Bài giảng Toán ứng dụng
Cao Hào Thi 1 Chương I ÑOÀ THÒ 1. HỆ TỌA ĐỘ: (Coordinates System) 1.1 Hệ toạ độ vuông góc: (Cartersian Coordinates System) Hệ toạ độ vuông góc trong một mặt phẳng được cấu tạo bởi hai trục số thực vuông góc với nhau. Trục nằm ngang (Horizontal axes) gọi là trục hoành x’ox, trục thẳng đứng (Vertical axes) gọi là trục tung y’oy. Giao điểm của hai trục gọi là gốc tọa độ (Origin) O. Hệ tọa độ vuông góc chia mặt phẳng làm 4 vùng I, II, III và IV. xyM(x,y)xyx'y' 1.2 Tọa độ của một điểm trong mặt phẳng: Vị trí của một M trong mặt phẳng được xác định bằng hoành độ x (Abscisga) và tung độ (Ordinade) y. (x,y) được gọi là tọa độ của điểm M và được ký hiệu M(x,y). 1.3 Khoảng cách giữa hai điểm: Cho hai điểm M1(x1,y1) và M2(x2,y2) trong mặt phẳng khoảng cách giữa hai điểm M1,M2 được tính theo công thức sau: Cao Hào Thi 2 xyM2(x2,y2)x2y2x'y'0M1(x1,y1)x1y1∆x = x2-x1∆y = y2-y1 ()()dMM x x y y==−+−12 2 12212 ()()()()dxx yy=−+−=−+−2122122262 41 d = 5 1.4 Gia số: Gia số của x là ∆x = x2 -x1 y là ∆y = y2 -y1 2. ĐƯỜNG THẲNG 2.1 Phương trình của đường thẳng - Dạng tổng quát (Dạng chuẩn): CByAx =+ Là phương trình bậc nhất theo x và y. A, B, C là các hằng số - Dạng thông dụng: bmxy += m: độ dốc (slope) b: tung độ gốc (intercept): x = 0 ⇒ y = b Cao Hào Thi 3 2.2 Độ dốc: Gọi m là độ dốc của đường thẳng (D) myxyyxxtg==−−=∆∆2121α Ý nghĩa của độc dốc: Khi thay đổi 1 đơn vị thì y thay đổi m đơn vị. x y M2(x2, y2)M1(x1, y1)∆y = y2 - y1 ∆x = x2 - x1 (D) y2 αy1 b 0 x1 x2 Cao Hào Thi 4 Nhận xét: Đường thẳng (D) Dạng đồ thị Độ dốc m + Đi lên (Đồng biến) m>0 + Đi xuống (Nghịch biến) m<0 + Nằm ngang (∆y = 0) m = 0 + Thẳng đứng (∆x = 0) M = ∞ 2.3 Xác định phương trình đường thẳng: Xác định phương trình đường thẳng khi biết độ dốc m và tung độ gốc b (Slope -Intercept form). bmxy+= Ví dụ: a) Xác định độ dốc, tung độ gốc và vẽ đồ thị của đường thẳng có phương trình : y = -2/3x - 3. b) Viết phương trình của đường thẳng có độ dốc là 2/3 và tung độ gốc là -2. Giải. a). m = -2/3, b = -3. yy0x (D) y(D) yx 0 0 x (D) 0x (D) x -4-50-3(D) Cao Hào Thi 5 b. y = 2/3 x - 2 Xác định phương trình đường thẳng đi qua một điểm M(x1, y1) và biết trước độ dốc m (Point-Slope Form). Ta có: myyxx=−−11 Phương trình đường thẳng có dạng: y - y1 = m(x - x1) Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng có độ dốc là 1/2 và đi qua điểm (-4,3). Giải: Phương trình đường thẳng có dạng: y -y1 = m(x - x1) m=12, x1 = -4, y1 = 3 y -3 =12(x + 4) = 12x +2 Vậy: y = 12x + 5 Xác định phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm M1(x1,y1) và M2 (x2,y2). Độ dốc của đường thẳng là: myyxx=−−2121 Phương trình đường thẳng có dạng: y - y1 = ()yyxxxx21211−−− hay yyyyxxxx−−=−−121121 (D) M(x,y) M1(x1,y1) y y1 0 xx1x ∆y = y2 - y1 M2 (x2,y2) M1(x1,y1) yy2y1x2 x10 x ∆x = x2 - x1 Cao Hào Thi 6 Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm có tọa độ (-3,2) và (-4,5). Giải: Phương trình đường thẳng có dạng: yyyyxxxx−−=−−121121 ⇔ yx x−−=− −−−−=+−25234331()() ⇔ -y + 2 = 3x + 9 ⇔ y = -3x - 7 Đường thẳng nằm ngang và đường thẳng thẳng đứng. + Phương trình đường thẳng nằm ngang: y = b + Phương trình đường thẳng thẳng đứng: x = b Ví dụ: Phương trình đường thẳng đứng và đường nằm ngang đi qua điểm có tọa độ (-2,3). Giải: + Phương trình đường thẳng nằm ngang y=3 + Phương trình đường thẳng thẳng đứng x= -2 Đường thẳng song song và thẳng góc Cho 2 đường thẳng (D1) và (D2) có độ dốc tương ứng là m1 và m2 + Nếu (D1) // (D2) thì m1 = m2 + Nếu (D1) ⊥ (D2) thì m1*m2 = -1 Ví dụ: Cho đường thẳng (D) có phương trình y =12x - 2 và điểm A(2,-3). Viết phương trình của đường thẳng a. (D1) đi qua diểm A và song song với đường thẳng (D) b. (D2) đi qua điểm A và thẳng góc với đường thẳng (D) Giải: a. Gọi m1 là độ dốc của đường thẳng (D1) yx=-2 3y=3 x -2 0 Cao Hào Thi 7 (D1) // (D) ⇒ m1 = m =12 (D1): y - y1 = m1 (x-xA) y-(-3) = 12(x-2) y + 3 = 12x – 1 ⇔ y =12x - 4 b. Gọi m2 là độ dốc của đường thẳng (D2) (D2) ⊥ (D) ⇒ m2* m = -1 → m2 = −=−=−11122m (D2): y - yA = m2 (x - xA) y + 3 = -2(x - 2) y = -2x +1 3. HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ 3.1 Hàm số; a. Định nghĩa hàm số: Một hàm số f từ tập hợp X đến tập hợp Y là một qui tắc sao cho với mỗi phần tử x∈X có tương ứng với nhiều nhất một phần tử y∈Y. X: tập hợp nguồn f: X Y Y: tập hợp đích x y = f(x) x: biến số (tạo ảnh) y: hàm số (ảnh) b. Miền xác định và miền gía trị của hàm số: Miền xác định D (Domain) D = {}xXy fx∈ =/() f YX = f(x) yDV Cao Hào Thi 8 D là tập hợp gồm những phần tử x có tương ứng với phần tử y. Miền giá trị V V={}yYy fx∈ =/() V là tập hợp gồm những phần tử y có tương ứng với phần tử x. Ghi chú: Hàm số f từ tập hợp X đến tập hợp Y chính là một ánh xạ từ D đến Y, có ý nghĩa f là một qui tắc sao cho mỗi phần tử x∈ D đều tương ứng với một và chỉ một phần tử y∈Y. c. Miền xác định của một số hàm số cơ bản Hàm đa thức: y = Pn(x) = anxn + an-1xn-1 + . + a2x2 + a1x1 + a0 Miền xác định D = R có nghĩa là y = f(x) được xác định với mọi x∈R Ví dụ: Hàm số y = f(x) = 3x2 - 2x + 1 D = R = (-∞,∞) Hàm hữu tỉ: yPxQxnm=()() y = được xác định khi Qm(x) ≠ 0 Hàm vô tỉ yPxn= () y = f(x) được xác định khi Pn(x) ≥ 0 Ví dụ: Tìm miền xác định của các hàm số sau: yxx=+−211 yx=−3 Giải a. y được xác định khi x-1 ≠ 0 hay x ≠ 1: D = R\ { }1 b. y được xác định khi x-3 ≥ 0 hay x ≥ 3: D = [)3, ∞ 3.2 Đồ thị a. Định nghĩa: Để nghiên cứu hàm số f(x) ta thường biểu diễn cặp số (x, f(x)) lên mặt phẳng tọa độ. Tập họp các điểm biểu diễn các cặp số này gọi là đồ thị hàm số f. b. Sự biến thiên của hàm số f. Hàm số đồng biến. Hàm f đồng biến trên khoảng (a,b) Cao Hào Thi 9 ⇔ [∀ x1, x2 ∈ (a,b), x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2)] ⇔ ∀∈−−>⎡⎣⎢⎤⎦⎥xx abfx fxxx1221210,(,),() () xyyy = f(x)f(x2)x2f(x1)x10b Hàm số nghịch biến: Hàm số f nghịch biến trên (a,b) ⇔ []∀∈ ⇒xx abx x fx fx12 1 2 1 2,(,), ()()pf ⇔ ∀∈−−⎡⎣⎢⎤⎦⎥xx abfx fxxx1221210,(,),() ()p xy∆yy = f(x)f(x2)x2f(x1)x10ba c. Sự dịch chuyển đồ thị của hàm số: Dịch chuyển theo phươngđứng Gọi (C) là đồ thị của hàm số y = f(x) (C) dịch lên trên: y = f(x) + k, k > 0 (C) dịch xuống dưới: y = f(x) - k, k > 0 Cao Hào Thi 10 Dịch chuyển theo phương ngang Dịch qua phải: y = f(x - h), h > 0 Dịch qua trái: y = f(x + h), h>0 xyy = f(x)y = f(x+k)y = f(x)+h Đối xứng qua trục X: y = -f(x) xyy = f(x)y = -f(x) Giãn và co đồ thị: Giãn đồ thị: y = C f(x), C > 1 Co đồ thị: y = C f(x), 0 < C < 1 [...]... f(x) 10 y = f(x)/k 0 1 3 4 y Vấn đề: Chuyển Hệ Trục Tọa Độ y Đối xứng oxy: M(x,y), O’(a,b) Đối xứng O’XY: M(X,Y) ⎧x = a + X ⎨ ⎩ y = b+Y x 2 b ⎧X = x − a hay ⎨ ⎩Y = y − b Y Y M X 0’ x 0 a x x Ưng dụng: Vẽ đô thị + Cho đồ thị y = f(x) + Vẽ đồ thị y = f(x-K) và y = f(x+K) ⎧X = x − k ⎧x = X + K ⇒⎨ ⎨ ⎩ Y=y ⎩ y=K Kết Luận: + Đồ thị y = f(x-K) là đồ thị y = f(x) dịch qua phải K đơn vị + Đồ thị y = f(x+K)... Cost - TC): Chi phí cố định (Fixed Cost - FC) Chi phí biến đổi (Variable Cost - VC) • TC = f(Q), Q: Sản lượng • FC là chi phí mà một xí nghiệp nhất thiết phải chi trả dù không sản xuất gì cả • VC là chi phí tăng lên cùng với mức tăng của sản lượng Cao Hào Thi 11 • Chi phí cận biên (Marginal Cost - MC): là chi phí gia tăng để sản xuất thêm một đơn vị sản phẩm • Chi phí Bình Quân (Average Cost - AC)... từ lượng cầu chỉ một điểm cụ thể nào đó trên đường cầu - Điều kiện một đường cầu: tương quan giữa giá và lượng cầu là nghịch biến nghĩa là giá tăng ⇒ lượng cầu giảm - Độ dốc của đường cầu phản ánh mức đáp ứng của lượng cầu đối với các thay đổi về giá Giá (P) Giá (P) Đơn giản Po P1 Lượng cầu (Q) Q0D Q1D Lượng cầu (Q) 2 Đường Cung: (Supply Curve) - Đường cung là sự tương quan giữa giá và lượng cầu của... lại sau 5 năm là 10 triệu đồng Tính chi phí khấu hao hằng năm và chi phí bút toán vào cuối năm thứ hai Giải: 50 − 10 = 8 trĐ/năm 5 BV2 = 5 0-8 *2 = 34 trĐ/năm D= Vấn đề: Đường Cung và Cầu 1 Đường Cầu: (Demand Curve) - Đường cầu là sự tương quan giữa giá và lượng cầu của một mặt hàng (khi các giá trị khác được giữ không đổi) - Phân biệt giữa Cầu và lượng cầu: (Demand and Quantity Demanded) + Cầu mô tả... a Trình bày thu nhập R dưới dạng hàm của x b Tìm miền xác định của hàm R Giải: 1 x 50 1 1 2 R = px = (200 - x) = 200x x 50 50 b Tìm miền xác định của R Điều kiện x ≥ 0 1 x ≥0 → p ≥ 0 ⇒ 200 50 ⇒ 0 ≤ x ≤ 10000 hay D = [0, 10000] a x = 10000 - 50p ⇔ p = 200 - x ≤ 10000 Vấn đề: Điểm Hòa Vốn (Break - Even point Analysis) Cao Hào Thi 13 $ TR TC TR=TC FC 300 x QBE TC = FC + VC = FC + v*x TR = p*x Ở điểm hòa... nghĩa là giá tăng ⇒ lượng cung giảm - Độ dốc đường cung phản ánh mức đáp ứng của lượng cung đối với các thay đổi về giá P P P1 P0 Q Q0S Q1S Q Ví dụ: Cung và cầu về gạo Lượng Cầu QD (triệu kg/tháng) 9 10 12 15 20 Giá P (1000đ/kg) 2,5 2,4 2,3 2,2 2,1 P Lượng Cung QS (triệu kg/tháng) 18 16 12 7 2 D S 2.5 2.4 P0 2.3 2.2 2.1 0 Q 10 Q =12 0 20 3 Sự cân bằng giữa Cung và Cầu: - Một thị trường tồn tại khi có sự... Khấu Hao Tuyến Tính (Deppreciation) (Mô Hình Khấu Hao Đều) (Mô Hình Sản Lượng - Straight Line) Giá trị tài sản P BVt SV 1 2 t n t năm Theo mô hình hấu hao đều Chi phí khấu hao D cho mỗi năm sẽ là: P − SV D= n Trong đó: P: giá trị của tài sản SV: giá trị còn lại n: thời kỳ hấu hao P-SV: Giá trị tài sản đầu tư bị giảm Giá trị bút toán của tài sản ở cuối năm t là Bvt Cao Hào Thi 15 BVt = P − D × t = P − P... = 0 x = 100 ⇒ VC = TC - FC = 4300 - 300 = 4000 m= 4000 − 0 = 40 100 − 0 Vậy: VC = 40x c Xác định phương trình của tổng chi phí TC theo sản lượng x: TC = FC + VC = 300 + 40x Cao Hào Thi 12 C TC VC FC 300 x Vấn đề: Thu Nhập Bộ phận nghiên cứu thị trường của công ty sản xuất linh kiện điện tử cho máy vi tính đã xác định phương trình đường cầu của linh kiện điện tử là: x = 10000 - 50p Trong đó x là só... hay dịch vụ Cao Hào Thi 17 - Thị trường cân bằng khi đường cung gặp đường cầu Giao điểm của đường cung và đường cầu là điểm cân bằng Ở điểm cân bằng ta có giá cân bằng và lượng cân bằng Trên thực tế, Cung và Cầu không phải lúc nào cũng trong trạng thái cân bằng, nhưng xu hướng các thị trường đều tiến tới cân bằng 4 Sự dịch chuyển của đường Cung và Cầu: P P S D S D S D P0 P1 P1 P0 D 1 Q S 1 Q0 Q Q1S Q0... các giá trị khác được giữa nguyên) - Phân biệt giữa Cung và lượng cầu (Supply and Quantity Supplied) + Cung mô tả toàn diện về số lượng mà người bán muốn bán ở mọi mức giá + Lượng cung có ý nghĩa trong mối quan hệ với mức giá cụ thể Cao Hào Thi 16 Nói cách khác, danh từ Cung chỉ toàn bộ đường cung trong khi danh từ lượng cung chỉ một điểm cụ thể nào đó trên đường cung - Điều kiện một đường cung, tương . (D1) yx =-2 3y=3 x -2 0 Cao Hào Thi 7 (D1) // (D) ⇒ m1 = m =12 (D1): y - y1 = m1 (x-xA) y- (-3 ) = 12(x-2) y + 3 = 12x – 1 ⇔ y =12x - 4 b.. (D2) (D2) ⊥ (D) ⇒ m2* m = -1 → m2 = −=−=−11122m (D2): y - yA = m2 (x - xA) y + 3 = -2 (x - 2) y = -2 x +1 3. HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ