4x Lời giải ìï ïï x £ 20 ïìï 20 - 8x ³ Û x£ Û íï Nếu phương trình có nghiệm ( x;y ) x phải thỏa mãn í ïï - 4x ³ ïï ỵ ïï x £ ỵ x Vì số nguyên dương nên x = Thay x = vào phương trình ta 12 + - y2 = y (*) Điều kiện xác định phương trình (*) - y2 ³ (*) Þ - y2 = 3( y - 2) Þ - y2 = 3( y - 2) Þ 4y2 - 12y + = Þ y = 97 3± 2 3+ tha ổ + 3ử ữ ỗ1; ữ Vậy phương trình có nghiệm thỏa mãn đề ç ÷ ç ÷ ç è ø Thử vào phương trình (*) thấy có y = Ví dụ 4: Tìm m để cặp phương trình sau tương đương a) mx2 - 2( m - 1) x + m - = (1) ( m - 2) x2 - 3x + m2 - 15 = (2) b) 2x2 + mx - = (3) 2x3 + ( m + 4) x2 + 2( m - 1) x - = (4) Lời giải a) Giả sử hai phương trình (1) (2) tương đương é x =1 Ta có ( 1) Û ( x - 1) ( mx - m + 2) = Û ê êmx - m + = ê ë Do hai phương trình tương đương nên x = nghiệm phương trình (2) Thay x = vào phương trình (2) ta ém = ( m - 2) - + m2 - 15 = Û m2 + m - 20 = Û êêm = - ê ë éx = ê • Với m = - : Phương trình (1) trở thành - 5x + 12x - = Û ê êx = ê ë é x =1 ê Phương trình (2) trở thành - 7x - 3x + 10 = Û ê êx = - 10 ê ë Suy hai phương trình khơng tương đương é êx = x x + = Û ê • Với m = : Phương trình (1) trở thành êx = ê ë éx = ê Phương trình (2) trở thành 2x - 3x + = Û ê êx = ê ë Suy hai phương trình tương đương Vậy m = 4thì hai phương trình tương đương b) Giả sử hai phương trình (3) (4) tương đương 2 Ta có 2x + ( m + 4) x + 2( m - 1) x - = Û ( x + 2) ( 2x + mx - 2) = é x=- Û ê ê2x2 + mx - = ê ë Do hai phương trình tương đương nên x = - nghiệm phương trình (3) Thay x = - vào phương trình (3) ta 2( - 2) + m( - 2) - = Û m = • éx = - ê Với m = phương trình (3) trở thành 2x + 3x - = Û ê êx = ê ë 2 Phương trình (4) trở thành 2x3 + 7x2 + 4x - = Û 98 ( x + 2) ( 2x + 1) =0 éx = - ê Û ê êx = ê ë Suy phương trình (3) tương đương với phương trình (4) Vậy m = 3 Bài tập tự luyện Bài 3.2: Giải phương trình sau 2x = a) + b) = 2- x 4- x 3- x c) x + 1(x2 - 16) = d) 3- x - 3- x 3- x =0 x - 2x - Bài 3.3: Giải phương trình sau a) x - = x2 - b) 3x2 - x - = x - c) 2x + = 2x - d) 2x - = 3x - Bài 3.4: Tìm m để cặp phương trình sau tương đương a) x2 + mx - = (1) ( m - 1) x2 + 2( m - 2) x + m - = (2) b) ( 2m - 2) x2 - ( 2m + 1) x + m2 + m - 17 = (3) ( - m) x2 + 3x + 15 - m2 = (4) §2 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI MỘT ẨN A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa • Phương trình bậc ẩn phương trình có dạng ax + b = với a,b số thực a ¹ • Phương trình bậc hai ẩn phương trình có dạng ax2 + bx + c = với a,b,c số thực a ¹ Giải biện luận phương trình ax + b = (1) b b ã Nu a : ( 1) Û x = phương trình có nghiệm x = a a • Nếu a = 0: phương trình (1) trở thành 0x + b = Th1: Với b = phương trình nghiệm vi mi x ẻ R Th2: Vi b phương trình vơ nghiệm Giải biện luận phương trình ax2 + bx + c = • Nếu a = : trở giải biện luận phng trỡnh dng (1) ã Nu a : D = b2 - 4ac - b± D Th1: D > phương trình có hai nghiệm phân biệt x = 2a b TH2: D = phương trình có nghiệm kép x = 2a Th3: D < phương trình vơ nghiệm Định lí Vi-ét ứng dụng a) Định lí Vi-ét 99 Hai số x1 x2 nghiệm phương trình bậc hai ax2 + bx + c = chúng thỏa mãn hệ b c thức x1 + x2 = x1x2 = a a b) Ứng dụng • Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai • Phân tích thành nhân tử: Nếu đa thức f ( x ) = ax2 + bx + c có hai nghiệm x1 x2 phân tích thành nhân tử f ( x ) = a ( x - x1 ) ( x - x2 ) • Tìm hai số biết tổng tích chúng: Nếu hai số có tổng S tích P chúng nghiệm phương trình x2 - Sx + P = • Xét dấu nghiệm phương trình bậc hai: b c Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0(*), kí hiệu S = - , P = a a + Phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu P < ìï D ³ ïï + Phương trình (*) có hai nghiệm dương ïí P > ïï ïïỵ S > ïìï D ³ ï + Phương trình (*) có hai nghiệm âm ïí P > ïï ïïỵ S < B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI  DẠNG TOÁN 1: GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH DẠNG ax + b = Phương pháp giải Để giải biện luận phương trình dạng ax + b = ta dựa vào kết nêu Lưu ý: ộ aạ ã Phng trỡnh ax + b = có nghiệm Û ê êa = b = ê ë ïì a = • Phương trình ax + b = vơ nghiệm Û ïí ïï b ợ ã Phng trỡnh ax + b = có nghiệm Û a ¹ Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Giải biện luận phương trình sau với m tham số a) ( m - 1) x + - m = b) m( mx - 1) = 9x + c) (m + 1)2x = (3m + 7)x + + m Lời giải a) Phương trình tương đương với ( m - 1) x = m - + Với m - = Û m = 1: Phương trình trở thành 0x = - Suy phương trình vơ nghiệm + Với m - ¹ Û m ¹ : Phương trình tương đương với x = Kết luận m = : Phương trình vơ nghiệm 100 m- m- m- m- b) Ta có m( mx - 1) = 9x + Û ( m - 9) x = m + m ¹ : Phương trình có nghiệm x = + Với m2 - = Û m = ±3 : • Khi m = : Phương trình trở thành 0x = suy phương trình vơ nghiệm • Khi m = - : Phương trình trở thành 0x = suy phương trình nghiệm với x Ỵ R m+3 + Với m2 - ¹ Û m ¹ ±3 : Phương trình tương đương với x = = m - m- Kết luận: m = : Phương trình vơ nghiệm m = - : Phương trình nghim ỳng vi mi x ẻ R m ±3: Phương trình có nghiệm x = m- ù c) Phương trình tương đương với é ë(m + 1) - 3m - 7ûx = + m Û ( m2 - m - 6) x = + m ém = ê m m = Û + Với êm = - : ê ë • Khi m = : Phương trình trở thành 0x = suy phương trình vơ nghiệm • Khi m = - : Phương trình trở thành 0x = suy phương trình nghiệm vi mi x ẻ R ộm m+2 + Với m - m - ¹ Û ê êm ¹ - 2: Phương trình tương đương với x = m2 - m - = m - ê ë Kết luận: m = : Phương trình vơ nghiệm m = - : Phương trình nghiệm với x Ỵ R m ¹ m ¹ - : Phương trình có nghiệm x = m- a , b Ví dụ 2: Giải biện luận phương trình sau với tham số a) a2 ( x - a ) = b2 ( x - b) b) b( ax - b + 2) = 2( ax + 1) Lời giải 2 2 3 a) Ta có a ( x - a ) = b ( x - b) Û ( a - b ) x = a - b + Với a2 - b2 = Û a = ±b • Khi a = b : Phương trình trở thành 0x = suy phương trỡnh nghim ỳng vi mi x ẻ R ã Khi a = - b b ¹ 0: Phương trình trở thành 0x = - 2b3 suy phương trình vô nghiệm (Trường hợp a = - b,b = Þ a = b = rơi vào trường hợp a = b ) + Với a2 - b2 ¹ Û a ¹ ±b : Phương trình tương đương với x = Kết luận a = b : phương trình nghiệm với x Ỵ R a = - b b ¹ : phương trình vơ nghiệm a2 + ab + b2 a ¹ ±b : Phương trình có nghiệm x = a +b b) Ta có b( ax - b + 2) = 2( ax + 1) Û a ( b - 2) x = b2 - 2b + 101 a3 - b3 a2 + ab + b2 = a +b a2 - b2 éa = + Với a ( b - 2) = Û ê êb = ê ë Khi a = : Phương trình trở thành 0x = b2 - 2b + , b2 - 2b + = ( b - 1) + > nên phương trình vơ nghiệm • Khi b = : Phương trình trở thành 0x = suy phương trình vơ nghiệm ìï a ¹ b2 - 2b + ï x = a b ¹ Û ( ) + Với : Phương trình tương đương với í ïï b ¹ a ( b - 2) ỵ Kết luận a = b = phương trình vơ nghiệm b2 - 2b + a ¹ b ¹ phương trình có nghiệm x = a ( b - 2) Ví dụ 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm a) (m2 - m)x = 2x + m2 - b) m( 4mx - 3m + 2) = x(m + 1) • Lời giải a) Ta có (m2 - m)x = 2x + m2 - Û (m2 - m - 2)x = m2 - ìï m ¹ - Phương trình có nghiệm Û a ¹ hay m - m - ¹ ùớ ùù m ợ Vy vi m ¹ - m ¹ phương trình có nghiệm 2 b) Ta có m( 4mx - 3m + 2) = x(m + 1) Û ( 4m - m - 1) x = 3m - 2m ± 17 Phương trình có nghiệm Û a ¹ hay 4m2 - m - ¹ Û m ¹ ± 17 Vậy với m ¹ phương trình có nghiệm Ví dụ 4: Tìm m để đồ thị hai hàm số sau không cắt y = ( m + 1) x2 + 3m2x + m y = ( m + 1) x2 + 12x + Lời giải Đồ thị hai hàm số không cắt phương trình ( m + 1) x2 + 3m2x + m = ( m + 1) x2 + 12x + vô nghiệm Û 3( m2 - 4) x = - m vơ nghiệm ïìï m2 - = ïïì m = ±2 Û í Ûí Û m=- ïï - m ¹ ùù m ợ ợ Vy vi m = - giá trị cần tìm Bài tập luyên tập Bài 3.5: Giải biện luận phương trình sau với m tham số a) ( 2m - 4) x + - m = b) (m + 1)x = (3m2 - 1)x + m - Bài 3.6: Giải biện luận phương trình sau: x + a - b x + b - a b2 - a2 a) (1) = a b ab 102 x = y2 + = y = ỉ3x2 - 24ư 3x2 - 24 ÷ x = 3ỗ ữ + 13x4 - 213x2 + 864 = ỗ ỗ ữ x ố x ø éx = ±3 Þ y = ±1 éx2 = ê ê 96 78 Û ê2 Û ê ( x ; y ) = ( ± ; ± ), ( ± ; m ) Bài 3.55: Ta có 96 96 78 ê êx = x = ± Þ y = m 14 13 ê ê ë 13 ë 13 13 x = m - y thay vào phương trình hai ta được: 2(m - y)2 - 3y2 = Û y2 + 4my + - 2m2 = (*) Hệ có nghiệm Û (*) có nghiệm Û D ' = 4m2 - (1- 2m2) ³ Û m ³ Vậy m ³ 6 giái trị cần tìm Bài 3.56: a) 1) Đặt S = x + y, P = xy Khi hệ trở thành: ìï ïï P = - S ïìï S + 2P = 2 Û íï í ïï S(S - 3P ) = ïï - 3S ỵ )=8 ïï S(S î Þ 2S + 3S - 6S - 16 = Û (S - 2)(2S + 7S + 8) = Û S = Þ P = Þ x, y nghiệm phương trình: X - 2X = Û X = 0, X = ïì x = ïì x = Vậy nghiệm hệ là: ïíï y = È ïíï y = ỵï ỵï b) Đặt S = x + y; P = xy Khi hệ trở thành: ïìï S(S - 3P ) = 19 ïì SP = - 8S ïì SP = - 8S Û ïí Û ïí í ïï S(8 + P ) = ïï S - 3(2 - 8S) = 19 ïï S + 24S - 25 = ỵ ỵ ỵ ïì S = Þ x, y nghiệm phương trình : X - X - = Û X = 3; X = - Û ïí ïï P = - ỵ Vậy hệ cho có hai cặp nghiệm: (x;y) = (- 2;3), (3;- 2) c) (x;y) = (1;1) d) (- ( 2;0) , ( 0;- 2) , - ) ( 2; , 2;- ) Bài 3.57: a) Trừ vế với vế hai phương trình ta được: éx = y x2 - y2 = x - y Û (x - y)(x + y - 1) = Û ê êx = 1- y ê ë * Với x = y Þ x = 3x Û x = 0, x = éy = - Þ x = * Với x = 1- y Þ y2 = 3y + 2(1- y) Û y2 - y - = Û ê êy = Þ x = - ê ë Vậy nghiệm hệ: (x;y) = (0;0), (3;3), (- 1;2), (2;- 1) b) : x, y ¹ ïìï 2x3 + x2y = Hệ Û íï 2y3 + y2x = Þ 2(x2 - y3) + xy(x - y) = Û (x - y)(2x2 + 3xy + 2y2) = ïỵ 198 Û x = y (Do 2x2 + 3xy + 2y2 = 2(x + 3y)2 + y2 > ) Thay vào hệ ta được: 3x = Û x = = y Vậy hệ có nghiệm: x = y = ( c) ( - 1;- 1) , ( 0;0) , ( 1;1) , - ) ( 3; , 3;- ) d) ( 1;1) Bài 3.58: · Giả sử hệ có nghiệm (x0;y0) (y0;x0) nghiệm hệ nên để hệ có nghiệm trước hết x0 = y0 Thay vào hệ ta được: x02 - 2x0 + m = phương trình có nghiệm Û D ' = - m = Û m = ìï x = y2 - y + · Với m = hệ trở thành: ïí Þ x2 + y2 - 2x - 2y + = ïï y = x - x + ỵ 2 Û (x - 1) + (y - 1) = Û x = y = 1.Thử lại ta thấy thỏa mãn hệ Vậy m = giá trị cần tìm Bài 3.59: Ta thấy x=0 khơng thoả hệ phương trình ìï 3x2 + 5tx2 - 4t 2x2 = 38 Xét x ¹ Đặt x = ky thay vào hệ ta được: ïí ïï 5x - 9tx2 - 3t 2x2 = 15 (*) ỵ 2 ìï x (3 + 5t - 4t ) = 38 Û ïí Þ 15( + 5t - 4t2 ) = 38( - 9t - 3t ) ïï x (5 - 9t - 3t2) = 15 ỵ é ê t= Û 54t2 + 417t - 145 = Û ê ê êt = - 145 ê ë 18 é x = 3Þ y =1 Với t = (*) Û x = Û ê êx = - Þ y = - ê ë 145 15.108 Với t = (*) Û x2 = : Phương trình vơ nghiệm 18 12655 ïì x = ïì x = - hay ïí Vậy ïí ïï y = ïï y = - ỵ ỵ Bài 3.60: Dễ thấy x = khơng thoả hệ ìï x2(3 + 2k + k2) = 11(*) Với x ¹ , đặt y = tx , thay vào hệ ta ïí ïï x (1 + 2k + 3k2) = 17 ỵ 2 Suy 17( + 2k + k ) = 11( + 2k + 3k ) é êk = Û 16k - 12k - 40 = Û ê êk = ê ë Thay vào (*) ta được: • 199 é êx= Þ y=ê 33 16 Û k= ê Þ x = 11 Û x = ê 16 Þ y=êx = ê ë 5 =4 3 5 ()= 3 é x = 1Þ y = k = Þ 11x2 = 11 Û x2 = Û ê êx = - Þ y = - ê ë æ ổ4 ữ ữ ; ;ữ;ỗ ữ;( 1;2) ;( - 1;- 2) Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x;y ) l ỗ ỗ ỗ ữố ữ ỗ ç è 3ø 3ø Bài 3.61: Dễ thấy y = nghiệm hpt Đặt x = ty , ta có : ìï t2 - 4t + m ìï t2y2 - 4ty2 + y2 = m ìï y2(t2 - 4t + 1) = m ïï = ïí Hệ ⇔ ïí ⇔ ⇔ (I) í - 3t 2 ïï y - 3ty = ïï y (1 - 3t) = ïï y2(1 - 3t) = 4 ợ ợ ùợ ã Do y ¹ nên từ y2 ( - 3t ) = Þ - 3t > Û t < ìï t - 4t + 1 ïï = a) Với m = ta có hệ phương trình í - 3t ïï y2(1 - 3t) = 44 ỵï Ta có nghiệm ( 1 ;4) , ( - 1 ;- 4) ìï 4(t2 - 4t + 1) = m(1- 3t) b) Ta có : (I) ⇔ ïí ïï y (1 - 3t) = ỵ ìï 4t - (16 - 3m)t + - m = (*) ⇔ ïí ïï y (1 - 3t) = ỵ Đặt f ( t ) = 4t2 - ( 16 - 3m) t + - m Hệ có nghiệm ⇔ (*) có nghiệm thoả mãn t < ỉ 1ư tỴ ỗ - Ơ; ữ ữ ỗ ữct trc honh " m ỗ 3ứ ố ỡù x y Bi 3.62: a) ĐKXĐ : ïí ïï x ³ - y î Û Đồ thị hàm số f ( t ) = 4t2 x + y = x + y Û ( x + y)6 = ( x + y)6 éx = - y Û (x + y)3 = (x + y)2 Û (x + y)2(x + y - 1) = Û ê êx + y = ê ë x = y Thay vào x - y = x - y - 12 ta y = - Þ x = b) Đặt a = x + y + ,b = x − y x+ y    5 (x + y)2 +  + 3(x − y)2 = 13   (x + y)  Hệ ⇔   nên ta có:  )+ x− y =  (x + y + x+ y  200 ( 16 - 3m) t + - m với 5(a2 − 2) + 3b2 = 13 ⇔   a + b = 5a2 + 3b2 = 23 giải hệ ta tìm   a + b =   a = − a =   b = −  b =   −1 ± ±   11    ; ÷,  ; − ÷,  ; −2÷ 2 ÷  2    4 Từ ta tìm nghiệm hệ: ( x; y) =  Bài 3.63: a) Điều kiện: x, y > ìï (x + y) + (- xy) = ï HPT Û í ïï (x + y)(- xy) = - 78 ïỵ x + y - xy nghiệm phương trình: Suy éx + y = 13 ét = 13 éx + y = 13 ê ê t2 - 7t - 78 = Þ ê Û Û ê- xy = - êt = - êxy = 36 ê ê ê ë ë ë éu Suy x, y nghiệm phương trình: u - 13u + 36 = Û ê ê ë Vậy, hệ phưong trình có nghiệm ( 4,9) ,( 9,4) b) Điều kiện :x ³ 0,y ³ ïìï 2x2 + 2y2 + 4xy = 16 ìïï 2x2 + 2y2 = x + y HPT Û í Û í ïï x + y + 4xy = 16 ïï x + y = ïỵ ïỵ éìï x = êïí êï y = =4 ỵï Û ê êïì x = =9 êï êíï y = ê ëỵï ìï 2x2 + 2y2 = x2 + y2 + 2xy ìï (x - y)2 = ï Û í Û ïí Û x=y=4 ïï x + y = ïï x + y = ỵ ỵ Vậy hệ có nghiệm ( 4;4) ïì x ³ c) Điều kiện: ïí ïï y ³ ỵ ìï S = x + y ï Đặt í , điều kiện S, P ³ S - 4P ³ ïï P = xy ïỵ ìï é ù ïï x + y xy - 2xy + 2xy = ê ú ú Khi hệ phương trình có dạng: ïí ê ë û ïï ïïỵ x + y = ìï ï S - 2P ) - 2P + 2P = ùớ ( ùù S = ùợ ị P - 32P + 128 = ìï - P ³ Û ïí Û P =4 ïï P - 32P + 128 = (8 - P )2 î ( 201 ) ìï x + y = ïìï S = ï Þ í Û x =y=4 Vậy ta được: í ïï P = ïï xy = ỵ ïỵ ìï x + y ³ ìï y ³ - x Û ïí Û -x£ y£ xÞ x³ Bài 3.64: a) Điều kiện: ïí ïï x - y ³ ïï y £ x ỵ î ìï x + y + x - y = ìï x + y + x - y = ï ï Û íï Viết lại hệ phương trình dạng: í 1 2 ïï (x + y) (x - y) = 128 ïï (x + y)2 + (x - y)2 = 256 ỵ ïïỵ 2 ìï u = x + y ï , u, v ³ Đặt: í ïï v = x - y ïỵ ìï éuv = ïï ê ìï u + v = ìï u + v = ï ï ï uv = 32 Û Û Ta được: í í íê ë ïï u + v4 = 256 ïï uv(uv - 32) ïï ê ỵ ỵ ïïỵ u + v = ïì u + v = ïì u + v = Û ïí Hoặc ïí ïï uv = 32 ïï uv = ỵ ỵ Giải hệ ta nghiệm ( 8,8) ; ( 8, - 8) b) Hệ có nghiệm ( 4;9) , ( 9;4) c) Hệ có nghiệm ( 8;64) , ( 64;8) Bài 3.65: · Giả sử hệ có nghiệm (x0, y0) Þ (y0 - 2, x0 + 2) nghiệm hệ phương trình Vậy hệ có nghiệm điều kiện cần x0 = y0 - ìï y - + y - = a ïì y0 - = a ï 0 Û ïí Khi hệ có dạng: í ïï y0 - + y0 = 2a + ïï 2y0 = 2a + ỵ ỵ ìï a ³ ï Û a = 2+ Þ 2(2a + 3) - = a Û íï ïỵ 4a - = a ìï x + + y - = + ìï x + + y - = + ï · Với a = + , hệ có dạng: í Û ïí ïï x + y = 2(2 + 6) + ïï (x + 1) + (y - 1) = + ỵï îï ì ïï u + v = + ìï u = x + ìï u + v = + ï ï ï ;u, v ³ Ta được: í Û í Đặt: í ïï v = y - ïï u + v = + ïï uv = + ïỵ ïỵ ïïỵ Suy u,v nghiệm phương trình: 2+ 2+ t2 - (2 + 6)t + (5 + 6) = Û t = Þ u=v= 2 ïìï ïìï 2+ 6+ ïï x + = ïï x = Û í Û í nghiệm ïï ï 2+ 14 + ï ïï y - = ïï y = ỵï ỵï Vậy hệ phương trình có nghiệm a = + 202 ìï x - y - 3xy = x - y ) ( ) ï( Bài 3.66: a) Ta có: HPT Û ïí ïï xy = 2( x - y ) ïỵ ìï u2 - 3u + v = ìï u = Û ïí Đặt u = x - y, v = xy Hệ trở thành ïí ïï v = 2u2 ïï v = ỵ ỵ Từ giải nghiệm hệ ( 0;0) ,( 2;1) , ( - 1;- 2) ìï u = ïí ïï v = ỵ ìï ïï x + y + xy(x2 + y) + xy = - ï Đặt a = x2 + y;b = xy b) HPT Û í ïï ïï (x + y) + xy = ỵ 5 ïìï ïìï ïï a + ab + b = ïï b = - - a 4 Û í Ta có: í ïï ïï 5 5 2 ïï a + b = ïï a + a(- - a ) - - a = ỵ ỵ 4 ìï ì ïï ïï b = - - a2 ïìï a = a=ï ï Û ïí Û íï íï ïï ï b = ïï ïï b = ïï a + a + a = ỵ ïỵ ỵ ìï ìï x2 + y = ïï x = ïìï a = ï ï Û íï Û í * ïí 5 ïï b = ïï xy = ïï 25 ïỵ ïỵ ïï y = - 4 ïỵ 16 ìï ì ïï ïï a = - ïìï x = x +y = ï ï ï 2 Û í Û íï *í ïï ïï ïï y = - 3 ïï b = ïï xy = ïỵ ỵ ỵ ỉ5 ổ 3ử ỗ ;- 24 ữ ữ , ç1;- ÷ ÷ Vậy hệ có hai cặp nghiệm (x;y) = ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ỗ 16 ø è 2ø è ìï ïï x + x + = ï y y Bài 3.67: a) Vì y = khơng thỏa hệ hệ cho Û ïí ïï x ïï x + + = 13 y y ïỵ x Đặt a = a = x + ; b = Þ x2 + = a2 - 2b y y y ïì a + b = ïì a + b = ïì a = ïì a = - Û ïí Ta có hệ ïí ⇔ïí ïí ïï a - b = 13 ïï a + a - 20 = ïï b = ïï b = 12 ỵ î î î ìï ïï x + = é ìï x2 - 4x + = êx = Þ y = ïï y ï Û í Û ê *í ïï x ïï x = 3y ờx = ị y = ợ = ê ïï ë ïỵ y 203 ìï ïï x + = - ìï x2 + 5x + 12 = ïï y ï Û *í hệ vơ nghiệm í ïï x ïï x = 12y ỵ = 12 ïï ïỵ y Vậy hệ cho có hai cặp nghiệm: (x;y) = (1; ), (3;1) b) Ta thấy x = không nghiệm hệ nên ta biến đổi hệ trở thành ìï ïï 2y ( + 2y) = ï x3 x3 Đặt a = 2y, b = , ta có hệ í ïï x ïï + (2y) = ỵx 6 ïìï ïìï ìï ab(a + b) = a +b = a +b = ï ï ïí Û í Û í ïï a2 + b2 = ïï (a + b)2 -ab2ab = ïï 2a3b3 + 5ab a2b2 - 36 = ỵ ïỵ ïỵ ïì ab = ïì a = ïì a = Û ïí Û ïí v ïí ïï a + b = ïï b = ïï b = ỵ ỵ ỵ ìï ìï a = ïï y = ìï a = ìï y = Þ ïí Þ ïí * ïí * ïí ïï b = ïï ïï b = ïï x = ỵ ỵ ỵ ïï x = ïỵ 1 Vậy hệ cho có hai cặp nghiệm : (x;y) = (1;1), ( ; ) 2 c) Nếu x = thay vào hệ Þ y = Þ x = y = nghiệm hệ ìï ïï x + y = 2y - ï x Với x ¹ ta có hệ cho Û í ïï y2 ïï x + = 4y - ỵ x ìï ïï x + y = 2y - y ïìï x + = 2y - (1) ï ï x Û í Û í x ïï ïï (2y - 1)2 = 6y - y2 (2) ïï (x + ) = 6y - ïỵ ỵ x (2) Û 2y2 - 5y + = Û y = 2;y = 2 * y = Þ (1) Û x + = Û x2 - 3x + = Û x = 1;x = x 1 * y = Þ (1) Û x + = phương trình vơ nghiệm 2x Vậy hệ cho có ba cặp nghiệm: (x;y) = (0;0), (1;2), (2;2) ìï x3 - y3 = 35 ïí ïï 2x2 + 3y2 = 4x - 9y î Bài 3.68: a) Nhân phương trình thứ hai hệ với cộng hai phương trình theo vế ta có x3 + 3x2 + 3y2(x + 1) - 24xy = 6xy + 30y - 78x - 76 204 Û (x + 1)(x2 + 2x + 76) + 3y2(x + 1) - 30y(x + 1) = Û (x + 1)(x2 + 2x + 3y2 - 30y + 76) = (*) Do x2 + 2x + 3y2 - 30y + 76 = (x + 1)2 + 3(y - 5)2 ³ khơng có đẳng thức xảy nên (*) tương đương với x = - Thay vào hệ ta tìm y = - 3, y = b) Phương trình thứ hai hệ tương đương với (6x2 - 12x + 8) + (9y2 + 12y + 27) = 35 Thay vào phương trình thứ hệ, ta được: x3 - y3 = (6x2 - 12x + 8) + (9y2 + 12y + 27) Û (x - 2)3 = (y + 3)3 Û x = y + Lại thay vào phương trình thứ hai hệ, ta được: 2(y + 5)2 + 3y2 = 4(y + 5) - 9y Û 5y2 + 25y + 30 = Û (y + 2)(y + 3) = Û y = - Ú y = - Với y = - , ta có x = , với y = - , ta có x = Thử lại ta thấy thỏa Vậy hệ phương trình cho có hai nghiệm (x, y) = (- 2,3),(- 3,2) ïì x, y ³ Bài 3.69: Điều kiện: ïí ïï x + y ợ Ta thy x = (y = 0) không nghiệm hệ nên hệ cho tương đương với ïìï x + y ïìï x + y 2 = = ïï + ïï x +y x +y ï4 x Û ï x y í í ïï x + y ïï 1 = = + ïï ï ï 4 x +y y x y ỵï ỵï 2 x+ y ỉ ưỉ ữ ữ ỗ ữ ữ =ỗ + = Suy ỗ ỗ ữ ữ 4 ỗ ỗ 4 ÷ x ÷ x +y è x y øè yø x y Û x x - 2x y + 2y x - 4y y = x ta có: t - 2t + 2t - = Û t = Û x = 4y y ìï 2+1 ïï ïï x = Từ ta tìm ïí ïï + ïï ïïỵ y = 16 Bài 3.70: a) Đặt: u = 3x + v = 3x - ìï u2 + v2 + u.v = Þ u- v = 2Þ u = v+2 (6) trở thành: ïí ïï u - v3 = î Đặt t = ( ) ( ) Do đó: ( v + 2) + v2 + v( v + 2) = Û 3v2 + 6v + = Û 3( v + 1) = Û v = - Þ u = ìï u = 3x + = ï Þ x=0 Vậy ta có: í ïï v = 3x - = - ïỵ b) ĐKXĐ: £ x £ Đặt a = 205 x; b = 17 - x; a,b ³ Ta có hệ phương trình ïìï a + b = ïì a + b = ïì a + b = ïì a + b = Û ïí Û ïí 2 Û ïí í 4 2 2 ïï a + b = 17 ïï [(a + b) - 2ab] - 2a b = 17 ïï a b - 18ab + 32 = ïï ab = V ab = 16 ỵ ỵ ỵ î ìï a + b = ìï a = ìï a = éx = Þ ïí V ùớ ị ã Vi ùớ ờx = 16 ïï ab = ïï b = ïï b = ê ỵ ỵ ỵ ë ìï a + b = Þ hệ vơ nghiệm.Vậy phương trình cho có hai ngiệm x = 1;x = 16 • Với ïí ïï ab = 16 ỵ Bài 3.71: a) ĐKXĐ: x ³ - (x + 1) + x +1 Û (x + 1)2 - = +1 2 x +1 t t +1 = + Þ y2 - = , ta có hệ phương trình: 2 Phương trình Û 2(x + 1)2 - = Đặt t = x + 1;y = ìï ét = y ïï t - = 1y ê ï Þ (t - y)(t + y + ) = Û ê í ïï êy = - t - y = t ê ïï ë î t ± 17 - ± 17 * t = y Û t - = Û 2t - t - = Û t = (thỏa đk x ³ - ) Û x= 4 1 t - ± 13 - ± 13 * y=- tÞ (t + )2 - = Û 4t2 + 2t - = Û t = Û x= 2 4 x ³ (thỏa đk ) Vậy phương trình cho có bốn nghiệm: x = - ± 17 - ± 13 ;x = 4 b) ĐKXĐ: x ³ Phương trình Û (2x + 1)2 + 3x = 2(2x + 1) - 3x Đặt t = 2x + 1;y = 2t - 3x Þ y2 + 3x = 2t Þ ta có hệ phương trình éy = t ïìï t2 + 3x = 2y Þ (t - y)(t + y + 2) = Û ê í êy = - t - ïï y + 3x = 2t ê ë î éx = - ê 2 * y = t Û t - 2t + 3x = Û 4x + 3x - = Û ê êx = ê ë éx = - ê 2 * y = - t - Þ t + 3x + 2(t + 2) = Û 4x + 11x + = Û ê êx = - ê ë Vậy phương trình cho có ba nghiệm: x = - 1;x = - ;x = 4 Cách khác : pt Û 4x2 + 8x + = c) Ta có phương trình Û Đặt 206 ( ) x +2+1 3x - = (2x - 3)3 - x + 3x - = 2y - Þ (2y - 3)2 = 3x - 5, ta có hệ phương trình ìï (2x - 3)3 = 2y - + x - ïí Þ a3 - b3 = b - a (Với a = 2x - 3;b = 2y - ) ïï (2y - 3)3 = 2x - + x - ỵ Û (a - b)(a2 + ab + b2 + 1) = Û a = b Û (2x - 3)3 = 3x - éx = ê Û 8x - 36x + 51x - 22 = Û (x - 2)(8x - 20x + 11) = Û ê êx = ± ê ë 5± Vậy phương trình cho có ba nghiệm x = 2;x = Bài 3.72: a) ĐK: £ x £ ìï a + b = Đặt a = x;b = - x , ta có hệ phương trình: ïí (I) ïï a + b4 = ỵ (I) Û a = b = Û x = nghiệm phương trình cho b) ĐKXĐ: x £ 3 Đặt a = 2 - x2, a ³ Þ a3 = - x2 Û a3 + x2 = Mặt khác từ phương trình ban đầu Þ a = - x3 Û x3 + a2 = ìï a3 + x2 = Vậy ta có hệ phương trình: ïí trừ hai phương trình hệ ta ïï x + a2 = ỵ 3 2 a - x - (a - x ) = Û (a - x)(a2 + ax + x2 - a - x) = (*) Ta có: a2 + ax + x2 - a - x = a2 + (a + x)(x - 1) * Với x ³ Þ a + x > Þ (a + x)(x - 1) ³ Þ a2 + (a + x)(x - 1) > * Với £ x < Þ a ³ Þ a2 + ax + x2 - a - x = a(a - 1) + ax + x(a - 1) > * Với x < Þ a + x < Þ (a + x)(x - 1) > Þ a2 + (a + x)(x - 1) > Þ a2 + ax + x2 - a - x > " x ìï £ x £ 2 - x3 = x Û ïí Û x = ïï x + x2 - = ỵ Vậy phương trình cho có nghiệm x = ìï 2y3 - 2x3 = ìï 2y3 - 2x3 = ï (I ) (I) Û ïí Bài 3.73: Đặt y = 4x - x + (1) có dạng: í ïï 4x - x + = y ïï 2x + 2y3 - (x + y) = ỵ ỵ ìï 2y3 - 2x3 = 3(2) Û ïí ïï (x + y)(2x2 - 2xy + 2y2 - 1) = 0(3) ỵ TH1: y = - x kết hợp(2), có nghiệm (1): x = - TH2: 2x2 - 2xy + 2y2 - = 0; D 'x = - 3y2 Nếu có nghiệm y £ Tương tự có x £ 3 ỉ 2÷ ç ÷ Khi VT (2) £ 4ç = < Chng t TH2 vụ nghim ữ ỗ ỗ 3 è 3÷ ø Do đo (*) Û a = x thay vào hệ ta được: 207 3 Bài 3.74: a) Dễ thấy x = khơng nghiệm phương trình KL (1) có nghiệm x = - 3 Xét x ¹ phương trình tương đương với ( x - 1) + x + = x2 x2(x - 1) - x - ìï u = x2(x - 1) - x - ï Þ u3 + x + = x2v Đặt í ïï v=x- ỵ Phương trình trở thành v3 + x + = x2v ìï u3 + x + = x2v Vậy ta có hệ phương trình ïí ïï v + x + = x2v ỵ é u=v = 0Û ê êu2 + uv + v2 + x2 = ê ë éx = 2 Với u = v ta có ( x - 1) + x + = x ( x - 1) Û 2x - 4x = Û ê êx = (loại x = ) ê ë ỉ vư Với u2 + uv + v2 + x2 = ỗ u+ ữ + v2 + x2 = u = v = x = 0(loi) ữ ỗ ữ ỗ 2ứ ố ị u3 - v3 = x2 ( v - u ) Û ( u - v) ( u2 + uv + v2 + x2 ) Vậy phương trình có nghiệm x = b) Phương trình cho tương đương với 3x + + x + = ( x + 1)3 ( x + 1) = x + y + Đặt y + = x + Ta có hệ phương trình  ( y + 1) = 3x + Trừ hai phương trình hệ, vế theo vế, ta ( x − y ) ( x − 1) + ( x − 1)( y − 1) + ( y − 1)  = y − x x − y = ⇔ ⇔x= y 2 ( x − 1) + ( x − 1)( y − 1) + ( y − 1) = −1 Suy x + = 3 x + ⇔ ( x + 1)3 = 3x + ⇔ x + x = ⇔ ( x − 1)( x + 2) = ⇔ x = ∨ x = −2 Thử lại ta thấy thỏa Vậy phương trình cho có hai nghiệm phân biệt x = 1, x = −2 Bài 3.75: a) Xét phương trình: 2x - x - = - x + 16 (1) ïì x - ³ ïì x ³ Û ïí Û x = Điều kiện : ïí ïï - x ³ ïï x £ ỵ ỵ Thay x = ta thấy (1) thoả Vậy, nghiệm phương trình (1) x = b) Xét phương trình: 3x + x - = - x ìï x - ³ ìï x ùớ x ẻ ặ iu kin: ïí ïï - x ³ ïï x £ ỵ ỵ Vậy, phương trình (2) vơ nghiệm - 2m - Bài 3.76: a) PT Û (m2 + 3)x = - 2m - Û x = (vì m2 + ≠ 0, ∀m) m +3 Vậy, nghiệm (1) : x = 208 - (2m + 3) m2 + b) PT Û (m2 - 4)x = m2 + m - Û (m + 2)(m - 2)x = (m - 2)(m + 3) m+3 + ( m + 2) ( m - 2) ¹ Û m ¹ ± Nghiệm (2) là: x = m+2 + m + = Û m = - 2: (2) trở thành: 0x = - : vô nghiệm + m - = Û m = : (2) trở thành : 0x = : x Ỵ ¡ m+3 Kết luận: m ¹ ± : x = m+2 m = −2 : phương trình vơ nghiệm m=2:x∈ ¡ c) Điều kiện: x + ¹ Û x ¹ - 1.Với điều kiện thì: PT Û mx - m - = 2x + Û (m - 2)x = m + m+5 m+5 Để nghiệm (3) thì: x ¹ - Û ¹ - 1Û m ¹ - m- m- 2 m = Û m = : (3) Û x = : + vơ nghiệm + m- ¹ Û m ¹ 2: x = Vậy: m ¹ m ¹ m = hay m = - m+5 , nghiệm phương trình là: x = m- : phương trình vơ nghiệm Bài 3.77: a) m = 1: PT trở thành: − x + = ⇔ x = m ≠ 1: (1) có: D ¢= - 3( m - 1) = - 3m + 4 : phương trình (1) vơ nghiệm + D ¢= - 3m + = Û m = : phương trình (1) có nghiệm kép x = = 3 m- + D ¢= - 3m + > Û m < : phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt: + D ¢= - 3m + < Û m > ± - 3m + m- b) Điều kiện : x - ¹ Û x ¹ ±1 Với điều kiện đó, thì: x= PT Û f ( x ) = x2 - 2mx + m2 - m + = (*) ïì m ¹ Với x ≠ thì: f ( 1) = m2 - 3m + ¹ Û ïí ùù m ợ Vi x thỡ: f ( - 1) = m2 + m + ¹ : với m Khi đó, ( * ) có biệt thức: D ¢= m - ( m2 - m + 1) = m - ùỡ m > ã ùớ thỡ D Â> 0, nên ( * ) có hai nghiệm phân biệt x = m ± m - ïï m ¹ ỵ hai nghiệm (2) 209 • m = thì: D ¢= 0, nên ( * ) có nghiệm kép x = m = (không thoả điều kiện), suy cho vô nghiệm é x = (loại) • m = 2, ( * ) trở thành: x2 - 4x + = Û ê êx = ê ë Do nghiệm cho x = • m < D ¢< 0, nên ( * ) vô nghiệm, suy cho vô nghiệm Kết luận : m ≤ : cho vô nghiệm m > m ≠ 2: (2) có hai nghiệm phân biệt x = m ± m - m = : (2) có nghiệm x = Bài 3.78: a) Với m = - phương trình trở thành: x - + x - + x = x - Vì VT ³ Þ x - ³ Û x ³ Khi ta có: x - + x - + x = x - Û | x - | +x = phương trình vơ nghiệm b) Xét hàm số : ìï 2x - x ³ ïï ïï £ x < y = f (x) = x - + x - + x - x = ïí ïï - 2x + £ x < ïï x