Råi xÐt tÊt c¶ c¸c trêng hîp cña r Giáo viên nhận xét: Phơng pháp này thờng đợc sử dụng khi chứng minh mét biÓu thøc cã chøa biÕn chia hÕt cho c¸c sè tù nhiªn cã mét ch÷ sè.. Khi chøng m[r]
(1)§Ó chøng minh a chia hÕt cho b ( b kh¸c 0), ta biÓu diÔn sè a dới dạng tích các thừa số, đó có thừa số b (hoặc chia hÕt cho b) a = b.k ( k N) hoÆc a =m.k ( m chia hÕt cho b) §Ó chøng minh a chia hÕt cho b ( b 0) ta cã thÓ lµm nh sau: - ViÕt a = m + n mµ m M b vµ nM b - ViÕt a = m - n mµ m M b vµ nM b * §Ó chøng minh a kh«ng chia hÕt cho b ta viÕt a díi d¹ng tæng cña c¸c sè mµ chØ cã mét sè h¹ng cña tæng kh«ng chia hÕt cho b, cßn các số hạng khác chia hết cho b §Ó chøng minh a chia hÕt cho b (b ¹ 0) ta cã thÓ chøng minh b»ng mét c¸c c¸ch sau: + Ta chøng minh (a.m) chia hÕt cho b; (m, b) = Þ a chia hÕt cho b + Biểu diễn b = m.n với (m,n)= 1, sau đó chứng minh a chia hết cho m, a chia hÕt cho n + BiÓu diÔn a= a1 a2,, b = b1.b2, råi chøng minh a1 chia hÕt cho b1; a2 chia hÕt cho b2 * Gi¸o viªn nhËn xÐt : Nh vËy gÆp nh÷ng bµi to¸n chøng minh mét tæng, mét hiÖu hoÆc mét tÝch chia hÕt cho mét sè mµ c¸c tæng, hiệu, tích đó có thể phân tích đợc thành tích các thừa số, ta thờng sö dông c¸c tÝnh chÊt cña phÐp chia hÕt để chứng minh n chia hết cho p ta xét trờng hợp số d chia n cho p: Ta viết n = p.k + r, đó r = 0, 1, , p-1; k N Råi xÐt tÊt c¶ c¸c trêng hîp cña r Giáo viên nhận xét: Phơng pháp này thờng đợc sử dụng chứng minh mét biÓu thøc cã chøa biÕn chia hÕt cho c¸c sè tù nhiªn cã mét ch÷ sè Khi chøng minh mét biÓu thøc chia hÕt cho c¸c sè tù (2) nhiªn lín h¬n 10 ta kh«ng sö dông ph¬ng ph¸p nµy v× ph¶i xÐt nhiÒu trêng hîp *Giáo viên nhận xét: Phơng pháp này thờng sử dụng để chứng minh c¸c bµi to¸n mµ sè chia lµ c¸c sè trßn chôc ( 10, 100, ) hay các số chia mà dấu hiệu chia hết có liên quan đến chữ số tận cùng ( vÝ dô : 5, 4, 8, 25, 125), hoÆc sè chia cã thÓ ph©n tÝch thµnh tÝch c¸c sè cã d¹ng nh trªn Néi dung cña nguyªn t¾c §irichlet: “NÕu cã n+1 thá, xÕp vµo n chuång, th× Ýt nhÊt chuång chøa tõ thá trë lªn” Bµi 11: Chøng minh r»ng nÕu ( 6x + 11y ) chia hÕt cho 31 th× ( x + 7y) chia hÕt cho 31 víi mäi sè tù nhiªn x, y Gi¶i : V× ( 6x + 11y) M 31 nªn ( 6x + 11y + 31y ) M 31 Þ ( 6x + 42 y) M 31 Þ ( x + 7y ) M 31 mµ ( 6, 31 ) = Þ ( x + 7y ) M 31 ( ®pcm) Bµi 12: Mét sè chia cho d 4, chia cho d 6, chia cho 11 d Tìm d cho phép chia số đó cho 642 Gi¶i : Gọi số đó là a Theo bµi ra, ta cã a = 6k + = 7q + = 11p + ( k, q, p lµ c¸c th¬ng vµ lµ c¸c sè tù nhiªn) Suy : a + = 6k + + = ( k+ 2) M a + = 7q + + = 7( q + 2) M a + = 11p + + = 11 ( p + 1) M 11 suy ( a + 8) lµ BC (6,7,11), mµ BCNN(6,7,11) = 462 Þ ( a + 8) M 462 Þ ( a + ) = 462.m ( m N) Þ a = 462.m - = 462.(m - 1) + 454 (3) Þ a = 462.n + 454 ( n N) VËy a chia cho 462 d 454 Bµi 15: Chøng minh r»ng: 2n + 11 chia hÕt cho Gi¶i: * C¸ch 1: Ta cã : 2n + 11 = 3n + ( 11 - n) n ch÷ sè ch÷ sè v× mét sè chia cho d baon nhiªu th× tæng c¸c ch÷ sè cña sè Êy chia ch÷ sè cho còng d bÊy nhiªu nnªn 11 vµ n cã cïng sè d chia cho Þ 11 - n chia hÕt cho n VËy 3n + (11 - n ) M hay 2n + 11 M * C¸ch 2: víi mäi n N ta cã hoÆc n = 3k hoÆc n = 3k + hoÆc n = 3k +2 ( k N) n ch÷ sè ch÷ sè - nÕu n = 3k n ch÷ sè Þ 2n + n11 = 2.3k + 11 M ch÷ sè - NÕu n = 3k + Þ 2n + 11 = 2( 3k+1) + 11 = 6k + 11 13 chia hÕt cho - NÕu n = 3k+ Þ 2n + 11 3k 1ch÷=sè2( 3k+2) + 11 n ch÷ sè chia hÕt cho 3k3 ch÷ sè 3k+1 ch÷ sè n ch÷=sè6k + + 11 12 ( v× sè 11 12 cã tæng c¸c ch÷ sè b»ng 3k + chia hÕt cho 3) n ch÷ sè 3k +1 ch÷ sè 3k +1 ch÷ sè 3k+2 ch÷ sè (4)