Khóa luận Đường tán sắc của excitonpolariton hai chiều trong tương tác với phonon âm học

Mục lục Trang Danh sách hình vẽ ii Danh mục chữ viết tắt iii Mở đầu 1 Cơ sở lý thuyết 1.1 Toán tử sinh huỷ học lượng tử 1.2 Giả hạt Polariton Định lý Floquet 12 Kết thảo luận 15 3.1 Hướng tiếp cận sử dụng phương pháp gần sóng quay 15 3.2 Hướng tiếp cận sử dụng định lý Floquet 19 Kết luận hướng phát triển 22 Tài liệu tham khảo 23 i Danh sách hình vẽ Trang Hình 1.1: Hình vẽ thể phụ thuộc lượng LP UP theo độ lệch lượng exciton photon Hình 1.2: 11 Hình vẽ thể đường tán sắc lượng LP UP phụ thuộc vào vector sóng song song hệ số Hopfield tương ứng với trường hợp a) ∆ = 2g0 , b) ∆ = 0, c) ∆ = −2g0 ii 11 Danh mục chữ viết tắt Chữ viết tắt Tiếng Việt Tiếng Anh BEC Ngưng tụ Bose – Einstein Bose–Einstein Condensation HHG Sóng điều hồ bậc cao High Harmonic Generator LA Sóng âm học dọc Longtitudinal Acoustic LP Polariton nhánh Lower Polariton LASER La–de RWA Phép gần sóng quay Rotating Wave Approximation SAW Sóng âm học bề mặt Surface Acoustic Wave TA Sóng âm học ngang Tranverse Acoustic TDSE UP Light Amplification by Stimulated Emisson Radiation Phng trỡnh Schroădinger ph thuc thi gian TimeDependent Schroădinger Equation Upper Polariton Polariton nhánh iii Mở đầu Từ đời vào năm 1960, LASER (viết tắt cụm từ Light Amplification by Stimulated Emisson Radiation) công cụ đắc lực giúp nhà vật lý nghiên cứu cấu trúc nguyên tử, phân tử thông qua hiệu ứng phi tuyến phát xạ sóng điều hịa bậc cao (HHG – High Harmonic Generation ) [1], q trình ion hóa nguyên tử, phân tử [2, 3] hay dùng bẫy từ-quang (MOTs) [4, 5] để bẫy nguyên tử cho nghiên cứu biến đổi trạng thái vật chất pha ngưng tụ Bose–Einstein (BEC) [6–8] từ giúp hiểu thêm giới tự nhiên Với tính chất đặc biệt tính đơn sắc, kết hợp có cường độ cao, LASER ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực khác sống Tuy nhiên, LASER dùng phịng thí nghiệm tạo cách tạo môi trường đảo mật độ cho electron nguyên tử chủ yếu trạng thái kích thích, electron trở trạng thái bản, photon phát phản xạ nhiều lần qua hệ cộng hưởng quang học tạo thành LASER Phương pháp địi hỏi phải tạo mơi trường đảo mật độ, giữ electron trạng thái kích thích đủ lâu để phát LASER, việc tương đối khó khăn thời gian sống electron trạng thái kích thích ngắn, vào cỡ 10−8 s Ngoài ra, ngưỡng lượng để xảy phát xạ tương đối lớn, phải cung cấp nhiều lượng để q trình xảy ra, việc gây tốn Năm 1996, A Imamoglu cộng đưa khái niệm loại LASER hồn tồn mà khơng cần đến môi trường đảo mật độ [9] Các tác giả sử dụng giả hạt polariton kết hợp exciton (cặp electron lỗ trống) photon cấu trúc tinh thể chất bán dẫn cấu hình sẵn Các hạt polariton có spin ngun chúng có trạng thái lượng tử đơn (single quantum state), hạt boson pha BEC, phát photon kết hợp đơn sắc, sở để tạo nên polariton LASER Quá trình phát xạ polariton LASER xảy nhiệt độ thấp khoảng 4K, quan sát lần L S Dang cộng vào năm 1998 [10] Đến năm 2007, LASER polariton với bơm quang học lần tạo nhiệt độ phịng [11] Tuy Polartion LASER có nhiều ưu điểm ngưỡng phát xạ thấp, không cần đến môi trường đảo mật độ, tần số LASER kiểm sốt cách dễ dàng việc thay đổi tính chất giếng lượng tử vật liệu bán dẫn công suất phát xạ nhiệt độ phòng nhỏ [11], nên chưa thể ứng dụng vào thực tế Chúng nhận thấy việc tạo polariton LASER nhiệt độ phòng có cường độ cao có ý nghĩa vơ to lớn Nhằm thực điều này, thêm vào hệ phonon âm học thơng qua sóng âm học bề mặt (SAWs - Surface Ascoustic Waves) Khi hạt polariton tương tác với phonon âm học, đường tán sắc lượng bị thay đổi [12], trình ngưng tụ BEC hạt polariton bị thay đổi từ làm tăng nhiệt độ chuyển pha cường độ polariton LASER Trong cơng trình [12], Ivanov cộng đưa phương trình đường tán sắc lượng hạt polariton có mặt sóng âm học (phương trình (4) [12]) Tuy nhiên, tác giả trình bày kết cuối mà thiếu quy trình tốn học chặt chẽ để đưa kết Do đó, việc tìm quy trình tốn học phù hợp, chi tiết để dẫn dắt đến kết Ivanov cộng [12] vô cần thiết cho việc thực nghiên cứu Với nhận xét nêu trên, thực đề tài “Đường tán sắc exciton-polariton hai chiều tương tác với phonon âm học” cho khóa luận tốt nghiệp nhằm đưa quy trình tốn học chặt chẽ để đưa lại phương trình đường tán sắc lượng nêu [12] Khoá luận tốt nghiệp trình bày thành ba chương, nội dung chương sau: • Chương 1: Những tìm hiểu hình thức luận lượng tử hố lần hai học lượng tử, trình phát xạ polariton LASER sóng âm học bề mặt trình bày chương • Chương 2: Chúng tơi trình bày phương pháp tính tốn sử dụng để chéo hố Hamiltonian mô tả tương tác polariton phonon âm học, cụ thể định lý Floquet • Chương 3: Các kết khoá luận tốt nghiệp trình bày chương Kết tính tốn cho thấy ta sử dụng phương pháp gần sóng quay để chéo hố Hamiltonian kết thu hoàn toàn khác với kết đưa Ivanov cộng [12] Do chúng tơi sử dụng hướng tiếp cận khác, sử dụng nh lý Floquet kt hp vi phng trỡnh Schrăodinger ph thuộc thời gian, để kiểm tra lại kết trước chúng tơi Chúng tơi lại thu kết hồn tốn khác hai kết trước Đồng thời, phát kết sau chéo hố Hamiltonian cơng trình Ivanov năm 2003 [12] hoàn toàn khác với kết tác giả cơng bố vào năm 2001 [13] Chương Cơ sở lý thuyết 1.1 Toán tử sinh huỷ học lượng tử Trong học lượng tử, cách tiếp cận theo hướng giải tích, tiếp cận theo hướng đại số, sử dụng toán tử sinh huỷ Hướng tiếp cận giúp ta tiết kiệm thời gian tính tốn, thuận tiện việc tính tốn hệ nhiều hạt thường sử dụng nhiều nhà vật lý Trong phần này, chúng tơi trình bày tóm tắt tính tốn với toán tử sinh huỷ học lượng tử Đặt a a† hai toán tử tác động lên trạng thái không gian Hilbert, thoả mãn giao hoán tử [a, a† ] = (1.1) “1” kí hiệu cho tốn tử đơn vị khơng gian Hilbert Tốn tử a a† tốn tử khơng tự liên hợp, hay nói cách khác tốn tử khơng có tính chất Hermitic Toán tử a† gọi toán tử sinh a gọi toán tử huỷ Ta gọi |α trạng thái chọn cho vector riêng tốn tử Hermitic, a† a, có trị riêng số thực α a† a|α = α|α (1.2) α = α|a† a|α = ||a|α ||2 ≥ 0, (1.3) Do chúng tơi sử dụng tiên đề học lượng tử, “norm” tất trạng thái không gian Hilbert dương Kết trị riêng α trạng thái riêng a† a số thực không âm Thêm vào đó, với tốn tử A, B, C , ta ln có [AB, C] = A[B, C] + [A, C]B, (1.4) từ suy giao hoán tử quan trọng toán tử sinh huỷ [a†i , aj ] = −aj δi,j , [a†i , a†j ] = a†j δi,j , (1.5) (1.6) δi,j Kronecker delta Một trạng thái |n biễu diễn thông qua trạng thái |0 , trạng thái bị huỷ toán tử huỷ qua biểu thức sau a|0 = 0, (1.7) |n = √ (a† )n |0 , n! (1.8) m|n = n!δm,n (1.9) nội tích thoả Tóm lại, toán tử sinh huỷ phải tuân theo phương trình sau a† |n = a|n = √ √ n + 1|n + (1.10) n|n − (1.11) a† a|n = n|n (1.12) đó, yếu tố ma trận √ m|a|n = nδm,n−1 √ m|a† |n = n + 1δm,n+1 (1.13) (1.14) Để minh hoạ việc vận dụng toán tử sinh huỷ vào toán vật lý lượng tử, chúng tơi trình bày lời giải tốn dao động tử điều hồ chiều cách sử dụng tốn tử sinh huỷ Tốn tử Hamilton mơ tả dao động tử điều hồ có dạng sau ˆ = pˆ + mω xˆ2 H 2m (1.15) pˆ = −i d tốn tử động lượng, xˆ toán tử toạ độ, m ω dx khối lượng tần số dao động tử điều hoà Ta định nghĩa toán tử sinh toán tử huỷ cho dao động tử điều hoà sau a† = √ a= √ 2mω 2mω mω (mωx − ip) = mω (mωx + ip) = x− x+ d mω dx d mω dx , (1.16) (1.17) Với định nghĩa toán tử sinh huỷ trên, toán tử toạ độ động lượng biểu diễn thông qua toán tử sinh huỷ sau xˆ = pˆ = 2mω mω a + a† , (1.18) a† − a i (1.19) Khi này, phương trình (1.15) viết lại thành ˆ = ω a† a + H (1.20) Với Hamiltonian biểu diễn theo toán tử sinh huỷ, trị riêng lượng dao động tử điều hồ tìm phương trỡnh Schrăodinger dng H|n = En |n ω a† a + |n = En |n |n = En |n ⇔ ω n+ (1.21) từ phương trình (1.21), ta suy trị riêng lượng dao động tử điều hoà En = ω n + , (1.22) kết tương tự kết thu tính theo phương pháp giải tích Để đưa hàm sóng dao động tử điều hoà, ta cần định nghĩa trạng thái chân không trước, trạng thái chân không dao động tử điều hoà định nghĩa a|0 = 0, (1.23) hay x+ d mω dx ψ0 (x) = (1.24) Phương trình (3.1) có nghiệm ψ0 (x) = A exp − mωx2 (1.25) , với A hệ số chuẩn hoá xác định từ điều kiện chuẩn hoá ∞ (1.26) |ψ0 (x)|2 dx = −∞ Hàm sóng chuẩn hố trạng thái chân khơng dao động tử điều hồ có dạng ψ0 (x) = mω mωx2 exp − π (1.27) Một trạng thái |n dao động tử điều hoà xây dựng cách tác động toán tử sinh lên hàm sóng trạng thái chân khơng 1.2 d x− mω dx mω ψn = √ n! n mωx2 mω exp − π (1.28) Giả hạt Polariton Polariton giả hạt chất rắn, tạo tương tác ánh sáng (photon) vật chất Hàm sóng polariton chồng chập lượng tử từ hàm sóng mơ tả photon exciton, kết cặp electron lỗ trống chất bán dẫn |ψ = X|ψx + C|ψc , (1.29) ψc kí hiệu cho photon ψx kí hiệu exciton Các hệ số X, C gọi hệ số Hopfield đặc trưng cho tính chất polariton Chúng tơi giải thích cặn kẽ hệ số Hopfield bên Tiếp theo, chúng tơi trình bày chi tiết cách xây dựng đường tán sắc lượng hạt polariton Hamiltonian đặc trưng cho tương tác photon exciton vi hốc quang học (optical microcavity) tổng Hamiltonian mô tả photon vi ˆ cav , Hamiltonian biểu diễn cho exciton H ˆ exc thành phần Hamilotonian thể hốc H ˆ coupling Theo hình thức luận kết cặp (coupling) photon exciton H lượng tử hoá lần hai, Hamiltonian có dạng sau ˆ pol = H ˆ cav + H ˆ exc + H ˆ coupling H ωpc a ˆ† a ˆ + ωpxˆb†ˆb + g0 (ˆ a†ˆb + a ˆˆb† ) = p (1.30) Hình 1.1: Hình vẽ thể phụ thuộc lượng LP UP theo độ lệch lượng exciton photon [14] (Lưu ý: kí hiệu Ω hình vẽ tương ứng tần số Rabi Ωc mà chúng tơi trình bày trên.) Hình 1.2: Hình vẽ thể đường tán sắc lượng LP UP phụ thuộc vào vector sóng song song hệ số Hopfield tương ứng với trường hợp a) ∆ = 2g0 , b) ∆ = 0, c) ∆ = −2g0 [14].(Lưu ý: kí hiệu k hình vẽ tương ứng vector sóng song song p mà chúng tơi trình bày trên.) 11 Chương Định lý Floquet Năm 1883, nhà toán học Floquet đề xuất cách giải phương trình vi phân có dạng dx = A(t)x, dt với A(t) hàm số liên tục theo biến số t tuần hoàn với chu kì T , A(t) = A(t + T ) (2.1) (2.2) Ngày nay, phương pháp gọi định lý Floquet Từ phương trình (2.1), ta thấy tương đương mặt tốn học vi phng trỡnh Schrăodinger ph thuc thi gian (TDSE) cú Hamiltonian tuần hồn theo thời gian với chu kì T H(t) = H(t + T ) (2.3) Do đó, sử dụng định lý Floquet để giải toán đặt khoá luận tốt nghiệp theo đề xuất TS Tomotake Yamokoshi Ngoài ra, định lý Floquet cơng cụ tốn học mạnh để giải toán nghiên cứu hệ lượng tử tuần hồn đảm bảo tính tuần hồn nhiễu loạn tất mức gần tránh biểu thức phụ thuộc tuyến tính khơng tuần hồn theo thời gian Ở đây, chúng tơi khơng trình bày chi tiết định lý Floquet mà đưa cách áp dụng vào việc giải TDSE có Hamiltonian tuần hồn theo thời gian, tìm hiểu sâu định lý Floquet tham khảo tài liệu [15, 16] Xét phương trình Schrăodinger ph thuc thi gian ( n gin chỳng tụi xét hệ chiều không gian) H(x, t) − i ∂ Ψ(x, t) = 0, ∂t 12 (2.4) (2.5) H(x, t) = H0 (x) + V (x, t) Thành phần Hamiltonian không phụ thuộc thời gian H0 (x) tương ứng với hàm riêng ψn (x) trị riêng En V (x, t) tuần hồn theo thời gian với chu kì T (2.6) V (x, t) = V (x, t + T ) Theo định lý Floquet, nghiệm phương trình (2.4) có dạng sau (2.7) Ψ(x, t) = exp(−iεα t/ )Φα (x, t), Φα (x, t), Floquet mode, tuần hồn theo thời gian chu kỳ với V (x, t) (2.8) Φα (x, t) = Φα (x, t + T ) Ở đây, εα thông số thực đặc trưng cho thành phần mũ Do εα bội số ω với ω = 2π/T nên gọi giả lượng (quasienergy) tương tự giả động lượng (quasimomentum) k , đặc trưng cho hàm sóng Bloch chất rắn Thay phương trình (2.7), vào phương trình (2.4), ta suy phương trình để tìm trị riêng εα (2.9) HF (x, t)Φα (x, t) = εα Φα (x, t) với HF (x, t) = H(x, t) − i ∂ ∂t có tính chất Hermitic gọi Hamiltonian Floquet Từ phương trình (2.9), ta thấy Floquet mode |Φα′ (x, t) = exp(inωt)|Φα (x, t) ≡ Φαn (x, t), (2.10) có nghiệm tương tự nghiệm phương trình (2.4) với dịch chuyển giả lượng phương trình εα = εα′ + n ω = εαn , (2.11) với n ∈ Z Điều cho ta thấy kí hiệu α sử dụng liên quan đến lớp nghiệm tương ứng với α′ = (α, n) với n ∈ Z Do nên ta rút gọn giả lượng vùng Brillouin thứ nhất, − 13 ω ω