Giáo trình Xử lý ảnh
BỘ MƠN KHOA HỌC MÁY TÍNH NHẬP MƠN XỬ LÝ ẢNH Chương 6: Biến đổi Fourier Biên soạn: Dr Ngo Huu Phuc Tham khảo giảng ĐH Vanderbilt Nội dung Biến đổi Fourier 1D Biến đổi Fourier nhanh Biến đổi Fourier 2D Biến đổi Fourier 2D nhanh Hiển thị FFT Ứng dụng FFT Tham khảo giảng ĐH Vanderbilt Giới thiệu Đáp ứng tần số hệ thống hệ thống tuyến tính 2D cho bởi: H (ω1 , ω2 ) = ∞ ∑ ∞ h( k1 , k )e − j (ω1k1 +ω2 k ) (6.1) ∑ k1 = −∞ k = −∞ Nếu h(k1,k2) có k1 ≥ 0, k2 ≥ xác định miền hữu hạn N × N thì: H (ω , ω ) = ∑ ∑ h(k , k )e ω ω (6.2) N −1 N −1 Tham khảo giảng ĐH k1 = k = − j( 1k1 + k2 ) Giới thiệu (tiếp) Cơng thức (6.2) tuần hồn, với chu kỳ tuần hoàn 2π Nếu lấy mẫu dạng ω1, ω2, miền xác định (0 ≤ ω1 ≤ 2π) (0 ≤ ω2 ≤ 2π), N × N mẫu, viết 2π ω1 = n1 N đó: N −1 N −1 2π ω2 = n2 (6.3) N H (n1 , n2 ) = ∑ ∑ h(k1 , k )e − j 2π k1 = k = Công thức 6.4 biến đổi Fourier rời rạc DFT Tham khảo giảng ĐH ( n1k1 + n2 k ) N⋅ (6.4) Biến đổi Fourier 1D Biến đổi Fourier 1-D cho tín hiệu thời gian rời rạc f(kT) tính theo công thức: N −1 F (n) = ∑ f (kT )e − j 2π N ⋅nk (6.5) k =0 Công thức viết lại dạng N −1 − F (n) = ∑ f (k ) ¦ WN nk (6.6) n =0 f(k) = f(kT) WN = e- j2 /N WN gọi hạt nhân phép biến đổi jφ ( n ) F (n) = A(n),evới A(n), φ (n) gọi phổ khuyếch đại Tổng quát: phổ pha F(n) Tham khảo giảng ĐH Biến đổi ngược DFT Hàm f(k) biến đổi ngược DFT F(n) cho theo biểu thức: f (k ) = N N −1 ∑ F ( n )e j 2π nk N (6.7) n =0 Khi f(k) rút từ F(n) ngược lại, chúng gọi cặp biến đổi Cặp biến đổi có dạng f (k ) ⇔ F (n) (6.8) Tham khảo giảng ĐH Một vài tính chất DFT Tuyến tính Nếu ta có hai dãy tuần hoàn f1(n) f2(n), hai dãy tuần hoàn với chu kỳ N, dùng để tính f3(k) = af1(k) + bf2(k) (6.9) kết biến đổi DFT f3(n) cho F3(n) = aF1(n) + bF2(n) (6.10) a, b số F1(n) = DFT f1(k) F2(n) = DFT f2(k) Tham khảo giảng ĐH Một vài tính chất DFT Tính đối xứng N −1 − F ( N − n) = ∑ f (k )WN k ( N − n ) k =0 N −1 = ∑ f ( k )e −j 2π ⋅N N e j⋅ 2π ⋅nk N Nếu f(k) thực k =0 N −1 = ∑ f ( k )e e j 2π ⋅nk N k =0 ∗ 2π N −1 − j nk F ( N − n ) = ∑ f ( k )e N = F ( n) ∗ k =0 Dấu * phép toán liên hợp phức Tham khảo giảng ĐH Một vài tính chất DFT Tích chập tuần hoàn Coi f1(k) f2(k) hai dãy tuần hồn có chu kỳ N, với biến đổi Fourier rời rạc F1(n) F2(n) Xem xét tích F(n1).F(n2) N −1 − F1 (n1 ) = ∑ f1 (k1 )WN n1k1 F2 (n2 ) = k1 = Đặt f3(k) = IDFT F1(n).F2(n), Đã chứng minh được: với k = đến 2N - Tham khảo giảng ĐH f (k ) = f3 (k ) = N N −1 N −1 ∑ k =0 − f (k )WN n2 k N −1 ∑ ( F1(n).F2 (n))W nk n =0 ∑ f1 (k1 ) f (k − k1 − lN ) k1=0 Biến đổi FFT Tính trực tiếp giá trị DFT bao gồm N phép nhân phức N - phép cộng phức cho giá trị F(n) Khi N giá trị tính tốn N2 phép nhân N(N - 1) phép cộng tính tốn Cũng vậy, cho N có giá trị lớn, tính trực tiếp giá trị DFT địi hỏi số phép tính lớn đến mức khơng thể chấp nhận để giảm việc tính tốn, sử dụng thuật toán phân chia thời gian phân chia tần số, ta có FFT Tham khảo giảng ĐH Biến đổi 2D FFT cho ảnh Gọi I(r,c) band ảnh với R hàng C cột Khi I(r,c) có biểu diễn Fourier R −1C −1 I ( r , c ) = ∑ ∑ F ( v ,u ) e vr uc + i 2π + R C u =0 v =0 , với R −1 C −1 F ( v,u ) = RC ∑ ∑ I (r ,c) e r =0 c =0 Tham khảo giảng ĐH vr uc − i 2π + R C Biến đổi 2D FFT cho ảnh Có thể thực biến đổi FFT cho ảnh thơng qua: • Biến đổi FFT cho hàng ảnh Lưu kết trung gian vào mảng • Biến đổi FFT cho cột mảng trung gian Lưu ý: phần tử biến đổi số phức Tham khảo giảng ĐH Hiển thị FFT • Nếu FFT ảnh trường hợp tổng quát mảng số phức đầy đủ, người ta thường biểu diễn biên độ pha tần số ảnh • Để biểu diễn phổ dạng ảnh, tất việc cần phải làm chia biên độ FFT thành giá trị từ đến 255 (cho ảnh bit) • Dù phổ ảnh bị suy giảm nhanh tần số tăng lên • Để giải vấn đề cần xử lý biên độ phổ chút hàm log Hàm logarit sửa độ khuếch đại, thay cho hiển thị phổ | H(u,v)| hiển thị: D(u,v) = log10(1+|H(u,v)|) • Biểu thức cho ta giá trị zero D(u,v) = hay |H(u,v)| = D(u,v) ln ln có giá trị dương Tham khảo giảng ĐH Ứng dụng biến đổi Fourier Có nhiều ứng dụng biến đổi Fourier xử lý tín hiệu số nói chung xử lý ảnh nói riêng Có thể sử dụng số tốn: • Lọc ảnh • Nén ảnh khơng gian tần • Sử dụng tốn nhận dạng • … Tham khảo giảng ĐH Làm mờ: Trung bình / Lọc thơng thấp Kết q trình làm mờ: • Trung bình pixel miền khơng gian: – Mỗi pixel ảnh kết có cường độ sáng trung bình lân cận – Nếu sử dụng ma trận mặt nạ cho phép nhân chập, tổng giá trị mặt nạ • Lọc thơng thấp miền tần số: – Phần có tần số cao bị giảm bớt bị loại bỏ – Các thành phần tần số nhân với hàm không tăng ω 1/ω = 1/√(u2+v2) Tham khảo giảng ĐH Làm nét: Sai phân / Lọc thơng cao Kết q trình làm nét: • Trên miền không gian, sử dụng phương pháp sai phân: – Mỗi pixel kết đầu sai phân với láng giềng theo cường độ sáng – Sử dụng phương pháp nhân chập với ma trận mặt nạ có tổng giá trị • Lọc thông cao miền tần số: – Các thành phần có tần số cao tăng cường hay mở rộng – Các thành phần tần số nhân với hàm tăng ω αω = α√(u2+v2), với α số Tham khảo giảng ĐH Ý tưởng lọc thơng thấp Ảnh đầu vào có kích thước 512x512 Multiply by this, or … Biểu diễn miền tần Tham khảo giảng ĐH … convolve by this Biểu diễn miền không gian Ý tưởng lọc thông thấp Image size: 512x512 FD filter radius: Multiply by this, or … Fourier Domain Rep Tham khảo giảng ĐH … convolve by this Spatial Representation Central Profile Biểu diễn cường độ pha ảnh Original Image Tham khảo giảng ĐH Power Spectrum Phase Ý tưởng lọc thông thấp Image size: 512x512 FD filter radius: 16 Original Image 22 Power Spectrum Ideal LPF in FD Ý tưởng lọc thông thấp Image size: 512x512 FD filter radius: 16 Filtered Image Tham khảo giảng ĐH Filtered Power Spectrum Original Image Ý tưởng lọc thông cao Image size: 512x512 FD notch radius: 16 Multiply by this, or … Fourier Domain Rep Tham khảo giảng ĐH … convolve by this Spatial Representation Central Profile Ý tưởng lọc thông cao Image size: 512x512 FD notch radius: 16 Original Image Tham khảo giảng ĐH Power Spectrum Ideal HPF in FD Ý tưởng lọc thông cao Image size: 512x512 FD notch radius: 16 Filtered Image* Tham khảo giảng ĐH Filtered Power Spectrum Original Image Ý tưởng lọc thông cao Image size: 512x512 FD notch radius: 16 Positive Pixels Tham khảo giảng ĐH Filtered Image* Negative Pixels ... biến đổi Fourier Có nhiều ứng dụng biến đổi Fourier xử lý tín hiệu số nói chung xử lý ảnh nói riêng Có thể sử dụng số tốn: • Lọc ảnh • Nén ảnh khơng gian tần • Sử dụng tốn nhận dạng • … Tham... phải làm chia biên độ FFT thành giá trị từ đến 255 (cho ảnh bit) • Dù phổ ảnh bị suy giảm nhanh tần số tăng lên • Để giải vấn đề cần xử lý biên độ phổ chút hàm log Hàm logarit sửa độ khuếch đại,... khảo giảng ĐH Hiển thị FFT • Nếu FFT ảnh trường hợp tổng quát mảng số phức đầy đủ, người ta thường biểu diễn biên độ pha tần số ảnh • Để biểu diễn phổ dạng ảnh, tất việc cần phải làm chia biên