Chuyen de 3 BDT AM GM cauchy SChwarz lop 8

BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM I LÝ THUYẾT Tên gọi: Bất đẳng thức AM- GM (Cauchy) hay gọi BĐT Trung bình cộng Trung bình nhân Ngồi số sách số giáo viên thường gọi Cơ si Định nghĩa: Trung bình cộng n số thực không âm lớn trung bình nhân chúng trung bình cộng trung bình nhân n số Tổng quát: Ở cấp THCS, Tài liệu xin phép đưa hai công thức tổng quát sau: a b � ab , Dấu “ = “ a  b a b c �33 abc , Dấu “ = “ a  b  c Với a,b,c �0 Với a,b�0 II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: ÁP DỤNG TRỰC TIẾP CÔNG THỨC Bài 1: Cho x, y , z �0 , CMR :  x  y   y  z   z  x  �8 xyz HD: Áp dụng Cô si cho hai số x, y �0 , ta có: x  y �2 xy , � �y  z �2 yz Làm tương tự ta có : � �z  x �2 zx  x  y   y  z   z  x  �8xyz , Nhân theo vế ta được: �x  y � Dấu “ = “ khi: �y  z  x  y  z �z  x � Bài 2: Cho a,b, c  abc  , CMR:  a  1  b  1  c  1 �8 HD : Áp dụng Cô si cho hai số không âm a,1 , ta có : a  �2 a � b  �2 b �   a  1  b  1  c  1 �8 abc  c  �2 c � Dấu “ = “ khi: a  b  c  Bài 3: Cho a,b không âm CMR:  a  b   ab  1 �4ab Tương tự ta có : � HD : Áp dụng Cô si cho hai số không âm a,b , ta có : a  b �2 ab Tương tự : ab  �2 ab , nhân theo vế ta :  a  b   ab  1 �4ab �a  b Dấu “ = “ � �ab   a  b  Trang Bài 4: Cho số x,y,z >0, CMR: x y z   �3 y z x HD: �x  yz �2 x y z x y z x y z Ta có:   �3  , Dấu    �y  xz  x  y  z y z x y z x y z x �z  xy � 4 4 Bài 5: CMR: a  b  c  d �4abcd , Với a,b,c,d HD : Vì a , b , c , d số dương => a  b4  c  d �4  abcd   4abcd Dấu “ = “ a  b  c  d Bài 6: Cho a,b,c, d  0; abcd  CMR: a  b2  c  d  ab  cd �6 HD : a  b �2ab �  a  b  c  d  ab  cd �3  ab  cd  �3.2 abcd  Ta có : �2 c  d �2cd � Dấu “ = “ a=b=c=1 a2 b2 c2 c b a Bài 7: CMR:   �   b c a b a c HD: a2 b2 a a2 b2 ; , ta có :  �2 , 2 b c b c c 2 2 b c b c a c Tương tự :  �2 ,  �2 c a a a b b 2 �a b c � �a b c � Cộng theo vế ta : 2�   ��2�   � VT �VP �b c a � �c a b � Dấu “ = “ xảy khi: a  b  c bc ca ab   �a  b  c Bài 8: Cho a,b,c > CMR: a b c Áp dụng Cô si cho hai số không âm HD : bc ca �b a �   c �  ��2c , a b �a b � ca ab �c b �   a �  ��2a Tương tự: b c �b c � ab bc �a c �   b �  ��2b c a �c a � Cộng theo vế ta được: 2VT �2VP a b c �1 1 � Bài 9: Cho a,b,c  CMR : 2  2  2 � �   � a b b c c a �a b c � Ta có: HD: Áp dụng Cô si cho hai số a2,b2  0, ta có: a2  b2 �2ab Làm tương tự ta có � b  c �2bc a b c 1 1 �1 1 � �  VT �       �  � �2 2ab 2bc 2ca 2b 2c 2a �a b c � c  a �2ca � Trang �a  b � Dấu “ = “ khi: �b  c  a  b  c � c a � �1 � 1� Bài 10: CMR: Với a,b,c  , P   a  b  c  �   ��9 a b c � HD: Áp dụng Cơ si cho ba số dương, ta có: a  b  c �3 abc 1 1   �3 a b c abc �1 1 � � � �a  b  c � Dấu “ = “ khi: �1 1  a  b  c   � �a b c Nhân theo vế ta được:  a  b  c  �   ��9 a b c Chú ý: Với A, B, C dương ta có: 1   � A B C A B C Bài 11: Cho a,b,c �0 a  b  c �3 CMR : HD: a b c 1   � �   2 1 a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c �a � � 1 a � a �2a � � �b � b  2b � � 1 b � * Ta có: �  c � c � �c � � 1 c � a b c 1    �    2 1 a 1 b 1 c 2 2 1 a  x � �  b  y  x  y  z  a  b  c  �6  �6 * Đặt � x yz � 1 c  z � 1 Cần chứng minh: B    � x y z �1 1� 1 9 �  Ta có:  x  y  z  �   ��9    � x y z x yz �x y z � 1 Suy B    � x y z Trang Bài 12: Cho a,b,c ba số dương, CMR: HD: a b c   � bc ca ab �1 1� Ta có: Áp dụng bất đẳng thức :  x  y  z  �   ��9 x y z � � �x  a  b 1 � � �1   Đặt �y  b  c   a  b  c  � ��9 a  b b  c c  a � � �z  c  a � abc abc abc a b c    �    � 3  ab bc ca bc ca ab 2 a b   � Bài 13: Cho a,b > 0, CMR: b 1 a 1 a  b HD : 1 � �a � �b ��1 � �1 VT  �  1� �  1� �  1�   a  b  1 �   � �b  � �a  � �a  b � �b  a  a  b � 1 � �1  �    a  1   b  1   a  b  � � � �   � � 2 �a  b  a  b � a b c   �3 Bài 14: Với a, b, c độ dài ba cạnh tam giác CMR: bca cab abc HD : Ta có : VT �3 abc  b  c  a  c  a  b  a  b  c Lại có :  b  c  a    c  a  b  �2  b  c  a   c  a  b   b  c  a   c  a  b  , Tương tự ta có : a �  c  a  b   a  b  c  b �  b  c  a   a  b  c  => abc � b  c  a   c  a  b   a  b  c  =>  2c �2 abc �1  VT �3   b  c  a  c  a  b  a  b  c 1 abc   � Bài 15: Cho a,b,c > 0, CMR: a  bc b  ac c  ab 2abc HD : Co si cho hai số : a , bc , Ta được: a  bc �2a bc  1 �1 � �  � �  � a  bc 2a bc a  bc �ab bc � Tương tự ta có : �1 � �1 � � �  �và � �  � b  ac �ab bc � c  ab �ca cb � 1 a bc abc  VT � Cộng theo vế ta : 2VT �    ab bc ca abc 2abc Dạng 2: TÌM ĐIỂM RƠI CỦA BĐT AM- GM Trang Nhận dạng xử lý: - Với tốn có điều kiện ẩn, điểm rơi thường điểm biên ẩn - Với ẩn có vai trị biểu thức điểm rơi ẩn có giá trị Phương pháp : - Thay giá trị điểm rơi vào biểu thức muốn AM – GM, để tách biểu thức cho Cơ si xảy dấu - Ta hạ bậc nâng bậc biểu thức để Cô si để biểu thức sau Cô si ý Dạng 2.1: Điểm rơi cho Cô - si hai số a Bài 1: Cho a �2, CMR : a  � HD : a 1  k a  k  k  1 a 3a a 3a 3a   1 �1   Khi ta có : a     �2 a a 4 4a 4 2 �1 a �  Dấu �a  a  � �a  Bài 2: Cho a �3 , Tìm GTNN của: S  a  a Dự đoán dấu : a = =>  HD : 1   k  k  a 8.3 10 �1 a � 8a    Khi ta có : S  �  � �  9 3 �a � 10 Vậy Min S  Bài 3: Cho x �1 , Tìm GTNN của: A  3x  2x Dự đoán dấu : a   HD : 1   k  k  2x 5.1 �1 x � x  1  Khi : A  �  � �  2 �2 x � 1 Bài 4: Cho a,b > 0, a  b �1, CMR : a  b   �5 a b Dự đoán dấu x   HD : a b 1 � 1  a  b     k  k  ab a � Dự đoán dấu � �1 � �1 � �1 � �1 � � �� �� �� � �2    a  b  , Mà a  b �1  3  a  b  �3 Khi : VT  �  a � �  b � �  4a � �  4b �  a  b  a b a b Trang  VT �4    Bài 5: Cho hai số thực x, y thỏa mãn : x �3; y �3 � 1� � 1� � � � � Tìm GTNN biểu thức : A  21�x  � 3�y  � y x HD : � 1� � 1� A  21�x  � 3�y  � � y� � x� �21 � �3 x � 62 A  �  y� �  � y  x �y � �x � 62 A �2.7 2.1 3  80 3 Dấu = có x = y =3 Bài 6: Cho x  y  0, Tìm GTNN của: P  x2  y xy HD : x y x  , đặt  a  a �2  P  a  y x y a 1 �1 a � 3a Dự đoán dấu : a     k  k   P  �  � a �a � 3.2 P�   1  2 4 1 Bài 7: Cho a �10, b �100, c �1000, Tìm GTNN của: A  a   b   c  a b c HD : 1 Dự đoán dấu : a  10    k 10  k  , Tương tự với b c, a 10 100 Khi ta có : 99.10 101 �1 a � 99a B�  �   , Tương tự với b c � 10 100 100 �a 100 � 100 Bài 8: Cho a,b,c ba số thực dương thỏa mãn: a  b  c �1 , 1 Tìm GTNN của: P  a  b  c    a b c HD : �1 � �1 � �1 � Dấu a  b  c  , Khi P  �  9a � �  9b � �  9c �  a  b  c  �a � �b � �c � P �2     a  b  c  Mà a  b  c �1  8  a  b  c  �8 Ta có : P  Vậy P �6     10 Bài 9: Cho a,b,c ba số thực dương thỏa mãn: a  b  c � , a b Tìm GTNN của: P  a  b  c    c HD : Dự đoán dấu : a  b  c  �1 � �1 � �1 �  P  �  4a � �  4b � �  4c �  a  b  c  �a � �b � �c � Trang 15 P �4     2 Bài 10: Cho a,b,c ba số thực dương thỏa mãn: a  b  c �1 , �1 � 1� Tìm GTNN của: P  a  b  c  �   � a b c � HD : 2� � 2� � 2� � 18a  � � 18b  � � 18c  � 17  a  b  c   P �19 Khi đó: P  � a�� b� � c� � Dự đoán dấu a  b  c  Bài 11: Cho a,b số thực dương thỏa mãn: a  b �1 , Tìm GTNN của: S  ab  ab HD : Dự đoán dấu : a  b  � � 1    16ab ab � � 16ab  � 15ab �2 16  15ab Khi ta có : S  � ab 15 4 mà a  b �2 ab  �2 ab  ab �  15ab � Vậy S �2.4  15 15 17  8  4 2 Bài 12: Cho x,y dương thỏa mãn: x  y  , Tìm GTNN của: P  x  y  33 xy HD : 33 k , nên xy    k  32 đó: xy 4 1 32 1 �   P �2.8  P  xy   �2 64  , Mà: xy  x  y  4 xy xy xy 1 Bài 13: Cho a,b 0,a b  , Tìm GTNN P  a2  b2   a b HD: Dấu = a  b  �1 � 15 15 2  �2  Ta có: P  a  b  �  ��2ab   2ab  ab 8ab 8ab 8ab �a b � 1 15 15 �4  � , Thay vào P ta được: Mà  a  b �2 ab  ab �  ab 8ab 15 17 P �1  2 ab ab  Bài 14: Cho a,b  Tìm GTNN của: P  ab a  b HD : �a  b ab  � Dự đoán dấu : �m ab a  b  m  �a  b � Dự đoán dấu = khi: x  y  đó: P �2 xy    Trang ab ab a  b 3.2 ab 3.2   �2   1  4 ab 4 ab a  b ab Bài 15: Cho x  , Tìm GTNN A  4x2  3x   2019 4x Khi ta có : P  HD : Bấm máy, Cho x chạy từ đến 5, Tìm điểm rơi x  Biến đổi A   4x2  4x  1  x  Bài 16: Cho a,b  0, a  b  2 1  2018 � 2x  1   2018  2019 4x , Tìm GTNN A   a 4b HD : Bấm máy tính, Tìm điểm rơi : a  1;b  � 4� � 1� � �� � Khi : A  �4a  � �4b  � 4 a  b �2 16    a 4b a b Bài 17: Cho a  b  0,a  b �6 , Tìm GTNN A  3a  2b   HD : Bấm máy, tìm điểm rơi : a  2;b  Khi ta có : � 6� � � �6 3a � �8 b � 3 A � 3a  � � 2b  � �  � �  �  a  b �2    19 b � �a � �b 2� 2 � a� � Bài 18: Cho x,y số thực dương thỏa mãn: x  y �6 , Tìm GTNN của: 10 P  5x  y   x y HD : Dấu : x �y , Bấm máy , Tìm điểm rơi x  2, y  10   k.5.2  k  ,,   3.4.h  h  x 10 x � �8 y � x y � => P  �  � �  �  �2.5  2.2   29 2 �x � �y � Khi ta có : x   x y 2 Bài 19: Cho x, y  x  2y �2 , Tìm GTNN A  2x  16y   HD : 2 3 � 2� � 3� 2 16y  � Khi : A  x   4y     �4x  16y    �4x  � � x y x y � x� � y� Bài 20: Cho a,b,c số thực dương thỏa mãn : a  2b  3c �20, Tìm GTNN của: P  a  b  c    a 2b c Dự đoán điểm rơi : x  2y   x   2y Thay vào A, bấm máy cho ta x  1; y   HD :    Bấm máy, tìm điểm rơi : a  2; b  3;c  Trang �3 3a � �9 b � �4 c� a b 3c Khi : P  �  � �  � �  �   �a � �2b � �c � 4 P �3    1  a  2b  3c  �8  20 4 a2  b2 Bài 21: Cho a,b  thỏa mãn : a �2b , Tìm GTNN biểu thức A  ab HD : a b a  , Đặt  t, t �2 , Khi A  t  b a b t �t 1� 3t 3.2  Dấu xảy t  , Nên A  �  � �  4 �4 t � Ta chia xuống, : A  Bài 22: Cho x, y  thỏa mãn: xy  �2y , Tìm GTNN A  x2  2y2 xy HD: Từ 2y �xy  �4 xy  y �2 x  x � y x 2y � 1� x  , Đặt  t,�t � � y y x � 4� Khi A  t  , Dấu = t  t 2a2  b2  2ab Bài 23: Cho a,b  thỏa mãn: a �2b Tìm GTNN P  ab Từ A chia xuống ta được: A  HD: 2.a b a   , Đặt  t, t �2 , Khi P  2t   b a b t � t � 7t 7.2  2 Dấu xảy t   P  �  �  �  4 �t � 1 �3 Bài 24: CMR với a,b > thỏa mãn: ab=1, ta có BĐT:   a b a b Ta chia xuống, được: P  HD : ab 2 a  b �a  b � ab   a b  �    1  �� ab a  b ab ab� �2 a b2 c Bài 25: CMR: với a,b,c > :   �a  b  c b c a Ta có :  HD: �a � �b � �c �  b   c Ta có: � �� � �  a �  a  b  c  �2a  2b  2c   a  b  c   a  b  c  VP �b � �c � �a � a b c 1 Bài 26: Cho a,b,c>0, CMR:   �   b c a a b c HD : Trang �a �b  a �b � 1 �b �1 1 � Ta có : �  �  VT    �2 �   �=> ĐPCM a b c �a b c � �c b c �c �a  c �a � Bài 27: Cho a,b,c > 0, CMR: HD : a2 b2 c2 abc   � bc ca ab �a bc � b2 ca c2 ab  � a Ta có : �  �b  �c � , Tương tự ta có : � ca ab �b  c Cộng theo vế ta : abc abc �a  b  c  VT � 2 a2 b2 c2 a b c Bài 28: Cho a,b,c  , Chứng minh rằng:   � b  2c c  2a a  2b VT  HD: Dự đoán dấu = a  b  c , Khi đó: a2 a2 a    k. b  2c  k.3a  k  b  2c 3a a2 b  2c a2 2a , làm tương tự cộng theo vế ta được:  �2  b  2c 9 3 a  b  c 2 a  b  c 2 a  b  c  a  b  c a  b  c VT  �  VT �   3 3 2 x y z   Bài 29: Cho x,y,z > 0, x+y+z = 2, tìm GTNN của: P  yz xz x y Ta biến đổi: HD : Dự đoán dấu x  y  z  Nên : x2 yz    k  , Khi : yz k x2 yz x yz x y z  �x , Tương tự ta có : P  �x  y  z  P � 1 yz 2 Bài 30: Cho x,y > 1, CMR : x2 y2  �8 y 1 x 1 HD : x2 x2    x  y  Dự đoán dấu x  y , Thay vào ta : x 1 x y   y  1 �4 x   x  1 �4 y y 1 x 1 VT �4  x  y    y  1   x  1  Khi : a b3 c Bài 31: Cho a,b,c > 0, CMR :   �ab  bc  ca b c a HD: �a b3 c3 2�� 2�� 2� 2 Ta có: �  b � �  c � �  a �  a  b  c  b c a � �� �� � Trang 10 x 1 a3  b3 ab  a  b  Mà: �  a  a  b   a  ab b b b c3 Tương tự =>  c �b  bc,  a �c  ca c a 2 2 2 Khi VT � a  b  c    ab  bc  ca    a  b  c   ab  bc  ca Bài 32: Cho a,b,c  , Chứng minh : P  HD: a3 b3 c3 a2  b2  c2   � b  2c c  2a a  2b Dấu a  b  c , để sau Cô si cịn a2 ta làm sau: a b  2c 2.a2 a2 , Làm tương tự cộng theo vế ta được:  � b  2c 3 ab  bc  ca 2 2 ab  bc  ca P � a  b  c  P � a2  b2  c2  3 a2  b2  c2 a2  b2  c2 2 2 2 a  b  c �ab  bc  ca    ab  bc  ca � a  b  c  P �  3 2 a b c P� Bài 33: Cho x, y  0, xy �6, y �3 , Tìm GTNN P  x  y  2019 Xét      HD :  Dự đoán điểm rơi y  3, x  , Khi y  x  , Cô si cho hai số x  1; y  , ta :   P   x  1  y  2018 �2 y x  1  2018  xy  y  2018 �2   2018  2024 Bài 34: Cho x, y �0, x  y  , Tìm GTLN GTNN A  x2  y2 HD: � �x �x  A �x  y  Ta có: �x, y �1  � �y �y Mặt khác, dự đoán dấu “=” x  y  , �2 x  �x � 1 �  A  �x  y   A � Khi đó: � 2 �y2  �y � Trang 11 Dạng 2.2 : Điểm rơi cho Cô- si số Bài 1: Cho a �2, Tìm Min của: S  a  a2 HD : 1   h.2  h  , Khi ta có : a 3.2 �a a � 3a S �   �  �3     64 4 4 �8 a � Bài 2: Cho a �2 , Tìm GTNN : P  x  x Dự đoán dấu a = => HD : 3   k.x  2k  k  x �3x 3x x � �3 3x 3x � x 11     Khi : P   �   � �   � �3.3.3 8�4 64 4 4 x �8 � �x 1 Bài 3: Cho  a � , Tìm Min của: S  2a  2 a Dự đoán dấu = x  , Khi : HD ; 1    k  k  , Khi ta có : a �1 � S  �  8a  8a � 14a �3 64  14a , mà a �  14a �7  S �3.4   �a � 1 Bài 4: Cho a,b số thực thỏa mãn: a  b �1 , Tìm A  a  b   a b Dự đoán dấu a  HD : Dự đoán dấu a  b   S �3.4  3.4  15.1  �� 1� �  A  � 8a  8a  � � 8b  9b  � 15  a  b  a �� b � � Bài 5: Cho a,b,c số thực dương thỏa mãn: a  b  c � , Tìm Min P  abc 1   a b2 c HD : �� �� 1� � 8a  8a  � � 8b  8b  � � 8c  8c  � 15  a  b  c  Khi đoa : P  � a �� b �� c � � 45 27 P �3.4  3.4  3.4  15  36   2 Bài 6: Cho a,b,c số thực dương thỏa mãn: a  b  c � , Tìm Min: 1 A  a2  b2  c2    a b c Dấu a  b  c  HD : Dấu : a  b  c  Trang 12 � �2 1 � �2 1 � �1 1 � �2  P  � a   � � b   � � c   � �   � � 8a 8a � � 8b 8b � � 8c 8c � �a b c � 3 3� � 27 P�    � � 4 4 �a  b  c � 4 Bài 7: Cho x �2 , Tìm GTNN : P  2x   x x HD :   k.x  k.2  k  , Vậy ta tách : 2 x �x x � �4 x x � � � P  �   x�   �   � �x  �, lại nhẩm tiếp : �2 � x x �x 2 � � x � 3   k.x  k.2  k  x Dự đoán dấu = x  , Khi : �4 �x x x � �3 3x � x 13  � �  � �3   3 3  2 � �x � 4 2 Bài 8: Cho a,b,c ba số thực dương thỏa mãn: a  b  c  , a3 b3 c3 A    Tìm Min của: 2   a    b   c2 Nên P  �    HD : Dấu a  b  c  a3 1 a c3  1 c Khi : 1 a 1 a b3 1 b 1 b   � a , Tương tự ta có :   � b 8 8  1 b  1 c 1 c  � c 8 Bài 9: Cho a,b,c  , thỏa mãn : ab  bc  ca  , Tìm GTNN P  HD : a3 b3 c3    1 b  1 c  1 c  1 a  1 a  1 b Dự đoán dấu a  b  c  a3 1 b 1 c a3 3a   �3  Xét , Làm tương tự cộng theo vế ta : 64  1 b  1 c 8 3 a  b  c a  b  c a  b  c  P �     4 4 4 3 Mà  a  b  c �3 ab  bc  ca   a  b  c �3 , Thay vào P ta : P �   4 3 x y z3   Bài 10: Cho x, y, z  thỏa mãn : xy  yz  zx �3 , Tìm GTNN : P  y z  x  P HD :  a  1   b  1   c  1 �3 a  b  c Dự đoán dấu x  y  z  x3 y  1 3.x   � Xét y 2 , Làm tương tự cộng theo vế ta : Trang 13 P 5 x  y  z x  y  z 3 3 x  y  z   �  P �  4 2 4 Mà  x  y  z �3 xy  yz  zx �3.3   x  y  z �3 , 5.3   4 Thay vào P ta : P � Bài 11: Cho x, y, z  thỏa mãn: x  y  z  11 , Tìm GTNN P  x3  4y3  9z3 HD: Các thầy bấm máy tính để tìm điểm rơi Hoặc phân tích theo cách sau: Dự đoán x  a, y  b, z  c  a  b  c  11 P �k  x  y  z Áp dụng cô si cho số x3,a3, a3 ta được: x3  a3  a3 �3xa2 Tương tự ta có : y3  b3  b3 �3yb2 Và z3  c3  c3 �3zc2 Để có biểu thức P ta cộng (1)  4.(2)  9(3) ta : (1) (2) (3)  x  2a   4 y  2b   9 z  2c  �3 a x  b y c z  P  2 a  4b  9c  �3 a x  4b y  9c z , đồng với k  x  y  z 3 3 3 3 2 2 2 ta : a2  4b2  9c2  a  2b  3c , mà a  b  c  11 a   x,b   y,c   z Giờ ta quay lại làm hồn thiện tốn sau : 3 x3  63  63 �3.36x (4) , y   �3.9y (5) z3  23  23 �3.4z (6)   3 3 3 Cộng (4)  4.(5)  9.(6)  x  4y  9z  2.6  8.3  18.2 �108 x  y  z  11.108 P �396 Trang 14 Dạng 3: CÔ SI NGƯỢC DẤU Bài 1: Cho a,b  0; a  b  4ab Tìm GTNN A  HD: Dấu xảy a  b  a b  4b  4a  2 1 � , Như ta tìm 4b  4b Nếu si mẫu ta được: 4b2  �4b  GTNN Khi ta biến đổi: � 4ab2 � � 4a2b � � 4ab2 � � 4a2b � A � a  � � b  ��� a b � � �  a  b  2ab  4ab  2ab  2ab � 4b  1� � 4a  1� � 4b � � 4a � Mà a  b  4ab � a  b   a  b   a  b �0  a  b �1 Vì a,b   a  b  2 2 Khi : 4ab  a  b �1  2ab �  A � Bài : Cho x, y,z  x  y  z  , Tìm GTNN : P  HD : 1   x 1 y 1 z 1 Dự đoán dấu x  y  z  Nếu Cô si mẫu ta : x2  1�2x  GTNN 1 � ta khơng tìm x  2x x2  1 x2 x2    , Rồi Cô si mẫu : x2  x2  x2  x2 x2 x2 x Khi ta có : x  1�2x  �  1 �1 , làm tương tự cộng theo x  2x x 1 Ta biến đổi : vế : �x  y  z � 3 P �3 �  3  � 2 � � Bài : Cho x, y, z  x  y  z  , Tìm GTNN P  HD : Dự đốn dấu = x  y  z   x2 y2 z2   x  2y3 y  2z3 z  2x3  x x  2y3  2xy3 x2 x.x 2xy3 Xét , Vì dấu = x  y  z    x  x  2y3 x  2y3 x  2y3 x  2y3 Nên mẫu ta phải Cô si cho số : x  y3  y3 �3.3 xy6  3.y2 x  x  2xy3 2y.3 x2 � x  x  2y3 Làm tương tự cộng theo vế ta : P � x  y  z  Trang 15  y x  z3 y2  x3 z2  2xy  y , Làm tương tự công theo vế ta Mà 3y3 x2  3.3 x2y3 �xy  xy  y  y3 x2 � có : P �3 2 xy  yz  zx x  y  z� 3�  � �, 2� 3 � Và x2  y2  z2 �xy  yz  zx   x  y  z �3 xy  yz  zx  xy  yz  zx �3 Thay vào P ta : P �3   1  Trang 16 Dạng 4: KỸ THUẬT DỒN BIẾN 2 Bài 1: Cho x, y, z  x  y  z �3 , Tìm GTNN của: P  x  y  z  HD: người 20 x  y z Ta dồn x2  y2  z2 x  y  z ngược lại, tùy vào cách nhìn nhật Dự đoán dấu = x  y  z  Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức phụ mối quan hệ biến bài:   x2  y2  z2 � x  y  z đặt ẩn, dùng điểm rơi Cách 2: Ta có x2  1�2x , y2  1�2y z2  1�2z , Cộng theo vế ta được: 20 , đặt x  y  z  t,  t �3 x  y z 20 18 2 29 Dấu = t   P  2t    2t    �2 36    t t t 3 � a b c � 1   Bài 2: Cho a,b,c �1 , Tìm GTLN của: P  � 2  2  2 � �a  b b  c c  a � a b c x2  y2  z2  �2 x  y  z  P �2 x  y  z  3 HD: 1   , Dự đoán dấu = a  b  c  a b c a a  Ta có: a2  b2 �2ab  2 � , Làm tương tự cộng theo vế ta được: a  b 2ab 2b �1 1 � 1 1 1 P � �   �   , Đặt t    , Dự đoán điểm rơi  t �3 �a b c � a b c a b c Ta dồn biến t Và P �  t �  b2 c2 a 9    � Bài 3: Cho a,b,c dương thỏa mãn: abc = 1, CMR: a b c 2 a  b  c HD : a2 b2 c2 Ta có :  c �2a ,  a �2b,  b �2c c a b a  b  c �a  b  c  �  Ki VT �a  b  c  � 2 a  b  c 2 a  b  c � 3 abc 2.3 VT �   3 2 2 Trang 17 �9 � ��2 � Dạng 5: BIẾN ĐỔI ĐỂ ĐƯA VỀ CƠ SI ĐÚNG Bài 1: Tìm biểu thức: A  HD:    x  1 1 x x  2x  2x 1 x  x 2x 1 x 2x 1 x   3  �3   3 2 1 x x 1 x x 1 x x 2x  x   x   Dấu ‘’ = ’’ 1 x x x  với < x < Bài 2: Tìm của: B  1 x x Tách A  HD: 5 1 x 5 1 x x  5x  5x x x     �2  , dấu  1 x x 1 x x 1 x x x Bài 3: Tìm của: C   (x > 1) x 1 HD: x 11 x 1 1 x 1 C     �2  , Dấu  x 1 x 1 2 x 1 x  Bài 4: Cho 0 x  x 1 HD: 2 x2  x   x 2x x  �  � A     Tách , mà x x2  x  x2  x  x  1 x 1 x x x  4x  Bài 8: Tìm của: B  với x  x Trang 18 HD: x Ta có: B  x   �4   , dấu xảy x   x  x � 1� � �  �với x > Bài 9: Tìm của: B   x  1 � x HD: x Tách B  x    �2  , dấu xảy x   x  x �x � Bài 10: Tìm của: A   x  1  �  � với x �1 �x  � HD: � � �2   x  1  Tách A   x  1  � �   x  1    x  1 �  x  1 � Dấu  x  1   x  1   x  1  1  x   �4 2 �x y � �x y � Bài 11: Cho x,y >0, Tìm của: P  �  � �  � �y x � �y x � HD: 2 x y � 1� � 1� t  � , mà t �2  P ��  �  Đặt   t  P  t  t   � y x � 2� � 2�  x  a   x  b  với x > Bài 12: Cho a, b > Tìm của: A  x HD: x  ax  bx  ab � ab �  a  b  �x  ��a  b  ab  a  b Ta có: B  x � x � a b Bài 13: Cho trước hai số dương a, b, số dương x,y thay đổi cho   , x y Tìm x,y để S  x  y đạt Tìm S theo a,b HD: �a b � bx ay Ta có S   x  y  �  � a  b   �a  b  ab , S  a  b y x �x y � ay bx a b  Dấu mà    x  a  ab , y  b  ab x y x y    Bài 14: Cho x,y>0, 4xy=1 x+y=1, Tìm của: A   x  y   12 xy x y HD: 2�  12 xy  x  y   xy �x  y   xy � � �, � Ta có : A    2� x y x y x y x y� � � �x  y  1 �2 => A �4 dấu �  x  y  Co si x  y  xy  x y � Trang 19  BẤT ĐẲNG THỨC SCHAWRZ A LÝ THUYẾT Tên gọi: Bất đẳng thức Schawzr hay gọi bất đẳng thức cộng mẫu số hiểu hệ bất đẳng thức Bunyakovsky Còn hay gọi tắt Svac – Xơ Tổng quát: Ở chương trình THCS Tài liệu xin phép đưa công thức tổng quát áp dụng cho số - a2  a  a   an  a2 a2 Với số b1,b2, bn  , ta có:    n � b1 b2 bn  b1  b2   bn  Dấu “ = “ khi: - a1 a2 a    n b1 b2 bn 1 1  � , Dấu “ = “ khi:   a  b a b  a  b a b 1 Với ba số a,b, c  ta có :   � , Dấu “ = “ khi: a  b  c a b c a b c Với hai số a, b ta có : B CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ ỨNG DỤNG Dạng : ÁP DỤNG CÔNG THỨC THÔNG THƯỜNG Bài 1: Cho x, y > Chứng minh BĐT : 1  � x y x y HD : x y 2 �   x  y  �4 xy   x  y  �0 xy x y Dấu ‘ = ‘ x=y Bài 2: Cho a,b,c độ dài ba cạnh tam giác, CMR: 1 1 1   �   abc bc a c a b a b c HD : Vì a, b, c ba cạnh tam giác nên mẫu dương 1  �  Áp dụng BĐT schawzr ta có : a  b  c b  c  a 2b b 1 1  �  � Tương tự ta có : bc a c ab c c  a b a bc a Cộng theo vế ta điều phải chứng minh 1  �4 Bài 3: Cho x  0, y  0, x  y �1 , CMR: x  xy y  xy HD : Áp dụng BĐT schawzr ta có : 1  � �4 , Vì x  y �1   x  y  �1  �1 2 x  xy y  xy  x  y   x  y Ta có: gt  Trang 20 Dạng : ĐIỂM RƠI CỦA SCHAWRZ Bài 1: Cho a  b �1 a,b , Tìm của: P  HD : Dấu a  b  1  a  b ab 2 1 � �  Khi : P  �a  b2  2ab � 2ab � � �  a  b  2ab P�  a  b  �   �6 2 4ab  a  b   a  b  a  b 1  a  b 2ab Bài 2: Cho a,b  0; a  b �1 , Tìm GTNN biểu thức : A  HD: Dự đoán dấu = a  b  , Để ý hai biểu thức mẫu, nhóm chúng lại với 1  � a b a b 1 4 �4 Khi đó: A  a2  b2  2ab �a2  b2  2ab � a  b   Nên ta sử dụng BĐT phụ: Bài 3: Cho a,b  0, a  b  , Tìm GTNN của: A  HD:  a  b ab , Biến đổi A thành: � 3 1 � A 2   2   3� 2   �3   14 � 2 a  b 2ab a  b 2ab 2ab �a  b 2ab � 2ab a  b a  b     Dấu a  b  Bài 4: Cho a,b>0 a  b �1 , Tìm GTNN của: P  HD : Dấu : a  b  Khi : 1 a  b   3.2ab 2ab 1 a  b 1 � � P �   P  �  �  � =>  a  b 6ab � 3ab  a  b2  6ab  1 3ab �  a  b   4ab  3ab 2 1 a  b �2 ab  ab �  P �   Mặt khác :  3 2 �  a  b  6ab �  a  b  Dấu �a  b � a b 1 � Trang 21 Bài 5: Cho x, y  0, x  y �4 , Tìm GTNN A  HD : 35   2xy x  y xy Dấu xảy x  y  Biến đổi A  A� 2.4  x  y � 2 34 �� 32 �    2xy  2�  � 2xy   � 2 xy � x  y 2xy xy � xy �x  y 2xy � �  16   x  y �17 Bài 6: Cho a,b>0, a  b �1 , Tìm Min của: P  HD : Dấu a  b  � 1   4ab a  b ab 2 � �1 � � �  �4ab  � Khi : P  �a  b  2ab � �2ab  4ab �� 4ab � 4ab � �� �  a  b � � a  b  2ab � 4ab 1 �2 P�   �7  a  b  Dấu �a b  4ab  a  b 16 � a  b 1 � � 25 Bài 7: Cho a,b  0, a  b �4 , Tìm GTNN biểu thức: P  2   ab a  b ab HD: Dấu = a  b  , mẫu ghép lại với Nên ta biến đổi P thành: � � 16 � 17 � 49 4 34 P  �2    ab � � ab  � �  8 � 2 �a  b 2ab � 2ab  a  b � ab � 2ab  a  b  a  b 38 83  8�  8 , Vì a  b �4   a  b �16 16  a  b P� 38 1 2 Bài 8: Cho x �2, x  y �3 , y > , Tìm Min P  x  y   x x y HD : 1 1 1 1  �   P �x  y    Ta có :  � x y x y x  y 4x y x 4x y �x  � �2 � � P ��x  , Điểm rơi cosi : � � �y  � 4y � � 4x � � �x  y  Bài 9: Cho x, y  0; x  y  , Tìm GTNN A  2  x  y xy HD: Dấu x  y  , để ý mẫu kết hợp lại với nhau, ta biến đổi: Trang 22 A � 5 1 �      5�  �5  � 2 2 x  y 2xy x  y 2xy 2xy �x  y 2xy � 2xy  x  y 2xy Mà  x  y �4xy  A� 20  x  y Bài 10: Cho HD :  1 �  � , Thay vào A ta được:  x  y 4xy 2xy  x  y 2  x  y  22  x  y  22 1 1 1    4, CMR:   �1 a b c 2a  b  c a  2b  c a  b  2c Áp dụng BĐT : 1  � x y x y Dấu ’’=’’ xảy a  b  c   2a  b  c Khi ta có : 1� � �1 �1 � � �2 1 � � �1 � �� �  �� �  �  � � 16 �a  b  c � �2a  b  c � �2a b  c � �2a �b c � � � � tương tự ta có : 1� � �1 �1 � � �2 1 � � �1 � �� �  �� �  �  � � 16 �b  a  c � �a  2b  c � �2b a  c � � 2b �a c � � � � �4 4 � 1� � �2 1 � � �� �   �, Khi VT � �   � �a  b  2c � 16 �c a b � 16 �a b c � Trang 23 ... sau : 3 x3  63  63 ? ?3. 36x (4) , y   ? ?3. 9y (5) z3  23  23 ? ?3. 4z (6)   3 3 3 Cộng (4)  4.(5)  9.(6)  x  4y  9z  2.6  8 .3  18. 2 �1 08? ?? x  y  z  11.1 08 P ? ?39 6 Trang 14 Dạng 3: CÔ... dụng cô si cho số x3,a3, a3 ta được: x3  a3  a3 �3xa2 Tương tự ta có : y3  b3  b3 �3yb2 Và z3  c3  c3 �3zc2 Để có biểu thức P ta cộng (1)  4.(2)  9 (3) ta : (1) (2) (3)  x  2a   4... 2y3 x  2y3 x  2y3 x  2y3 Nên mẫu ta phải Cô si cho số : x  y3  y3 ? ?3. 3 xy6  3. y2 x  x  2xy3 2y .3 x2 � x  x  2y3 Làm tương tự cộng theo vế ta : P � x  y  z  Trang 15  y x  z3