ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP: " Nghiên cứu về hình học practal. Viết chương trình cài đặt một số đường và mặt practal "

TRƯỜNG……………………… KHOA…………………… ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP: " Nghiên cứu hình học practal Viết chương trình cài đặt số đường mặt practal " ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP SVTH: Nguyễn Ngọc Hùng Cường LỜI NÓI ĐẦU Trong năm gần đây, toán học khoa học tự nhiên bước lên bậc thềm mới, mở rộng sáng tạo khoa học trở nghiệm liên ngành Cho đến đưa khoa học tiến bước dài Hình học phân hình đơng đảo người ý thích thú nghiên cứu Với người quan sát tình cờ màu sắc cấu trúc phân hình sở vẽ đẹp chúng tạo nên lôi hình thức nhiều lần so với đối tượng tốn học biết đến Hình học phân hình cung cấp cho nhà khoa học môi trường phong phú cho thám hiểm mơ hình hố tính phức tạp tự nhiên Những ngun nhân lơi hình học phân hình tạo chỉnh sửa khái niệm lỗi thời giới thực thông qua tập hợp tranh mạnh mẽ Những thành cơng to lớn lĩnh vực khoa học tự nhiên kỹ thuật dẫn đến ảo tưởng giới hoạt động chế đồng hồ vĩ đại, quy luật cịn phải chờ đợi để giải mã bước Một quy luật biết, người ta tin tiến hoá phát triển vật dự đốn trước xác nhiều, mặt nguyên tắc Những bước phát triển ngoạn mục đầy lơi lĩnh vực kỹ thuật máy tính hứa hẹn cho việc điều khiển thông tin nhiều làm gia tăng hy vọng nhiều người máy móc có máy móc tương lai Nhưng ngày người ta biết xác dựa cốt lỗi khoa học đại khả xem xét tính xác phát triển tương lai khơng đạt Một kết luận thu từ lý thuyết non trẻ : xác định có tính nghiêm túc với phát triển có tính ngẫu nhiên khơng khơng có loại trừ lẫn mà chúng tồn quy luật tự nhiên Hình học phân hình lý thuyết hỗn độn xác định kết luận Khi xét đến phát triển tiến trình khoảng thời gian, sử dụng thuật ngữ lý thuyết hỗn độn, quan tâm nhiều đến dạng có cấu trúc mà tiến trình hỗn độn để lại đường nó, dùng thuật ngữ hình học phân hình mơn hình học cho phép “sắp xếp thứ tự” hỗn độn Trong ngữ cảnh hình học phân hình ngơn ngữ để mơ tả, mơ hình hố phân tích dạng phức tạp tìm thấy tự nhiên Nhưng phần tử ngơn ngữ truyền thống (Hình học Euclide) dạng hiển thị đoạn thẳng, đường trịn hình cầu hình học phân hình thuật tốn biến đổi thành dạng cấu trúc nhờ máy tính Việc nghiên cứu ngơn ngữ hình học tự nhiên mở nhiều hướng cho khoa học ứng dụng Trong đề tài thực nghiên cứu phần nhỏ hình học phân hình ứng dụng Nội dung đề tài gồm có ba chương trình bày sau: Đề tài : Hình học Fractal Trang ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP SVTH: Nguyễn Ngọc Hùng Cường Chương I: Trình bày kiến thức tổng quan lịch sử hình học phân hình, kết sở lý thuyết Chương II: Trình bày kỹ thuật hình học phân hình thơng qua khảo sát cấu trúc Fractal sở thuật toán chi tiết để tạo nên cấu trúc Chương III: Kết cài đặt chương trình vẽ số đường mặt fractal hiệu ứng Nhân đây, em xin chân thành cảm ơn thầy T.S Huỳnh Quyết Thắng tận tình hướng dẫn, dạy giúp đỡ em suốt thời gian thực đề tài nghiên cứu Em xin chân thành cảm ơn quý thầy cô khoa cơng nghệ thơng tin tận tình giảng dạy, trang bị cho chúng em kiến thức cần thiết suốt trình học tập, em xin gởi lịng biết ơn đến gia đình, cha, mẹ, bạn bè ủng hộ, giúp đỡ động viên em lúc khó khăn Đề tài thực thời gian tương đối ngắn, nên dù cố gắng hoàn thành đề tài chắn khơng thể tránh khỏi thiếu sót định Rất mong nhận thông cảm đóng góp ý kiến vơ q báu Thầy Cô, bạn bè, nhằm tạo tiền đề thuận lợi cho việc phát triển đề tài tương lai Sinh viên thực Nguyễn Ngọc Hùng Cường Đề tài : Hình học Fractal Trang ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP SVTH: Nguyễn Ngọc Hùng Cường MỤC LỤC Trang LỜI NÓI ĐẦU Chương I:SỰ RA ĐỜI VÀ CÁC KẾT QUẢ CỦA HÌNH HỌC PHÂN HÌNH I.1 Sự đời lý thuyết hình học phân hình Tính hỗn độn q trình phát triển có quy luật tự nhiên Sự mở rộng khái niệm số chiều độ đo lý thuyết hình học Eulide cổ điển I.2 Sự phát triển c l ý thuyết hình học phân hình I.3 Các ứng dụng tổng quát hình học phân hình 10 Ứng dụng vấn đề tạo ảnh máy tính 11 Ứng dụng công nghệ nén ảnh 11 Ứng dụng khoa học 13 I.4 Các kiến thức sở hình học phân hình 13 I.4.1 Độ đo Fractal 13 I.4.2 Các hệ hàm lặp IFS 17 Chương II : MỘT SỐ KỸ THUẬT CÀI ĐẶT HÌNH HỌC PHÂN HÌNH 21 II.1 Họ đường Von Kock 21 Đường hoa tuyết Von Kock-Nowflake 21 Đường Von Kock-Gosper 26 Đường Von Kock bậc hai 3-đoạn 28 Đường Von Kock bậc hai 8-đoạn 30 Đường Von Kock bậc hai 18-đoạn 32 Đường Von Kock bậc hai 32-đoạn 33 Đường Von Kock bậc hai 50-đoạn 35 Generator phức tạp 38 II.2 Họ đường Peano 44 Đường Peano nguyên thuỷ 44 Đường Peano cải tiến 45 Tam giác Cesaro 49 Tam giác Cesaro cải tiến 51 Một dạng khác đường Cesaro 54 Tam giác Polya 56 Đường Peano-Gosper 58 Đường hoa tuyết Peano 7-đoạn 62 Đường hoa tuyết Peano 13-đoạn 66 II.3 Đường Sierpinski 70 II.4 Cây Fractal 73 Các thực tế 73 Biểu diễn toán học 73 II.5 Phong cảnh Fractal 77 II.6 Hệ thống hàm lặp (IFS) 84 Các phép biến đổi Affine không gian R2 84 Đề tài : Hình học Fractal Trang ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP SVTH: Nguyễn Ngọc Hùng Cường IFS pháp biến đổi Affine không gian R2 85 Giải thuật lặp ngẫu nhiên 86 II.7 Tập Mandelbrot 88 Đặt vấn đề 98 Cơng thức tốn học 88 Thuật toán thể tập Mandelbrot 89 II.8 Tập Julia 94 Đặt vấn đề 94 Cơng thức tốn học 94 Thuật toán thể tập Julia 95 II.9 Họ đường cong Phoenix 97 Chương III : GIỚI THIỆU VỀ NGÔN NGỮ CÀI ĐẶT VÀ KẾT QUẢ CHƯƠNG TRÌNH 100 III.1 Giới thiệu ngôn ngữ cài đặt 100 III.2 Kết chương trình 111 TÀI LIỆU THAM KHẢO 116 Đề tài : Hình học Fractal Trang ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP SVTH: Nguyễn Ngọc Hùng Cường CHƯƠNG I: SỰ RA ĐỜI VÀ CÁC KẾT QUẢ CỦA HÌNH HỌC PHÂN HÌNH I.1 SỰ RA ĐỜI CỦA LÝ THUYẾT HÌNH HỌC PHÂN HÌNH: Sự đời lý thuyết hình học phân hình kết nhiều thập kỷ nổ lực giải vấn đề nan giải nhiều ngành khoa học xác, đặc biệt vật lý tốn học Một cách cụ thể, lý thuyết hình học phân hình xây dựng dựa vấn đề lớn quan tâm thập niên đầu kỷ 20 Các vấn đề bao gồm:  Tính hỗn độn q trình phát triển có quy lực tự nhiên  Sự mở rộng khái niệm số chiều độ đo lý thuyết hình học Euclide cổ điển □ TÍNH HỖN ĐỘN CỦA CÁC Q TRÌNH PHÁT TRIỂN CĨ QUY LUẬT TRONG TỰ NHIÊN: Các cơng thức lặp có dạng: Xn+1=f(Xn) thường sử dụng ngành khoa học xác để mơ tả q trình lặp lặp lại có tính xác định Các q trình xác định cơng thức trên, f thể mối liên hệ phi tuyến hai trạng thái nối tiếp Xn Xn+1, quan tâm đặc biệt Các khảo sát thập niên gần phát cư xử kỳ dị tiến trình lặp Khảo sát chi tiết nhà khí tượng học Edward N Lorenz tiến hành vào năm 1961 nghiên cứu hệ tốn học mơ dự báo thời tiết Về mặt lý thuyết, hệ cho kết dự đốn xác thời tiết khoảng thời gian dài Tuy nhiên, theo Lorenz quan sát, bắt đầu tính tốn lại dựa vào liệu cho hệ thời điểm tiếp sau khơng giống với kết dự đốn ban đầu Hơn sai số tính tốn tăng lên nhanh chóng theo thời gian Điều dẫn đến kết luận tiến trình dự đốn lại từ thời điểm tiến trình dự báo, khoảng thời gian để kết dự báo cịn xác bị thu hẹp lại tức khơng thể dự báo xác thời tiết khoảng thời gian lớn Vấn đề Lorenz tìm thấy ngày gọi diện tính chất hỗn độn tiến trình lặp xác định Tiếp theo sau phát Lorenz, vào năm 1976 Robert May viết với tựa đề “Các mơ hình tốn học đơn giản với hệ động lực phức tạp” đề cập đến vấn đề tương tự Đó hỗn độn trình phát triển dân số tự nhiên, vốn xem xác định rõ ràng chi tiết nhờ mơ hình dân số Verhulst xây dựng Nếu ký hiệu: Đề tài : Hình học Fractal Trang ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP - SVTH: Nguyễn Ngọc Hùng Cường R tốc độ gia tăng dân số năm Po lượng dân số khởi điểm (của quốc gia, thành phố,…) Pn lượng dân số có sau n năm phát triển Ta có quan hệ sau: Pn+1 - Pn , n > (1) R= Pn Để ý dân số phát triển đều, tức R không đổi từ năm sang năm khác, từ (1) ta có: Pn+1 = f(Pn) = (1+R)Pn Do sau n năm, lượng dân số khảo sát là: Pn = (1+R)n P o Công thức gia tăng dân số theo hàm mũ điều không thực tế Vì Verhulst đề nghị R thay đổi với lượng dân số khảo sát Một cách cụ thể, Verhust cho R tỉ lệ với tốc độ phát triển dân số theo môi trường (P-Pn) / N Trong N lượng dân số tối đa có ứng với điều kiện mơi trường cho trước Như biểu diễn R dạng: N - Pn R=r (2) N Với r hệ số tỷ lệ gọi tham số phát triển theo môi trường Từ (1) (2) suy ra: Pn+1 - Pn N - Pn =r Pn N Do đó: Pn+1 - Pn N Pn = r Pn N N Pk Đặt: Pk = ta có: N P n+1 - Pn = r(1 - Pn) Pn Đề tài : Hình học Fractal Trang ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP SVTH: Nguyễn Ngọc Hùng Cường Suy ra: Pn+1 = Pn + rPn(1 – Pn) Phương trình gọi phương trình dân số Verhust Rõ ràng phương trình xác định đơn giản Do đó, kể từ đưa người ta áp dụng mà khơng nghi ngờ tính ổn định Tuy nhiên May khảo sát phương trình với r thay đổi phạm vi lớn, ông khám phá bất ổn định tỉ lệ phát triển dân số theo môi trường Pk Các kết quan sát chi tiết cho thấy số lần lặp n trở nên lớn ta có trường hợp sau: - Với < r < 2: Dãy (Pn) tiến đến 1, tức phát triển dân số đạt mức tối đa - Với < r < 2,449: Dãy (Pn) dao động tuần hoàn hai giá trị, tức phát triển dân số biến động hai mức xác định Hình vẽ (I.1) minh hoạ cho trường hợp r = 2.3 Po Dân số: - Thời gian Hình vẽ I.1 với r = 2.3 P0 = 0.01 Với 2,449 < r < 2,570: Dãy (Pn) dao động ổn định với giá trị lặp lại theo chu kỳ nhân giá trị r chạy từ 2,449 đến 2,570 Hình vẽ (I.2) minh hoạ trường hợp r = 2,5 dao động có chu kỳ Dân số: Thời gian - Hình vẽ I.2 với r = 2.5 Với r > 2.570: Dãy (Pn) khơng cịn tuần hồn mà trở nên hỗn độn, theo nghĩa giá trị dãy chọn cách hoàn toàn xác định khơng dự đốn xác Hình vẽ (I.3) minh hoạ trường hợp r = 3.0 P o = 0.1 Đề tài : Hình học Fractal Trang ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP SVTH: Nguyễn Ngọc Hùng Cường Dân số Thời gian Hình vẽ I.3 với r = 3.0 Po = 0.1 Một kết lý thuyết chứng minh Jame York Tiên Yien Li viết ”Các chu kỳ chứa đựng hỗn độn” vào tháng 12/1975 York Li hàm số xác định tương tự phương trình dân số có chu kỳ tuần hồn có chu kỳ tuần hồn n, với n số tự nhiên khác Điều dẫn đến kiện vô số tập giá trị tuần hoàn khác sản sinh loại phương trình Vào năm 1976, Mitchell Feigenbaum nghiên cứu phương trình cách độc lập với May York Feigenbaum xét phương trình dân số dạng đơn giản: y = x(1- x) thể sơ đồ phân nhánh Nếu gọi rn giá trị tham số phát triển theo môi trường mơ hình Verhulst lần rẻ nhánh thứ n (là lúc ứng với rn đó, chu kỳ 2n trở nên không ổn định chu kỳ 2n+1 đạt ổn định), tỷ số khoảng liên tiếp n xác định bởi: rn - rn-1 n = rn+1 - rn Sẽ tiến giá trị  = 4.669 n Tính chất tìm thấy tiến trình có chu kỳ nhân đơi khác với tiến trình Verhulst Do giá trị ngày gọi số phổ dụng Feigenbaum (trong lý thuyết hỗn độn) □ SỰ MỞ RỘNG KHÁI NIỆM SỐ CHIỀU VÀ ĐỘ ĐO TRONG LÝ THUYẾT HÌNH HỌC EULIDE CỔ ĐIỂN: Vào năm 1890 & 1891, tìm kiếm đặc trưng bất biến đối tượng hình học qua phép biến đổi đồng phôi lý thuyết topo, nhà toán học Peano & Hilbert phát minh đường cong có tính chất đặc biệt Đó đường cong khơng tự cắt theo quy luật Peano Hilbert, chúng lấp đầy miền hữu hạn mặt phẳng Hình học Euclide cổ điển quan niệm đường cong Đề tài : Hình học Fractal Trang ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP SVTH: Nguyễn Ngọc Hùng Cường đối tượng chiều đường thẳng Tuy nhiên trực quan cho thấy cách nhìn số chiều gị bó Do người ta bắt đầu nghĩ đến phân lớp mới, đường có số chiều đại diện đường thẳng, đối tượng hai chiều đại diện mặt phẳng, đường cong lấp đầy mặt phẳng đại diện cho đối tượng có số chiều Ý tưởng cách mạng dẫn đến việc hình thành giải toán số chiều hữu tỷ gây nhiều tranh luận toán học thập kỷ gần Tiếp sau đó, vào năm 1904 nhà tốn học Thụy Điển Helge Koch đưa loại đường cong khác với đường cong Peano Hilbert Các đường cong Von Koch không lấp đầy mặt phẳng lại có độ dài thay đổi cách vơ hạn chúng chứa miền hữu hạn Những đường cong có nhiều tự nhiên, ví dụ đường bờ biển, đường biên hoa tuyết, đám mây, vv… Tất vả đường cong tính chất đặc trưng đồng dạng Nó biểu giống phần nhỏ đường cong phóng lớn với phần khác lớn đường cong Tính chất giữ vị trí quan trọng việc hình thành nên dạng cấu trúc vô phức tạp tự nhiên, vào thời Von Koch lại hiểu biết sơ lược Chỉ với giúp đỡ máy tính điện tử, chất tính đồng dạng nghiên cứu đầy đủ chi tiết tác phẩm “Hình học phân hình tự nhiên” Benoit B Mandelbrot xuất năm 1982 Trong tác phẩm mình, Mandelbrot phân rã dạng cấu trúc phức tạp tự nhiên thành thành phần gọi fractal Các fractal chứa đựng hình dáng tự đồng dạng với nhiều kích thước khác Mandelbrot tạo nên tranh fractal trừu tượng nhận thấy đằng sau đối tượng tự nhiên đám mây, dãy núi, khu rừng, vv… cấu trúc toán học tương tự Chúng có khuynh hướng hài hồ màu sắc cân đối hình thể Ngồi Mandelbrot thiết lập cách xác định số chiều độ dài dạng fractal sở Chính với định nghĩa số chiều này, toán số chiều khơng ngun giải cách hồn chỉnh Có thể nói cơng trình Benoit B.Mandelbrot thức khai sinh lý thuyết hình học phân hình sau nửa kỷ nghiên cứu liên tục I.2 SỰ PHÁT TRIỂN CỦA LÝ THUYỂT HÌNH HỌC PHÂN HÌNH: Kể từ đời cách thức vào năm 1982 nay, lý thuyết hình học phân hình học phân hình phát triển cách nhanh chóng Sau đặt móng cho lý thuyết phân hình, Mandelbrot với nhà toán học khác A Douady J.Hubbard phát triển lý thuyết mặt fractal Các kết đạt chủ yếu tập trung tính chất cấu trúc fractal sở tập Mandelbrot tập Julia Ngoài nghiên cứu cố gắng tìm kiếm mối liên hệ cấu trúc này, ví dụ mối liên hệ tập Mandelbrot Julia Đề tài : Hình học Fractal Trang ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP SVTH: Nguyễn Ngọc Hùng Cường Dựa cơng trình Mandelbrot (trong năm 1976, 1979, 1982) Hutchinson (1981), vào năm 1986, 1988 Michael F.Barnsley M.Begger phát triển lý thuyết biểu diễn đối tượng tự nhiên dựa sở lý thuyết hệ hàm lặp IFS Các hệ hàm lặp bao gồm hữu hạn phép biến đổi affine cho phép với giúp đỡ máy tính tạo nên hình ảnh đối tượng tự nhiên Theo lý thuyết hình học Euclide cổ điển có hiệu lực việc biểu diễn đối tượng nhân tạo nhà, cổ máy lại hoàn tồn khơng thích hợp cho việc biểu diễn đối tượng giới thực địi hỏi lượng lớn đặc tả cần có Nếu hình học Euclide yếu tố sở đường thẳng, đường trịn, hình vng,… lý thuyết IFS mở rộng hình học cổ điển với yếu tố sở vơ số thuật tốn để vẽ nên fractal tự nhiên Ngồi cơng trình có tính chất lý thuyết, hình học phân hình cịn bổ sung nhiều nghiên cứu ứng dụng lý thuyết vào khoa học máy tính khoa học xác khác, ví dụ dựa lý thuyết IFS, Barnsley phát triển lý thuyết biến đổi phân hình áp dụng vào công nghệ nén ảnh tự động máy tính, lĩnh vực địi hỏi kỹ thuật tiên tiến tin học đại Hiện nhiều vấn đề, lý thuyết phân hình tiếp tục nghiên cứu Một vấn đề lớn quan tâm toán độ đo đa phân hình (multifractal measurement) có liên quan đến mở rộng khái niệm số chiều fractal với đối tượng fractal tự nhiên, đồng thời liên quan đến việc áp dụng độ đo fractal ngành khoa học tự nhiên I.3 CÁC ỨNG DỤNG TỔNG QUÁT CỦA HÌNH HỌC PHÂN HÌNH: Hiện có hướng ứng dụng lớn lý thuyết hình học phân hình, bao gồm: ▪ Ứng dụng vấn đề tạo ảnh máy tính ▪ Ứng dụng công nghệ nén ảnh ▪ Ứng dụng nghiên cứu khoa học □ ỨNG DỤNG TRONG VẤN ĐỀ TẠO ẢNH TRÊN MÁY TÍNH: Cùng với phát triển vượt bậc máy tính cá nhân năm gần đây, cơng nghệ giải trí máy tính bao gồm lĩnh vực trò chơi, anmation video… nhanh chóng đạt đỉnh cao Cơng nghệ địi hỏi mơ tả hình ảnh máy PC với phong phú chi tiết màu sắc với tốn lớn thời gian cơng sức Gánh nặng giảm nhẹ đáng kể nhờ mô tả đơn giản đầy đủ lý thuyết fractal đối tượng tự nhiên Với hình học phân hình khoa học máy tính có tay cơng cụ mơ tả tự nhiên vơ mạnh mẽ Đề tài : Hình học Fractal Trang 10 ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP SVTH: Nguyễn Ngọc Hùng Cường Ngoài ứng dụng lĩnh vực giải trí, hình học phân hình cịn có mặt ứng dụng tạo hệ đồ hoạ máy tính Các hệ cho phép người sử dụng tạo lập chỉnh sửa hình ảnh, đồng thời cho phép tạo hiệu ứng vẽ tự nhiên hồn hảo phong phú, ví dụ hệ phần mềm thương mại Fractal Design Painter công ty Fractal Design Hệ cho phép xem hình ảnh dạng hình hoạ véctơ sử dụng ảnh bitmap đối tượng Như biết, ảnh bitmap hiển thị nhanh chóng, thích hợp cho ứng mang tính tốc độ, ảnh véctơ nhiều thời gian để trình bày hình (vì phải tạo cách vẽ lại) địi hỏi vùng nhớ làm việc Do ý tưởng kết hợp ưu điểm hai loại đối tượng giúp tiết kiệm nhiều thời gian cho người sử dụng hệ phần mềm việc tạo hiển thị ảnh có độ phức tạp cao □ ỨNG DỤNG TRONG CÔNG NGHỆ NÉN ẢNH: Một mục tiêu quan trọng hàng đầu công nghệ xử lý hình ảnh thể hình ảnh giới thực với đầy đủ tính phong phú sống động máy tính Vấn đề nan giải lĩnh vực chủ yếu yêu cầu không gian lưu trữ thông tin vượt khả lưu trữ thiết bị thông thường Có thể đơn cử ví dụ đơn giản: ảnh có chất lượng gần chụp địi hỏi vùng nhớ 24 bit cho điểm ảnh, nên để ảnh hình mày tính có độ phân giải tương đối cao 1024x768 cần xấp xỉ 2.25Mb Với ảnh “thực” 24 bit này, để thể hoạt cảnh thời gian 10 giây đòi hỏi xấp xỉ 700Mb liệu, tức sức chứa đĩa CDROM Như khó đưa cơng nghệ multimedia lên PC địi hỏi sở liệu ảnh âm khổng lồ Đứng trước tốn này, khoa học máy tính giải cải tiến vượt bậc phần cứng lẫn phần mềm Tất cải tiến dựa ý tưởng nén thơng tin hình ảnh trùng lặp Tuy nhiên gần đây, phương pháp nén thơng tin hình ảnh có yếu điểm sau: ● Cho tỉ lệ nén không cao Đây trường hợp phương pháp nén không thông tin ● Cho tỉ lệ nén tương đối cao chất lượng ảnh nén so với ảnh ban đầu Đây trường hợp phương pháp nén thơng tin, ví dụ chuẩn nén JPEG Các nghiên cứu lý thuyết cho thấy để đạt tỷ lệ nén hiệu (kích thước liệu nén giảm so với ban đầu hàng trăm lần), phương pháp nén thông tin bắt buộc Tuy nhiên vấn đề đặt làm có phương pháp nén kết hợp tính hiệu tỷ lệ nén lẫn chất lượng ảnh so với ảnh ban đầu? Phương pháp nén ảnh phân hình áp dụng gần Iterated System đáp ứng yêu cầu Đề tài : Hình học Fractal Trang 11 ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP SVTH: Nguyễn Ngọc Hùng Cường Như biết, với ánh xạ co không gian metric đầy đủ, tồn điểm bất động xr cho: Xr = f(xr) Micheal F.Barnsley mở rộng kết cho họ ánh xạ co f.Barnsley chứng minh với họ ánh xạ tồn “điểm” bất động xr Để ý với ánh xạ co, ta ln tìm điểm bất động cách lấy giá trị khởi đầu lặp lại nhiều lần ánh xạ kết thu lần lặp Số lần lặp nhiều giá trị tìm xấp xỉ xác giá trị điểm bất động Dựa vào nhận xét này, người ta đề nghị xem ảnh cần nén “điểm bất động” họ ánh xạ co Khi ảnh cần lưu thơng tin họ ánh xạ thích hợp, điều làm giảm nhiều dung lượng cần có để lưu trữ thơng tin ảnh Việc tìm ảnh co thích hợp thực tự động hố nhờ q trình fractal ảnh số hố cơng ty Iterated System đưa với tối ưu thời gian thực Kết nén cho q trình cao, đạt tỷ lệ 10000: cao Một ứng dụng thương mại cụ thể kỹ thuật nén phân hình bách khoa toàn thư multimedia với tên gọi “Microsoft Encarta” đưa vào tháng 12/1992 Bộ bách khoa bao gồm âm thanh, 100 hoạt cảnh, 800 đồ màu với 7000 ảnh chụp cối, hoa quả, người, phong cảnh, động vật,… Tất mã hoá dạng liệu fractal chiếm xấp xỉ 600Mb đĩa compact Ngồi phương pháp nén phân hình Barnsley, cịn có phương pháp khác phát triển Phương pháp F.H.Preston, A.F.Lehar, R.J.Stevens đưa dựa tính chất đường cong Hilbert Ý tưởng sở phương pháp biến đổi thông tin n chiều thông tin chiều với sai số cực tiểu Ảnh cần nén xem đối tượng chiều, hai chiều dùng để thể vị trí điểm ảnh, chiều thứ ba thể màu sắc Ảnh quét theo thứ tự hình thành nên đường cong Hilbert khơng theo hàng từ trái sang phải thường lệ để đảm bảo liệu nén đại diện cho khối ảnh kế cạnh vị trí ảnh gốc Trong q trình qt vậy, thông tin màu sắc điểm ảnh ghi nhận lại Kết cần nén chuyển thành tập tin có kích thước nhỏ nhiều gồm thơng tin màu sắc Phương pháp thích hợp cho ảnh có khối tông màu lớn ảnh dithering □ ỨNG DỤNG TRONG KHOA HỌC CƠ BẢN: Có thể nói với lý thuyết topo, hình học phân hình cung cấp cho khoa học công cụ khảo sát tự nhiên vơ mạnh mẽ trình bày phần I.1, vật lý học toán học kỷ XX đối đầu với xuất tính hỗn độn nhiều q trình có tính quy luật tự nhiên Từ đối đầu đó, thập niên hình thành lý thuyết chuyên nghiên cứu hệ phi tuyến, gọi lý thuyết hỗn độn Sự khảo sát tốn phi tuyến địi hỏi nhiều cơng sức việc tính tốn thể quan sát cách trực quan, phát triển lý thuyết bị hạn chế Đề tài : Hình học Fractal Trang 12 ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP SVTH: Nguyễn Ngọc Hùng Cường nhiều Chỉ gần với đời lý thuyết fractal hỗ trợ đắt lực máy tình, nghiên cứu chi tiết hỗn độn đẩy mạnh Vai trò hình học phân hình lĩnh vực thể cách trực quan cư xử kỳ dị tiến trình khảo sát, qua tìm đặc trưng cấu trúc tương tự ngành khoa học khác Hình học phân hình áp dụng vào nghiên cứu lý thuyết từ tính, lý thuyết phức chất hố học, lý thuyết tái định chuẩn phương trình Yang & Lee vật lý, nghiệm hệ phương trình phi tuyến giải dựa phương pháp xấp xỉ liên tiếp Newton giải tích số,… Các kết thu giữ vai trò quan trọng lĩnh vực tương ứng I.4 CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ CỦA LÝ THUYẾT HÌNH HỌC PHÂN HÌNH: I.4.1 ĐỘ ĐO FRACTAL: □ Số chiều Hausdorff tập hợp A Rn: Cho trước số thực dương s  Gọi hs (A) độ đo Hausdorff schiều tập A hs (A) xác định bởi: Hs (A) = lim h s (A) 0 với: s h  (A) = inf   diam(Ui)s i=1 đó: diam (Ui) = sup [ d(x,y) : x,y  Ui ], với d metric Euclide không gian Rn, [U1, U2,… ] phủ mở A diam(Ui) < , i Hausdorff chứng minh tồn số DH(A) cho: S s > DH(A) h (A) =  s < DH(A) Giá trị DH(A) gọi số chiều Hausdorff tập A Nói cách khác: DH(A) hS(A) số thực dương hay  Định nghĩa giữ vai trò quan trọng lý thuyết hình học phân hình đại khơng có tính thực tiễn việc xác định số chiều theo định nghĩa phức tạp với trường hợp tập A đơn giản Do đó, xuất phát từ định nghĩa này, Mandelbrot đưa khái niệm số chiều fractal tổng quát dễ xác định với ba dạng đặc biệt áp dụng cho loại đối tượng (tập A) cụ thể Sau chúng tơi trình bày định nghĩa dạng đặc biệt Đề tài : Hình học Fractal Trang 13 ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP SVTH: Nguyễn Ngọc Hùng Cường đó, đồng thời mối liên hệ chúng với định nghĩa số chiều Hausdorff □ SỐ CHIỀU TỰ ĐỒNG DẠNG: (SỐ CHIỀU HAUSDORFFBESCOVITCH ): Định nghĩa: Cho trước cấu trúc tự đồng dạng chia thành N phần, hệ số thu nhỏ phần so với cấu trúc ban đầu r Ký hiệu DS đại lượng xác định bởi: log N DS = log 1/r Khi DS gọi số chiều tự đồng dạng cấu trúc Ví dụ: ◊ Xét hình vng chia thành hình vng nhỏ với tỷ lệ đồng dạng 1/3 Khi số chiều tự đồng dạng hình vng ban đầu xác định bởi: Ds  log log  2 log log ◊ Xét khối lập phương chia thành 27 khối lập phương nhỏ với tỷ lệ đồng dạng 1/3 Ta có số chiều tự đồng dạng khối lập phương xác định bởi: Ds  log 27 log 33  3 log log Hai ví dụ cho thấy định nghĩa số chiều tự đồng dạng phù hợp với định nghĩa thông thường hình học Euclide □ SỐ CHIỀU COMPA: Số chiều xác định theo định nghĩa áp dụng cho đường cong đường cong tự đồng dạng hoàn toàn (như đường bờ biển, sơng,…), sử dụng nhiều đơn vị khác để xác định độ dài chúng Định nghĩa: Đề tài : Hình học Fractal Trang 14 ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP SVTH: Nguyễn Ngọc Hùng Cường Xét đường cong không tự đồng dạng Biểu diễn số đo đường cong hệ toạ độ log / log với: - Trục hồnh: thể logarit độ xác phép đo chiều dài đường cong Độ xác đặc tả 1/s, với s đơn vị đo độ dài Ở giá trị s nhỏ độ xác phép đo lớn - Trục tung: thể logarit độ dài u đo ứng với đơn vị đo s - d: hệ số góc đường thẳng hồi qui dùng để xấp xỉ giá trị đo u đo dựa phương pháp bình phương cực tiểu Ta có quan hệ: log u = d log (1/s + b), b hệ số tự Khi số chiều compa DC xác định bởi: DC = + d Ví dụ: Xét đường cong 3/2 xây dựng theo kỹ thuật initiator / generator hình vẽ sau: generator initiator generator Biểu diễn đại lượng có liên quan hệ toạ độ log/log trình bày với ý sau bước tạo sinh thứ k, đường cong gồm k đoạn, đoạn có độ dài s = / 4k nên độ dài đường cong 8k.1/4k = k Khi giá trị trục hồnh log41 / / 4k = k ứng với giá trị trục tung là: log42k = k / Do ta xác định d = 0.5 Vậy: DC = + 0.5 = 1.5 Đề tài : Hình học Fractal Trang 15 ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP SVTH: Nguyễn Ngọc Hùng Cường □ SỐ CHIỀU BOX-COUNTING: Số chiều xác định theo định nghĩa áp dụng cho đường cong fractal xác định số chiều theo cách vừa trình bày Cách tính số chiều áp dụng cho cấu trúc mặt phẳng mở rộng cho cấu trúc không gian Định nghĩa: Xét cấu trúc fractal Lần lượt đặt cấu trúc lên dãy lưới có kích thước lưới s giảm liên tỉ lệ ½ Gọi N(s) lưới có kích thước s có chứa phần cấu trúc Ta xây dựng hệ toạ độ log/log sau: - Trục hoành biểu thị giá trị đại lượng log2 (1/s) - Trục tung biểu thị giá trị đại lượng log2 N((s)) - DB hệ số góc đường thẳng hồi qui tập hữu hạn điểm (s, N(s)) hệ toạ độ Khi ta có: log2N(2 – (k+1)) – log2N(2 – k) DB = N(2 – (k + 1)) = log22 k+1 – log2 k log2 N(2 – k) DB xác định gọi số chiều box-counting cấu trúc fractal cho □ SỐ CHIỀU BOX-COUNTING TRONG MỐI LIÊN HỆ VỚI SỐ CHIỀU HAUSDORFF: Khó khăn chủ yếu tính số chiều Hausdorff việc xác định tổng vô  hạn Σ diam(U )s Số chiều box - counting đơn giản hóa thao tác i i 1 cách thay số hạng diam(U )s số hạng δ s Ta có i định nghóa hình thức số chiều box - counting D tập B bị chặn A R n nhö sau Định nghĩa: Gọi N (A) giá trị nhỏ tập hợp có khả phủ A có đường kính tối đa  Khi ta có: Đề tài : Hình học Fractal Trang 16 ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP SVTH: Nguyễn Ngọc Hùng Cường D b (A)  lim δ0 log Nδ (A) log δ Định nghóa :  s  Db (A) N (A) δ s   δ  s  Db (A) Do : D (A)  inf { s : N (A) δ s  }  sup { s : N (A) δ s  } b δ δ Vậy rõ ràng định nghóa D B (A) tương tự với định nghóa D H (A) Tuy nhiên xác định D B (A) đơn giản :  N (A) δ s  inf { Σ δs } δ i1 : { U1, U , } phủ hữu hạn A diam(U )  δ, i i Tuy nhiên định nghĩa số chiều khơng phảI ln cho kết giống Ví dụ xét tập số hữu tỷ khoảng đóng [0, 1] Tập có số chiều box-counting số chiều Hausdorff tương ứng Kết cịn mở rộng cho tập trù mật A Rn, vớI DB(A) = n DH(A)  n I.4.2 CÁC HỆ HÀM LẶP IFS: □ Không gian ảnh Hausdorff: Giả sử (X, d) không gian mtric đầy đủ Ở X giới hạn R2 d metric Euclide Ký hiệu H(X) không gian tập compact khác rỗng X Ta có định nghĩa sau: Định nghĩa 1: Khoảng cách từ điểm x  X đến tập B  H(X) xác định d(x, B)   d(x, y) : y  B  bởi: Định nghĩa 2: Khoảng cách từ tập A  H(X) đến tập B  H(B) xác định bởi: d(x, B)  max  d(x, B) : x  A Định nghĩa 3: Đề tài : Hình học Fractal Trang 17  ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP SVTH: Nguyễn Ngọc Hùng Cường Khoảng cách Hausdorff hai điểm A B  H(H) xác định bởi: h(A, B)  max  d(A, B), d(B, A Với định nghĩa ta có định lý:  Định lý tồn IFS Fractal: Ta có (H(X), h) không gian metric đầy đủ Hơn AnH(X) với n = 1,2,… lập thành dãy Cauchy tập hợp A xác định bởi: A = lim An 0 thuộc H(X) A đặc tả sau: A = [ x  X :  dãy Cauchy [ xn  An] hội tụ x] □ Ánh xạ co không gian Hausdorff: Bổ đề 1: Giả sử w: X  X ánh xạ co liên tục không gian metric (X, d) Khi w liên tục Chứng minh: Cho s > Gọi s hệ số co w Khi đó: d(w(x), w(y))  s.d(x,y) <  Khi khi: D(x,y) <  =  / s Từ suy điều phải chứng minh Bổ đề 2: Giả sử w: X  X ánh xạ liên tục không gian metric(X,d) Khi w ánh xạ khơng gian H(X) lên Chứng minh: Giả sử S tập compact khác rỗng X Khi ta có: w(S) = [w(x) : x  S] tập khác rỗng Ta chứng minh w(S) compact Xét [ yn = w(xn) ] dãy vô hạn điểm w(S) Khi [xn] dãy vơ hạn điểm S Vì S compact nên tồn dãy [xn ] hội tụ điểm x’ S, tính liên tục w suy [ yNn = f (xNn ) ] dãy [ yn ] hội tụ y’  w(S) Vậy w(S) compact Bổ đề chứng minh Bổ đề sau cách tạo ánh xạ co không gian metric (H(X), h) dựa ánh xạ co (X,d) Bổ đề 3: Giả sử w: X  X ánh xạ có khơng gian metric (X,d) với hệ số co s Khi ánh xạ w: H(X)  H(X) xác định bởi: Đề tài : Hình học Fractal Trang 18 ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP SVTH: Nguyễn Ngọc Hùng Cường W(B) = [w(x): x  B], với B thuộc H(X) ánh xạ co (H(X), h(d)) với hệ số co s Chứng minh: Từ bổ đề suy w: X  X liên tục Do theo bổ đề 2, ánh xạ H(X) lên Bây xét B, C thuộc H(X) Ta có: d( w(B), w(C)) = max [ [ d(w(x), w(y)): y  C ] : x  B ]  max [ [ s.d(x,y) : y  C ]: x  B ] = s.d(B, C) Một cách tương tự: d( w(C), w(B))  s.d(C, B) Do đó: H(w(B), w(C)) = max [d(w(B), w(C), w(C), w(B)) ]  s.max [ d(B, C), d(C, B) ] = s.h(B, C) Từ suy điều phải chứng minh Bổ đề sau cung cấp cách thức để nối kết ánh xạ co (H(X), h) thành ánh xạ co (H(X), h): Bổ đề 4: Ký hiệu [wn ] ánh xạ co (H(X), h) với hệ số co tương ứng sn, n = 1, 2,…,N Xác định W : H(X)  H(X) bởi: N W(B) =  wn (B) n=1 với B  H(X) Khi W ánh xạ co với hệ số co s = max sn 1nN Chứng minh: Kết chứng minh qui nạp Với N = 2: Xét B, C  H(X) Ta có: h(W(B) , W(C))  h(w1(B)  w (B) , w1(C)  w (C))  max { h(w1(B) , w1(C)) , h(w2 (B) , w (C))}  max { s1.h(B,C) , s h(B, C)}  s.h(B, C) Vậy W ánh xạ co với N = Giả sử khẳng định với N = k Ta chứng minh khẳng định với N = k + Thật vậy, ta có: Đề tài : Hình học Fractal Trang 19