SDBA = SIAD cùng đáy AD và chiều cao bằng nhau.[r]
(1)ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2011 - 2012 MÔN : TOÁN Thời gian làm bài : 120 phút (Không kể thời gian phát đề) Bài 1: ( điểm) Thực tính A cách nhanh( hợp lý) nhất: 2010 x 2011 1005 A = 2010 x 2010 1005 Thực phép tính: ( 23 )(1 − 25 ) (1 − 992 ) B = 33 − Bài 2: (2 điểm) Cho M = + 22 + 23 + … + 220 a Chứng tỏ M chia hết cho b Tìm chữ số tận cùng M Bài 3: ( điểm ) Tìm tất các số nguyên n cho : n+5 ⋮ n–2 Tìm các số tự nhiên x, y cho : (2x + 1)(y – 3) = 10 Bài 4: ( điểm) Cho đoạn thẳng AB = a , điểm C nằm A và B, điểm M là trung điểm AC , điểm N là trung điểm CB Hãy chứng tỏ MN = a Hình thang vuông ABCD có góc A và góc D vuông Đường chéo AC cắt đường cao BH I So sánh diện tích tam giác IDC và diện tích tam giác BHC Bài (1 điểm) Cho A = 3.(22+1).(24+1).(28+1).(216+1) Không làm phép tính, hãy rút gọn biểu thức tìm số tận cùng A (2) HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1: ( điểm) 1) Thực tính A cách nhanh (hợp lý) nhất: 2010 x 2011 1005 2010 x (2010 1) 1005 2010 x 2010 2010 1005 2010 x 2010 1005 2010 x 2010 1005 2010 x 2010 1005 A= = 2010 x 2010 1005 1 2010 x 2010 1005 = 2) Thực phép tính: ( 23 )(1 − 25 ) (1 − 992 ) B = 33 − = 33 97 99 = 33 99 = Bài 2: (2 điểm) Cho M = + 22 + 23 + … + 220 a) Chứng tỏ M chia hết cho : M = + 22 + 23 + … + 220 = (2 + 22 + 23 + 24) + (25 + 26 + 27 + 28) + … + (217 + 218 + 219 + 220) = 2.(1 + + 22 + 23 ) + 25.(1 + + 22 + 23) + … +217.(1 + + 22 +23) = 15 + 25.15 + …+ 217.15 = 15 2(1 + 24 + …+ 216) = (1 + 24 + …+ 216) ⋮ b) Tìm chữ số tận cùng M: Dễ thấy M ⋮ ; M ⋮ mà ƯCLN( 2; 5) = nên M ⋮ 10 Do đó M tận cùng chữ số Bài 3: ( điểm ) 1) Ta có : n + = (n – 2) + ⋮ n – ⇒ ⇒ n–2 Ư(7) = { ±1 ;± } n–2 -1 -7 n -5 Vậy : n ⋮ n–2 { ; 1; ; − } 2) Ta có x , y N nên (2x + 1) và (y - 3) là các ước 10 Hơn 2x + > và là số lẻ nên 10 = 10 = Do đó : ¿ x +1=1 y − 3=10 ¿{ ¿ ¿ x +1=5 y −3=2 ¿{ ¿ (3) Suy : ¿ x=0 y=13 ¿{ ¿ ¿ x =2 y=5 ¿{ ¿ Bài 4: ( điểm) 1) M là trung điểm AC nên : AM = MC = N là trung điểm CB nên : CN = NB = Suy : MC + CN = AC CB ( AC + CB ) C nằm A và B nên C nằm M và N C nằm M và N ⇒ MC + CN = MN C nằm A và B ⇒ AC + CB = AB = a Do đó : MN = a 2) Nối BD Ta có : SBDC = SADC ( cùng đáy DC và chiều cao BH AD) SBDH = SDBA (= S ) ABHD ; SDBA = SIAD ( cùng đáy AD và chiều cao nhau) Do đó : SBHC = SBDC – SBDH = SBDC - SDBA = SADC – SIAD = SIDC Vậy : SBHC = SIDC Bài (1 điểm) Rút gọn A ta có: A = 3(22+1).(24+1).(28+1).(216+1) = (4-1).(22+1).(24+ 1).(28+1).(216+1) = [(22 - 1).(22+1)] x (24+ 1).(28+1).(216+1) = (24-1).(24+1).(28+1).(216+1) = (28-1).(28+1).(216+1) = (216-1)(216+1) = 232 - Biết 232 tận cùng là A = 232 – tận cùng (ĐS) (4)