Bài giảng Toán ứng dụng - P
GV: Cao Hào Thi 17 Chương 2 HÀM CHI PHÍ VÀ ĐƯỜNG GIỚI HẠN SẢN XUẤT (Cost Function and Production Frontier) 1. PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2 VÀ HÀM BẬC 2: 1.1 Phương trình bậc 2: Dạng tổng quát: ax2 + bx + c = 0 Cách giải: Tính ∆ = b2 - 4ac + ∆ > 0 (2 nghiệm) + ∆ = 0 (nghiệm kép) + ∆ < 0 (vô nghiệm) xba12=−+ ∆ xxba122==− xba22=−− ∆ Ví dụ: a. Giải phương trình x2 -2x -8 = 0. Ta có: a = 1, b = -2, c = -8 ∆ = (-2)2 - 4*1*(-8) = 36 > 0 → ∆= 6 x12624=+= x12622=−=− b. Giải phương trình x2 - 4x + 4 = 0 ∆ = (-4)2 - 4*1 * 4 = 0 x1 = x2 =422= c. Giải phương trình x2 + x + 1= 0 ∆ = 12 -4 *1 * 1 < 0 → Phương trình vô nghiệm. 1.2 Xét dấu tam thức bậc 2: Cho tam thức bậc 2 P(x) = ax2 + bx + c: ∆ > 0∆= 0∆ < 0x−∞x1x2+∞x−∞x1 = x2+∞x−∞ +∞f(x) 0Trái dấu a0f(x)0f(x)Cùng dấu aCùng dấu aCùng dấu aCùng dấu aCùng dấu a Trong trái ngoài cùng GV: Cao Hào Thi 18 Ví dụ: Tìm miền xác định của hàm số. yx x=−−228 y được xác định khi x2 - 2x -8 ≥ 0 x−∞24+∞f(x) = x2 - 2x - 80-0++ Vậy D = ( -∞ , 2}∪ [ 4, +∞) Nhắc lại: Dấu của nhị thức bậc 1: P(x) = ax + b ax + b = 0 ⇒ x0 =−ba (Điều kiện a ≠ 0) x−∞xo+∞f(x) = ax + b 0Trái dấu a Cùng dấu a 1.3 Hàm bậc 2 a. Định nghĩa: y = f(x) = ax2 + bx + c với D = R b. Đồ thị của hàm bậc 2 Vẽ đồ thị của hàm y = f(x) = x2 - 2x-8 -4-3-2-1 123456-9-8-7-6-5-4-3-2-112345678xy Đồ thị của hàm bậc hai gọi là Parabol: - Có trục đối xứng // trục tung - Có đỉnh là giao điểm của Parabol và trục đối xứng. - Bề lõm của Parabol hướng trên nếu a > 0 và hướng xuống dưới nếu a < 0. GV: Cao Hào Thi 19 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6-8-6-4-22468xy -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7-8-6-4-2246810xy - Phương trình trục đối xứng x = a2b− - Toạ độ đỉnh: ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−a2bf;a2b - Miền xác định: D =R - Miền giá trị V được xác định từ đồ thị - Giao điểm với trục tung: x = 0 ⇒ y = C - Giao điểm với trục hoành: y = 0 ⇒ x = x1 hay x = x2 (nếu phương trình có 2 nghiệm) 2. PHƯƠNG TRÌNH CỦA CÁC ĐƯỜNG BÂC 2 THÔNG DỤNG: 2.1 Phương trình đường tròn: - Phương trình của đường tròn tâm I(a,b) bán kính R: (x - a)2 + (y-b)2 = R2 - Phương trình đường tròn tâm O bán kính R: x2 + y2 = R2 GV: Cao Hào Thi 20 xyM(x1, y1)y1x1x0y0I 2.2 Phương trình của Ellip. pxy-aab-b0A1A2B1B2F1F2M Trục lớn: A1A2= 2a Tiêu điểm: F1F2 Trục nhỏ: B1B2 = 2b Tiêu cự : F1F2 = 2c Với 2 tiêu điểm F1, F2 phân biệt cho trước, F1F2 = 2c (c2 = a2 – b2) Đường ellip là tập hợp các điểm M sao cho MF1 + MF2 = 2a (a>c) Phương trình chính tắc của ellip: xayb22221+= Lưu ý: Khi a = b thì ellip sẽ trở thành vòng tròn. Tính y theo x (để ứng dụng vào đường giới hạn sản xuất) ybaax=± −22 với 0 ≤ x ≤ a ybaax=± −22 GV: Cao Hào Thi 21 Vấn đề: Đường Giới Hạn Sản Xuất (Production Frontier) Đường giới hạn sản xuất cho thấy các phương án kết hợp để công ty có thể sản xuất có hiệu quả trong điều kiện giới hạn về nguồn lực. Vấn đề: Bài Toán Nghiên Cứu Thị Trường. Sau khi thăm dò và phân tích thị trường, một Công ty nhậb thấy rằng: - Phương trình đường cầu (Demand Equation): x = f(p) = 6000 - 30p x: Số đơn vị sản phẩm tiêu thụ ở mức giá p - Phương trình chi phí (Cost Equation): C = g(x) = 72000+60x - Phương trình doanh thu (Revenue Equation): R = xp - Phương trình lợi nhuận (Profit Equation): P = R – C Yêu cầu: a. Trình bày C = f(p) b. Trình bày R = f(p) c. Xác định giá bán hòa vốn. d. Xác định sản lượng hòa vốn. e. Xác định giá bán để có lợi nhuận lớn nhất. Giải: a. C = 72000+60(6000-30p) = 432000-1800p b. R= (6000-30p)p = 6000p -30p2 c. Tại điểm hòa vốn R = C 432000-1800p = 6000p-30p2 p2-260p+14400 = 0 Số lượng sản phẩm x P2 P1 Y2 Y1 x2 x1 P U Số lượng Sản phẩm y GV: Cao Hào Thi 22 ⇒ p =±260 1002 p1 = 80 p2 = 180 40 80 120 160 200-100000100000200000300000400000xyMiền lãiMiền lỗMiền lỗ d. Cách 1: p1 = 80 ⇒ x1 = 6000-30*80 = 3600 p2 = 180 ⇒ x2 = 6000-30*180 = 600 Cách 2: C = 72000+60x R = xp = x600030−⎛⎝⎜⎞⎠⎟x R = C ⇒ 720009 + 60x = ()13060002xx− Giải phương trình ta có x1 = 3600 x2 = 600 e. P = R -C = (6000p - 30p2) - (432000 - 1800p) P = -30p2 + 7800p - 43200 Đây là hàm bậc 2, lợi nhuận cao nhất xảy ra ở đỉnh pba=− =2$130 . y = f(x) = x2 - 2x-8 -4 - 3-2 -1 12345 6-9 - 8-7 - 6-5 - 4-3 - 2-1 12345678xy Đồ thị của hàm bậc hai gọi là Parabol: - Có trục đối xứng // trục tung - Có đỉnh là. -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7-8 - 6-4 -2 246810xy - Phương trình trục đối xứng x = a2b− - Toạ độ đỉnh: ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−a2bf;a2b - Miền xác định: D =R - Miền