Tài liệu Bài giảng Pascal pdf

|Lê Minh Hoàng} Tp bài ging chuyên đ Bài toán lit kê |1} M M   C C L L   C C § 0. GII THIU .2 § 1. NHC LI MT S KIN THC I S T HP .3 I. CHNH HP LP .3 II. CHNH HP KHÔNG LP 3 III. HOÁN V 3 IV. T HP 3 § 2. PHNG PHÁP SINH (GENERATE) .5 I. SINH CÁC DÃY NH PHÂN  DÀI N 6 II. LIT KÊ CÁC TP CON K PHN T .7 III. LIT KÊ CÁC HOÁN V .8 § 3. THUT TOÁN QUAY LUI 12 I. LIT KÊ CÁC DÃY NH PHÂN  DÀI N .13 II. LIT KÊ CÁC TP CON K PHN T .14 III. LIT KÊ CÁC CHNH HP KHÔNG LP CHP K 15 IV. BÀI TOÁN PHÂN TÍCH S .16 V. BÀI TOÁN XP HU .18 § 4. K THUT NHÁNH CN .23 I. BÀI TOÁN TI U 23 II. S BÙNG N T HP 23 III. MÔ HÌNH K THUT NHÁNH CN .23 IV. BÀI TOÁN NGI DU LCH 24 V. DÃY ABC 26 |Lê Minh Hoàng} Tp bài ging chuyên đ Bài toán lit kê |2} § § 0 0 . . G G I I   I I T T H H I I   U U Trong thc t, có mt s bài toán yêu cu ch rõ: trong mt tp các đi tng cho trc có bao nhiêu đi tng tho mãn nhng điu kin nht đnh. Bài toán đó gi là bài toán đm cu hình t hp . Trong lp các bài toán đm, có nhng bài toán còn yêu cu ch rõ nhng cu hình tìm đc tho mãn điu kin đã cho là nhng cu hình nào. Bài toán yêu cu đa ra danh sách các cu hình có th có gi là bài toán lit kê t hp .  gii bài toán lit kê, cn phi xác đnh đc mt thut toán đ có th theo đó ln lt xây dng đc tt c các cu hình đang quan tâm. Có nhiu phng pháp lit kê, nhng chúng cn phi đáp ng đc hai yêu cu di đây: • Không đc lp li mt cu hình • Không đc b sót mt cu hình Có th nói rng, phng pháp lit kê là phng k cui cùng đ gii đc mt s bài toán t hp hin nay. Khó khn chính ca phng pháp này chính là s bùng n t hp.  xây dng 1 t cu hình (con s này không phi là ln đi vi các bài toán t hp - Ví d lit kê các cách xp n ≥ 13 ngi quanh mt bàn tròn) và gi thit rng mi thao tác xây dng mt khong 1 giây, ta phi mt quãng 31 nm mi gii xong. Tuy nhiên cùng vi s phát trin ca máy tính đin t, bng phng pháp lit kê, nhiu bài toán t hp đã tìm thy li gii. Qua đó, ta cng nên bit rng ch nên dùng phng pháp lit kê khi không còn mt phng pháp nào khác tìm ra li gii. Chính nhng n lc gii quyt các bài toán thc t không dùng phng pháp lit kê đã thúc đy s phát trin ca nhiu ngành toán hc. Cui cùng, nhng tên gi sau đây, tuy v ngha không phi đng nht, nhng trong mt s trng hp ngi ta có th dùng ln ngha ca nhau đc. ó là: • Phng pháp lit kê • Phng pháp vét cn trên tp phng án • Phng pháp duyt toàn b |Lê Minh Hoàng} Tp bài ging chuyên đ Bài toán lit kê |3} § § 1 1 . . N N H H   C C L L   I I M M   T T S S   K K I I   N N T T H H   C C     I I S S   T T   H H   P P Cho S là mt tp hu hn gm n phn t và k là mt s t nhiên. Gi X là tp các s nguyên dng t 1 đn k: X = {1, 2, ., k} I. CH NH HP LP Mi ánh x f: X → S. Cho tng ng vi mi i ∈ X, mt và ch mt phn t f(i) ∈ S. c gi là mt chnh hp lp chp k ca S. Nhng do X là tp hu hn (k phn t) nên ánh x f có th xác đnh qua bng các giá tr f(1), f(2), ., f(k). Ví d: S = {A, B, C, D, E, F}; k = 3. Mt ánh x f có th cho nh sau: i 1 23 f(i) E C E Nên ngi ta đng nht f vi dãy giá tr (f(1), f(2), ., f(k)) và coi dãy giá tr này cng là mt chnh hp lp chp k ca S. Nh ví d trên (E, C, E) là mt chnh hp lp chp 3 ca S. D dàng chng minh đc kt qu sau bng quy np hoc bng phng pháp đánh giá kh nng la chn: S chnh hp lp chp k ca tp gm n phn t: k k n nA = II. CH NH HP KHÔNG LP Khi f là đn ánh có ngha là vi ∀ i, j ∈ X ta có f(i) = f(j) ⇔ i = j. Nói mt cách d hiu, khi dãy giá tr f(1), f(2), ., f(k) gm các phn t thuc S khác nhau đôi mt thì f đc gi là mt chnh hp không lp chp k ca S. Ví d mt chnh hp không lp (C, A, E): i 1 23 f(i) C A E S chnh hp không lp chp k ca tp gm n phn t: )!kn( !n )1kn) .(2n)(1n(nA k n − =+−−−= III. HOÁN V  Khi k = n. Mt chnh hp không lp chp n ca S đc gi là mt hoán v các phn t ca S. Ví d: mt hoán v: (A, D, C, E, B, F) ca S = {A, B, C, D, E, F} i 1 23456 f(i) A D C E B F  ý rng khi k = n thì s phn t ca tp X = {1, 2, , n} đúng bng s phn t ca S. Do tính cht đôi mt khác nhau nên dãy f(1), f(2), ., f(n) s lit kê đc ht các phn t trong S. Nh vy f là toàn ánh. Mt khác do gi thit f là chnh hp không lp nên f là đn ánh. Ta có tng ng 1-1 gia các phn t ca X và S, do đó f là song ánh. Vy nên ta có th đnh ngha mt hoán v ca S là mt song ánh gia {1, 2, ., n} và S. S hoán v ca tp gm n phn t = s chnh hp không lp chp n: !nP n = IV. T  HP Mt tp con gm k phn t ca S đc gi là mt t hp chp k ca S. |Lê Minh Hoàng} Tp bài ging chuyên đ Bài toán lit kê |4} Ly mt tp con k phn t ca S, xét tt c k! hoán v ca tp con này. D thy rng các hoán v đó là các chnh hp không lp chp k ca S. Ví d ly tp {A, B, C} là tp con ca tp S trong ví d trên thì: (A, B, C), (C, A, B), (B, C, A), . là các chnh hp không lp chp 3 ca S. iu đó,  các lp di ta thng nghe nói nôm na rng khi lit kê tt c các chnh hp không lp chp k thì mi t hp chp k s đc tính k! ln. Vy: S t hp chp k ca tp gm n phn t: )!kn(!k !n !k A C k n k n − == S tp con ca tp n phn t: nnn n 1 n 0 n 2)11(C .CC =+=+++ |Lê Minh Hoàng} Tp bài ging chuyên đ Bài toán lit kê |5} § § 2 2 . . P P H H     N N G G P P H H Á Á P P S S I I N N H H ( ( G G E E N N E E R R A A T T E E ) ) Phng pháp sinh có th áp dng đ gii bài toán lit kê t hp đt ra nu nh hai điu kin sau tho mãn: 1. Có th xác đnh đc mt th t trên tp các cu hình t hp cn lit kê. T đó có th xác đnh đc cu hình đu tiên và cu hình cui cùng trong th t đã xác đnh 2. Xây dng đc thut toán t cu hình cha phi cu hình cui, sinh ra đc cu hình k tip nó. Phng pháp sinh có th mô t nh sau: <Xây dng cu hình đu tiên>; repeat <a ra cu hình đang có>; <T cu hình đang có sinh ra cu hình k tip nu còn>; until <ht cu hình>; Th t t đin Trên các kiu d liu đn gin chun, ngi ta thng nói ti khái nim th t. Ví d trên kiu s thì có quan h: 1 < 2; 2 < 3; 3 < 10; ., trên kiu ký t Char thì cng có quan h 'A' < 'B'; 'C' < 'c' . Xét quan h th t toàn phn "nh hn hoc bng" ký hiu " ≤ " trên mt tp hp S, là quan h hai ngôi tho mãn bn tính cht: Vi ∀ a, b, c ∈ S • Tính ph bin: Hoc là a ≤ b, hoc b ≤ a; • Tính phn x: a ≤ a • Tính phn đi xng: Nu a ≤ b và b ≤ a thì bt buc a = b. • Tính bc cu: Nu có a ≤ b và b ≤ c thì a ≤ c. Trong trng hp a ≤ b và a ≠ b, ta dùng ký hiu "<" cho gn, (ta ngm hiu các ký hiu nh ≥ , >, khi phi đnh ngha) Ví d nh quan h " ≤ " trên các s nguyên cng nh trên các kiu vô hng, lit kê là quan h th t toàn phn. Trên các dãy hu hn, ngi ta cng xác đnh mt quan h th t: Xét a = (a 1 , a 2 , ., a n ) và b = (b 1 , b 2 , ., b n ); trên các phn t ca a 1 , ., a n , b 1 , ., b n đã có quan h th t " ≤ ". Khi đó a ≤ b nu nh • Hoc a i = b i vi ∀ i: 1 ≤ i ≤ n. • Hoc tn ti mt s nguyên dng k: 1 ≤ k < n đ: a 1 = b 1 a 2 = b 2 . a k-1 = b k-1 a k = b k a k+1 < b k+1 Trong trng hp này, ta có th vit a < b. Th t đó gi là th t t đin trên các dãy đ dài n. Khi đ dài hai dãy a và b không bng nhau, ngi ta cng xác đnh đc th t t đin. Bng cách thêm vào cui dãy a hoc dãy b nhng phn t đc bit gi là phn t ∅ đ đ dài ca a và b bng |Lê Minh Hoàng} Tp bài ging chuyên đ Bài toán lit kê |6} nhau, và coi nhng phn t ∅ này nh hn tt c các phn t khác, ta li đa v xác đnh th t t đin ca hai dãy cùng đ dài. Ví d: • (1, 2, 3, 4) < (5, 6) • (a, b, c) < (a, b, c, d) • 'calculator' < 'computer' I. SINH CÁC DÃY NH  PHÂN  DÀI N Mt dãy nh phân đ dài n là mt dãy x = x 1 x 2 .x n trong đó x i ∈ {0, 1} ( ∀ i : 1 ≤ i ≤ n). D thy: mt dãy nh phân x đ dài n là biu din nh phân ca mt giá tr nguyên p(x) nào đó nm trong đon [0, 2 n - 1]. S các dãy nh phân đ dài n = s các s nguyên ∈ [0, 2 n - 1] = 2 n . Ta s lp chng trình lit kê các dãy nh phân theo th t t đin có ngha là s lit kê ln lt các dãy nh phân biu din các s nguyên theo th t 0, 1, ., 2 n -1. Ví d: Khi n = 3, các dãy nh phân đ dài 3 đc lit kê nh sau: p(x) 0 1 234567 x 000 001 010011 100 101110 111 Nh vy dãy đu tiên s là 00 .0 và dãy cui cùng s là 11 .1. Nhn xét rng nu dãy x = (x 1 , x 2 , ., x n ) là dãy đang có và không phi dãy cui cùng thì dãy k tip s nhn đc bng cách cng thêm 1 ( theo c s 2 có nh) vào dãy hin ti. Ví d khi n = 8: Dãy đang có: 10010000 Dãy đang có: 10010111 cng thêm 1: + 1 cng thêm 1: + 1       Dãy mi: 10010001 Dãy mi: 10011000 Nh vy k thut sinh cu hình k tip t cu hình hin ti có th mô t nh sau: Xét t cui dãy v đu (xét t hàng đn v lên), gp s 0 đu tiên thì thay nó bng s 1 và đt tt c các phn t phía sau v trí đó bng 0. i := n; while (i > 0) and (x i = 1) do i := i - 1; if i > 0 then begin x i := 1; for j := i + 1 to n do x j := 0; end; Ta có th kt hp k thut đm đ có th bit đc cu hình hin ti là cu hình th my. iu kin ht cu hình có th kim tra xem cu hình cui 11 .1 đã đc sinh ra hay cha hoc đã sinh ra đ 2 n cu hình cha. PROG2_1 * Thut toán sinh lit kê các dãy nh phân đ dài n program Binary_Strings; const max = 30; var x: array[1 max] of Integer; n, i: Integer; Count: LongInt; begin Write('n = '); Readln(n); FillChar(x, SizeOf(x), 0); {C u hình ban đu x 1 = x 2 = . = x n := 0} Count := 0; {Bi n đm} repeat {Thu t toán sinh} Inc(Count); Write(Count:10,'. '); {In ra c u hình hin ti là th my} for i := 1 to n do Write(x[i]); |Lê Minh Hoàng} Tp bài ging chuyên đ Bài toán lit kê |7} Writeln; i := n; {x i là ph n t cui dãy, lùi dn i cho ti khi gp s 0 hoc khi i = 0 thì dng} while (i > 0) and (x[i] = 1) do Dec(i); if i > 0 then {Ch a gp phi cu hình 11 .1} begin x[i] := 1; {Thay x i b ng s 1} FillChar(x[i + 1], (n - i) * SizeOf(x[1]), 0); {t x i + 1 = x i + 2 = . = x n := 0} end; until i = 0; {ã ht cu hình} end. Ví d v Input / Output ca chng trình: n = 4 1. 0000 2. 0001 3. 0010 4. 0011 5. 0100 6. 0101 7. 0110 8. 0111 9. 1000 10. 1001 11. 1010 12. 1011 13. 1100 14. 1101 15. 1110 16. 1111 II. LI T KÊ CÁC TP CON K PHN T Ta s lp chng trình lit kê các tp con k phn t ca tp {1, 2, ., n} theo th t t đin Ví d: vi n = 5, k = 3, ta phi lit kê đ 10 tp con: 1.{1, 2, 3} 2.{1, 2, 4} 3.{1, 2, 5} 4.{1, 3, 4} 5.{1, 3, 5} 6.{1, 4, 5} 7.{2, 3, 4} 8.{2, 3, 5} 9.{2, 4, 5} 10.{3, 4, 5} Nh vy tp con đu tiên (cu hình khi to) là {1, 2, ., k}. Cu hình kt thúc là {n - k + 1, n - k + 2, ., n}. Nhn xét: Ta s in ra tp con bng cách in ra ln lt các phn t ca nó theo th t tng dn. T đó, ta có nhn xét nu x = {x 1 , x 2 , ., x k } và x 1 < x 2 < . < x k thì gii hn trên (giá tr ln nht có th nhn) ca x k là n, ca x k-1 là n - 1, ca x k-2 là n - 2 . C th: gii hn trên ca x i = n - k + i; Còn tt nhiên, gii hn di ca x i (giá tr nh nht x i có th nhn) là x i-1 + 1 . Nh vy nu ta đang có mt dãy x đi din cho mt tp con, nu x là cu hình kt thúc có ngha là tt c các phn t trong x đu đã đt ti gii hn trên thì quá trình sinh kt thúc, nu không thì ta phi sinh ra mt dãy x mi tng dn tho mãn va đ ln hn dãy c theo ngha không có mt tp con k phn t nào chen gia chúng khi sp th t t đin. Ví d: n = 9, k = 6. Cu hình đang có x = {1, 2, 6, 7, 8, 9}. Các phn t x 3 đn x 6 đã đt ti gii hn trên nên đ sinh cu hình mi ta không th sinh bng cách tng mt phn t trong s các x 6 , x 5 , x 4 , x 3 lên đc, ta phi tng x 2 = 2 lên thành x 2 = 3. c cu hình mi là x = {1, 3, 6, 7, 8, 9}. Cu hình này đã tho mãn ln hn cu hình trc nhng cha tho mãn tính cht va đ ln mun vy ta li thay x 3 , x 4 , x 5 , x 6 bng các gii hn di ca nó. Tc là: • x 3 := x 2 + 1 = 4 • x 4 := x 3 + 1 = 5 • x 5 := x 4 + 1 = 6 |Lê Minh Hoàng} Tp bài ging chuyên đ Bài toán lit kê |8} • x 6 := x 5 + 1 = 7 Ta đc cu hình mi x = {1, 3, 4, 5, 6, 7} là cu hình k tip. Nu mun tìm tip, ta li nhn thy rng x 6 = 7 cha đt gii hn trên, nh vy ch cn tng x 6 lên 1 là đc x = {1, 3, 4, 5, 6, 8} . Vy k thut sinh tp con k tip t tp đã có x có th xây dng nh sau: • Tìm t cui dãy lên đu cho ti khi gp mt phn t x i cha đt gii hn trên n - k + i. i := n; while (i > 0) and (x i = n - k + i) do i := i - 1; (1, 2, 6, 7, 8, 9); • Nu tìm thy: if i > 0 then ♦ Tng x i đó lên 1. x i := x i + 1; (1, 3, 6, 7, 8, 9) ♦ t tt c các phn t phía sau x i bng gii hn di: for j := i + 1 to k do x j := x j-1 + 1; (1, 3, 4, 5, 6, 7) PROG2_2.PAS * Thut toán sinh lit kê các tp con k phn t program Combinations; const max = 30; var x: array[1 max] of Integer; n, k, i, j: Integer; Count: Longint; begin Write('n, k = '); Readln(n, k); for i := 1 to k do x[i] := i; {x 1 := 1; x 2 := 2; . ; x 3 := k (C u hình khi to)} Count := 0; {Bi n đm} repeat Inc(Count); Write(Count : 10, '. { '); {In ra c u hình hin ti} for i := 1 to k do Write(x[i],' '); Writeln('}'); i := k; {x i là ph n t cui dãy, lùi dn i cho ti khi gp mt x i ch a đt gii hn trên n - k + i} while (i > 0) and (x[i] = n - k + i) do Dec(i); if i > 0 then {N u cha lù i đn 0 có ngha là cha phi cu hình kt thúc} begin Inc(x[i]); {Tng x i lên 1, t các phn t đng sau x i b ng gii hn di ca nó} for j := i + 1 to k do x[j] := x[j - 1] + 1; end; until i = 0; {Lùi đn tn 0 có ngha là tt c các phn t đã đt gii hn trên - ht cu hình} end. Ví d v Input / Output ca chng trình: n, k = 5 3 1. { 1 2 3 } 2. { 1 2 4 } 3. { 1 2 5 } 4. { 1 3 4 } 5. { 1 3 5 } 6. { 1 4 5 } 7. { 2 3 4 } 8. { 2 3 5 } 9. { 2 4 5 } 10. { 3 4 5 } III. LI T KÊ CÁC HOÁN V Ta s lp chng trình lit kê các hoán v ca {1, 2, ., n} theo th t t đin. Ví d vi n = 4, ta phi lit kê đ 24 hoán v: [...]... 1 2 1 3 2 Bài t p: S a l i th t c in k t qu (PrintResult) trong bài có th v hình bàn c và các cách t h u ra màn hình 2 Bài toán mã i tu n: Cho bàn c t ng quát kích th c nxn và m t quân Mã, hãy ch ra m t hành trình c a quân Mã xu t phát t ô ang ng i qua t t c các ô còn l i c a bàn c , m i ô úng l n |Lê Minh Hoàng} T p bài gi ng chuyên |2 } Bài toán li t kê 3 Chuy n t t c các bài t p trong bài tr c... hình k ti p cho m i bài toán u n gi n nh trên (Sinh các ch nh h p không l p ch p k theo th t t i n ch ng h n) Ta sang m t chuyên m c sau nói n m t ph ng pháp li t kê có tính ph d ng cao h n, gi i các bài toán li t kê ph c t p h n ó là: Thu t toán quay lui (Back tracking) |Lê Minh Hoàng} T p bài gi ng chuyên | 2} Bài toán li t kê §3 THU T TOÁN QUAY LUI Thu t toán quay lui dùng gi i bài toán li t kê các... ó chính là ngu n g c c a tên g i "thu t toán quay lui" |Lê Minh Hoàng} T p bài gi ng chuyên Bài toán li t kê |23} §4 K THU T NHÁNH C N I BÀI TOÁN T I U M t trong nh ng bài toán t ra trong th c t là vi c tìm ra m t nghi m tho mãn m t s i u ki n nào ó, và nghi m ó là t t nh t theo m t ch tiêu c th , nghiên c u l i gi i các l p bài toán t i u thu c v l nh v c quy ho ch toán h c Tuy nhiên c ng c n ph i... 4 (()(())) 5 ()((())) Bài toán t ra là khi cho bi t tr c hai s nguyên d ng n và k Hãy li t kê h t các dãy ngo c h p l có dài là n và sâu là k (làm c v i n càng l n càng t t) |Lê Minh Hoàng} T p bài gi ng chuyên C u trúc d li u và gi i thu t | } M CL C §0 CÁC B C C B N KHI TI N HÀNH GI I CÁC BÀI TOÁN TIN H C .3 I XÁC NH BÀI TOÁN 3 II TÌM C U TRÚC D LI U BI U DI N BÀI TOÁN 3 III... .80 |Lê Minh Hoàng} §0 CÁC B I XÁC T p bài gi ng chuyên CC C u trúc d li u và gi i thu t |3} B N KHI TI N HÀNH GI I CÁC BÀI TOÁN TIN H C NH BÀI TOÁN Input → Process → Output (D li u vào → X lý → K t qu ra) Vi c xác nh bài toán t c là ph i xác nh xem ta ph i gi i quy t v n gì?, v i gi thi t nào ã cho và l i gi i c n ph i t nh ng yêu c u nào Khác v i bài toán thu n tuý toán h c ch c n xác nh rõ... tích c a các s ó là l n nh t Trên th c t , ta nên xét m t vài tr ng h p c th thông qua ó hi u c bài toán rõ h n và th y c các thao tác c n ph i ti n hành i v i nh ng bài toán n gi n, ôi khi ch c n qua ví d là ta ã có th a v m t bài toán quen thu c gi i II TÌM C U TRÚC D LI U BI U DI N BÀI TOÁN Khi gi i m t bài toán, ta c n ph i nh ngh a t p h p d li u bi u di n tình tr ng c th Vi c l a ch n này tu thu... '->'); Writeln(1); Writeln('Chi phi: ', MinSpending); end; |Lê Minh Hoàng} T p bài gi ng chuyên |26} Bài toán li t kê begin Enter; Init; Try(2); PrintResult; end Trên ây là m t gi i pháp nhánh c n còn r t thô s gi i bài toán ng i du l ch, trên th c t ng i ta còn có nhi u cách ánh giá nhánh c n ch t h n n a Hãy tham kh o các tài li u khác tìm hi u v nh ng ph ng pháp ó V DÃY ABC Cho tr c m t s nguyên d... nh v y ngay trong cách tìm, nó ã ti t ki m s d ng ký t 'C' nh t nên trong ph n l n các b d li u nó nhanh chóng tìm ra l i gi i h n so v i bài toán t ng ng tìm xâu ít ký t 'B' nh t |Lê Minh Hoàng} T p bài gi ng chuyên Bài toán li t kê |28} Chính vì v y mà n u nh bài yêu c u ít ký t 'B' nh t ta c l p ch ng trình làm yêu c u ít ký t 'C' nh t, ch có i u khi in k t qu , ta i vai trò 'B', 'C' cho nhau ây... Qua ó ta có th th y tính ph d ng c a thu t toán quay lui: mô hình cài t có th thích h p cho nhi u bài toán, khác v i ph ng pháp sinh tu n t , v i m i bài toán l i ph i có m t thu t toán sinh k ti p riêng làm cho vi c cài t m i bài m t khác, bên c nh ó, không ph i thu t toán sinh k ti p nào c ng d cài t Bài t p Ch ng trình trên ho t ng không t t trong tr ng h p t m th ng: k = 0 ho c n = 0; hãy kh c... ng trên ph ng di n cài t có th nên g i là k thu t vét c n b ng quay lui thì chính xác h n, tuy nhiên ng trên ph ng di n bài toán, n u nh ta coi công vi c gi i bài toán b ng cách xét t t c các kh n ng c ng là cách gi i thì tên g i Thu t toán quay |Lê Minh Hoàng} T p bài gi ng chuyên Bài toán li t kê |22} lui c ng không có gì trái logic Xét ho t ng c a ch ng trình trên cây tìm ki m quay lui ta th y t . tho mãn nhng điu kin nht đnh. Bài toán đó gi là bài toán đm cu hình t hp . Trong lp các bài toán đm, có nhng bài toán còn yêu cu ch rõ nhng. |Lê Minh Hoàng} Tp bài ging chuyên đ Bài toán lit kê |2} § § 0 0 . . G G I I   I I T T H H I I   U U Trong thc t, có mt s bài toán yêu cu ch