Chuyên đề đạo hàm lí thuyết bài tập và lời giải

Chuyên đề Toán học về đạo hàm chương trình THPT cơ bản đến nâng cao lớp 11, 12 được biên soạn tương đối đầy đủ về các bài tập được giải chi tiết từng bài. Tài liệu này giúp giáo viên tham khảo để dạy học, học sinh tham khảo rất bổ ích nhằm nâng cao kiến thức toán học về đạo hàm và để ôn thi THPQG và thi đại học.

Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả CHỦ ĐỀ: ĐẠO HÀM Lí thuyết – tập – lời giải KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM Đạo hàm điểm Hàm số liên tục , gọi có đạo hàm y = f(x) (a;b) x0 ∈ (a;b) giới hạn sau tồn (hữu hạn): lim x→ x0 f(x) − f(x0) x − x0 giới hạn gọi giá trị đạo hàm hàm số điểm hiệu f '(x0 ) giá trị x0 Ta kí Vậy f '(x0) = lim f(x) − f(x0) x→ x0 x − x0 Đạo hàm bên trái, bên phải f(x) − f(x0) f(x) − f(x0) + − f '(x0 ) = lim f '(x0 ) = lim x − x0 x − x0 x→x+ x→x− 0 Hệ : Hàm f '(x0+ ) = f'(x0− ) f(x) có đạo hàm x0 ⇔ ∃ f(x0+ ) f '(x0− ) đồng thời Đạo hàm khoảng, đoạn Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả • Hàm số f(x) có đạo hàm (hay hàm khả vi) hàm điểm thuộc • Hàm số f(x) (a;b) đạo hàm phải + (a;b) có đạo có đạo hàm (hay hàm khả vi) hàm điểm thuộc (a;b) [a;b] có đạo đồng thời tồn đạo hàm trái f '(b− ) f '(a ) Mối liên hệ đạo hàm tính liên tục Định lí: Nếu hàm số có đạo hàm liên tục f(x) f(x) x0 x0 Chú ý: Định lí điều kiện cần, tức hàm liên tục điểm hàm khơng có đạo hàm x0 x0 Chẳng hạn: Xét hàm f(x) = x liên tục x= khơng liên tục điểm Vì , cịn f(x) − f(0) f(x) − f(0) lim =1 lim = −1 x x x→0+ x→0− Vấn đề Tính đạo hàm định nghĩa Phương pháp: • f(x) − f(x0) f '(x0 ) = lim x→ x0 x − x0 Các giảng trọng tâm theo chuyên đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả • f '(x0+ ) = lim f(x) − f(x0) x − x0 + x→x0 • f '(x0− ) = lim f(x) − f(x0) − x→x0 • • Hàm số Hàm số x − x0 y = f(x) y = f(x) có đạo hàm điểm x = x0 ⇔ f '(x0+ ) = f '(x0− ) có đạo hàm điểm trước hết phải liên tục điểm Các ví dụ Ví dụ Tính đạo hàm hàm số sau điểm chỉ: tại x = x=0  f(x) = 2x +  x + x + − x ≠ f(x) =  x 0 x =  f(x) = x + x=1 Lời giải Ta có ⇒ f '(2) = 24 f(x) − f(2) 2x3 − 16 lim = lim = lim 2(x2 + 2x + 4) = 24 x→2 x→2 x − x→2 x− Ta có : f(x) − f(1) x2 + − = lim x→1 x − x→1 x−1 f'(1) = lim Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả = lim x→1 Ta có f(0) = (x − 1)(x + 1) (x − 1)( x2 + + 2) = , đó: f(x) − f(0) x3 + x2 + − x+ 1 = lim = lim = x→0 x→0 x→0 x x2 x3 + x2 + + lim Vậy f '(0) = Ví dụ Chứng minh hàm số f(x) = 2x2 + x + liên tục x = −1 x−1 khơng có đạo hàm điểm Lời giải Vì hàm xác định nên liên tục f(x) x = −1 Ta có: f(x) − f(−1) 2x = lim =1 x+ x→−1+ x→−1+ x − f'(−1+ ) = lim f '(−1− ) = lim x→−1− f(x) − f(−1) = lim = x+ x→−1− ⇒ f '(−1+ ) ≠ f '(−1− ) ⇒ f(x) khơng có đạo hàm x = −1 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả Ví dụ Tìm a để hàm số  x2 −  x ≠ f ( x) =  x − a x =  Lời giải Để hàm số có đạo hàm x=1 trước hết có đạo hàm f(x) x=1 phải liên tục x=1 Hay limf(x) = lim x→1 x→1 Khi đó, ta có: Vậy a= x −1 = = f(1) = a x−1 x2 − −2 f(x) − f(1) lim = lim x − =1 x→1 x − x→1 x − giá trị cần tìm CÁC BÀI TỐN LUYỆN TẬP Bài Tính đạo hàm hàm số sau điểm tại f(x) = 2x + x0 = x+ f(x) = x−1 x0 = điểm f(x) = x + x + x0 = f(x) = sin x x= π Các giảng trọng tâm theo chuyên đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả  x3 − 2x2 + x + −  x ≠ f(x) =  x−1 0 x =  điểm x0 = Bài Tính đạo hàm hàm số sau điểm tại f(x) = sin2x f(x) = tanx π π x0 = x=  x sin x ≠ f(x) =  x 0 x =  x= Bài Tính đạo hàm hàm số sau điểm x0 = f(x) = x3 2x + x ≥  f(x) =  x + 2x2 − 7x + x <   x−  sin2 x  f(x) =  x x + x2  x > x + x+ x0 = x0 = x ≤ f(x) = tại x0 = −1 x Bài Các giảng trọng tâm theo chuyên đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả Tìm a,b để hàm số Tìm a,b để hàm số Tìm x= a,b để hàm số x2 + x x ≥ f(x) =  ax + b x < có đạo hàm x2 + x ≥ f(x) =  2x + ax + b x <  x2 +  x ≥ f(x) =  x + ax + b x <  x=1 có đạo hàm ¡ có đạo hàm điểm CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM Quy tắc tính đạo hàm 1.1 Đạo hàm tổng, hiệu, tích, thương hàm số • (k.u(x))' = k.u'(x) • (u ± u ± ± u )' = u' ± u' ± ± u' n • (uvw)' = u'vw + uv'w + uvw ' • '  u(x)  u'(x)v(x) − v'(x)u(x)  ÷= v2(x)  v(x)  n • (un (x))' = nun−1(x).u'(x) •  c  c.u'(x)  ÷' = − u (x)  u(x)  1.2 Đạo hàm hàm số hợp Cho hàm số với Khi y = f(u(x)) = f(u) u = u(x) y'x = y'u u'x Bảng công thức đạo hàm hàm sơ cấp Đạo hàm Hàm hợp Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả (c)' = ( u ) ' = αu (x)' = α (xα )' = αxα−1 ( x ) ' = 21x ( x) ' = n n n x (sinx)' = cosx (cosx)' = − sinx cos2 x (cotx)' = − u' n 1 u' ( u ) ' = 2u'u ( u) '= n n n−1 (tanx)' = α−1 u n −1 (sinu)' = u'.cosu (cosu)' = −u'sinu ( tan u) ' = u' cos2 u ( cotu ) ' = − u' sin2 u sin2 x Vấn đề Tính đạo hàm công thức Phương pháp: Sử dụng quy tắc tính đạo hàm Các ví dụ Ví dụ Tính đạo hàm hàm số sau: y = x3 − 3x2 + 2x + y = −x3 + 3x + Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả x4 y= − x2 + 2x + y= x− Lời giải Ta có: y = −2x4 + x2 + y= ( ) ' ( ) ' x2 − 2x + x+1 y' = − x3 + 3x + = 3x2 − 6x + 2 Ta có: y' = − x3 + 3x + = −3x2 + 3 Ta có: '  x4  y' =  − x2 + 1÷ = x3 − 2x  ÷   Ta có: '   y' =  −2x4 + x2 + 1÷ = −8x3 + 3x   Ta có: y' = Ta có: y' = (2x + 1)'(x − 3) − (x − 3)'(2x + 1) (x − 3) = −7 (x − 3)2 (x2 − 2x + 2)'(x + 1) − (x2 − 2x + 2)(x + 1)' (x + 1)2 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả = (2x − 2)(x + 1) − (x − 2x + 2) (x + 1) Nhận xét: Với hàm số ax + b y= cx + d Ví dụ Giải bất phương trình = x + 2x − ( x + 1) ta có: f '(x) ≥ y' = ad − bc (cx + d)2 biết: 2 f(x) = x − x2 + 12 f(x) = x − x 4 f(x) = x2 + − x f(x) = x − x + + x + x + Lời giải TXĐ: D = −  2;2 Ta có: f '(x) = − x2 − Do đó: x2 − x2 = − 2x2 − x2 f'(x) ≥ ⇔ − 2x2 ≥ ⇔ − ≤ x ≤ 2 TXĐ: D=¡ Ta có: f '(x) = 1− 2x x2 + 12 = x2 + 12 − 2x x2 + 12 10 Các giảng trọng tâm theo chuyên đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả Trừ hai phương trình (1) (3) , vế với vế ta m (m − 2)x0 = −m ⇔ x0 = − m− Thay m x0 = − m− vào (1), ta : m2 (m − 2)2 + 2m2 +m=0 m− Vậy m ⇔ m − 3m + 2m = ⇔ m = ∨ m = 1∨ m = ( Cm ) tiếp xúc với (d) điểm có hồnh độ  x4 − (m + 1)x2 + 4m = (1) 0   4x0 − 2(m + 1)x0 = (2) Giải hệ (A), Thay x0 Thay x02 (2) ⇔ x0 = (A) có nghiệm x02 = = vào (1) ta m = m+1 = x0  4 ∈ 0;1;2;  3  x0 hệ m+1 vào (1) ta  m + 1 (m + 1)2 + 4m =  ÷ −   ⇔ m2 − 14m + 13 = ⇔ m = ∨ m = 13 380 Các giảng trọng tâm theo chuyên đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả Khi m= ( Cm ) tiếp xúc với (d) điểm (0;3) nên m= không thỏa mãn yêu cầu toán Khi m= ,suy tiếp xúc với (d) hai điểm C ( m) x0 = ⇔ x0 = ±1 ( ±1;3 ) Khi m = 13 điểm ( ± 7;3) x02 = ⇔ x0 = ± ,suy ( Cm ) tiếp xúc với (d) hai Vậy giá trị m cần tìm m = m = 13 ∨ Bài 11: Tam giác OAB vuông O , H hình chiếu vng góc O lên AB ,suy OA = AH.AB OB2 HB OB · ⇒ = = 4⇒ = ⇒ tanOAB =  2 HA OA OA OB = BH.BA ⇒ Hệ số góc đường thẳng (d) : k = ± Khi k = ,phương trình (d) có dạng y = 2x + m (d) tiếp xúc (C) điểm có hồnh độ có x0  2x0 − = 2x0 + m (2)   x0 − ⇔  = (3)  (x − 1)2  nghiệm x0 x − 1= x = (3) ⇔ (x0 − 1)2 = ⇔  ⇔  x0 − = −1  x0 = 381 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả Thay Thay x0 x0 = vào (2) ta m = - = vào (2) ta m = Vậy trường hợp này, phương trình tiếp tuyến (d) y = 2x ± Khi k = - , phương trình (d) có dạng : y = -2x + m (d) tiếp xúc (C) điểm có hồnh độ có ⇔ x0  2x0 − = −2x0 + m (4)   x0 − ⇔  = −2 (5)  (x − 1)2  nghiệm x0 Phương trình (5) vô nghiệm nên hệ vô nghiệm Vậy phương trình tiếp tuyến (d): y = 2x ± Gọi x0 hoành độ tiếp điểm tiếp tuyến (d) với (C), phương trình (d) có dạng 2x − y = f '(x0)(x − x0) + f(x0) = (x − x0) + x0 − (x0 − 1) = (x0 − 1)2 x+ 2x02 − 8x0 + (x0 − 1)2 A giao điểm (d) với trục hoành B giao điểm (d) với trục tung ⇒ A(−x02 + 4x0 − 2;0)  2x2 − 8x +  ÷ ⇒ B 0;  (x0 − 1)2 ÷   Diện tích tam giác OAB (vuông O) : 382 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả S= 2x2 − 8x0 + (x02 − 4x0 + 2)2 1 OA.OB = − x02 + 4x0 − = 2 (x − 1)2 (x − 1)2 S= 4⇔ (x02 − 4x0 + 2)2 (x0 − 1) = ⇔ (x02 − 4x0 + 2)2 = 4(x0 − 1)2  x2 − 4x + = 2(x − 1)  x2 − 6x + = 0 0 ⇔ ⇔ 2  x0 − 4x0 + = −2(x0 − 1)  x0 − 2x0 = x = − ∨ x = + ⇔ x = ∨ x =  0 Suy phương trình tiếp tuyến (d): y= (2 − 5)2 x+ 2− , y= (2 + 5)2 x+ 2+ 2x+4 , y = 2x – , y= Bài 12:   9 A ∈ Oy  A  0; ÷    2  9⇒   9 OA =   A  0; − ÷ 2   Trường hợp y = kx +  9 A  0; ÷  2 Khi phương trình tiếp tuyến (d) có dạng 383 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả (d) tiếp xúc (C) điểm có hồnh độ nghiệm x0 x0  x2 − 3x  = kx0 + (2)  1− x0 ⇔  −x0 + 2x0 − = k (3)  (1 − x )  có Thay (3) vào (2) ta x0 ≠ x02 − 3x0 −x02 + 2x0 − = x0 + ⇔  2 1− x0 (1− x0)2 2(x0 − 3x0)(1− x0) = −2x0 + 4x0 − 6x0 + 9(1− x0)  x0 = x0 ≠ ⇔ ⇔ 5x0 − 18x0 + =  x0 =  Thay Thay x0 x0 = vào (3) ta = vào (3) ta k=− 27 k=− Vậy trường hợp , phương trình (d) 27 y = − x + ,y = − x + 2 2 Trường hợp 2:  9 A  0; − ÷ 2  Khi phương trình (d) có dạng : y = kx − 384 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả (d) tiếp xúc (C) điểm có hồnh độ nghiệm x0 x0  x2 − 3x  = kx0 − (4)  1− x0 ⇔  −x0 + 2x0 − = k (5)  (1 − x )  có Thay (5) vào (4), ta được: x0 ≠ x02 − 3x0 −x02 + 2x0 − = x0 − ⇔  2 1− x0 (1− x0)2 2(x0 − 3x0)(1− x0) = −2x0 + 4x0 − 6x0 − 9(1− x0) x0 ≠ ⇔ 13x0 + 18x0 + = (vn) Do trường hợp khơng có tiếp tuyến (d) thỏa đề Vậy phương trình tiếp tuyến (d) cần tìm 27 y = − x + ,y = − x + 2 2 a Phương trình đường thẳng MN: y − yM yM − yN = x − xM xM − xN ⇔ y = −3x + Phương trình hồnh độ giao điểm (C) đường thẳng MN 2x2 − 3x + = (vn) x2 − 3x = −3x + ⇔  1− x x ≠ Suy đường thẳng MN (C) khơng có điểm chung b Tiếp tuyến (D) song song đường thẳng MN suy phương trình (D) có dạng y = - 3x + m (m ≠ 3) 385 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả (D) tiếp xúc (C) điểm có hồnh độ nghiệm x0 ⇒ − x02 + 2x0 − (1− x0)2 x0  x2 − 3x  có = −3x0 + m (6)  1− x0 ⇔  −x0 + 2x0 − = −3 (7)   (1− x0 ) x0 ≠ = −3 ⇔  2 −x0 + 2x0 − = −3(1+ x0 − 2x0) x0 ≠ x = ⇔ ⇔ 2x0 − 4x0 =  x0 = Thay Thay x0 x0 = vào (6) ta m = = vào (6) ta m = Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm y = −3x ,y = −3x + Khi m = tiếp điểm tiếp tuyến (D) với (C) O(0;0) Khi m = tiếp điểm tiếp tuyến (D) với (C) K(2;2) Vì đường thẳng MN (C) khơng có điểm chung d(O, MN) = < d(K,MN) = điểm thuộc (C) có khoảng 10 10 cách từ đến đường thẳng MN O Mặt khác , độ dài MN khơng đổi ,do SEMN = MN.d(E,MN) SEMN nhỏ ⇔ d(E,MN) nhỏ ⇔E≡O 386 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả Vậy điểm cần tìm gốc tọa độ O Bài 13: Xét Đường thẳng d qua M, hệ số góc k có M(0;m) ∈ Oy phương trình: y = kx + m d tiếp xúc đồ thị điểm có hồnh đồ x + 4x2 + 2x + = kx + m 0   4x0 +  =k 1+ 4x02 + 2x0 +  có nghiệm x0 x0 hệ Thay k vào phương trình thứ ta được: x0 + 4x02 + 2x0 + = x0 + ⇔ 4x02 + 2x0 + = 4x02 + x0 4x02 + 2x0 + 4x02 + x0 + m +m 4x02 + 2x0 + ⇔ m= 4x02 + 2x0 + Để từ M kẻ tiếp tuyến đến đồ thị nghiệm Xét hàm số f( x0 ), ta có: Mặt khác: lim f(x0) = x→+∞ f '(x0) = ; −3x0 ( 4x02 + 2x0 + 1)3 lim f(x0) = − x→−∞ (*) x0 + ⇔ (*) = f(x0) có ⇒ f '(x0) = ⇔ x0 = Bảng biến thiên: 387 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả x0 −∞ +∞ + f '(x0 ) − f(x0 ) − 2 (*) có nghiệm ⇔ − < m≤1 Vậy M(0;m) với − < m≤1 điểm cần tìm Bài 14: Tiệm cận đứng (C) : x = 1, tiệm cận xiên (C): y = 2x – 1, suy giao điểm hai đường tiệm cận I(1;1) Phương trình tiếp tuyến (d) (C) qua I : y = k(x – 1) + (d) tiếp xúc với (C) điểm có hồnh độ x0  2x − 1+ x − = k(x − 1) + (1)  ⇔ 2 − = k (2)  (x − 1)2 có nghiệm x0 388 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả Thay 2− (x0 − 1)2 2x0 − 1+ vào (1) ta =k   2 ÷(x0 − 1) + ⇔ =  2− = (3) x0 −  (x0 − 1) ÷ (x0 − 1)2   Phương trình (3) vơ nghiệm nên khơng tồn tiếp tuyến (C) qua I Hai tiếp tuyến (C) song song với M 1M ⇔ y'(x1) = y'(x2) ⇔ 2− 2 (x1 − 1) = 2− (x2 − 1)2 ⇔ (x1 − 1)2 = (x2 − 1)2 ⇔ x1 − = 1− x2 (do x1 ≠ x2) ⇔ x1 + x2 = Gọi E trung điểm đoạn M 1M  x1 + x2 =1 xE =      y =  2x − 1+ + 2x − 1+ ÷ E   2 x1 − x2 − 1÷  yE = 1 2  −  2(x1 + x2) − +  =1 2 x1 − x1 − 1 Vậy E(1;1) ⇒E≡I⇒ điều phải chứng minh Bài 15: 389 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả Phương trình: tương đương với phương trình : 4x − 3x + 2a − 3a = Phương trình cho có hai nghiệm âm −4x + 3x + = 2a − 3a + nghiệm dương đường thẳng cắt đồ y = 2a − 3a + thị ba điểm có hai điểm có hồnh độ âm y = −4x + 3x + điểm có hồnh độ dương Từ đồ thị suy ra: tức ta có hệ: Giả sử số góc 0 < 2a2 − 3a +  2a − 3a < M ( m;3) k hay 0< a < điểm cần tìm , phương trình có dạng: Đường thẳng d tiếp xúc với đồ thị d 1< a < ( C) đường thẳng qua y = k ( x − m) + −4x3 + 3x + = k ( x − m) + 0    −4x0 + 3x0 + ' =  k ( x0 − m) + 3 ' ( < 2a2 − 3a + < điểm ( 2x0 − 1) 4x02 − 2( 3m − 1) x0 − 3m + 1 = ( 1) có hệ N ( x0;y0 ) có nghiệm ) M x0 hệ : , từ hệ suy có nghiệm x0 390 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả Qua M phương kẻ trình đường thẳng tiếp xúc có ( 1) 4x02 − 2( 3m − 1) x0 − 3m + = ( 2) m < −1 1 < m≠ 3 nghiệm x0 với , tức 2x + k= x+ Ta có: y' = phương trình hay A ,B có hệ số góc x2 + 2x − m − g ( x) = g ( x) = x2 + 2x − m − có hai nghiệm phân biệt khác Theo đề, tiếp tuyến m= − , đặt ( x + 1) Theo toán, có hai nghiệm phân biệt khác Bài 16: Hàm số cắt trục hoành thại hai điểm phân biệt ( C) A B vuông góc tức −1 , tìm kA k B = −1 391 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả Đường thẳng trình có dạng: ( d) tiếp qua điểm ( d) y = k ( x − m) + m xúc ( C)  2x2  = k ( x0 − m) + m  x0 +   2x0 + 8x0 = k   ( x0 + 2) a b Gọi y=5 ( t) ( t) tiếp xúc với có hệ số góc k , phương điểm có nghiệm có x0 hồnh độ x0 hệ : , từ ta tìm m = −5 ± 23 y = 9x − M ( m;9m − 4) Đường thẳng M ( m;m) điểm đường thẳng qua ( C) M có phương trình tiếp điểm N ( x0;y0 ) x3 + 3x2 + = k ( x − m) + 9m − 0  3x0 + 6x0 = k ( ∗) y = 9x − y = k ( x − m) + 9m − hệ sau : có nghiệm x0 392 Các giảng trọng tâm theo chuyên đề Môn Toán lớp 12 – Nhiều tác giả Để qua M kẻ phân biệt tức phân biệt hay Gọi M ( a;b) Tiếp tiếp tuyến đến ( C) hệ ( ∗) ( x0 − 1) 2x02 + ( − 3m) x0 + − 9m = m < −5 < m≠1 điểm cần tìm tuyến ( đồ có có nghiệm x0 nghiệm x0 thỏa toán M ∈ ( d ) ⇒ b = −3a + thị (C ) điểm ( x0;y0 ) ) y = 3x02 − ( x − x0 ) + x03 − 3x0 + Tiếp tuyến qua M ( a;b) ( ) tiếp tuyến ⇔ −3a + = 3x02 − ( a − x0 ) + x03 − 3x0 + ⇔ 2x03 − 3ax02 = ⇔ x0 = ∨ x0 = Có hai qua M với hệ số góc 3a  3a  27a2 k1 = f '( 0) = −3,k2 = f ' ÷ = −3  2 Hai tiếp tuyến ⇔ k1k2 = −1 ⇔ a2 = vng góc với 40 10 ⇔ a= ± 81 393 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả Vậy có hai điểm thoả mãn đề :  10  10 M ± ;m + 2÷  ÷   394 ... '(x)dx Đạo hàm cấp n Đạo hàm cấp hai: Cho hàm số có đạo hàm Nếu có • f f' f' đạo hàm đạo hàm gọi đạo hàm cấp hai kí hiệu là: f '' , tức là: f '' = (f ')' f 22 Các giảng trọng tâm theo chuyên đề. .. tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả • Hàm số f(x) có đạo hàm (hay hàm khả vi) hàm điểm thuộc • Hàm số f(x) (a;b) đạo hàm phải + (a;b) có đạo có đạo hàm (hay hàm khả vi) hàm điểm thuộc... đạo hàm x = −1 Các giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác giả Ví dụ Tìm a để hàm số  x2 −  x ≠ f ( x) =  x − a x =  Lời giải Để hàm số có đạo hàm x=1 trước hết có đạo hàm