Đại học Huế tr-ờng đại học s- phạm Trần Quang Đạt Nghiên cứu tính chất Và ứng dụng số trạng thái phi cổ điển ba mode Luận án tiến sĩ vật lý Huế, 2021 Đại học Huế tr-ờng đại học s- phạm Trần Quang Đạt Nghiên cứu tính chất Và ứng dụng số trạng thái phi cổ điển ba mode Ngành: Vật lý lý thuyết Vật lý toán Mà số: 44 01 03 Ln ¸n tiÕn sÜ vËt lý Ng-êi h-íng dÉn khoa học: PGS.TS Tr-ơng Minh Đức PGS.TS Nguyễn Bá Ân Huế, 2021 i Lời cam đoan Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu riêng Các số liệu, kết nghiên cứu đồ thị nêu luận án trung thực, đ-ợc đồng tác giả cho phép sử dụng ch-a đ-ợc công bố công trình khác Tác giả luận án Trần Quang Đạt ii Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc kính trọng lớn lao thầy giáo PGS.TS Tr-ơng Minh Đức, ng-ời thầy đà gắn bó với từ ngày đầu gặp giảng đ-ờng tr-ờng Đại học S- phạm Huế Thầy đà góp phần định h-ớng nghiệp cho tôi, giúp đỡ từ vừa tốt nghiệp đại học Thầy không giúp đỡ chuyên môn, công việc nghiên cứu, điều kiện để đ-ợc bảo vệ luận án mà nhiều lĩnh vực sống Tôi xin đ-ợc tri ân Thầy giáo nh- cảm tạ gia đình Thầy đà dành trọn cho niềm yêu quý chân thành Để có thành công hôm nay, xin bày tỏ lòng biết ơn to lớn thầy giáo PGS.TS Nguyễn Bá Ân Thầy đà có dạy, góp ý vô sắc sảo để uốn nắn cách làm việc cho từ đ-ợc gặp Thầy Thầy đà truyền lửa đam mê, trực tiếp chỉnh sửa câu văn, lỗi tả công trình nghiên cứu Thầy bị đau Tôi xin đ-ợc ghi lòng tạc công ơn lớn lao mà Thầy đà dành cho suốt thời gian học tập Tôi xin chân thành cảm ơn đến quý thầy giáo, cô giáo khoa Vật lý, tr-ờng Đại học S- phạm, Đại học Huế đà giảng dạy, giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi suốt thời gian học tập nghiên cứu nơi Tôi xin trân trọng cảm ơn đến quý thầy cô Phòng Đào tạo Sau Đại học Phòng, Ban khác tr-ờng Đại học S- phạm, Đại học Huế đà đ-a h-ớng dẫn tận tình nh- tạo điều kiện thuận lợi cho việc hoàn thành thủ tục hành suốt thời gian học tập Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Ban Giám hiệu tr-ờng Đại học Giao thông iii vận tải, Ban Giám đốc Phân hiệu tr-ờng Đại học Giao thông vận tải Thành phố Hồ Chí Minh đà cho phép, tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ thời gian học tập, nghiên cứu công tác Xin trân trọng cảm tạ tới quý thầy, cô bạn bè đồng nghiệp tr-ờng Đại học Giao thông vận tải Phân hiệu tr-ờng Đại học Giao thông vận tải Thành phố Hồ Chí Minh đà có động viên, chia sẻ lúc khó khăn công việc, học tập công tác Tôi xin cảm ơn tới hai đồng môn chị Lê Thị Hồng Thanh bạn Hồ Sỹ Ch-ơng đà chia sẻ khó khăn với thời gian làm việc Đặc biệt, xin dành tất niềm yêu th-ơng cảm tạ chân thành đến thành viên gia đình Xin đ-ợc cảm ơn bố, mẹ hai bên nội ngoại, anh chị em đà giúp đỡ, lo lắng động viên con, em hoàn cảnh Xin cảm tạ đến gia đình nhỏ tôi, vợ hai Quỳnh Nh- Diệp Chi, thân họ đà chịu nhiều vất vả, mát để đ-ợc hoàn thành luận án Huế, tháng 03 năm 2021 Tác giả Trần Quang Đạt iv Bảng chữ viết tắt Viết tắt Tiếng Anh Tiếng Việt BS Beam-splitter Bộ tách chùm PD Photo-detector Đầu dò quang SPD Single-photon detector Đầu dò ®¬n photon DC Downconverter Bé chun ®ỉi v Danh mơc hình vẽ 2.1 Sự phụ thuộc hàm Wigner W vào thành phần thực ảo a víi p = q = 0, r = 1, h = k = l = 1, αb = αc = 0.5 vµ φ = 37 2.2 Sù phơ thc cđa hµm Wigner W vµo r víi p = 2, q = 1, |αa | = 0.26, |αb | = 0.4, |αc | = 0.5 vµ ϕa + ϕb + ϕc − φ = π (h, k, l) = (0, 0, 0) (đ-ờng liền nét), (3, 1, 0) (đ-ờng gạch - gạch) (2, 1, 1) (đ-ờng gạch - chấm) 37 2.3 Sù phơ thc cđa hƯ sè nÐn S vµo r víi p = q = vµ φ−ϕ = (a) (h, k, l) = (2, 2, 2) (đ-ờng liền nét), (3, 3, 3) (đ-ờng gạch - gạch), (5, 5, 5) (đ-ờng gạch - chấm) (b) (h, k, l) = (4, 4, 4) (®-êng liỊn nÐt), (8, 2, 2) (đ-ờng gạch gạch), (9, 2, 1) (đ-ờng g¹ch - chÊm) 39 2.4 Sù phô thc cđa hƯ sè nÐn SX;j vµo r víi p = q = 0, h = k = l = j = (®-êng liỊn nÐt), j = (đ-ờng gạch - gạch) j = (đ-ờng g¹ch - chÊm) 41 2.5 Sù phô thuéc hệ số đan rối Em vào r với p = q = vµ h = k = l = m = (®-êng liỊn nÐt), m = (đ-ờng gạch - gạch) m = (đ-ờng gạch - chấm) 42 2.6 Sù phơ thc cđa ®é ®an rèi E vµo r víi p = q = (a) (h, k, l) = (0, 0, 0) (đ-ờng liền nét), (2, 2, 2) (đ-ờng gạch gạch), (5, 5, 5) (đ-ờng gạch - chấm) (b) (h, k, l) = (2, 2, 2) (®-êng liỊn nÐt), (5, 1, 0) (đ-ờng gạch - gạch), (6, 0, 0) (đ-ờng gạch - chÊm) vi 44 2.7 Sự phụ thuộc hàm Wigner W vào thành phần thực ảo a với = 1, p = q = 0, = λ = σ = 1, αb = αc = 0.01 h = k = l = 47 2.8 Sù phô thuéc cđa hµm Wigner W vµo r víi φ = 0, p = q = 0, = λ = σ = 1, αa = 0.05 vµ αb = αc = 0.01 (h, k, l) = (0, 0, 0) (®-êng liỊn nét), (2, 2, 2) (đ-ờng gạch gạch) (4, 4, 4) (đ-ờng gạch - chấm) 48 2.9 Sù phơ thc cđa hƯ sè nÐn S vµo r víi p = q = vµ φ−ϕ = (a) (h, k, l) = (1, 1, 1) (®-êng liỊn nét), (2, 2, 2) (đ-ờng gạch - gạch), (4, 4, 4) (đ-ờng gạch - chấm) (b) (h, k, l) = (5, 3, 1) (®-êng liỊn nÐt), (4, 4, 1) (đ-ờng gạch gạch), (3, 3, 3) (đ-ờng gạch - chấm) 49 2.10 Sù phơ thc cđa hƯ sè nÐn S vµo λ vµ σ víi p = q = 1, r = 4, = vµ φ − ϕ = h = k = l = 50 2.11 Sù phơ thc cđa ®é ®an rèi Ea vµo r víi p = q = vµ = λ = σ = (a) (h, k, l) = (0, 0, 0) (®-êng liỊn nét), (1, 1, 1) (đ-ờng gạch - gạch), (2, 2, 2) (đ-ờng gạch - chấm) (b) (h, k, l) = (5, 3, 1) (®-êng liỊn nÐt), (4, 3, 2) (đ-ờng gạch - gạch), (3, 3, 3) (đ-ờng gạch - chÊm) 52 2.12 Sù phơ thc cđa ®é ®an rèi Ea vµo λ vµ σ víi r = 0.5, p = q = vµ = h = k = l = 53 3.1 Sơ đồ thực nghiệm tạo trạng thái kết hợp ba lan truyền tự kh«ng gian më vii 57 3.2 Sự phụ thuộc độ trung thực F xác suất thành công P tạo trạng thái kết hợp ba vào || với p = q = 0, τ = 10−3 |α| = 103 (®-êng liỊn nét), ì 103 (đ-ờng gạch - gạch), ì 103 (đ-ờng gạch - chấm) ì 103 (đ-ờng chÊm - chÊm) 61 3.3 Sù phơ thc cđa ®é trung thực F () xác suất thành công P () tạo trạng thái kết hợp ba vào |ζ| víi p = q = 0, τ = 10−3 || = ì 103 = 0.2 (đ-ờng liền nét), = 0.3 (đ-ờng gạch - gạch), = 0.5 (đ-ờng gạch - chấm) = 0.7 (®-êng chÊm - chÊm) 64 3.4 Sù phơ thc cđa ®é trung thùc F () xác suất thành công P () tạo trạng thái kết hợp ba vào với p = q = vµ |ζ| = |α| = 103 (đ-ờng liền nét), ì 103 (đ-ờng gạch gạch), ì 103 (đ-ờng gạch - chấm) × 103 (®-êng chÊm - chÊm) 65 3.5 Sù phô thuéc độ trung thực F () xác suất thành công P () tạo trạng thái kết hợp bé ba vµo Z = η|α|τ víi p = q = |ζ| = 0.5 (®-êng liỊn nÐt), |ζ| = 0.7 (đ-ờng gạch - gạch), || = 1.0 (đ-ờng gạch - chấm) || = 3.0 (đ-ờng chấm - chÊm) 65 3.6 Sơ đồ thực nghiệm tạo trạng thái kết hợp ba thêm photon lan truyền tù kh«ng gian më 67 3.7 Sự phụ thuộc độ trung thực F xác suất thành công P tạo trạng thái kết hợp ba thêm photon vào T với p = q = vµ r = (h, k, l) = (1, 1, 1) (®-êng liỊn nÐt), (2, 2, 2) (đ-ờng gạch - gạch) (3, 3, 3) (đ-ờng gạch - chÊm) viii 70 3.8 Sù phơ thc cđa ®é trung thực F xác suất thành công P tạo trạng thái kết hợp ba thêm photon vào T víi p = q = vµ (h, k, l) = (1, 1, 1) r = (®-êng liền nét), r = (đ-ờng gạch - gạch) r = (đ-ờng gạch - chấm) 70 3.9 Sơ đồ thực nghiệm tạo chồng chất thêm photon ba mode lên trạng thái kết hợp ba 72 4.1 Sự phụ thuộc độ trung thực trung bình Ftb vµo r víi = (a) (h, k) = (1, 1) (đ-ờng liền nét), (2, 2) (đ-ờng gạch - gạch), (3, 3) (đ-ờng gạch - chấm) (b) (h, k) = (4, 0) (®-êng liỊn nÐt), (3, 1) (®-êng gạch - gạch), (2, 2) (đ-ờng gạch - chấm) 79 4.2 Sù phô thuéc độ trung thực trung bình Ftb vào = |χ| víi Q = (®-êng liỊn nÐt), Q = (đ-ờng gạch - gạch), Q = (đ-ờng gạch - chấm) Q = (đ-ờng chấm - chấm) 82 4.3 Sù phơ thc cđa độ trung thực trung bình Ftb vào = || víi |α| = 0.5 (®-êng liỊn nÐt), |α| = (đ-ờng gạch - gạch) || = (đ-ờng gạch - chÊm) 85 4.4 Sự phụ thuộc độ trung thực trung bình Ftb vµo ξ = r víi p = q = Q = |χ| = (®-êng liỊn nÐt), |χ| = (đ-ờng gạch - gạch), || = (đ-ờng gạch - chấm) || = 10 (đ-ờng chấm - chÊm) 89 4.5 Sù phụ thuộc độ trung thực trung bình Ftb vào ξ = r víi p = q = Q = vµ |χ| = (h, k, l) = (0, 0, 0) (®-êng liỊn nÐt), (1, 1, 1) (®-êng gạch - gạch), (2, 2, 2) (đ-ờng gạch - chấm) (3, 3, 3) (đ-ờng chấm - chấm) ix 90 N (2007), \Generation of Fock states in a superconducting quantum circuit", Nature 454, pp 310-314 67 Hofmann H F., Ide T and Kobayashi T (2000), \Fidelity and information in the quantum teleportation of continuous variables", Physical Review A 62, pp 062304(1-4) 68 Hong L and Can G G (1999), \Nonclassical properties of photonadded pair coherent states", Acta Physica Sinica (Overseas Edition) 8, pp 577-582 69 Horodecki R., Horodecki P., Horodecki M and Horodecki K (2009), \Quantum entanglement", Reviews of Modern Physics 81, pp 865-942 70 Hu L Y., Jia F and Zhang Z M (2012), \Entanglement and nonclassicality of photon-added two-mode squeezed thermal state", Journal of the Optical Society of America B 29(6), pp 1456-1464 71 Hu L Y and Zhang Z M (2013), \Statistical properties of coherent photon-added two-mode squeezed vacuum and its inseparability", Journal of the Optical Society of America B 30(3), pp 518-529 72 Jacobsen S H and Jarvis P D (2008), \Regularized tripartite continuous variable EPR-type states with Wigner functions and CHSH violations", Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical 41, pp 365301(116) 73 Janszky J., Koniorczyk M and G¸bris A (2001), \One-complex-plane representation approach to continuous variable quantum teleportation", Physical Review A 64, pp 034302(1-4) 112 74 Kim M S., Son W., Buzek V and Knight P L (2002), \Entanglement by a beam splitter: nonclassicality as a prerequisite for entanglement", Physical Review A 65, pp 032323(1-7) 75 Karlsson A and Bourennane M (1998), \Quantum teleportation using three-particle entanglement", Physcal Review A 58(6), pp 4394-4400 76 Kurochkin Y., Adarsh S P and Lvovsky A I (2014), \Distillation of the two-mode squeezed state", Physical Review Letters 112, pp 070402(15) 77 Krisnanda T., Tham G Y., Paternostro M and Paterek T (2020), \Observable quantum entanglement due to gravity", Npj Quantum Information 12, pp 1-6 78 Kurucz Z., Adam P., Kis Z and Janszky J (2005), \Continuous variable remote state preparation", Physcal Review A 72, pp 052315(1-7) 79 Lee C T (1990), \Many-photon antibunching in generalized pair coherent states", Physcal Review A 41, pp 1569-1575 80 Lee C T (1990), \Nonclassical photon statistics of two-mode squeezed states", Physical Review A 42, pp 1608-1616 81 Lee S M., Lee S W., Jeong H and Park H S (2020), \Quantum teleportation of shared quantum secret", Physical Review Letters 124, pp 060501(1-5) 82 Lee S Y and Nha H (2012), \Second-order superposition operations via Hong-Ou-Mandel interference", Physical Review A 85, pp 043816(1-5) 113 83 Lee S Y., Ji S W., Kim H J and Nha H (2011), \Enhancing quantum entanglement for continuous variables by a coherent superposition of photon subtraction and addition", Physical Review A 84, pp 012302(16) 84 Li Z D., Yuan X., Yin X F., et al (2020), \Experimental randomparty entanglement distillation via weak measurement", Physical Review Research 2, pp 023047(1-6) 85 Liu Z., Li X., Lin D L and George T F (1991), \Two-mode squeezing of cavity fields", Physical Review A 44, pp 6144-6146 86 Loock P V and Furusawa A (2003), \Detecting genuine multipartite continuous-variable entanglement", Physical Review A 67, pp 052315(113) 87 Loock P V and Braunstein S L (1999), \Multipartite entanglement for continuous variables: A quantum teleportation network", Physical Review Letters, 84(15), pp 3482-3485 88 Luis A and Soto L L S (1996), \Probability distributions for the phase difference", Physical Review A 53, pp 495-501 89 Ma X and Rhodes W (1990), \Multimode squeeze operators and squeezed states", Physical Review A 41, pp 4625-4631 90 Malpani P., Alam N., Thapliyal K., Pathak A., Narayanan V and Banerjee S (2019, \Lower- and higher-order nonclassical properties of photon added and subtracted displaced fock states", Annalen der Physik 531(2), pp 1800318(1-12) 114 91 Mancini S., Giovannetti V., Vitali D and Tombesi P (2002), \Entangling macroscopic oscillators exploiting radiation pressure", Physical Review Letters 88, pp 120401(1-4) 92 Milburn G J and Braunstein S L (1999), \Quantum teleportation with squeezed vacuum states", Physical Review A 60(2), pp 937-942 93 Miry S R and Tavassoly M K (2012), \Generation of nonlinear motional trio coherent states and their nonclassical properties", Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics 45, pp 175502(1-7) 94 Mojaveri B., Dehghani A and Ali-Mohammadzadeh B (2016), \Even and odd deformed photon added nonlinear coherent states", International Journal of Theoretical Physics 55, pp 421-431 95 Nha H and Kim J (2007), \Demonstrating multipartite entanglement of single-particle W states: Linear optical schemes", Physical Review A 75, pp 012326(1-6) 96 Ourjoumtsev A., Jeong H., Brouri R T and Grangier P (2007), \Gen eration of optical `Schodinger cats' from photon number states", Nature 448, pp 784-786 97 Pathak A and Garcia M E (2006), \Control of higher-order antibunching", Applied Physics B 84, pp 479-484 98 Ralph T C., Gilchrist A., Milburn G J., Munro W J and Glancy S (2003), \Quantum computation with optical coherent states", Physical Review A 68, pp 042319(1-11) 99 Ren G and Fan H Y (2012), \New three-mode Coherent-entangled state derived by virtue of decomposing normally ordered Gaussian operator 115 integrand", International Journal of Quantum Information 10(1), pp 1250017(1-12) 100 Ren G and Zhang W (2019), \Nonclassicality of superposition of photonadded two-mode coherent states", Optik 181, pp 191-201 101 Renner R (2008), \Security of quantum key distribution", International Journal of Quantum Information 6, pp 1-127 102 Sanders B C (1992), \Entangled coherent states", Physical Review A 45, pp 6811-6815 103 Schrodinger E (1926), \Der stetige Ubergang von der Mikro-zur Makromechanik", Naturwissenschaften 14, pp 664-666 104 Shchukin E and Vogel W (2005), \Inseparability criteria for continuous bipartite quantum states", Physical Review Letters 95, pp 230502(1-4) 105 Sivakumar S (2011), \Photon-added coherent states in parametric downconversion", Physical Review A 83, pp 035802(1-4) 106 Slusher R E., Hollberg L W., Yurke B., Mertz J C and Valley J F (1985), \Observation of squeezed states generated by four-wave mixing in an optical cavity", Physical Review Letters 55(22), pp 2409-2412 107 Stoler D (1970), \Equivalence classes of minimum uncertainty packets I", Physical Review D 1(12), pp 3217-3219 108 Sudarshan E C G (1963), \Equivalence of semiclassical and quantum mechanical descriptions of statistical light beams", Physcal Review Letters 10(7), pp 277-279 116 109 Vahlbruch H., Mehmet M., Danzmann K and Schnabel R (2016), \Detection of 15 dB squeezed states of light and their application for the absolute calibration of photoelectric quantum efficiency", Physical Review Letters 117, pp 110801(1-5) 110 Vaidmann L (1994), \Teleportation of quantum states", Physical Review A 49, pp 1473-1476 111 Wall D F (1983), \Squeezed states of light", Nature 306, pp 141-146 112 Wang S., Hou L L., Chen X F and Xu X F (2015), \Continuousvariable quantum teleportation with non-Gaussian entangled states generated via multiple-photon subtraction and addition", Physical Review A 91, pp 063832(1-12) 113 Wang X (2001), \Quantum teleportation of entangled coherent states", Physical Review A 64, pp 022302(1-4) 114 Wu J., Liu S., Hu L., Huang J., Duan Z and Ji Y (2015), \Improving entanglement of even entangled coherent states by a coherent superposition of photon subtraction and addition", Journal of the Optical Society of America B 32(11), pp 2299-2307 115 Yap M J., Altin P., McRae T G., Slagmolen B J J S., Ward R L and McClelland D E (2020), \Generation and control of frequencydependent squeezing via Einstein-Podolsky-Rosen entanglement", Nature Photonics 14, pp 223-226 116 Yi H S., An N B and Kim J (2003), \Improved scheme for generation of vibrational trio coherent states of a trapped ion", Physics Letters A 315, pp 6-11 117 117 Yu S and Sun C P (2000), \Canonical quantum teleportation", Physical Review A 61, pp 022310(1-4) 118 Yuan H C., Xu X X., Cai J W and Xu Y J (2019), \Single-mode squeezed vacuum state orthogonalization via photon-addition operation", Optik 183, pp 1043-1047 119 Yun H L and Liang L H (2007), \Application of three-mode EinsteinPodolsky-Rosen entangled state with continuous variables to teleportation", Chinese Physics 16(8), pp 2200(1-8) 120 Zavatta A., Viciani S and Ballini M (2004), \Quantum to classical transition with single-photon-added coherent states of light", Science 306, pp 660-662 118 Phơ lơc Chøng minh c«ng thức ph-ơng trình (2.2) Sử dụng dạng trạng thái kết hợp ba ph-ơng trình (1.38), ta viết đ-ợc |p,q ; h, k, l abc cn (ξ)ˆ a†hˆb†k cˆ†l |n, n + p, n + p + q = Np,q;h,k,l (r) n=0 ∞ = Np,q;h,k,l (r) (n + h)!(n + p + k)!(n + p + q + l)! n!(n + p)!(n + p + q)! n=0 × cn (ξ)|n + h, n + p + k, n + p + q + l Tõ ®iỊu kiÖn chuÈn hãa cba Ψp,q ; h, k, l|Ψp,q ; h, k, l ∞ −2 Np,q;h,k,l (r) c∗m (ξ)cn(ξ) = abc abc abc (P.1) = 1, ta nhận đ-ợc (n + h)!(n + p + k)!(n + p + q + l)! n!(n + p)!(n + p + q)! m,n=0 (m + h)!(m + p + k)!(m + p + q + l)! × m!(m + p)!(m + p + q)! × cba m + p + q + l, m + p + k, m + h| ⊗ |n + h, n + p + k, n + p + q + l ∞ c∗m (ξ)cn(ξ) = (n + h)!(n + p + k)!(n + p + q + l)! n!(n + p)!(n + p + q)! m,n=0 × abc (m + h)!(m + p + k)!(m + p + q + l)! m!(m + p)!(m + p + q)! ∞ |cn (ξ)|2 = n=0 ∞ = n=0 δmn (n + h)!(n + p + k)!(n + p + q + l)! n!(n + p)!(n + p + q)! c2n (r)na !nb !nc ! , n!(n + p)!(n + p + q)! (P.2) ®ã na = n + h, nb = n + p + k, nc = n + p + q + l vµ |cn ()|2 = c2n (r) Đây ph-ơng trình (2.2) P.1 Chứng minh công thức ph-ơng trình (2.7) Thay công thức abc ph-ơng trình (2.6) vào ph-ơng trình (1.53), sau tác dụng toán tử hủy lên trạng thái kết hợp t-ơng ứng, nhận đ-ợc W = 8e2(|a| +|b|2+|c|2) 2 Np,q;h,k,l (r)Np,q (r)e3r π ζ 4p+2q ∗ ∗ ∗ 2/3 ∗ ∗ ∗ × d2 γa d2 γb d2 γc e2(γa αa +γb αb+γc αc −γa αa −γb αb −γc αc ) × dλ dλ dλ1 dλ1 i[q(λ −λ1 )+(p+q)(λ−λ1 )] e 2π 2π 2π 2π × (−1)h+k+l |γa |2h|γb |2k |γc |2l × cba −γc , −γb , −γa |ζeiλ , ζeiλ , ζe−i(λ+λ ) × ζe−i(λ1 +λ1 ) , ζeiλ1 , ζeiλ1 |γa , γb , γc abc abc (P.3) Khai triển trạng thái kết hợp ph-ơng trình (P.3) dạng trạng th¸i Fock |z x = e−|z| /2 k (z k / k!)|k x víi x = {a, b, c}, råi tính toán tích phân theo , , , kết hàm Wigner đ-ợc cho ph-ơng trình d-ới W = 8e2(|a| +|b|2+|c|2) 2 Np,q;h,k,l (r)Np,q (r) π6 ∞ ξ nξ ∗m (−1)n+q+h+k+l × n!m!(n + p)!(m + p)!(n + p + q)!(m + p + q)! m,n=0 × ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ d2 γa d2 γb d2 γc e2γa αa+2γb αb+2γc αc −2γa αa −2γb αb −2γc αc × e−|γa | −|γb |2−|γc |2 (γa∗ )n+h γam+h × (γb∗ )n+p+k γbm+p+k (γc∗ )n+p+q+l γcm+p+q+l P.2 (P.4) Ta viết lại ph-ơng trình (P.4) d-ới dạng 8e2(|a| +|b|2+|c|2) 2 Np,q;h,k,l (r)Np,q (r) W = π3 ∞ ξ n ξ ∗m (−1)n+q+h+k+l × n!m!(n + p)!(m + p)!(n + p + q)!(m + p + q)! m,n=0 ∗ ∗ d2 γa e−|γa | +2γa αa −2γa αa (γa∗ )n+hγam+h π ∗ ∗ d2 γb e−|γb | +2γb αb−2γb αb (γb∗ )n+p+k γbm+p+k × π ∗ ∗ d2 γc e−|γc | +2γc αc −2γc αc (γc∗ )n+p+q+l γcm+p+q+l × π 2 2 (r)Np,q (r) 8e2(|αa| +|αb| +|αc| ) Np,q;h,k,l = π3 ∞ ξ n ξ ∗m (−1)n+q+h+k+l J1 J2 J3 , (P.5) × n!m!(n + p)!(m + p)!(n + p + q)!(m + p + q)! m,n=0 × víi π J2 = π J3 = π J1 = d2 γa e−|γa | +2γa∗ αa−2γa α∗a (γa∗ )n+h γam+h , (P.6) d2 γb e−|γb | +2γb∗ αb−2γb α∗b (γb∗ )n+p+k γbm+p+k , (P.7) d2 γc e−|γc | +2γc∗ αc −2γc α∗c (γc∗ )n+p+q+l γcm+p+q+l (P.8) Chúng ta xem xét tích phân dạng tổng quát d¹ng J= π d2 βe−|β| +αβ ∗ ∗ (β ∗ )k e−α β β l (P.9) Để tính tích phân ph-ơng trình (P.9), sử dụng tích phân phức d-ới d2 βe−|β| +αβ ∗ (β ∗ )n f (β) = (/)n f () (P.10) Do tích phân ph-ơng trình (P.9) trở thành J = (/)k [e l ] P.3 (P.11) Chúng ta sử dụng định nghĩa hµm Laguerre lµ Lin (z) = z −i ez (d/dz)n (e−z z n+i ), n! (P.12) víi Lin ký hiƯu cho hàm Laguerre Đặt = ||2 = y ⇒ α = y/α∗ ⇒ (∂/∂α)k = (α∗ )k (∂/∂y)k , tích phân ph-ơng trình (P.11) đ-ợc cho d¹ng −(−l)−k J = k!(−|α|2 )−k Lk (|α|2)(−1)k αl ( )k e|| (P.13) Mặt khác, mối liên hệ hàm Laguerre hàm siêu bội 2F0 đ-ợc cho bëi F0 (−n, b; −1/z) = n!(−z)−n L−b−n (z) n (P.14) Do ®ã J = (−1)k αl (α∗ )k e−|α| F0 (−k, −l; −1/|α|2 ) (P.15) Theo khía cạnh tích phân J1 , nhận đ-ợc J1 = (−1)n+h (2αa )m (2α∗a )n |2αa |2he−|2αa| × F0(−n − h, −m − h; −1/|2αa |2 ) (P.16) T-ơng tự, tích phân J2 trở thành J2 = (−1)n+p+k (2αb )m (2α∗b )n |2αb |2p+2k e−|2αb| × F0(−n − p − k, −m − p k; 1/|2b |2) (P.17) Kết tích phân J3 lµ J3 = (−1)n+p+q+l (2αc )m (2α∗c )n |2αc |2p+2q+2l e−|2αc| × F0 (−n − p − q − l, −m − p − q − l; 1/|2c |2) P.4 (P.18) Sử dụng ph-ơng trình (P.16), (P.17) (P.18), hàm Wigner ph-ơng trình (P.5) đ-ợc tính toán W = 8e2(|a | +|b|2+|c|2 ) 2 Np,q;h,k,l (r)Np,q (r) π3 ∞ ξ n ξ ∗m × n!m!(n + p)!(m + p)!(n + p + q)!(m + p + q)! m,n=0 × (2αa 2αb 2αc )m (2α∗a 2α∗b 2α∗c )n |2αa |2h|2αb |2p+2k |2αc |2p+2q+2l × F0(−n − h, −m − h; −1/|2αa |2 ) × F0(−n − p − k, −m − p − k; −1/|2αb |2) × F0(−n − p − q − l, −m − p − q − l; −1/|2αc |2) (P.19) Chó ý r»ng ξ = reiφ , αx = |αx |eiϕx , x = {a, b, c}, công thức ph-ơng trình (P.19) đ-ợc viết W = 8e−2(|αa| +|αb|2+|αc |2) 2 Np,q;h,k,l (r)Np,q (r) π3 ∞ r n+m ei(m−n)(ϕa +ϕb +ϕc −φ) × n!m!(n + p)!(m + p)!(n + p + q)!(m + p + q)! m,n=0 × |2αa |n+m+2h |2αb |n+m+2p+2k |2αc |n+m+2p+2q+2l × F0 (−n − h, −m − h; −1/|2αa |2) × F0 (−n − p − k, −m − p − k; −1/|2αb |2) × F0 (−n − p − q − l, −m − p − q − l; −1/|2αc |2) (P.20) Do sù t-¬ng đ-ơng m n tổng nên phần ảo hàm Wigner ph-ơng trình (P.20) triệt tiêu Bây giê hµm Wigner trë thµnh W = 8e−2(|αa| +|αb|2+|αc |2) 2 Np,q;h,k,l (r)Np,q (r) π3 ∞ r n+m cos[(m − n)(ϕa + ϕb + ϕc − φ)] × n!m!(n + p)!(m + p)!(n + p + q)!(m + p + q)! m,n=0 P.5 × |2αa |n+m+2h |2αb |n+m+2p+2k |2αc |n+m+2p+2q+2l × 2F0 (−n − h, −m − h; −1/|2αa |2 ) × 2F0 (−n − p − k, −m − p − k; −1/|2αb |2 ) × 2F0 (−n − p − q − l, −m − p q l; 1/|2c |2 ) (P.21) Đây dạng t-ờng minh công thức (2.7) Chứng minh công thức ph-ơng trình (2.20) Với trạng thái kết hỵp bé ba, chóng ta cã cba Ψp,q |ˆ xi yˆ†j |Ψp,q abc = i = j hc x ˆ = yˆ vµ i, j = 0, x, y = {a, b, c} Trong tr-êng hỵp x ˆ ≡ yˆ ≡ a ˆ, i = j = h, sử dụng dạng trạng thái kết hợp ba ph-ơng trình (1.34), ta có cba h h Ψp,q |ˆ a a ˆ ξ ∗m |Ψp,q abc = Np,q (r) m,n=0 ξn n!(n + p)!(n + p + q)! × × m!(m + p)!(m + p + q)! cba m + p + q, m + p, m| ⊗ a ˆh ˆa†h |n, n + p, n + p + q ∞ = ξ ∗m Np,q (r) m,n=0 × m!(m + p)!(m + p + q)! ξn (n + h)! δmn n!(n + p)!(n + p + q)! n! ∞ = abc Np,q (r) n=0 |ξ|2n(n + h)! (n!)2 (n + p)!(n + p + q)! = Np,q (r)Ah,0,0 0,0,0 (r), (P.22) ®ã ∞ Ai,j,m t,u,v (r) = n=0 r 2n(n + i)!(n + j)!(n + m)! n!(n + p)!(n + p + q)!(n + t)!(n + u)!(n + v)! P.6 (P.23) Trong dạng hàm siêu bội, Ai,j,m t,u,v (r) đ-ợc cho ph-ơng trình (2.21) Trong tr-ờng hợp x yˆ ≡ ˆb, i = j = k hc x ˆ ≡ yˆ ≡ cˆ, i = j = l, nhận đ-ợc cba p,q |bkbk |p,q abc = Np,q (r)A0,k+p,0 0,p,0 (r), (P.24) Ψp,q |ˆ cl cˆ†l |Ψp,q abc = Np,q (r)A0,0,l+p+q 0,0,p+q (r) (P.25) cba Tõ ®iỊu kiƯn chn hãa −2 Np,q;h,k,l (r) = = cba Φp,q;h,k,l|Φp,q;h,k,l cba abc = 1, chóng ta thu ®-ỵc Ψp,q |( a ˆh + λˆbk + σˆ cl )( a ˆ†h + λˆb†k + σˆ c†l )|Ψp,q cba Ψp,q |ˆ ah ˆa†h |Ψp,q abc + σ cba Ψp,q |ˆ cl cˆ†l |Ψp,q + λ2 cba Ψp,q |ˆbkˆb†k |Ψp,q abc abc abc 2 0,k+p,0 0,0,l+p+q = Np,q (r)[ 2Ah,0,0 0,0,0 (r) + λ A0,p,0 (r) + A0,0,p+q (r)] (P.26) Đây ph-ơng trình (2.20) Chứng minh công thức ph-ơng trình (4.56) Trạng thái kết hợp | đ-ợc khai triển d ||2 ∞ víi hƯ sè khai triĨn dm e− αm √ |m d , (P.27) |α d = m! m=0 √ − |α| m = e α / m! |m d trạng thái Fock Độ trung thực trung bình ph-ơng trình (4.54) đ-ợc viết Ftb = π ∞ Cn,h,k,l na |α − β α − β|na d2 β (P.28) n=0 Khai triÓn trạng thái kết hợp | dạng trạng thái Fock, sau số phép tính toán, độ trung thực trung bình đ-ợc cho e2|| Ftb = π ∞ n=0 Cn;h,k,l(ξ)|α − β|2na 2 dβ na ! ∞ ∗ Cn;h,k,l(ξ)Cm;h,k,l = na!ma ! π m,n=0 e−2|α−β| |α − β|2na +2ma d2 β P.7 (P.29) Ta cã tÝch ph©n π = e−2|α−β| |α − β|2na+2ma d2 β π e−2|α−β| |α − β|2na +2ma d2 (α − β) = (na + ma )! 2na +ma +1 (P.30) Tõ ®ã ta nhận đ-ợc Cn;h,k,l ()Cm;h,k,l (na + ma )! Ftb = na +ma +1 m !n !2 a a m,n=0 Đây ph-ơng trình (4.56) P.8 (P.31) ... thực nghiên cứu hệ ba mode nh-ng mong muốn làm rõ ph-ơng pháp cải thiện độ phi cổ điển hệ Vì lý chọn Nghiên cứu tính chất ứng dụng số trạng thái phi cổ điển ba mode" làm đề tài nghiên cứu luận án. .. pháp tính số phần mềm Mathematica Phạm vi nghiên cứu Đề tài nghiên cứu trạng thái phi cổ điển phạm vi ba mode trở lại tr-ờng điện từ Các tính chất phi cổ điển đ-ợc nghiên cứu bao gồm tính chất. .. thái kết hợp ba số trạng thái thêm photon Đây sở để nghiên cứu hai trạng thái ba mode đ-ợc tạo thực thêm photon lên trạng thái phi cổ điển đan rối kiểu pha -số hạt hệ ba mode Trong tính chất phi