N5DE HSG 8

T×m tËp hîp c¸c trung ®iÓm K cña ®o¹n th¼ng nèi t©m hai h×nh vu«ng khi điểm M chuyển động trên đoạn thẳng AB cố định... phßng GD- ®t huyÖn trùc ninh đề chính thức..[r]

phßng GD- ®t huyÖn trùc ninh đề chính thức đề thi chọn học sinh giỏi n¨m häc 1998 -1999 M«n To¸n líp Thêi gian lµm bµi 120 phót Câu 1: Xác định hệ số a cho: a) 27x2 + a chia hÕt cho 3x + 2 b) 3x + ax + 27 chia hÕt cho x + cã sè d b»ng C©u2: Cho sè a, b, c tháa m·n abc = 1999 Rót gän biÓu thøc: 1999a b c   ab  1999a  1999 bc  b  1999 ac  c  C©u 3: Cho abc  vµ a + b+ c  gi¶i ph¬ng tr×nh: a b x a c x bc x 4x    1 c b a a bc C©u 4: Gäi M lµ mét ®iÓm bÊt kú trªn ®o¹n th¼ng AB VÏ vÒ mét nöa mÆt ph¼ng cã bê lµ AB c¸c h×nh vu«ng AMCD, BMEF a Chøng minh AE vu«ng gãc víi BC b Gäi H lµ giao ®iÓm cña AE vµ BC Chøng minh ba diÓm D, H, F th¼ng hµng c Những minh đoạn thẳng DF luôn qua điểm cố định M di chuyển trên đoạn thẳng AB cố định d T×m tËp hîp c¸c trung ®iÓm K cña ®o¹n th¼ng nèi t©m hai h×nh vu«ng điểm M chuyển động trên đoạn thẳng AB cố định phßng GD- ®t huyÖn trùc ninh đề chính thức đề thi chọn học sinh giỏi n¨m häc 1999 -2000 M«n To¸n líp Thêi gian lµm bµi 120 phót Câu 1: Tìm số tự nhiên n để: a) Sè A = n4 + lµ sè nguyªn tè n7  n2  b) Ph©n sè n  n  tèi gi¶n C©u Cho biÓu thøc:    4a  2b  a2  A   :     2a  b a 2a  b  2a  a b a b  ab    a Rót gän A b TÝnh gi¸ trÞ cña A biÕt 4a2 + b2 = 5ab vµ a > b > C©u Gi¶i ph¬ng tr×nh: a, x-101 x-103 x-105   3 86 84 82   b, x  12x  C©u Cho tø gi¸c ABCD; M, N lÇn lît lµ trung ®iÓm cña c¸c c¹nh BC vµ CD Gäi E vµ F lµ giao cña BD víi AM vµ AN Chøng minh r»ng: nÕu BE = EF = FD th× tø gi¸c ABCD lµ h×nh b×nh hµnh Câu Gọi H là hình chiếu đỉnh B trên đờng chéo AC hình chữ nhật ABCD; M, K theo thø tù lµ trung ®iÓm cña AH vµ CD a Gäi I vµ O theo thø tù lµ trung ®iÓm cña AB vµ IC Chøng minh: MO  IC b TÝnh sè ®o gãc BMK? c Gọi P và Q lần lợt là điểm thuộc đoạn BM và BC Hãy xác định vị trí P và Q để chu vi tam giác PHQ có giá trị nhỏ nhất? phßng GD- ®t huyÖn trùc ninh đề chính thức đề thi chọn học sinh giỏi n¨m häc 2001- 2002 M«n To¸n líp Thêi gian lµm bµi 120 phót C©u 1: ( ®iÓm) Cho biÓu thøc: a2 b2 a  b2 P   ab ab  b2 ab  a a Rót gän P b Có giá trị nào a, b để P = 0? c TÝnh gi¸ trÞ cña P biÕt a, b tháa m·n ®iÒu kiÖn: 3a2 + 3b2 = 10ab vµ a > b > C©u 2: ( 3,5 ®iÓm) Chøng minh r»ng: a (n2 + n -1)2 – chia hÕt cho 24 víi mäi sè nguyªn n b Tæng c¸c lËp ph¬ng cña sè nguyªn liªn tiÕp th× chia hÕt cho C©u 3: ( ®iÓm) Gi¶i ph¬ng tr×nh: x4 + x2 + 6x – = C©u 4: ( ®iÓm) T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh: x2 = y( y +1)(y + 2)(y + 3) C©u 5: (7,5 ®iÓm) Cho tam giác ABC, O là giao điểm các đờng trung tực tam giác, H lµ trùc t©m cña tam gi¸c Gäi P, R, M theo thø tù lµ trung ®iÓm c¸c c¹nh AB, AC, BC Gäi Q lµ trung ®iÓm ®o¹n th¼ng AH a Xác định dạng tứ giác OPQR? Tam giác ABC phải thỏa mãn điều kiện gì để OPQR là hình thoi? b Chøng minh AQ = OM c Gäi G lµ träng t©m cña tam gi¸c ABC Chøng minh H, G, O th¼ng hµng d VÏ ngoµi tam gi¸c ABC c¸c h×nh vu«ng ABDE, ACFL Gäi I lµ trung điểm EL Nếu diện tích tam giác ABC không đổi và BC cố định thì I di chuyển trên đờng nào? phßng GD- ®t huyÖn trùc ninh đề chính thức đề thi chọn học sinh giỏi n¨m häc 2001- 2002 M«n To¸n líp Thêi gian lµm bµi 120 phót C©u 1: Cho a + b = TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc: M = 2(a3 + b3) – 3(a2 + b2) C©u 2: Chøng minh r»ng: a b c 1,   1 ab+a+1 bc+a+1 ac+c+1 biÕt abc = n  n 1 2, (n  N * ) n  n 1 kh«ng lµ ph©n sè tèi gi¶n C©u 3: Cho biÓu thøc: 1 1 P     a  a a  3a  a  5a  a  7a  12 a  9a  20 a Tìm điều kiện để P xác định b Rót gän P c TÝnh gi¸ trÞ cña P biÕt a3 - a2 + = Câu 4*: Tìm số tự nhiên n để đa thức: A(x) = x2n + xn +1 chia hÕt cho ®a thøc x2 + x + Câu 5: Cho hình bình hành ABCD có AD = 2AB Kẻ đờng thẳng qua C và vuông gãc víi AB t¹i E Gäi M lµ trung ®iÓm cña AD a Chøng minh: tam gi¸c EMC c©n b Chøng minh: Gãc BAD = gãc AEM c Gäi P lµ mét ®iÓm thuéc ®o¹n th¼ng EC Chøng minh tæng kho¶ng c¸ch tõ P đến Me và đến MC không phụ thuộc vào vị trí P trên EC phßng GD- ®t huyÖn trùc ninh đề thi chọn học sinh giỏi n¨m häc 2002- 2003 M«n To¸n líp Thêi gian lµm bµi 120 phót đề chính thức Bµi 1: T×m sè tù nhiªn n biÕt: a A n  n  n  lµ mét sè nguyªn tè n  16 C n  4n  8n  16 cã gi¸ trÞ lµ mét sè nguyªn b c D = n4 + 4n lµ mét sè nguyªn tè Bµi Cho a + b +c = 0; abc 0 a Chøng minh: a3 + b3 + c3 -3abc =0 b TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: c2 a2 b2 P  a  b  c2 b  c  a c2  a  b2 Bµi 3: a Gi¶i ph¬ng tr×nh:  x  a   x  c    x  b   x  c  1  b  a   b  c  a  b  a  c b T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña ph¬ng tr×nh: x2 - y2 + 2x - 4y -10 = Bài Cho hình thang ABCD (AB//CD), O là giao điểm hai đờng chéo Qua O kẻ đờng thẳng song song với AB cắt DA E; cắt BC F S S BOC a Chøng minh : AOD b Chøng minh: OE = OF 1   c Chøng minh: AB CD EF d Gọi K là điểm bất kì thuộc OE Nêu cách dựng đờng thẳng qua K và chia đôi diện tích tam giác DEF phßng GD- ®t huyÖn trùc ninh đề chính thức đề thi chọn học sinh giỏi n¨m häc 2003- 2004 M«n To¸n líp Thêi gian lµm bµi 120 phót a  4a  A a  2a  4a  C©u 1: Cho biÓu thøc: a Rót gän A b Tìm các số nguyên a để A có giá trị là số nguyên Câu Cho x, y, z đôi kh`ác và khác Chứng minh nếu: x  yz y2  xz z  xy   a b c th× ta cã: a  bc b2  ca c2  ab   x y z C©u Gi¶i ph¬ng tr×nh: 1   18 x  9x  20 x  11x  30 x  13x  42 a, b, x2 + 3y = 3026 víi x, y  N C©u Cho f(x) lµ mét ®a thøc víi hÖ sè d¬ng BiÕt f(0); f(x) lµ c¸c sè lÎ Chøng minh r»ng f(x) kh«ng thÓ cã nghiÖm nguyªn C©u Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A Gäi M lµ trung ®iÓm cña BC Trªn c¹nh AB lÊy ®iÓm D, trªn c¹nh AC lÊy ®iÓm E cho gãc DME b»ng gãc B Chøng minh r»ng: BD.CE  BC a b DM lµ ph©n gi¸c cña gãc BDE c Chu vi tam giác ADE không đổi D, E chuyển động trên cạnhAB và AC TØnh vÜnh phóc C©u Cho biÓu thøc A đề thi chọn học sinh giỏi n¨m häc 2003- 2004 M«n To¸n líp Thêi gian lµm bµi 120 phót