Bài 4 TÍNH TOÁN SAI số và BIỂU DIỄN kết QUẢ đo

BÀI 4: TÍNH TỐN SAI SỐ VÀ BIỂU DIỄN KẾT QUẢ ĐO Mục tiêu  Kiến thức + Hiểu khái niệm, đại lượng sai số thực đo đạc đại lượng vật lí + Phân biệt loại sai số thường gặp: Sai số tuyệt đối, sai số ngẫu nhiên, sai số tương đối (tỉ đối), sai số dụng cụ đo,  Kĩ + Biết cách xác định chữ số có nghĩa số, biết cách làm tròn số viết kết phép đo + Thực hành xác định sai số phép đo trực tiếp phép đo gián tiếp Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Cách tính sai số trực tiếp Trong thực nghiệm, để xác định giá trị đại lượng vật lý cần tiến hành đo đại lượng nhiều lần xác định giá trị trung bình chúng Giá trị gần với giá trị thực đại lượng cần xác định phép đo thực nhiều lần Chẳng hạn, đa số biết xác suất mặt ngửa mặt sấp đồng xu 50 %, để kết luận điều phải thực việc tung đồng xu nhiều lần số lần đồng xu sấp số lần đồng xu ngửa xấp xỉ Do vậy, việc xác định sai số đại lượng vật lý quan trọng Đặc biệt tính tốn địi hỏi độ xác cao Muốn đo đại lượng vật lý A, thực nghiệm đo giá trị n lần kết A1, A2, , An Khi kết đo đại lượng A viết:  4.1 A  A  A Trong A  A1  A2   An n  4.2  giá trị trung bình đại lượng vật lý cần đo (là giá trị gần với giá trị thực đại lượng cần đo) Và A gọi sai số tuyệt đối phép đo xác định tổng sai số ngẫu nhiên sai số dụng cụ đo: A   A  Adc  4.3 Sai số ngẫu nhiên A  A1  A2   An n  4.4  cịn gọi sai số tuyệt đối trung bình phép đo với A1  A  A1 , An  A  An sai số tuyệt đối lần đo - Thông thường, sai số dụng cụ đo Adc lấy nửa độ chia nhỏ dụng cụ đo - Độ chia nhỏ khoảng giá trị bé dụng cụ đo đọc được, ví dụ thước có chia vạch mm độ chia nhỏ (độ xác) dụng cụ đo hiểu mm - Kết thu bội số độ chia nhỏ Trang Ngoài sai số trên, để đánh giá mức độ xác phép đo, người ta sử dụng sai số tương đối (sai số tỉ đối) phép đo xác định: A  A 100% A Sai số tỉ đối nhỏ phép đo xác Viết kết đo Kết đo đại lượng A viết dạng A  A  A A lấy tối đa đến hai chữ số có nghĩa A viết đến bậc thập phân tương ứng Cần đo chiều dài bút chì thước kẻ học sinh, sau lần đo bạn học sinh khác nhau, thu kết sau: Lần đo Chiều dài l (cm) 7,1 cm 7,0 cm 7,2 cm 7,3 cm 7,1 cm GTTB 7,1  7,  7,  7,3  7,1  7,14  7,1cm l Lưu ý, em cần nắm quy tắc làm trịn chữ số thập phân Trong ví dụ trên, cần làm tròn sau dấu phẩy chữ số, áp dụng quy tắc sau: - Nếu chữ số liền sau “số 1” lớn cộng đơn vị vào “số 1” (sẽ thành 2) - Nếu chữ số liền sau “số 1” nhỏ giữ nguyên “số 1” Trong trường hợp không cho phép thực phép đo nhiều lần (n < 5) người ta không lấy sai số ngẫu nhiên cách lấy trung bình cơng thức (4.4), mà chọn giá trị cực đại AMax số giá trị sai số tuyệt đối thu làm sai số ngẫu nhiên Độ chia nhỏ thước kẻ ví dụ mm Độ chia nhỏ đồng hồ bấm giây 1/100 giây Các đại lượng cần xác định sai số gián tiếp thường là: Bước sóng:   a.i D Gia tốc trọng trường: g  4 l T2 Trang Các đại lượng X , Y , Z giá trị trung bình cho sẵn đề dạng sai số từ phép đo trực tiếp X  X  X , Y  Y  Y , Z  Z  Z Do đó, ta dễ dàng xác định giá trị trung bình B sai số tuyệt đối B Cách tính sai số gián tiếp Thực tế, thường gặp toán xác định đại lượng mà đại lượng khó khơng thể đo trực tiếp được, chẳng hạn: bước sóng, tốc độ âm thanh, gia tốc trọng trường g, v.v Do đó, để xác định đại lượng cần phải dùng đến công thức liên hệ với đại lượng đo trực tiếp - Sai số tuyệt đối tổng hay hiệu tổng sai số tuyệt đối số hạng - Sai số tỉ đối tích hay thương tổng sai số tỉ đối thừa số Cách xác đinh sai số gián tiếp đại lượng vật lý: Khơng tính tổng quát, giả sử có đại lượng vật lý xác định công thức B XY * Ta tìm sai số đại lượng B sau: Z2 Bước 1: Tính giá trị trung bình B từ công thức * , B  XY Z thực làm tròn số Bước 2: Lấy logarit Nêpe (ln) hai vế (*)  XY  ln  B   ln    ln X  ln Y  ln Z  Z  1 Bước 3: Lấy vi phân hai vế (1)  B X Y Z  3 2 B X Y Z  2 Bước 4: Đổi tất “dấu trừ” biểu thức vi phân (2) thành dấu “cộng”  B X Y Z  3 2 B X Y Z  3 Bước 5: Tính sai số tuyệt đối đại lượng B Y Z   X B  B  3 2  Y Z   X Kết đo viết: B  B  B Lưu ý viết kết đo, giá trị trung bình làm trịn chữ số sai số tuyệt đối làm trịn nhiêu chữ số Chú ý, Khi tính sai số tuyệt đối B đại lượng B, đại lượng B, X, Y, Z công thức (3) viết thay giá trị trung bình đại lượng tương ứng Bước dồn lại thành một, ý phải đổi dấu biểu thức SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA Trang B1: Tính giá trị 4trung bình từ cơng thức B Giá trị trung bình phép đo A A1  A2   An n SAI SỐ PHÉP ĐO SAI SỐ PHÉP Phương pháp giải Thông thường, với kết đo viết dạng chữ số thập phân, nhận dãy số dài, làm để xác định số chữ số có nghĩa? Một cách ngắn gọn, “số chữ số có nghĩa tất chữ số cịn lại tính từ trái sang phải dãy số từ chữ số khác đầu tiên.” Bước 1: Xác định chữ số khác không Bước 2: Đếm số chữ số từ số có nghĩa đến chữ số cuối bên phải Ví dụ: Khối lượng hạt electron tính theo đơn vị khối lượng nguyên tử (u) gần me  0,000548579909070 u Có chữ số có nghĩa chuỗi số trên? A 16 B 15 C 12 D 11 Hướng dẫn giải Nhìn vào chuỗi số me  0,000548579909070 u thấy số khơng tính chữ số có nghĩa Chữ số khác số tính từ trái sang phải Từ số đến số cuối bên phải có 12 chữ số Chọn C Trang Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Dùng thước có độ chia nhỏ đến milimet để đo 10 lần khoảng cách d hai điểm A, B cho giá trị 301 mm Kết đo viết A d = (301 ± 0,5) mm B d = (0,301 ± 0,001) m C d = (0,301 ± 0,0005) m D d = (301 ± 2)mm Hướng dẫn giải Cả 10 lần đo cho kết khoảng cách trung bình d  301mm  0,301m Sai số tuyệt đối phép đo trường hợp sai số dụng cụ đo d  ddc  1mm  0,001m Do đó, kết đo viết là: d   0,301  0, 001 m Chọn B Lưu ý: Độ chia nhỏ thước thường lấy sai số dụng cụ đo Chú ý việc đổi đơn vị đại lượng, giá trị trung bình sai số tuyệt đối phải đơn vị đo Ví dụ 2: Một học sinh thực đo gia tốc trọng trường phịng thí nghiệm, phép đo gia tốc trọng trường sau nhiều lần đo giá trị trung bình sai số tuyệt đối trung bình g  9,867463m / s g  0, 057421m / s Kết đo viết là: A g = 9,86 ± 0,05 m/s2 B g = 9,87 ± 0,06 m/s2 C g = 9,86 ± 0,06 m/s2 D g = 9,87 ± 0,05 m/s2 Hướng dẫn giải Giá trị trung bình sai số tuyệt đối trung bình g đề cho biết, thơng thường kết đo làm tròn đến % tức lấy sau dấu phẩy chữ số Do đó, kết tốn viết là: g = 9,87 ±0,06 m/s2 Chọn B Dạng Viết kết đo phép đo trực tiếp Phương pháp giải - Áp dụng quy tắc để tính sai số trực tiếp - Áp dụng quy tắc làm tròn số Ví dụ: Một học sinh dùng đồng hồ bấm giây để đo chu kỳ dao động điều hòa T lắc đơn cách đo thời gian dao động toàn phần Sau ba lần đo cho kết thời gian dao động 2,02s; 2,12s; 1,99s; 2,00s; 2,04s Thang chia nhỏ đồng hồ bấm giây 0,01s Kết phép đo chu kỳ biểu diễn bằng: A T = (2.03 ± 0,09)s B T = (2,04 ± 0,05)s C T = (2.03 ± 0,04)s D T = (2,03 ± 0,05)s Hướng dẫn giải Bước 1: Tính giá trị trung bình Trang Thực quy tắc làm tròn số sau dấu phẩy thập phân T1  T2  T3  T4  T5 2, 02  2,12  1,99   2, 04   2, 034 T 2, 03s Bước 2: Tính sai số tuyệt đối phép đo T1  T1  T  0, 01 T2  T2  T  0, 09 T3  T3  T  0, 04 T4  T4  T  0, 03 T5  T5  T  0, 01 Bước 3: Tính sai số tuyệt đối trung bình T  T1  T2  T3  T4  T5 0, 01  0, 09  0, 04  0, 03  0, 01   0, 036 0, 04s 5 Bước 4: Sai số tuyệt đối phép đo T  T  Tdc  0, 04  0, 01  0, 05s Bước 5: Viết kết phép đo T   2, 03  0, 05  s Chọn D Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Một bạn học sinh dùng đồng hồ bấm giây để đo chu kỳ dao động lắc đơn cách xác định khoảng thời gian để lắc thực 10 dao động toàn phần Kết lần đo liên tiếp bạn học sinh là: 21,2 s; 20,2 s; 20,9 s; 20,0 s Biết sai số tuyệt đối dùng đồng hồ 0,2s (bao gồm sai số ngẫu nhiên bấm sai số dụng cụ) Theo kết cách viết giá trị chu kỳ T sau nhất? A T = 2,06 ± 0,20 s B T = 2,13 ± 0,02 s C T = 2,00 ± 0,02 s D T = 2,06 ± 0,02 s Hướng dẫn giải Giá trị trung bình phép đo T  Và sai số tuyệt đối T   T1  T2  T3  T4     2, 0575s 10   0,  0, 02s 10 Nếu lấy hai chữ số có nghĩa sai số tuyệt đối kết phép đo viết T  2,06  0,02s Chọn D Trang Ví dụ 2: Học sinh thực hành đo chu kì dao động lắc đơn đồng hồ bấm giây cách đo thời gian thực dao động toàn phần Kết lần đo sau: Lần đo T(s) 2,01 2,11 2,05 2,03 2,00 Cho biết thang chia nhỏ đồng hồ 0,02 s Kết phép đo chu kì T lắc: A 2,04 ± 1,96% (s) B 2,04 ± 2,45% (s) C 2,04 ± 1,57% (s) D 2,04 ± 2,85% (s) Hướng dẫn giải - Sai số dụng cụ là: 0,02 s - Giá trị trung bình: T  2, 01  2,11  2, 05  2, 03  2, 00  2, 04s - Sai số tuyệt đối trung bình: T  2, 01  2, 04  2,11  2, 04  2, 05  2, 04  2, 00  2, 04  2, 01  2, 04  0, 03s - Sai số tuyệt đối: T  0,03  0,02  0,05s - Sai số tỉ đối phép đo: T  T 0, 05 100%  100%  2, 45% 2, 04 T  Kết phép đo chu kì T viết: T  2,04  2, 45% Chọn B Dạng Viết kết đo phép đo gián tiếp Phương pháp giải - Viết cơng thức tính giá trị trung bình sử dụng cơng thức để áp dụng quy trình tính sai số gián tiếp phép đo - Áp dụng lý thuyết, bước tiến hành xác định sai số phép đo gián tiếp Ví dụ: Một học sinh dùng lắc đơn để xác định gia tốc trọng trường g lớp học Bằng cách đo trực tiếp học sinh xác định chu kỳ chiều dài lắc đơn cách thước dây đồng hồ bấm giây có sẵn phịng thí nghiệm, học sinh xác định chu kì chiều dài lắc T = (1,79 ± 0,03) (s) l = (0,800 ± 0,004) (m) Gia tốc rơi tự nơi làm thí nghiệm có giá trị A 9,79 ± 0,30 (m/s2) B 9,86 ± 0,42 (m/s2) C 9,86 ± 0,38 (m/s2) D 9,79 ± 0,38 (m/s2) Hướng dẫn giải Bước 1: Tính giá trị trung bình g Trang l 4 2l g g T T  2 g 4 l T   * 4 0,8  9,8569  9,86  m / s  1, 792 Bước 2: Lấy logarit nêpe (ln) hai vế (*)  4 2l  ln  g   ln    ln  4   ln  l   ln T  1  T  Bước 3: Lấy vi phân hai vế (1) g l T  2 g l T Bước 4: Đổi tất “dấu trừ” biểu thức vi phân (2) thành dấu “cộng” g l T  2 g l T Bước 5: Tính sai số tuyệt đối T  l g  g   T  l  0, 004 0, 03     0,38m / s   9,86     0,800 1, 79  Viết kết đo: g  9,86  0,38  m / s  Chọn C Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Một học sinh thực thí nghiệm đo bước sóng ánh sáng phương pháp giao thoa khe Y-âng Học sinh đo khoảng cách hai khe a = 1,20 ± 0,03 (mm); khoảng cách từ hai khe đến quan sát D = 1,60 ± 0,02 (m) độ rộng 11 vân sáng liên tiếp L = 8,00 ± 0,15 (mm) Sai số tương đối phép đo A 4,60% B 5,63% C 5,96% D 5,83% Hướng dẫn giải 11 vân sáng liên tiếp ứng với 10 khoảng vân 10i  L hay i  + Bước sóng thí nghiệm Y-âng xác định:   Lấy ln hai vế biểu thức (*): * : ln   ln aL  D 10D L 10 * aL  ln a  ln L  ln D  ln10 10D ** + Lấy vi phân hai vế (**) đổi dấu trừ công thức thành dấu cộng  a i D       a   L   D  a L D + Sai số tương đối phép đo   0, 03 0, 02 0,15    0, 05625  5, 63% 1, 20 1, 60 8, 00 Trang Chọn B Lưu ý: - Các đơn vị a, D, i, L không cần thiết phải đổi đơn vị SI mà áp dụng ln vào cơng thức để tính  sai số tuyệt đối, tương đối - Chú ý đến vi phân số ln Ví dụ 2: Một học sinh dùng cân đồng hồ đếm giây để đo độ cứng lò xo Dùng cân để cân vật nặng khối lượng m = 100 g ± 2% Gắn vật vào lị xo kích thích cho lắc dao động dùng đồng hồ đếm giây đo thời gian dao động cho kết T = s ± 1% Bỏ qua sai số  (coi 0) Sai số tương đối phép đo A 1% B 3% C 2% D 4% Hướng dẫn giải Ta có T  2 m 42 m k k T2 Lấy ln hai vế: ln  k   ln  42   ln  m   ln  T  Lấy vi phân đổi dấu trừ thành công: Với  A  k m T  2 k m T A , suy sai số tương đối phép đo độ cứng k là: A k  m  2T  2%  2.1%  4% Chọn D Lưu ý: - Kết đo viết dạng A  A   A - Để ý đến vi phân số ln  42   Ví dụ 3: Tiến hành thí nghiệm đo tốc độ truyền âm khơng khí, học sinh đo bước sóng sóng âm  = 75 ± (cm), tần số dao động âm thoa f = 440 ± 10 (Hz) Tốc độ truyền âm nơi làm thí nghiệm A 330,00 ± 11,99 (m/s) B 330,00 ± 11,0 (m/s) C 330,00 ± 11,0 (cm/s) D 330,00 ± 11,99 (cm/s) Hướng dẫn giải Ta có   vT  v  Ta có:  v    f suy giá trị trung bình tốc độ v  .f  0, 75.440  330m T v  f 10      0, 036 75 440 v  f Trang 10  v  v v  0, 036.330  11,99m  v  v  v  330  11,99  m  Chọn A Bài tập tự luyện Bài tập Câu 1: Kết đo dòng điện chạy qua điện trở đoạn mạch điện ampe kế điện tử cho kết I = 0,02501 A Có chữ số có nghĩa A B C D Câu 2: Tiến hành thí nghiệm đo gia tốc trọng trường g lắc đơn, học sinh đo chiều dài lắc l  l  l  m  Chu kì dao động nhỏ T  T  T  s  bỏ qua sai số số  Sai số tuyệt đối gia tốc trọng trường g A g T 2l   g T l B g T l   g T l C g 2T 2l   g T l D g 2T l   g T l Câu 3: Dùng thước có độ chia đến milimét đo lần khoảng cách d hai điểm A B cho giá trị 1,345 m Lấy sai số dụng cụ độ chia nhỏ Kết đo viết A d =1345 ± (mm) B d = 1,345 ± 0,001 (m) C d = 1345 ± (mm) D d = 1,345 ± 0,0005 (m) Câu 4: Một học sinh làm thí nghiệm Y-âng giao thoa ánh sáng để đo bước sóng ánh sáng Khoảng cách hai khe sáng a = 1,00 ± 0,05 (mm) Khoảng cách từ mặt phẳng chứa hai khe đến đo D = 2,00 ± 0,01 (m), khoảng cách 10 vân sáng liên tiếp đo L = 10,80 ± 0,14 (mm) Bước sóng A 0,54 ± 0,03 (m) B 0,54 ± 0,04 (m) C 0,60 ± 0,03 (m) D 0,60 ± 0,04 (m) Câu 5: Để đo tốc độ truyền sóng v sợi dây đàn hồi AB, người ta nối đầu A vào nguồn dao động có tần số f = 100 Hz ± 0,02% Đầu B gắn cố định Người ta đo khoảng cách hai điểm dây gần không dao động với kết l = 0,02 m ± 0,82% Tốc độ truyền sóng sợi dây AB A v = m/s ± 0,84% B v = m/s ± 0,016% C v = m/s ± 0,84% D v = m/s ± 0,016% Bài tập nâng cao Câu 6: Một học sinh tiến hành thí nghiệm đo bước sóng ánh sáng phương pháp giao thoa khe Yâng Học sinh đo khoảng cách hai khe a = 1,50 ± 0,01 (mm), khoảng cách từ hai khe đến D = 580 ± (mm) khoảng cách vân sáng liên tiếp L= 5,00 ± 0,02 (mm) Sai số tỉ đối (tương đối) phép đo A 4,6 % B 1,2 % C 0,58 % D 5,8 % Câu 7: Trong thực hành đo gia tốc trọng trường Trái Đất phịng thí nghiệm Một học sinh đo chiều dài lắc đơn có kết l = 0,8000 ± 0,0002 (m) chu kỳ dao động T = 1,7951 ± 0,0001 (s) Gia tốc trọng trường A g = 9,801 ± 0,0023 (m/s2) B g = 9,801 ± 0,0035 (m/s2) C g = 9,801 ± 0,0003 (m/s2) D g = 9,801 ± 0,0004 (m/s2) Trang 11 Câu 8: Trong học thực hành xách định bước sóng ánh sáng thí nghiệm giao thoa Y-âng, học sinh đo khoảng cách vân sáng liên tiếp 3,000 ± 0,005 (mm), khoảng cách từ hai khe đến 1,00 ± 0,01 (mm) Biết khoảng cách hai khe hẹp 1,000 ± 0,005 (mm) Bước sóng ánh sáng dùng thí nghiệm A 0,5 ± 0,01 (m) B 0,5 ± 0,02 (m) C 0,6 ± 0,02 (m) D 0,6 ± 0,01 (m) Câu 9: Trong thí nghiệm đo tốc độ truyền âm khơng khí, học sinh đo bước sóng sóng âm 82,5 ± 1,0 (cm), tần số dao động âm thoa 400 ± 10 (Hz) Tốc độ truyền âm khơng khí nơi làm thí nghiệm A 330 ± 11 (cm/s) B 330 ± 12 (cm/s) C 330 ± 12 (m/s) D 330 ± 11 (m/s) Câu 10: Học sinh thực hành đo chu kì dao động lắc đơn đồng hồ bấm giây cách đo thời gian thực dao động toàn phần Kết lần đo cho sau: Lần đo T(s) 2,01 2,11 2,05 2,03 2,00 Cho biết thang chia nhỏ đồng hồ 0,02 s Kết phép đo chu kì T lắc A 2,04 ± 1,96% (s) B 2,04 ± 2,55% (s) C 2,04 ± 1,57% (s) D 2,04 ± 2,85% (s) Câu 11: Trong thực hành học sinh dùng vơn kế lí tưởng đo điện áp đầu điện trở R tụ điện C đoạn mạch R-C nối tiếp Kết đo là: UR = 14 ± 1,0 (V); UC = 48 ± 1,0 (V) Điện áp hai đầu đoạn mạch viết A U = 50 ± 2,0 (V) B U = 50 ± 1,0 (V) C U = 50 ± 1,2 (V) D U = 50 ± 1,4 (V) Câu 12: Một học sinh làm thí nghiệm đo bước sóng ánh sáng thí nghiệm giao thoa qua khe Yâng Học sinh dùng thước đo khoảng cách D từ mặt phẳng chứa hai khe đến màn, khoảng cách hai khe a = 0,15 ± 0,01 mm , đo khoảng cách L vân sáng liên tiếp quan sát Kết đo D L ghi vào bảng số liệu đây: Lần đo D(m) L(mm) 0,40 9,12 0,43 9,21 0,42 9,20 0,41 9,01 0,43 9,07 Bỏ qua sai số dụng cụ đo Kết đo bước sóng học sinh là: A 0,68 ± 0,05 (m) B 0,65 ± 0,06 (m) C 0,68 ± 0,06 (m) D 0,65 ± 0,05 (m) ĐÁP ÁN 1-D 2-D 11 - C 12 - B 3-B 4-D 5-A 6-B 7-B 8-D 9-C 10 – B Trang 12 ... vân sáng liên tiếp quan sát Kết đo D L ghi vào bảng số liệu đây: Lần đo D(m) L(mm) 0 ,40 9,12 0 ,43 9,21 0 ,42 9,20 0 ,41 9,01 0 ,43 9,07 Bỏ qua sai số dụng cụ đo Kết đo bước sóng học sinh là: A 0,68... đo trực tiếp - Sai số tuyệt đối tổng hay hiệu tổng sai số tuyệt đối số hạng - Sai số tỉ đối tích hay thương tổng sai số tỉ đối thừa số Cách xác đinh sai số gián tiếp đại lượng vật lý: Khơng tính. ..  4. 3 Sai số ngẫu nhiên A  A1  A2   An n  4. 4  cịn gọi sai số tuyệt đối trung bình phép đo với A1  A  A1 , An  A  An sai số tuyệt đối lần đo - Thông thường, sai số dụng cụ đo