Bài toán moomen chặt cụt một chiều trên khoảng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN THỊ XN KIỀU BÀI TỐN MƠMEN CHẶT CỤT MỘT CHIỀU TRÊN KHOẢNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Bình Định - 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN THỊ XUÂN KIỀU BÀI TỐN MƠMEN CHẶT CỤT MỘT CHIỀU TRÊN KHOẢNG Chun ngành: Đại số lí thuyết số Mã số: 8460104 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS LÊ CƠNG TRÌNH Bình Định - 2020 Mục lục Mở đầu Bài tốn mơmen tổng quát số kết mômen đầy đủ chiều khoảng 1.1 Bài tốn mơmen 1.2 Không gian thích ứng 1.3 Biểu diễn tổng bình phương đa thức dương 1.4 Bài tốn mơmen đầy đủ khoảng toán Bài tốn mơmen chặt cụt Hamburger Stieltjes 2.1 Bài toán moment chặt cụt Hamburger 2n− dãy định dương 2.2 Bài toán moment chặt cụt Hamburger Stieltjes đối 2n−dãy nửa xác định dương 2.3 Hạng Hankel 2n−dãy nửa xác định dương 2.4 Dãy mômen chặt cụt Hamburger Stieltjes 7 10 17 21 xác với 21 28 32 33 Bài tốn mơmen chặt cụt chiều khoảng bị chặn 40 3.1 Sự tồn nghiệm 40 3.2 Nón mơmen Sm+1 điểm biên điểm 42 KẾT LUẬN 48 Tài liệu tham khảo QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (bản sao) Danh mục ký hiệu C(X, R) E+ Rd [x] Rd [x]m : : : : Pos(K) Pos(K)m ΣR[x]2 Σ2n P(N) Es Ls Hn (s) Dn (s) M+ (X) M+sym (X) L1 (X, µ) Sm+1 cm+1 ind(µ) : : : : : : : : : : : : : : : Không gian hàm thực liên tục không gian tôpô X Tập hàm C (X, R) không âm X Không gian véctơ đa thức theo d biến x1 , , xd Không gian véctơ đa thức theo d biến x1 , , xd có bậc khơng q m Tập đa thức Rd [x] không âm K ⊂ Rd Tập đa thức Rd [x]m không âm K ⊂ Rd {f + g : f, g ∈ R[x]} {f + g : f, g ∈ R[x]n } Tập hợp dãy số thực xác định dương Dãy dịch chuyển dãy số thực s Phiếm hàm Riesz tương ứng với dãy số thực s Ma trận Hankel dãy số thực s Định thức Hankel dãy số thực s Tập độ đo Radon (dương) không gian X Tập gồm độ đo đối xứng M+ (X) Khơng gian hàm µ-khả tích X Nón mômen Đường cong mômen Chỉ số độ đo atomic µ MỞ ĐẦU Mômen khái niệm xuất nhiều lĩnh vực vật lý toán học Khái niệm mômen giới thiệu lần đầu nhà tốn học Hà Lan T.J Stieltjes (1856-1894) Cho µ độ đo dương Radon tập đóng K ⊆ Rd α = (α1 , α2 , , αd ) đa số số khơng âm αj Nếu tích phân sα (µ) := K xα1 xαd d dµ(x) hữu hạn số sα = sα (µ) gọi mơmen thứ α độ đo µ Nếu tất mômen thứ α tồn tại, dãy (sα )α∈Nd0 gọi dãy mơmen µ Ví dụ, K vật rắn R3 với khối lượng m(x1 , x2 , x3 ), số s(0,2,0) + s(0,0,2) = K (x22 + x23 )m(x1 , x2 , x3 )dx1 dx2 dx3 gọi mômen động lực vật tương ứng với trục x1 Hoặc, X biến ngẫu nhiên với hàm phân phối F (x), giá trị kỳ vọng X k định nghĩa +∞ E[X k ] = sk = xk dF (x) −∞ phương sai X Var(X) = E[(X − E[X])2 ] = E[X ] − E[X]2 = s2 − s21 , (giả thiết số hữu hạn) Bài tốn mơmen vấn đề toán học cổ điển Dạng đơn giản nó, tốn mơmen Hamburger đường thẳng thực, câu hỏi sau đây: Cho s = (sn )n∈N0 dãy thực Có tồn hay khơng độ đo dương +∞ xn dµ hội tụ thỏa Radon µ R cho với n ∈ N0 , tích phân −∞ mãn +∞ xn dµ? sn = (1) −∞ Điều có nghĩa rằng, tốn mơmen tốn ngược việc "tìm" độ đo biểu diễn µ dãy mơmen s cho trước Với dãy thực s = (sn )n∈N0 , ký hiệu Ls phiếm hàm tuyến tính vành đa thức R[x] (hoặc C[x]) định nghĩa Ls (xn ) = sn , n ∈ N0 Do tính chất tuyến tính tích phân, ta thấy (1) thỏa mãn với n ∈ N0 ∞ p(x)dµ với p ∈ R[x] Ls (p) = (2) −∞ Do đó, tốn mơmen đường thẳng thực hỏi rằng, liệu có hay không phiếm hàm Ls R[x] nhận biểu diễn tích phân dạng (2) tương ứng với độ đo dương µ Bên cạnh tốn mơmen đường thẳng thực, cịn có tốn mơmen khoảng đường thẳng thực (bài tốn mơmen Stieltjes, tốn mơmen Hausdorff, ) tốn mơmen nhiều chiều Nếu thay dãy thực s = (sn )n∈N0 dãy hữu hạn (bị chặt cụt) s = (sj )m j=1 , với m ∈ N0 , tốn mơmen Hamburger chặt cụt (Hamburger truncated moment problem) hỏi có tồn hay khơng độ đo dương Radon µ R cho với j = 1, , m, +∞ xj dµ? sj = (3) −∞ Tương tự có định nghĩa tốn mơmen Stieltjes chặt cụt, tốn mơmen chặt cụt khoảng bị chặn [a, b] R (trên [0, 1] ta gọi tốn mơmen Hausdorff chặt cụt) Việc nghiên cứu tốn mơmen (chặt cụt) chiều khoảng có ý nghĩa quan trọng, phần nghiên cứu làm sở để nghiên cứu toán mômen (chặt cụt) đa chiều, đồng thời, nhiều kết tốn mơmen minh họa tường minh qua trường hợp chiều Chính lựa chọn thực đề tài "Bài tốn mơmen chặt cụt chiều khoảng" nhằm nghiên cứu cẩn thận tốn mơmen (chặt cụt), đặc biệt tốn mơmen chặt cụt chiều khoảng Ngoài Mục lục, Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, nội dung luận văn trình bày ba chương Chương 1: Bài tốn mơmen tổng quát số kết toán mômen đầy đủ chiều khoảng Trong chương chúng tơi trình bày phát biểu tốn mơmen tổng quát, Định lý Haviland, số kết tốn mơmen đầy đủ chiều khoảng Chương 2: Bài tốn mơmen chặt cụt Hamburger Stieltjes Trong chương chúng tơi trình bày lời giải tốn mơmen chặt cụt Hamburger tốn mơmen chặt cụt Stieltjes chiều khoảng Chương 3: Bài tốn mơmen chặt cụt chiều khoảng bị chặn Trong chương chúng tơi trình bày số vấn đề liên quan đến tốn mơmen chặt cụt chiều khoảng bị chặn [a, b] ⊂ R Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành kính trọng sâu sắc đến TS Lê Cơng Trình, thầy trực tiếp giảng dạy, hướng dẫn tạo điều kiện trình học tập nghiên cứu để tơi hồn thành luận văn cách tốt Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo sau đại học, Khoa Toán Thống kê Trường đại học Quy Nhơn quý thầy cô giáo trực tiếp giảng dạy, giúp đỡ tơi q trình học tập Trường Nhân đây, xin cảm ơn anh, chị học viên lớp Đại số Lý thuyết số khóa 21, gia đình bạn bè giúp đỡ, động viên tơi suốt q trình học tập hoàn thành luận văn Mặc dù cố gắng hạn chế thời gian trình độ nên bên cạnh kết đạt được, luận văn tránh khỏi hạn chế thiếu sót Tác giả mong nhận góp ý thẳng thắn chân thành quý thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện Ngày 10 tháng năm 2020 Học viên thực Nguyễn Thị Xuân Kiều Chương Bài toán mômen tổng quát số kết tốn mơmen đầy đủ chiều khoảng Trong chương chúng tơi trình bày phát biểu tốn mômen tổng quát, Định lý Haviland, số kết tốn mơmen đầy đủ chiều khoảng Nội dung chương trình bày lại từ chương chương tài liệu [2] tham khảo tài liệu [1] 1.1 Bài tốn mơmen Cho X khơng gian tơpơ compact địa phương Hausdorff Ký hiệu C(X, R) không gian hàm thực liên tục X Xét E ⊆ C(X, R) không gian véctơ hàm tuyến tính liên tục X K ⊆ X tập đóng X Định nghĩa 1.1.1 (Độ đo Radon) Một độ đo Radon X độ đo µ : B(X) → [0, +∞) cho µ(A) < ∞ với tập compact A X µ(M ) = sup{µ(A) : A ⊆ M, A compact} với M ∈ B(X), B(X) σ -đại số Borel X Với phiếm hàm tuyến tính L E , tốn K−mơmen phát biểu sau: Khi tồn độ đo Radon µ X có giá K (supp(µ) ⊆ K ) cho L(f ) = f (x)dµ(x) với f ∈ E (1.1) X Phiếm hàm L biểu diễn dạng (1.1) gọi phiếm hàm K mômen µ gọi độ đo biểu diễn cho L Trong trường hợp K = X L gọi phiếm hàm mômen Chú ý ta viết phương trình có dạng (1.1) ta ln giả thiết hàm f µ-khả tích X tích phân f L(f ) Giả sử (ej : j ∈ J) sở không gian véctơ E Khi với dãy số thực (sj )j∈J , tồn phiếm hàm tuyến tính Ls : E → R xác định Ls (ej ) = sj với j ∈ J, gọi phiếm hàm Riesz liên kết với s Như phương trình (1.1) cho phiếm hàm L = Ls sj = X ej (x)dµ(x) với j ∈ J 1.2 Khơng gian thích ứng Cho C tập E ⊂ C (X, R) Phiếm hàm L E gọi C -dương L(f ) ≥ với f ∈ C Ký hiệu E+ tập hàm E có giá trị khơng âm X , tức E+ = {f ∈ E : f (x) ≥ với x ∈ X} Định nghĩa 1.2.1 (Khơng gian thích ứng) Một khơng gian E C(X, R) gọi thích ứng E thỏa mãn điều kiện sau: (i) Mỗi hàm E biểu diễn dạng hiệu hai hàm không âm X , tức E = E+ − E+ (ii) (Tính xác định dương) Với x ∈ X , tồn fx ∈ E+ cho fx (x) > (iii) (Tính làm trội) Với f ∈ E+ , tồn g ∈ E+ cho với ε > 0, tồn tập compact Kε ⊆ X cho |f (x)| ≤ ε|g(x)| với x ∈ X \ Kε 35 (n + 1)−atomic biểu diễn Vậy, trường hợp rk(s) = n + 1, tất khẳng định Định lý chứng minh Trong phần lại chứng minh này, giả sử rk(s) ≤ n Khi đó, Ns = {0} đa thức tối tiểu xác định Vì (i)⇒ (iv) Từ (i), s có độ đo biểu diễn µ Vì Hn (s) fs ∈ Ns nên theo [2, Proposition 1.23] ta có supp µ ⊂ Z (fs ) Ls xn−rk(s) fs = Z(fs ) x2(n−rk(s)) fs (x)2 dµ = Như vậy, xn−rk(s) fs ∈ Ns (iv) chứng minh (iv)⇒ (v) Khẳng định hiển nhiên xn−rk(s) fs ∈ Ns có bậc n (v)⇒ (i) kết Hệ 2.2.2 (ii) (iii)⇒ (v) Áp dụng [2, Proposition 9.25] (i)⇒ (v) Giả sử (i) xảy Gọi µ độ đo biểu diễn s Như lý giải trên, supp µ ⊂ Z(fs ) µ k−atomic với k ≤ deg(fs ) = rk(s) = rankHn (s), (iii) Theo giả thiết rk(s) ≤ n, ta có k ≤ n Vì vậy, k = rk(s) Như vậy, (2.28) chứng minh Giả sử µ ˜ độ đo biểu diễn khác s Đặt Z (fs ) = {t1 , , tk } Khi đó, tồn số khơng âm mj , nj cho k µ= k mj δtj µ ˜= j=1 nj δtj j=1 Vì k ≤ n nên tồn đa thức nội suy pi ∈ R[x]n cho pi tj = δij , i, j = 1, , n Khi đó, Ls (pi ) = pi dµ = mi Ls (pi ) = pi d˜ µ = ni Do mi = ni với i Suy µ = µ ˜ Như s có độ đo biểu diễn rk(s) ≤ n Ví dụ 2.4.2 Với n = s = sj j=0 với s0 = s1 = s2 = s3 = 1, s4 = α ≥ 35 36 Rõ ràng, s có biểu diễn (2.22) với   H2 (s) = 1 µ = δ1 a = α − ≥ Suy  1  1  α Trường hợp 1: α > Khi fs = x − 1, rk(s) = Ns = R · fs Vì x2n−1 fs ∈ / Ns nên s khơng dãy mômen chặt cụt Hamburger Chú ý (x − 1) ∈ Ns (x − 1)2 ∈ / Ns Trường hợp 2: α = Trong trường hợp này, fs = x − 1, rk(s) = xfs ∈ Ns Do vậy, s dãy mômen chặt cụt với độ đo biểu diễn µ = δ1 Bổ đề trường hợp đặt biệt [2, Theorem A.24] Chúng đồng Rk với ma trận cột Mk,1 (R) Bổ đề 2.4.3 ([2, Lemma 9.31]) Cho k ∈ N, A ∈ Mk,1 (R) , b ∈ Rk , c ∈ R giả sửa A Ma trận khối A˜ ∈ Mk+1 (R) định nghĩa A˜ = (i) A˜ A b bT c (2.29) b = Au với u ∈ Rk c ≥ uT Au (ii) Giả sử b = Au với u ∈ Rk c ≥ uT Au Khi rankA˜ = rankA c = uT Au Lời giải tốn mơmen chặt cụt Hamburger dãy số thực 2n+1 s = sj j=0 trình bày định lý sau Định lý 2.4.4 ([2, Theorem 9.32]) Với dãy số thực s = sj mệnh đề sau tương đương 2n+1 , j=0 (i) s dãy mômen Hamburger chặt cụt (ii) Tồn số thực s2n+2 thỏa mãn Hn+1 (˜ s) (iii) Hn (˜ s) 0, với s˜ := sj (sn+1 , , s2n+1 )T ∈ range Hn (s) 36 2n+2 j=0 ba 37 Chứng minh Chứng minh (i)⇒ (ii) tương tự với chứng minh Định lý 2.4.1 Trong chứng minh (ii)⇒ (i), áp dụng Hệ 2.2.2, n thay n + Suy (2.24) thỏa mãn với j = 0, , 2n + Từ ta nhận (i) Để chứng minh (ii)⇒ (iii), xét Hn+1 (˜ s) ma trận khối (2.29) với A = Hn (s), b = (sn+1 , , s2n+1 )T , c = s2n+2 (2.30) (ii)⇒ (iii) Vì Hn+1 (˜ s) nên có Hn (s) b ∈ range Hn (s) (iii)⇒ (ii) Khi b ∈ range Hn (s) , giả sử b = Hn (s)u với u ∈ Rn+1 Chọn s2n+2 ≥ uT Hn (s)u, ta có Hn+1 (˜ s) Tiếp theo, chứng minh tương đương (i) (iii) Giả sử (i) xảy Chúng ta giả sử rk(s) = n + Khi đó, theo [2, Proposition 9.25], ta có rankHn (s) = n + Vì vậy, từ Hn (s) = Hn (s) tồn v ∈ Rn+1 cho b = Hn (s)v Chúng ta cố định v chọn s2n+2 > v T Hn (s)v Khi đó, áp dụng Bổ đề 2.4.3(ii) cho ma trận khối Hn+1 (˜ s), ta nhận rankHn+1 (˜ s) > rankHn (s) = rankHn (s) = n + Vì thế, rankHn+1 (˜ s) = n + Suy ra, theo định lý 2.4.1 (iii)⇒ (i), s˜ dãy mômen chặt cụt Hiển nhiên, độ đo biểu diễn s˜ s Vì độ đo có mơmen s2n+2 , chúng sai khác s2n+2 Lời giải toán mômen Stieltjes chặt cụt dãy số thực s = 2n+1 sj j=0 trình bày định lý sau Định lý 2.4.5 ([2, Theorem 9.35]) Một dãy số thực s = sj mômen Stieltjes chặt cụt Hn (s) 0, Hn (Es) 2n+1 j=0 0, (sn+1 , , s2n+1 )T ∈ range Hn (s) dãy (2.31) Chứng minh Theo Định lý 2.4.4 (i)⇒ (ii), s dãy mômen chặt cụt Hamburger Hn (s) (sn+1 , , s2n+1 )T ∈ range Hn (s) Giả sử s có độ đo biểu diễn µ giá R+ Khi đó, độ đo dương ν cho dν = xdµ có dãy mômen Es, Hn (Es) 37 38 Ngược lại, giả sử Hn (Es) biểu diễn rk (s) −atomic Theo Định lý 2.4.4, s có độ đo rk(s) µ= mj δtj j=1 Từ rk (s) ≤ n + 1, đa thức nội suy Lagrange pi ∈ R[x]n thỏa mãn pi tj = δij , với i, j ∈ {1, , rk (s)} Khi rk(s) L xp2i = mj tj p2i tj = mi ti ≥ xpi (x) dµ(x) = j=0 Từ µ rk (s) −atomic, có mi > ti ≥ Vậy µ có giá R+ s dãy mơmen chặt cụt Stieltjes Lời giải tốn mômen Stieltjes chặt cụt dãy số thực s = 2n sj j=0 trình bày Định lý sau Định lý 2.4.6 ([2, Theorem 9.36]) Một dãy số thực s = sj mômen Stieltjes chặt cụt Hn (s) 0, Hn−1 (Es) 2n j=0 dãy 0, (sn+1 , , s2n )T ∈ range Hn−1 (s) (2.32) Chứng minh Đầu tiên, giả sử (2.32) xảy Ý tưởng 2n+1 áp dụng Định lý 2.4.5 để dãy mở rộng s˜ = sj j=0 với số thực s2n+1 Từ b := (sn+1 , , s2n ) ∈ range Hn−1 (Es) (2.32), tồn u ∈ Rn cho b = Hn−1 (Es) u Lấy c = s2n+1 := uT Hn−1 (Es) u A := Hn−1 (Es) Từ Hn−1 (Es) (2.32), ma trận khối A˜ (2.29) nửa xác định dương Mệnh đề 2.4.3(i) Nhưng A˜ ma trận Hankel Hn (E˜ s), E˜ s=(s1 , , s2n+1 ) Suy Hn (E˜ s) Đặt w := (s0 , , sn−1 )T viết Hn (s) ma trận khối   s0 s1 s n s  w Hn−1 (Es)  s2 sn+1  Hn (˜ s) = Hn (s) =  =   sn bT  sn sn+1 s2n 38 39 Áp dụng Hn (˜ s) cho véc tơ cột (0, u)T ∈ Rn+1 , nhận Hn (˜ s) u = Hn−1 (Es) u bT u = b T u Hn−1 (Es) u = b s2n+1 , tức (sn+1 , , s2n , s2n+1 )T ∈ range Hn (˜ s) Do vậy, từ Hn (˜ s) = Hn (s) (2.32), s˜ dãy mômen chặt cụt Stieltjes với độ đo biểu diễn rk(s)−atomic Như vậy, ta có điều cần chứng minh 39 Chương Bài toán mômen chặt cụt chiều khoảng bị chặn Trong chương chúng tơi trình bày tốn mơmen chặt cụt chiều khoảng bị chặn [a, b] ⊂ R Nội dung chương trình bày lại từ chương 10 tài liệu [2] Trong suốt chương này, cố định hai số thực cố định a < b số tự nhiên m ∈ N, Bài tốn mơmen chặt cụt chiều [a, b] phát biểu sau: m "Cho m−dãy s = sj j=0 Khi tồn độ đo Radon µ đoạn b xj dµ (x) với j = 0, , m?" [a, b] cho sj = a 3.1 Sự tồn nghiệm Trước hết nhắc lại số ký hiệu Cho s = sj thực Nhắc lại Ls hàm Risez R[x]n xác định m j=0 Ls xj = sj , j = 0, , n Ký kiệu Hk (s) , 2k ≤ m, ma trận Hankel Hk (s) := (si+j )ki,j=0 Dãy dịch chuyển Es định nghĩa Es := (s1 , , sm ) = sj+1 40 m−1 j=0 dãy 41 Những ký hiệu sau thay đổi tùy theo trường hợp m = 2n m = 2n + H 2n (s) := Hn (s) ≡ si+j n , i,j=0 H 2n (s) := Hn−1 (b − E)(E − a)s ≡ (a + b)si+j+1 − si+j+2 − absi+j n , i,j=0 n , i,j=0 n si+j+1 i,j=0 H 2n+1 (s) := Hn (Es − as) ≡ si+j+1 − asi+j H 2n+1 (s) := Hn (bs − Es) ≡ bsi+j − Hơn nữa, ta viết tắt định thức Hankel sau: Dm (s) := det H m (s), Dm (s) := det H m (s) k Với f = (3.1) → − aj xj ∈ R[x]k , gọi f = (a0 , , ak )T ∈ Rk+1 vector hệ số j=0 f Mệnh đề 3.1.1 Cho p, q ∈ R[x]n f, g ∈ R[x]n−1 Khi đó, → − − − − p , Ls (b − x)(a − x)f g = f T H 2n (s)→ g (1) Ls (pq) = → p T H 2n (s)→ − − − − (2) Ls (x − a)pq = → p T H 2n+1 (s)→ p , Ls (b − x)pq = → p T H 2n+1 (s)→ q Hai định lý sau trình bày tồn nghiệm tốn mơ men chặt cụt [a, b] 2m−dãy (2m + 1)−dãy Định lý 3.1.2 ([2, Theorem 10.1]) Với dãy thực s = sj biểu dây tương đương: 2n , j=0 phát (i) s dãy mômen cụt đoạn [a, b] (ii) Ls p2 ≥ 0và Ls (b − x) (x − a) q ≥ 0với p ∈ R[x]n q ∈ R[x]n−1 (iii) H 2n (s) 0và H 2n (s) Định lý 3.1.3 ([2, Theorem 10.2]) Với dãy thực s = sj biểu tương đương: 2n+1 , j=0 phát (i) s dãy mômen cụt đoạn [a, b] (ii) Ls (x − a) p2 ≥ 0và Ls (b − x) p2 ≥ với p ∈ R[x]n q ∈ R[x]n−1 (iii) H 2n+1 (s) H 2n+1 (s) 41 42 Sau trình bày phép chứng minh đồng thời hai định lý Chứng minh định lý 3.1.2 định lý 3.1.3 (i) ⇔ (ii) Chú ý Ls phiếm hàm mômen chặt cụt đoạn [a, b] Ls (p) ≥ với p ∈ E+ = Pos [a, b] m Theo Mệnh đề 1.3.3, điều tương đương với điều kiện (ii) (ii) ⇔ (iii) Được suy từ đồng thức Mệnh đề 3.1.1 Nhận xét 3.1.4 Vì p2 = (b − a)−1 (b − x) p2 + (x − a) p2 , điều kiện (ii) định lý 3.1.3 suy Ls p2 ≥ với p ∈ R [x], 3.2 Nón mơmen Sm+1và điểm biên điểm Định nghĩa 3.2.1 Nón mơmen Sm+1 đường cong mômen cm+1 định nghĩa  b   Sm+1 = s = (so , s1 , , sm ) : sj = tj dµ (t) , j = 0, , m, µ ∈ M+ |a, b|   a cm+1 = s (t) := 1, t, t2 , , tm : t ∈ [a, b] Điều có nghĩa Sm+1 tập dãy mơmen s = (s0 , s1 , , sm ) tất độ đo Radon đoạn [a, b] Đường cong cm+1 chứa Sm+1 s(t) dãy mômen độ đo delta δt Ta định nghĩa ∂Sm+1 tập điểm biên, IntSm+1 tập điểm Sm+1 , Cm+1 bao conic cm+1 Vì đa thức 1, t, , tn độc lập tuyến tính, điểm s (t) ∈ Cm+1 sinh Rm+1 Vì phần Cm+1 khơng rỗng Xét E = R[x]m X = [a, b] Khi đó, s ∈ Sm+1 , s = biểu diễn độ đo k−atomic k µ= mj δtj , j=1 42 (3.2)      , 43 với k ≤ m + 1và tj ∈ [a, b] với j Vì µ k−atomic, điểm tj đôi phân biệt mj > với j Các số tj gọi nghiệm hay nguyên tử µ phần tử mj trọng số µ Khơng tính tổng quát, ta giả sử rằng: a ≤ t1 < t2 < · · · < tk ≤ b (3.3) Khi đó, s biểu diễn dạng k s= mj s(tj ) j=1 Vì vậy, s thuộc bao conic đường cong mơmen cm+1 Vì Sm+1 = Cm+1 Suy Cm+1 tập đóng Rm+1 Tổng hợp lại, ta có kết sau Định lý 3.2.2 Nón mơmen Sm+1 nón lồi đóng Rm+1 với phần khác rỗng Nó bao nón Cm+1 đường cong mơmen cm+1 Ta biết rằng, tập lồi B nón C đáy C với u ∈ C , u = tồn λ > cho λu ∈ B Dễ thấy S m = (1, s1 , , sm ) ∈ Sm+1 đáy nón Sm+1 b tj dµ ≤ b − a với s ∈ S m Vì vậy, S m bị chặn Rõ ràng, sj = m+1 a m R Hiển nhiên, S tập đóng nón đóng Sm+1 Vì tập S m đáy lồi compact nón mơmen Sm+1 Định nghĩa 3.2.3 Cho s ∈ Sm+1 , s = Chỉ số ind (µ) độ đo k−atomic biễu diễn cho s định nghĩa k ind (µ) := ε tj , j=1 ε (t) := với t ∈ (a, b) ε(a) = ε(b) := Chỉ số ind(s) s định nghĩa số nhỏ tất độ đo biểu diễn s 43 44 Với s ∈ Sm+1 , ký hiêu Ms tập tất độ đo biểu diễn s, nói cách khác, Ms tập µ ∈ M+ [a, b] cho b tj dµ(t), ∀j = 0, , m sj = a Nếu tập Ms gồm phần tử s gọi [a, b]−xác định Định lý 3.2.4 ([2, Theorem 10.7]) Cho s ∈ Sm+1 , s = Khi đó, phát biểu sau tương đương (i) s điểm biên nón lồi Sm+1 (ii) ind (s) ≤ m (iii) Tồn p ∈ Pos [a, b] m , p = cho Ls (p) = (iv) Dm (s) = Dm (S) = (v) s [a, b]−xác định Nếu p thỏa (iii) supp µ ⊆ Z(p) với độ đo µ ∈ Ms Chứng minh Gọi {e0 , , em } sở tắc khơng gian vector Rm+1 (i)⇒ (iii) Lấy µ ∈ Ms Vì s điểm biên nón Sn+1 nên có siêu phẳng tựa Sm+1 s, tức là, tồn hàm tuyến tính F = Rm+1 cho F (s) = F ≥ Sm+1 Khi đó, p (t) = F s(t) đa thức theo t có bậc cao m Từ s(t) ∈ Sm+1 ta có p ∈ Pos [a, b] Vì f = 0, p khơng phải đa thức khơng Khi b Ls (p) = L F s(t) = b F (e0 ) + · · · + F (em )tm dµ(t) F s(t) dµ(t) = a a = F (e0 )s0 + · · · + F (em )em = F (s) = Điều suy (iii) m aj tj đa thức (iii), ta xác định (iii)⇒ (i) Gọi p (t) = j=0 hàm tuyến tính F Rm+1 cho F ej = aj , j = 0, , m, Đảo ngược q trình suy luận nói trên, ta có F (s) = Ls (p) = Vì p khơng 44 45 phải đa thức không nên F = Hơn F (s (t)) = p(t) ≥ [a, b] p ∈ Pos [a, b] Vì F ≥ cm+1 nằm bao conic lồi Cm+1 = Sm+1 Do đó, F hàm tựa Sm+1 s Vì s điểm biên Sm+1 (i)⇒ (iii) Gọi p đa thức (iii) Ta chọn phép đo đại diện (10.6), ind (s) = ind (µ) Vì Ls (p) = 0, nên {t1 , , tk } = supp µ ⊆ Z (p), có nghĩa p tj = với j = 1, , k Mỗi nghiệm tj ∈ (a, b) có chẵn bội số, khơng p (t) đổi dấu tj , p (t) ≥ đoạn [a, b] nên điều không xảy Các nghiệm bội số có lẽ điểm mút a b Vì vậy, đếm số nghiệm tj với bội số cộng số thuộc tj , ta có ∈ tj ≤ deg (p) ≤ m ind(s) = j (iii)⇔ (iv) Ta tiến hành việc chứng minh trường hợp m chẵn n n−1 i bj xj ∈ R[x]n−1 , x ∈ R[x]n g (x) = (m = 2n) Gọi f (x) = i=0 j=0 Giống đây, ta đặt → − − f = (a0 , , an )T ∈ Rn−1 → g = (b0 , , bn−1 )T ∈ Rn Các ma trận Hankel H 2n (s)và H 2n (s)là ma trận nửa xác định dương theo Định lý 3.1.2 Vì vậy, theo Định lý 3.1.3, ta có → − → − → − 1/2 Ls f = f T H 2n (s) f = H 2n (s) f , 1/2 − − − Ls (b − x)(x − a)g = → q T H 2n (s)→ g = H 2n (s)→ g (3.4) , (3.5) chuẩn Euclid Rd Theo Mệnh đề 3.1.1, Pos |a, b| 2n bao gồm tổng đa thức có dạng p = f + (b − x) (x − a) g Rõ ràng, với đa thức p vậy, ta có Ls (p) = Ls f = Ls (b − x) (x − a) g = Vì theo (3.4) (3.5), Ls (p) = với p ∈ Pos [a, b] 2n kéo theo p = hai ma trận H 2n (s) H 2n (s) ma trận thường, có nghĩa D2n (s) = D2n (s) = Vì vậy, (iii) D2n (s) = D2n (s) = 45 46 (iii)⇒ (v) Cho v ∈ M Ta có supp v ⊂ Z(p) Cụ thể, điều chứng minh cho khẳng định cuối Cho Z(p) = {x1 , , xr } Khi ν = r ni δxi với số ni ≥ Vì r ≤ deg (p) ≤ m nên tồn đa thức nội i=1 suy Lagrange pj ∈ R[x]m cho pj (xi ) = δij , i, j = 1, , r Khi b L s pj = r pj dν = a ni pj (xi ) = nj , j = 1, , r i=1 Điều cho thấy ν xác định s p (v)⇒ (i) Nếu s khơng nằm ∂Sn+1 s ∈ IntSm+1 , s có vơ hạn độ đo đại diện Định lý sau đặc trưng cho dãy [a, b]−mơmen thuộc phần nón Sm+1 Định lý 3.2.5 ([2, Theorem 10.8]) Cho dãy s ∈ Sm+1 Khi đó, mệnh đề sau tương đương (i) s điểm Sm+1 (ii) Các ma trận Hankel H m (s) H m (s) xác định dương (iii) m = 2n: Ls p2 > Ls (b − x) (x − a) q > với p ∈ R[x]n , q ∈ R[x]n−1 , p, q = 0; m = 2n + 1: Ls (x − a) p2 > Ls (b − x) p2 > với p ∈ R[x]n−1 , p = (iv) Dm (s) > 0và Dm (s) > (v) D0 (s) > 0, D0 (s) > 0, D1 (s) > 0, D1 (s) > 0, , Dm (s) > 0, Dm (s) > Chứng minh Khẳng định ( i) ⇔ (iv) cách phát biểu lại Định lý 3.2.4 (ii)⇔ (iv) Rõ ràng (iii)⇔ (iv) Dựa theo công thức (10.2) (10.3) (v)⇒ (iv).Hiển nhiên 46 47 (i)⇔ (v) Rõ ràng, s ∈ IntSm+1 dẫn đến s(j) := s0 , , sj ∈ IntSj+1 với j = 0, , m Vì (i) → (iv) suy cách áp dụng hệ (i)⇒ (iii) cho dãy s(j) 47 KẾT LUẬN Luận văn “Bài tốn mơmen chặt cụt chiều khoảng” đạt kết sau: Trình bày có hệ thống số kết liên quan đến tốn mơmen tổng qt, Định lý Haviland, biểu diễn đa thức không âm khoảng số kết tốn mơmen đầy đủ chiều khoảng Trình bày bày công thức cầu phương Gauss (Định lý 2.1.7) áp dụng (Hệ 2.1.11, Định lý 2.1.9) Trình bày lời giải Bài tốn mơmen chặt cụt Hamburger 2n−dãy xác định dương (Định lý 2.1.10, Hệ 2.1.11) Trình bày lời giải Bài tốn mơmen chặt cụt Hamburger 2n−dãy nửa xác định dương (Định lý 2.2.1, Hệ 2.2.2) lời giải Bài tốn mơmen chặt cụt Stieltjes 2n−dãy nửa xác định dương (Định lý 2.2.5) Trình bày lời giải Bài tốn mơmen chặt cụt Hamburger 2n−dãy (Định lý 2.4.1) (2n + 1)−dãy (Định lý 2.4.4) Trình bày lời giải Bài tốn mơmen chặt cụt Stieltjes 2n−dãy (Định lý 2.4.6) (2n + 1)−dãy (Định lý 2.4.5) Trình bày tồn nghiệm tốn mômen chặt cụt khoảng bị chặn (Định lý 3.1.2, Định lý 3.1.3) Đồng thời môi tả biên phần nón mơmen Sm+1 (Định lý 3.2.4, Định lý 3.2.5) Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Thanh Trầm, Bài tốn mơmen chiều khoảng, Luận văn thạc s, Trng i hc Quy Nhn, 2019 [2] K Schmă udgen, The moment problem, Springer, 2017 ... đầy đủ khoảng toán Bài tốn mơmen chặt cụt Hamburger Stieltjes 2.1 Bài toán moment chặt cụt Hamburger 2n− dãy định dương 2.2 Bài toán moment chặt cụt Hamburger... mơmen chặt cụt Hamburger tốn mơmen chặt cụt Stieltjes chiều khoảng Chương 3: Bài tốn mơmen chặt cụt chiều khoảng bị chặn Trong chương chúng tơi trình bày số vấn đề liên quan đến tốn mơmen chặt cụt. .. cứu tốn mơmen (chặt cụt) đa chiều, đồng thời, nhiều kết toán mômen minh họa tường minh qua trường hợp chiều Chính chúng tơi lựa chọn thực đề tài "Bài tốn mơmen chặt cụt chiều khoảng" nhằm nghiên