Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: PHẦN RIÊNG Thí sinh chọn một trong hai phần A hoặc B 3,0 điểm Phần A.. Gọi M là trung điểm AB, H là hình chiếu của M lên cạnh BC.[r]
(1)Trường THPT Trung Giã ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN NĂM 2013 Môn Toán; Khối A, B, D, A1 Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề) ĐỀ CHÍNH THỨC PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) y = x3 - 3x + 3x ( C ) Câu I Cho hàm số Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng 2x + y +11 = và x – 2y + = tam giác cân Câu II Giải phương trình: - 2cos x Câu III Giải phương trình: 3x - x - + x - x = x +1 ln I= sin x + cos x = x ( e x + e- ò(e ln x - e x ) - x ) dx Câu IV Tính tích phân: Câu V Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cạnh a, hai tam giác SAB và SAC vuông A Gọi M, N là điểm thuộc cạnh SB, SC cho SM = 2MB và MN song song với BC Biết mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC) Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC Câu VI Cho số thực a, b, c thỏa mãn abc = và £ c £ P= 1 + + 2 1+ a 1+b + c2 Tìm giá trị lớn biểu thức: PHẦN RIÊNG (Thí sinh chọn hai phần A B) (3,0 điểm) Phần A Câu VII.a Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông A có B(3; 0) và phương trình đường thẳng AC là: x – y + = Gọi M là trung điểm AB, H là hình chiếu M lên cạnh BC o Biết AHC = 45 Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác AHM ( S ) : x + y + z - y + z = và A( - 1;0;0) , B ( 0;1;1) , C ( 0; - 3; - 1) ( S ') đối xứng với mặt cầu ( S ) điểm Viết phương trình mặt cầu ( ABC ) qua mặt phẳng Câu VIII.a Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu z +z Câu IX.a Gọi z1 , z2 là nghiệm phức phương trình: z + 4iz - 13 = Tính Phần B Câu VII.b Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy viết phương trình chính tắc elip (E) có tâm sai và diện tích hình chữ nhật sở 24 ìï x = - t ïï d :í y =0 ïï ïïî z =- + t và mặt phẳng Câu VIII.b Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng ( P) : x + y - z + = ( P) d Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc , tiếp xúc với trục Ox và ( + i) z = ( z) và Câu IX.b Tìm số phức z thỏa mãn là số ảo Hết Thí sinh không sử dụng tài liệu Giám thị coi thi không giải tích gì thêm Họ và tên thí sinh:……………………………………………; Số báo danh:…………………………… (2) Trường THPT Trung Giã ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN NĂM 2013 Môn Toán; Khối A, B, D, A1 ĐÁP ÁN (Gồm trang) Câu Điểm Nội dung TXĐ: y ¢= x - x + = 3( x - 1) ³ " x Hàm số đồng biến trên Hàm số không có cực trị lim ( x - x + 3x) = ±¥ 0.5 x®±¥ Đồ thị hàm số qua gốc tọa độ, A(1; 1), B(2; 2) 0.5 I Vì đường thẳng đã cho vuông góc nhau, nên tiếp tuyến tạo với đường thẳng này góc 45o Đường thẳng 2x + y + 11 = có VTPT là: n = ( 2;1) n ' = ( k ; - 1) Gọi hệ số góc tiếp tuyến là k thì tiếp tuyến có VTPT là Ta có: ék = ê cos 45 = Þ ( 2k - 1) = 5( k +1) Þ 3k - 8k - = Þ ê êk =5( k +1) ê ë éxo = éy = 3x k = Þ 3xo - xo + = Þ ê Þ ê êxo = êy = 3( x - 2) + ë ë Với k =3 loại Đáp số: y = 3x và y = 3x – là các tiếp tuyến cần tìm Với o 2k - 2 0.5 0.5 (3) ( Û 3sin x - cos x Û II ( sin x - cos x )( ) sin x - cos x = ) sin x + cos x - = é æ ö ê çx - ÷ ÷= é sin x - cos x = ê2sin ç ç è 6÷ ø ê Û ê Û ê Û ê æ ö sin x + cos x = ê êsin ç ë x+ ÷ ÷= ç ê ç è ø 6÷ ë 0.5 é êx = + k ê ê 2 ê + k 2 êx = k 2 ; x = ê ë 0.5 ìï 3x - x - ³ æ 1ù ïí ç úÈ [ 2; +¥ ) Û x Î ¥ ; ç ç ïï x - x ³ ú è û Đk: î Để (1) có nghiệm thì x +1 > ïìï a = x - x - ïì a ³ 0; b ³ ïí Þ ïí ïï b = x - x ïï a - b = x - 3x - ( 2) î ï î Đặt III ïìï a + b = x +1 ïìï a + b = x +1 Û í í ïïî a - b = x - 3x - ïîï a - b = x - Từ (1) và (2) ta thu được: ìï ì ïìï 2a = 3x - ïïï x - x - = 3x - ïï x ³ Û í Û í Û í ïïî 2b = x + ïï x - x = x + ïï îï ïî 3x - 14 x - = Û x= + 19 ex ( Chú ý e- 0.5 x ) ¢= e x + e- x ìï u = x ïï x - x ï í dv = e + e dx ïï x - x ïï ( e - e ) ta có: Đặt î ln IV 0.5 ïìï du = dx ï í ex ïï v ==- x e x - e- x e - , suy ra: îï ln ln ò ò xe x ex 3ln 2ln ex I =- x + dx =+ + dx 2x e - ln ln e x - e ln 0.5 x x Đặt t = e Þ dt = e dx Đổi cận x = ln Þ t = 2; x = ln Þ t = , suy ra: 3ln 2ln I =+ + 3 ò 3ln 2ln t - dt =+ + ln t - t +1 3ln 2ln 1 1 1 =+ + ln - ln = ln + ln 2 0.5 (4) V Gọi D là trung điểm BC, E là giao điểm MN và SD Chứng minh được: SA ^ mp(ABC) a a2 S ABC = AD.BC = , Chứng minh được: AE ^ SD và SE = 2ED 3a DS 3a AD = DE.DS Þ = Þ DS = Xét tam giác SAD có: AD = 9a 3a a SA = SD - AD = = 4 Tính được: a3 VS ABC = SA.S ABC = Vậy Từ giả thiết suy ra: < ab £ , từ đó biến đổi tương đương 1 + £ 2 1+b + ab ta chứng minh được: + a 2c Þ P£ + = + = f ( c) + ab + c c +1 + c Ta có: VI f ¢( c ) = ( c +1) - 2c ( c +1) 0.5 = c - c3 - c +1 ( c +1) ( c +1) 2 0.5 0.5 ( c - 1) ( c + c +1) =2 ( c +1) ( c +1) 2 ³ " c Î [1;4] 141 141 Þ f ( c ) £ f ( 4) = + = Þ P£ 17 85 85 141 141 a = b = ,c = Þ P = 85 Vậy giá trị lớn biểu thức là 85 Với VIIa Tứ giác AMHC nội tiếp đường tròn đường kính MC nên đường tròn ngoại tiếp tam giác AHM có đường kính MC 0.5 (5) o Ta có: AMC = AHC = 45 Þ MAC vuông cân A A là hình chiếu B lên AC nên tìm được: M là trung điểm AB nên tìm được: A( 1; 2) M = ( 2;1) éx = 2 AC = AM = Þ ( x - 1) = Þ ê Þ ê x =0 C Î AC Þ C ( x; x +1) ë và 2 C ( 2;3) Þ MC = Þ ( AMH ) : ( x - 2) +( y - 2) = éC ( 2;3) ê êC ( 0;1) ê ë TH1: 0.5 0.5 C ( 0;1) Þ MC = Þ ( AMH ) : ( x - 1) + ( y - 1) = TH2: Viết đúng phương trình mặt phẳng (ABC): x + y – 2z + = Tìm đúng tọa độ tâm I và bán kính R (S): I(0; 1; - 2), R = Tìm đúng hình chiếu H là I lên (ABC): H(- 1; 0; 0) VIIIa Tìm đúng I’ đối xứng với I qua H là: I’(- 3; - 1; 2) Viết đúng phương trình mặt cầu (S’) đối xứng với (S) qua (ABC): IXa 0.5 2 ( x + 3) +( y +1) +( z - 2) = 0.5 Tìm đúng nghiệm phức phương trình đã cho là: z1 =- - 2i; z2 = - 2i 0.5 0.5 z + z2 = 13 Từ đó tính đúng: Theo đề bài ta có hệ: VIIb ìï ïe= ïí Þ ïï ïïî 4ab = 24 ìï c ïï = í a2 Þ ïï ïî ab = ïìï 5a = ( a - b ) ìï 4a = 9b Þ íï Þ í ïï a 2b = 36 ïï b = î ïî ì ïíï a = ïï b = î 0.5 x2 y + =1 Vậy phương trình elip cần tìm là: I Î d Þ I ( - t ;0; - + t ) 0.5 Gọi I là tâm mặt cầu, vì Ta có: d ( I ,( P ) ) = ( - t ) - 2( - + t ) + VIIIb O ( 0;0;0) Î Ox; i = ( 1;0;0) Có phương trình: IXb = 2- t là VTPC Ox Ta có: IO Ù i d ( I ; Ox ) = = - t i d ( I ; Ox) = d ( I , ( P ) ) Û 1- t = - t Û 1- t = t - Û t = 2 æ ö æ ö æ ö 1 1 1 ÷ ÷ ç ç I =ç ;0; ÷ , R = S : x + y + z = ( ) ÷ ÷ ÷ ç ç ç ÷ ç ç ç 2÷ è2 ÷ ø è 2ø è ø Do đó, Vậy: z = a + bi, ( a, b Î ) 0.5 0.5 Gọi số phức cần tìm Ta có: ( + i ) z = ( + i ) ( a + bi ) = a - b +( a + b ) i Vậy: 2 ( 1) Û ( a - b) +( a + b) = Û a + b = Cũng có: ( z) = ( a - bi ) ( 2) Û a - b = 2 = a - b + 2abi = a - b - 2abi ( a - b ) + 4a 2b Vậy: 0.5 (6) ìï a + b = ïí Þ ïï a = b î Do đó ta có hệ: { a = b2 = Vậy có số phức thỏa mãn là: + i; - + i; – i; - – i Các cách giải khác đúng cho điểm tối đa Điểm bài thi làm tròn đến 0.25 0.5 (7)