Bao hàm thức vi phân với bài toán tử đơn điệu cực đại phụ thuộc thời gian

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN HUỲNH THỊ TUYET TRÂM BAO HÀM THỨC VI PHÂN VỚI TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU CựC ĐẠI PHỤ THUỘC THỜI GIAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN BÌNH ĐỊNH - NĂM 2020 HUỲNH THỊ TUYẾT TRÂM BAO HÀM THỨC VI PHÂN VỚI TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU CựC ĐẠI PHỤ THUỘC THỜI GIAN Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 46 01 02 Người hướng dẫn: TS LÊ QUANG THUẬN Muc luc 1.1 Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN Bao hàm thức vi phân với ánh xạ đơn điệu cực đại biến ii LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn thạc sĩ đề tài " Bao hàm thức vi phân với toán tử đơn điệu cực đại phụ thuộc thời gian " kết trình đọc tài liệu, nghiên cứu làm rõ hướng dẫn TS Lê Quang Thuận Trường Đại học Quy Nhơn Luận văn không trùng lặp với luận văn thạc sĩ khác chuyên ngành Bình Định, ngày tháng năm 2020 Học viên Huỳnh Thị Tuyết Trâm LỜI NÓI ĐẦU Các bao hàm thức vi phân đối tượng toán học tập trung nghiên cứu nhiều từ năm 60 kỉ XX khả ứng dụng lớn khía cạnh lý thuyết ứng dụng thực tế lý thuyết Việc nghiên cứu tính chất nghiệm bao hàm thức vi phân cần thiết quan trọng Tương tự phương trình vi phân thường, tốn cho bao hàm thức vi phân tồn nghiệm cho điều kiện ban đầu Bài toán tập trung nghiên cứu vào năm 1970 thu nhiều kết rực rỡ Với mong muốn tìm hiểu điều kiện cho tồn nghiệm nghiệm bao hàm thức vi phân kết hợp với ánh xạ đa trị đơn điệu cực đại biến thiên thời gian, học viên chọn đề tài "Bao hàm thức vi phân với toán tử đơn điệu cực đại phụ thuộc thời gian" để nghiên cứu cho luận văn thạc sĩ Trong luận văn này, ngồi mục lục, mở đầu kết luận, nội dung luận văn trình bày hai chương: Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức chuẩn bị để làm sở cho lập luận chứng minh chương sau Chương Bao hàm thức vi phân với ánh xạ đơn điệu cực đại biến thiên thời gian Trong chương này, chúng tơi trình bày tồn nghiệm bao hàm thức vi phân với ánh xạ đơn điệu cực đại biến thiên thời gian Luận văn hoàn thành Trường Đại học Quy Nhơn hướng dẫn thầy TS Lê Quang Thuận Nhân đây, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy hướng dẫn Thầy không hướng dẫn nghiên cứu khoa học mà cịn thơng cảm tạo điều kiện, động viên tơi suốt q trình làm đề tài Tơi xin chân thành cảm ơn khoa Tốn, phịng Đào tạo sau đại học, Trường Đại học Quy Nhơn giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành khóa học với luận văn Cuối cùng, xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè, người thân quan tâm, giúp đỡ ln sát cánh bên tơi Trong q trình viết luận văn chắn không tránh khỏi hạn chế thiếu sót Rất mong nhận góp ý quý thầy cô, quý bạn đồng nghiệp để luận văn hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn Bình Định, ngày tháng năm 2020 Học viên Huỳnh Thị Tuyết Trâm Chương Một số kiến thức chuẩn bị •• Trong phần này, giới thiệu số kiến thức chuẩn bị cần thiết cho lập luận chương sau 1.1Không gian vectơ Euclide n-chiều Định nghĩa 1.1 Xét không gian véc tơ Euclide n-chiều R Với n x x= x G R, y = n x n y y y n tích vơ hướng hai vectơ x y R xác định n E R, (x, y) := Xiyi + X2y2 + + x y n n n Chuẩn vectơ x G R định nghĩa ||x|| = ỵ/(x, xỴ Hình cầu đơn vị n R định nghĩa B := {x G R : ||x|| c 1} n n n Cho A G R Khi AA := {Aa : a G A} Cho A, B c R Khi n A + B := {a + b : a e A, b e B} Bao đóng cl(A) phần int(A) định nghĩa sau: cl(A) = (A + cB ), int(A) :— {a e A : > 0, a + cli-n c A} n è>0 Biên tập A định nghĩa bd(A) — cl(A) \ int(A) 1.2Khoảng cách hai tập hợp Định nghĩa 1.2 Cho S C R Hàm khoảng cách dist(-,S) : R n R n định nghĩa dist (x, S) — inf {||x — a|| : a e S} , x e R n Nếu tập S đóng lồi với x e R tồn điểm y e S n cho ||x — y|| — dist(x, S) Một điểm y gọi hình chiếu x lên tập S ký hiệu proj(x, S) Định nghĩa 1.3 Khoảng cách Hausdorff hai tập khác rỗng S S R định nghĩa bởi: n dH(S1,S2) :—max inf dist(z1,S2), inf dist(z2,S1) ^zieSi Z2&S2 Vì dist(x, S) — dist(x, cl(S)) với điểm x tập S khác rỗng nên khoảng cách Hausdorff bất biến, tức dH(S1,S2)—dH(cl(S1),cl(S2)) Ngoài ra, y — proj(x, cl(S )) với x e cl(Si) ta có ||x — y|| < sup dist(z, S ) < d (S , S ) zeSi H (1.1) 1.3Ánh xạ đa trị Định nghĩa 1.4 Một ánh xạ đa trị F từ R vào R ánh xạ biến phần tử n m x E R thành tập hợp F(x) c R Ta kí hiệu ánh xạ đa trị F : R R n m n m Chú ý định nghĩa ta khơng loại trừ khả có phần tử x E R cho F(x) tập hợp rỗng Nếu với x E R mà F(x) tập hợp có n n phần tử R F trở thành ánh xạ đơn trị kí hiệu thơng thường F : m RR n m Định nghĩa 1.5 Đồ thị ánh xạ đa trị F : R R kí hiệu n m graphF xác định graphF = {(x,y) E R X R | y E F(x)} n m Miền F kí hiệu domF xác định domF = {x E R | F(x) = 0} n Ảnh F kí hiệu imF xác định imF = {y E R | 3x E R , y E F(x)} m Ánh xạ ngược F : R -1 n R ánh xạ đa trị F : R m n R xác n m định công thức F (y) = {x E R |y E F(x)} -1 Định nghĩa 1.6 Cho F : R n n R ánh xạ đa trị m (a) Nếu graphF tập đóng khơng gian R X R F gọi ánh n m xạ đa trị đóng (b) Nếu graphF tập lồi khơng gian R X R F gọi ánh xạ n đa trị lồi m 10 (c) Nếu với x E R , F(x) tập đóng khơng gian R F n m gọi ánh xạ đa trị có giá trị đóng (d) Nếu với x E R , F(x) tập lồi khơng gian R F n m gọi ánh xạ đa trị có giá trị lồi Định nghĩa 1.7 Ánh xạ đa trị F : R R gọi nửa liên tục x E R n m n với tập mở G chứa F(xo), tồn lân cận U x cho F(U) c G Ta nói F nửa liên tục trên miền D C R F nửa liên tục n điểm x E D Trong trường hợp D = R , ta nói F nửa liên tục n Trong phần tiếp theo, giới thiệu khái niệm tính liên tục cho ánh xạ đa trị theo biến thực Ta ký hiệu N# tập tất dãy N Định nghĩa 1.8 ([3]) Cho dãy tập (Sl)lGN R , giới hạn n dãy định nghĩa tập limsup S := i E R | 3N E N# 0 cho trước, ta định nghĩa limsup G(t) := II limsup G (ti) tXt* Mệnh đề 1.10 ([8]) Ta có lim sup G(t) = (ti, yi) c [0, T] X R thỏa mãn yi E G (ti) iEN liim- (ti,yi) = (t*,y) x q ta có điều kiện sau đúng: i D ma trận nứa xác định dương ii (KB - CT) ker (D + D ) = {0} T Định lý sau nêu điều kiện đảm bảo giả thiết Định lý 2.7 cho ánh xạ phụ thuộc thời gian H định nghĩa (2.49) Định lý 2.10 ([5]) Cho T > Giả sứ i S(A, B,C, D) thụ động với hàm Lyapunov x x x, T ii M đơn điệu cực đại, iii Với t £ [0, T], ta có im Cn ri (im(M + D) — v(t)) = 0, iv v bị chặn [0,T], v Tồn hàm không giảm liên tục tuyệt đối ỡ : [0,T] sup R cho dist(w, im C n (im(M + D) — v(t))) < ỡ(t) — ỡ(s) wém C n(im(M+D)—v(s) với s, t với < s < t < T vi Với số dương p cho B (p) n dom(M + D) = 0, tồn số dương a m —1 p cho B ((M + D) ) (n) —1 < a?(1 + llnll) với n £ B (p) n dom(M + D) Khi đó, H thỏa giả thiết (A1) — (A4) Chứng m minh Ta định nghĩa W(t) := im(M + D) — v(t) với t E [0,T] Lưu ý dom H(t, •) = C W(t) với t E [0,T] —1 (A1): Theo [2] điều kiện (i.)-(iii.) thỏa, biết H(t, •) ánh xạ đơn điệu tối đa với t E [0,T] Như vậy, H thỏa mãn giả thiết (A1) (A2): Đặt t s cho < s < t < T Ngoài ra, cho x E C W(s) y = proj —1 (x, C W(t) Hơn nữa, cho z = proj(Cx, im C n W(t)) Do đó, tồn Ệ cho —1 z = CỆ Khơng tính tổng qt, ta giả sử x — Ệ E im C R = T n im C ® ker C Bây giờ, ta thấy Cx E im C n W(s) z = CỆ E cl(im C n T W(t)) Từ (v.), ta ||Cx — C (2.64) Từ (2.63) (2.64), ta thấy không gian siêu phẳng span ({Z }) tách x tập imC im(M+ D) — v(t) Theo quan điểm imC = ri( im C) (iii.) từ [10] im C im(M + D) — v(t) khơng thể tách rời Vì thế, hai im C im(M + D) — v(t) phải chứa không gian siêu phẳng span ({Z }) Do x đó, ta thấy im (M+D) chứa v(t)+span ({z }) Vì W khơng gian x affine im(M+D), ta W c span ({Z }) ngụ ý Z E W' Cùng với (2.61), x x ta Zx E ker B n W' Theo quan điểm (2.57) (2.60) suy Zx = Tuy nhiên mâu thuẫn với (2.60) Do đó, ||z H phải bị chặn □ Tiếp theo, tập trung vào kết Định lý 2.10 để nguyên cứu hệ bù tuyến tính sau 2.5Hệ bù tuyến tính Các hệ bù tuyến tính trường hợp quan trọng bao hàm thức vi phân (2.48) với M mô tả gọi mở rộng Trong phần này, hướng đến việc trình bày điều kiện phù hợp cho tồn nghiệm hệ bù tuyến tính Xét hệ bù tuyến tính x(t) = Ax(t) + Bz (t) + u(t) w(t) = Cx(t) + Dz(t) + v(t) x E R trạng thái, u E R v E R đầu vào bên (z,w) E R n biến thỏa mãn n m m+m (—z(t), w(t)) E graph(P) P : R m R ánh xạ đơn điệu cực đại cho m P ( z) = {n: n > 0,z < 0, ,z} = 0} Tiếp theo, chúng tơi giới thiệu vấn đề tuyến tính mở rộng Cho véc tơ q G R ma trận M G R , toán mở rộng tuyến m mxm tính LCP(q, M) tìm véc tơ z G R cho m z>0 (2.65) q + Mz > (2.66) (z,q + Mz) = (2.67) Ta nói LCP(q, M) khả thi tồn z thỏa mãn (2.65) (2.66) Nếu véc tơ z khả thi thỏa mãn (2.67) ta nói z giải pháp LCP(q, M) Tập hợp tất giải pháp LCP(q, M) kí hiệu SOL(q, M) Trong phần quan tâm đến LCP(q, M) M ma trận nửa xác định dương (khơng thiết phải đối xứng) Cho ma trận vuông M, ta định nghĩa QM := SOL(0, M) = {z : z > 0, Mz > 0, (z, Mz) = 0} hình nón kép QM = {z : (Z, z} với z E QM} Khi M ma trận nửa xác định dương (không thiết phải đối xứng), tập QM hình nón lồi cho bởi: Q = {z : z > 0, Mz > 0, (M + M ) z = 0} T M Mệnh đề sau mơ tả điều kiện theo LCP có giá trị dương ma trận M nửa xác định dương Mệnh đề 2.11 Gọi M ma trận nửa xác định dương Khi đó, mệnh đề sau tương đương: i q E QM ii LCP(q,M) khả thi iii LCP(q,M) giải Hơn nữa, mệnh đề sau đúng: iv Với q E QM, tồn nghiệm z*(q) E SOL(q, M) theo nghĩa \\z*(q)\| < ||z|| với z E SOL(q,M) v Tồn số dương a cho ||z*(ợ)H < a \\q\\ Vq E QM Bây giờ, ta định nghĩa H (t,x) =-Ax+B(P +D) (Cx+v(t)) -1 P (2.68) Lưu ý dom Hp(t, •) = C (im(P + D) — v(t)) Hơn nữa, q E (P + D)(z) -1 —z E SOL(q, D) Điều có nghĩa q E (P+D)(z) q E QD theo quan điềm Mệnh đề 2.11 Nói cách khác dom Hp(t, •) = C —1 (QD — v(t)) Định lý sau cung cấp điều kiện hợp lý để đảm bảo giả thiết Định lý 2.10 cho ánh xạ đa trị phụ thuộc thời gian Hp định nghĩa (2.68) Định lý 2.12 Cho T > Giả sử i S(A, B, C, D) phụ thuộc với hàm x 2xTx ii im Cn ri (im(P + D) — v(t)) = với t E [0, T] iii v E AC ([0,T],R ), m Khi đó, Hp thỏa mãn giả thiết (A1) — (A4) Chứng minh Điều kiện đủ để Hp thỏa mãn giả thiết (i.)-(vi.) Định lý 2.10 Bốn giả thiết Định lý 2.10 dễ dàng thỏa mãn Cho giả thiết (v.) Định lý 2.10, cần phiên cận Hoffman's tập đa diện Để giải thích, cho = R C R tập m hợp đa diện cho R = {Z : RZ = QZ < q} R, Q ma trận q véc tơ với kích thước phù hợp Cận Hoffman's (xem [6] ) khẳng định tồn số dương a phụ thuộc R cho dist(x, R) < a(||Rx|| + | max(0, Qx — q)|) (2.69) với x E R max biểu thị tối đa thành phần Theo định nghĩa QD m nón đa diện Do đó, ta có QD = {n E R : Qn c 0} với ma trận Q Cho E m ma trận cho im C = ker E Khi đó, ta có im C n (im(P + D) — v(t)) = im C n (QD — v(t)) = {z E R : EZ = QZ < —Qv(t)} m (2.70) với t E [0, T] Cho s,t cho < s < t < T w E im C n (im(p + D) — v(s)) Từ (2.68), ta thấy Ew = Qw < —Qv(s) (2.71) Bây giờ, ta có (2.71) dist(w, im C n (im(P + D) — v(t))) < a(!Ew| + | max(0, Qw + Qv(t))|) (2.71) < a| max(0, —Qv(s) + Qv(t))| < p IIv(s) — v(t) (2.72) số dương Vì v liên tục tuyệt đối, ta có v(s) — v(t) V(T)dT Khi đó, (2.74) tương đương sup dist(w, im C n (im(P + D) — v(t))) < ỡ(t) — ỡ(s) wém C n(im(P+D)—v(s) với s,t với < s < t < T ỡ(t) = J00 \V(T)|| dT với t £ [0,T] Rõ ràng, ỡ không tăng liên tục tuyệt đối Cho giả thiết (vi.) Định lý 2.10, lưu ý z £ (P + D) (n) —z £ SOL(n,D) Do Mệnh đề 1.29, —1 D bán tự nhiên Khi đó, theo Mệnh đề 2.11 tồn số dương a cho ((P + D) )° (n) < a \\n\\ —1 với n £ dom(P + D) Do đó, Hp thỏa mãn giả thiết (vi.) Định lý 2.10 □ KET LUẬN Luận văn trình bày số vấn đề sau: - Trình bày số tính chất ánh xạ đa trị đơn điệu cực đại không gian hữu hạn chiều đặc trưng tương đương loại ánh xạ - Trình bày tồn nghiệm bao hàm thức vi phân kết hợp với ánh xạ đa trị đơn điệu cực đại biến thiên thời gian - Áp dụng nghiên cứu tồn nghiệm số hệ điều khiển tuyến tính hệ vi phân bù tuyến tính Bên thầy cạnh hạncơ chế kết thiếu để đạtluận sót được, Rấtvăn mong luận nhận văn không thể phản tránh hồikhỏi quý vàvà bạn hoàn thiện 5 Tài liêu tham khảo [1] H.Brézis Opérateurs Maximaux Monotones et Semi-Groupes des Contractions dans les Espaces de Hilbert North-Holland, Mathematics Studies, 1973 [2] M.K Camlibel and J.M.Schumacher, Linear passive systems and maximal monotone mappings, Math Program., Ser B, 157:397-420, 2016 [3] M.K Camlibel, L Iannelli, A Tanwani, Evolution inclutions with timedependent maximal monotone operators, arXiv:1903.10803, 2019 [4] M.K.Camlibel, W.P.M.H Heemels, and J.M.Schumacher Consistency of a time-stepping method for a class of piecewise-linear networks IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Fundamental Theory and Applications, 49(3):349-357, 2002 [5] M.K Camlibel, L Iannelli, and F Vasca Passivity and complementarity Mathematical Programming-A, 145:531-563, 2014 [6] F Facchinei and J-S.Pang Finite-Dimensional Variational Inequalities and Complemen-tarity Problems I, Springer, New York, 2003 [7] M Kunze and M.D.P Monteiro Marques BV solutions to evolution problems with time-dependent domains Set-Valued Analysis, 5:5772,1997 53 [8] R.T Rockafellar and J.-B Wets Variational Analysis A Series of Comprehensive Studies in Mathematics 317 Springer, 1998 [9] W Rudin Principles of Mathematical Analysis International Series in Pure and Applied Mathematics McGraw-Hill Book Co., New Your, third edition, 1976 [10] R.T.Rockafellar Conex Analysis Princeton University Press, Princeton, New Jersey, 1970 A.A Vladimirov Nonstationary dissipative evolution equations in a Hilbert space Nonlinear Analysis, 17:499518, 1991 ) T hội tụ đến x (t*) dãy T v kH Chứng minh Ta thấy x (T / ) T k ' x (tk) = x (T/) T tk k t Vì < T - “ c < ÍT-7 k t k k + x (t*) - x (tk) t - tk T k tk t t * k Tk tk 1, nên hai phải hội tụ dãy “ T -t - x (t*) Tk - t * T -t k k Phần lại xuất phát từ giả thiết x (t*) tồn □ Mệnh đề 1.36 Giả sứ dãy hàm (ye)eeN hội tụ yếu y L (dộ, [0,T],R) với ộ £ AC([0,T],R) Cho (x^ dãy hàm liên tục tuyệt đối eN cho hội tụ đến x E AC ([0,T], R ), xe(t) = ộ(t)ye(t), với n t £ r := {t e [0,T] | xe, x ộ khác thời điểm t} Khi đó, x(t) = ộ(t)y(t) với t £ r Chứng minh Định nghĩa hàm Ệ : [0, T] R n