Theo chương trình Nâng cao Câu 7.b 1 điểm Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại A , biết B và C đối xứng nhau qua gốc tọa độ O.. Đường phân giác trong góc B của ta[r]
(1)TRƯỜNG THPT NGUYỄN XUÂN NGUYÊN ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG CÁC MÔN THI ĐH -CĐ NĂM HỌC 2012 -2013 Môn: TOÁN, khối A, A1, B Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm) y x3 3x m 1 x 1 1 Câu (2 điểm) Cho hàm số có đồ thị a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số (1) m b) Tìm m để đường thẳng d : y x cắt đồ thị Cm Cm với m là tham số điểm phân biệt P 0,1 , M , N O 0;0 cho bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN với Câu (1 điểm) Giải phương trình: sin x +2 cos x+ ( sin x +cos x )=1+cos x Câu (1 điểm) Giải hệ phương trình: ¿ x −3 x ( y −1)+ y 2+ y (x −3)=4 x − xy −2 y=1 ¿{ ¿ (x , y ∈ R) e x x (1 ln x ) ln x I dx 2 ( x x ln x ) Câu (1 điểm) Tính tích phân: Câu (1 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB a, AD 2 2a Hình chiếu vuông góc điểm S trên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm tam giác BCD Đường thẳng SA tạo với mặt phẳng (ABCD) góc 450 Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách hai đường thẳng AC và SD theo a Câu (1 điểm) Cho ba số thực dương a , b , c thay đổi thỏa mãn điều kiện : ab + bc + ca = 2abc Chứng minh rằng: 1 1 2 a(2a 1) b(2b 1) c(2c 1) II PHẦN RIÊNG (3 điểm) Thí sinh làm hai phần (phần A B) A Theo chương trình Chuẩn Câu 7.a (1 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy và đường thẳng d : x y 10 0 Từ điểm M trên 2 C : x 3 y 1 9 cho đường tròn d kẻ hai tiếp tuyến đến C , gọi A, B là hai tiếp điểm.Tìm tọa độ điểm M cho độ dài đoạn AB 3 x 1 t d1 : y 2 t z 1 Câu 8.a (1 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ,cho hai đường thẳng x y z 1 d2 : 2 Viết phương trình mp(P) song song với d1 và d , cho khoảng cách từ d1 đến (P) gấp hai lần khoảng cách từ d đến (P) z 5i 1 Câu 9.a (1 điểm) Tìm số phức z thỏa mãn (1 3i ) z là số thực và B Theo chương trình Nâng cao Câu 7.b (1 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông A , biết B và C đối xứng qua gốc tọa độ O Đường phân giác góc B tam giác ABC là đường thẳng d : x y 0 Tìm tọa độ các đỉnh tam giác ABC , K 6; biết đường thẳng AC qua điểm Câu 8.b (1 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2;3) và B(3;4;1) Tìm toạ (2) độ điểm M thuộc mặt phẳng (P): x y z 0 để MAB là tam giác 1− x ¿ n Câu 9.b (1 điểm) Khai triển và rút gọn biểu thức 1− x ¿2 + + n¿ thu đa thức 1− x+ 2¿ n P( x)=a0 + a1 x + +a n x Tính hệ số a8 biết n là số nguyên dương thoả mãn: + = C 2n C 3n n - Hết HƯỚNG DẪN CHẤM THI MÔN TOÁN KHỐI A, A1, B KỲ THI KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG CÁC MÔN THI ĐH - CĐ NĂM HỌC 2012 - 2013 (Hướng dẫn chấm gồm năm trang) Câu Đáp án Điểm a (1 điểm) Với m =-1, y x 3x R 1) Tập xác định: 2) Sự biến thiên: lim y lim x 3x 1 , lim y x x x a Giới hạn: b Bảng biến thiên: x 0 y 3x 6x 3x(x 2), y 0 x 2 Bảng biến thiên: x −∞ y + - y +∞ + +∞ −∞ -3 ; và 2; 0; + Hàm số nghịch biến trên khoảng + Hàm số đồng biến trên khoảng (2 đ) + Hàm số đạt cực đại x 0, y CÐ y(0) 1 đạt cực tiểu x 2, y CT y(2) 3) Đồ thị: Đồ thị cắt trục tung điểm (0;1) Đồ thị nhận điểm uốn I (1;-1) làm tâm đối xứng y f(x)=x^3-3x^2+1 x -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -2 -4 -6 -8 b (1 điểm) (3) Phương trình hoành độ giao điểm Cm và (d): x3 3x m 1 x x x 0 y 1 P 0;1 x x x m 0 x 3x m 0 2 Cm Để cắt (d) điểm phân biệt 0.5 có nghiệm phân biệt khác m 0 m Giả sử M x1; x1 1 , N x2 ; x2 1 đó x1; x2 là nghiệm pt(2) OM ON MN SOMN MN d O; d 4R Ta có (với R là bán kính đường tròn ngoại OMN tiếp tam giác ) OM ON d O; d OM ON 2 R.d O; d 5 2d O; d 3 4R Mà ta có OM ON 2x 0.5 x1 x12 x1 2 Với x1 3 x1 m; x2 3 x2 m OM ON 4m 12m 25 * d O; d 2 4m 12m 25 5 2 (1 đ) (1 đ) 5 m 0 m Khi đó vào (3) ta Vậy m thỏa mãn ycbt sin x +2 cos x+ ( sin x +cos x )=1+cos x ⇔ sin x cos x+2 cos x − 2cos x +4 ( sin x +cos x ) =0 ⇔ cos x ( sin2 x +1− cos x ) +2 ( sin x+ cos x )=0 ⇔ cos x ( 2sin x cos x+ 2sin x ) +2 ( sin x +cos x ) =0 ⇔ ( sin x +cos x ) ( cos x sin x+1 )=0 π Với sin x+ cos x=0 ⇔ x=− +kπ , k ∈ Z Với cos x sin x +1=0 ⇔ ( 1− 2sin x ) sin x +1=0 ⇔ ( sin x − ) ( − 2sin x − )=0 π ⇔ sin x=1 ⇔ x= +2 mπ , m∈ Z 2 2 Ta có PT (1) : x -3x(y-1) + y + y(x-3) = ⇔ (x-y) + 3(x-y) - + x − y =1 ¿ x − y=− ⇔ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ x − y=1 * Với x- y = 1, ta có x − xy − y=1 ¿{ ¿ ⇔ x = 1; y = và x= -1; y = -2 ¿ x − y =− * Với x - y = -4 ta có x − xy − y=1 (Hệ PT vô nghiệm) ¿{ ¿ 0.5 0.5 0.5 0.5 (4) Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (1; 0) và (x; y) = (-1; -2) e e ( x ln x )2 x2 x I dx dx 2 ( x x ln x ) ( x x ln x ) (1 đ) e ( x ln x )2 e 0.25 0.25 1 A dx dx 1 e ( x x ln x ) 1x 1 e e e x x x dx d ( x ln x ) 1 B dx 2 e 1 ( x x ln x ) ( x ln x ) ( x ln x ) 1 I 2 e e 1 Vậy 0.25 0.25 Gọi H là trọng tâm tam giác BCD Theo gt SH ( ABCD) O AC BD CH CO AC a AH AC HC 2a 3 Gọi (1đ) SA tạo với đáy góc 450 suy SAH 45 SH AH 2a 1 V S ABCD SH a.2 2a.2a a 3 Gọi M là trung điểm SB Mặt phẳng (ACM) chứa AC và // SD Do đó d ( SD; AC ) d ( SD;( ACM )) d ( D;( ACM )) 0.5 Chọn hệ tọa độ Oxyz hình vẽ Khi đó 2a 2a A(0;0;0), B (a;0;0), D(0; 2a;0), S ; ; 2a , C ( a; 2a;0) 5a 2a M ; ; a AC (a; 2a;0) 5a 2 a AM ; ; a S M 0.5 D C H O A B AC AM (2 2a ; a ; 2a ) n Mặt phẳng (ACM) qua điểm A và có vtpt (2 2; 1; 2) nên có phương trình là 2a 2a 2 x y z 0 d ( D;( ACM )) 1 11 Từ giả thiết suy (1đ) Đặt : Ta có: 1 2 a b c x 1 ; y= ;z= a b c P 1 x3 y3 z3 a(2a 1)2 b(2b 1) c(2c 1) ( y z ) ( x z )2 ( y x)2 Suy x,y,z > và x+y+z=2 x3 y z y z 3x 8 Áp dụng bđt Cô-si: ( y z ) y x z x z 3y ( x z) 8 (5) z3 y x y x 3z ( y x)2 8 Do đó: 1 P ( x y z) ( đpcm) y d A M H I B O 7a (1đ) Đường tròn (C) có tâm x I 3;1 , bk R OA 3 AH 2 Suy ra: Gọi H AB IM , H là trung điểm AB nên IA2 IM 3 IH IA2 AH IH 2 và Gọi M a;10 a d ta có IM 18 a 3 a 18 2a 24a 90 18 a 12a 36 0 a 6 M 6;4 Vậy u 1; 1;0 Ta có : d1 qua điểm A(1 ; ; 1) và vtcp là : d qua điểm B (2; 1; -1) và vtcp là: u2 1; 2; 8a (1đ) Gọi n là vtpt mp(P), vì (P) song song với d1 và d nên n = [ u1 ; u2 ] = (-2 ; -2 ; -1) pt mp(P): 2x + 2y + z + m = 7m 5m d d ;( P )) d( ;(P)) = d(A ; (P)) = ; d( = d( B;(P)) = m 2 m vì d( d1 ;(P)) = d( d ;( P)) m m 2(5 m) m 17 m 2(5 m) Với m = -3 mp(P) : 2x + 2y + z – = 17 17 Với m = - mp(P) : 2x + 2y + z - = Giả sử z x yi , đó (1 3i ) z (1 3i )(a bi ) a 3b (b 3a )i (1 3i ) z là số thực b 3a 0 b 3a 9a (1đ) z 5i 1 a (5 3a )i 1 (a 2) (5 3a ) 1 a 2 b 6 2 10a 34a 29 1 5a 17 a 14 0 a b 21 5 (6) 21 z 2 6i, z i 5 Vậy I (d) K A C O 7b (1đ) B B d : x y 0 nên gọi B 2b; b , vì B, C đối xứng với qua O suy C (2b 5; b) và O(0;0) BC Gọi I đối xứng với O qua phân giác góc B là I AB Tam giác ABC vuông A nên d : x y 0 BI 2b 3;4 b nên I (2;4) và vuông góc với CK 11 2b;2 b b 1 2b b b 0 5b 30b 25 0 b 5 Với b 1 B (3;1), C ( 3; 1) A(3;1) B loại 31 17 A ; 5 Với b 5 B ( 5;5), C (5; 5) 2b 3 11 31 17 A ; ; B ( 5;5); C (5; 5) Vậy 5 Gọi (Q) là mặt phẳng trung trực đoạn AB (Q): x y z 0 8b (1đ) Gọi d là giao tuyến (P) và (Q) d: x 2 y t z t M (2; t 1; t ) AM 2t 8t 11 , Md MAB MA = MB = AB 2t 8t 0 t 9b (1đ) Ta có AB = 12 18 18 18 M 2; ; 2 n 3 7.3! C n2 C n3 n n(n 1) n( n 1)(n 2) n 3n 2n.9 n3650 Suy a8 là hệ số x khai triển 8(1 x) 9(1 x) a8 = 8.C88 9.C98 89 Vậy Lưu ý: - Nếu HS làm bài không theo cách hướng dẫn chấm đúng thì cho điểm tối đa câu đó - Nếu có nhiều HS làm có kết giống khác kết hướng dẫn chấm thì đề nghị xem lại hướng dẫn chấm (7)