Chương 2: TỐN TỬ I ĐỊNH NGHĨA VÀ VÍ DỤ TỐN TỬ TUYẾN TÍNH: 1) Ðịnh nghĩa: TOP Tốn tử thực thể toán học mà tác dụng lên hàm số cho ta hàm số khác .c om Nghĩa ta có: Trong tốn tử; hàm số với (x) tập hợp tọa độ khơng phải riêng tọa độ x TOP TOP cu u du o ng 3) Toán tử tuyến tính th an co ng 2) Các thí dụ: II CÁC PHÉP TÍNH TRÊN TỐN TỬ CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt du o ng th an co ng c om Tổng hiệu hai tốn tử giao hốn đƣợc, cịn tích hai tốn tử nói chung khơng giao hốn đƣợc, viết tích hai tốn tử ta phải giữ ngun thứ tự chúng cu u III HÀM RIÊNG, TRỊ RIÊNG VÀ PHƢƠNG TRÌNH TRỊ RIÊNG CỦA TỐN TỬ Nói chung cho tốn tử tác dụng lên hàm ta đƣợc hàm số (Với (x) tập hợp biến số đó) Nhƣng có trƣờng hợp ta lại đƣợc hàm số nhân thêm với số Tức là: Khi ta nói hàm riêng tốn tử  phƣơng trình gọi phƣơng trình trị riêng tốn tửĠ Cịn a đƣợc gọi trị riêng ứng với hàm riêng toán tử  Một tốn tử có nhiều hàm riêng hàm riêng tƣơng ứng với trị riêng (cũng có trƣờng hợp trị riêng ứng với nhiều hàm riêng, trƣờng hợp CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt ta gọi trị riêng có suy biến), nên ta đánh số để phân biệt phƣơng trình trị riêng đƣợc viết nhƣ sau: Số trị riêng hữu hạn hay vơ hạn; gián đoạn hay liên tục Ðể tìm trị riêng hàm riêng toán tử, ta phải giải phƣơng trình trị riêng tốn c om tử Thí dụ : ng Cho tốn tử co Hãy tìm hàm riêng trị riêng toán tử  biết hàm riêng tuần hoàn khoảng du o ng th an (o,L) cu u (ta không viết đối số tọa độ x để khỏi rƣờm rà) Với C số đƣợc xác định từ điều kiện chuẩn hóa Vì hàm số tuần hồn khoảng (0,L) nên ta có CuuDuongThanCong.com Tức là: https://fb.com/tailieudientucntt .c om IV TỐN TỬ TỰ LIÊN HIỆP TUYẾN TÍNH (HAY TỐN TỬ HECMIT): TOP ng 1- Ðịnh nghĩa toán tử hecmit: Nếu hệ thức sau đƣợc thỏa mãn : an co Cho tốn tử  hàm số th ng  đƣợc gọi tốn tử hecmit ( hay tốn tử tự liên hiệp tuyến tính): du o Từ biểu thức định nghĩa ý hàm sóng mơ tả trạng thái vật lí nên khơng tọa độ vơ cùng,ta dễ dàng chứng minh đƣợc tốn tử khơng phải hecmit cu u hecmit, cịn tốn tử 2- Các tính chất tốn tử hecmit: TOP a/ Các trị riêng toán tử hecmit số thực CuuDuongThanCong.com toán tử https://fb.com/tailieudientucntt .c om co Trƣớc hết ta định nghĩa trực giao nhƣ sau: ng b/ Các hàm riêng toán tử hecmit trực giao với Nếu có hệ hàm du o ng th an (n =1; 2; ) Thí dụ hàm sin(nx) trực giao khoảng cu chọn u Bây ta chứng minh hàm riêng toán tử hecmit trực giao với Muốn ta Khi biểu thức định nghĩa là: hàm hàm riêng toán tử  nên phƣơng trình trở thành: CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Nói chung Tức hàm trực giao với .c om Nếu hàm riêng đƣợc chuẩn hóa ta gộp hai điều kiện trực giao chuẩn hóa lại làm điều kiện gọi điều kiện trực chuẩn nhƣ sau: Tính chất có nội dung nhƣ sau: tốn tử hecmit ta phân ng th an co Nếu ta có hàm f(x) hàm riêng tích f(x) thành: ng c/ Các hàm riêng toán tử hecmit lập thành hệ đủ du o Ta thừa nhận tính chất ,mà khơng cần phải chứng minh V.CHÚ THÍCH VỀ TRƢỜNG HỢP TỐN TỬ CĨ PHỔ LIÊN TỤC cu u Một tốn tử có trị riêng liên tục đƣợc gọi tốn tử có phổ liên tục Ðối với tốn tử có phổ liên tục phƣơng trình trị riêng đƣợc viết: Ðể phân biệt với tốn tử có phổ gián đoạn Trong phƣơng trình trị riêng ta lấy trị riêng toán tử làm số chạy Nhƣ a thông số biến đổi liên tục số nguyên Ðối với tốn tử có phổ liên tục, tính chất nhƣ tốn tử có phổ gián đoạn Tức là: - Trị riêng số thực - Hệ hàm riêng lập thành hệ đủ CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt - Các hàm riêng trực giao với Nhƣng điều kiện chuẩn hóa lại khác Khi ta có: gọi hàm đenta Derac, hàm suy rộng cho quy tắc tích phân an Với co ng c om tọa độ tiến tới vô cực u du o ng th Ví dụ hàm đenta đối số x là: cu Miễn khoảng (a,b) có chứa điểm x = hay x = c Ta ý phân tích hàm f(x) theo hệ hàm riêng tốn tử có phổ liên tục ta phải dùng công thức: thay cho công thức: trƣờng hợp tốn tử có phổ gián đoạn CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt cu u du o ng th an co ng c om BÀI TẬP CHƢƠNG CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt .c om ng co an th ng du o u cu CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt ... đƣợc thỏa mãn : an co Cho toán tử  hàm số th ng  đƣợc gọi toán tử hecmit ( hay toán tử tự liên hiệp tuyến tính): du o Từ biểu thức định nghĩa ý hàm sóng mơ tả trạng thái vật lí nên khơng tọa độ... nhƣ sau: ng b/ Các hàm riêng toán tử hecmit trực giao với Nếu có hệ hàm du o ng th an (n =1; 2; ) Thí dụ hàm sin(nx) trực giao khoảng cu chọn u Bây ta chứng minh hàm riêng toán tử hecmit trực giao... chuẩn nhƣ sau: Tính chất có nội dung nhƣ sau: tốn tử hecmit ta phân ng th an co Nếu ta có hàm f(x) hàm riêng tích f(x) thành: ng c/ Các hàm riêng toán tử hecmit lập thành hệ đủ du o Ta thừa nhận