Kiến thức cơ bản hình học 12 cả năm

PHẦN I KHỐI ĐA DIỆN KHỐI LĂNG TRỤ VÀ KHỐI CHĨP  Khối lăng trụ (chóp) phần khơng gian giới hạn hình lăng trụ (chóp) kể hình lăng trụ (chóp) Khối chóp cụt phần khơng gian giới hạn hình chóp cụt kể hình chóp cụt  Điểm khơng thuộc khối lăng trụ (khối chóp, khối chóp cụt) gọi điểm khối lăng trụ (khối chóp, khối chóp cụt) Điểm thuộc khối lăng trụ khơng thuộc hình lăng trụ ứng với khối lăng trụ (khối chóp, khối chóp cụt) gọi điểm khối lăng trụ (khối chóp, khối chóp cụt) KHÁI NIỆM VỀ HÌNH ĐA DIỆN VÀ KHỐI ĐA DIỆN 2.1 Khái niệm hình đa diện  Hình đa diện (gọi tắt đa diện) hình tạo số hữu hạn đa giác thỏa mãn hai tính chất:  Hai đa giác phân biệt khơng có điểm chung, có đỉnh chung, có cạnh chung  Mỗi cạnh đa giác cạnh chung hai đa giác  Mỗi đa giác gọi mặt hình đa diện Các đỉnh, cạnh đa giác theo thứ tự gọi đỉnh, cạnh hình đa diện 2.2 Khái niệm khối đa diện  Khối đa diện phần khơng gian giới hạn hình đa diện, kể hình đa diện  Những điểm không thuộc khối đa diện gọi điểm khối đa diện Những điểm thuộc khối đa diện khơng thuộc hình đa diện gọi điểm khối đa diện Tập hợp điểm gọi Trang 51 miền trong, tập hợp điểm gọi miền khối đa diện  Mỗi hình đa diện chia điểm cịn lại khơng gian thành hai miền khơng giao miền miền ngồi hình đa diện, có miền ngồi chứa hồn tồn đường thẳng HAI ĐA DIỆN BẰNG NHAU 3.1 Phép dời hình khơng gian Trong không gian, quy tắc đặt tương ứng điểm M với điểm M ' xác định gọi phép biến hình khơng gian Phép biến hình khơng gian gọi phép dời hình bảo tồn khoảng cách hai điểm tùy ý * Một số phép dời hình khơng gian: r 3.1.1 Phép tịnh tiến theo vectơ v Nội dung Là phép biến hình biến điểm M thành M ' cho uuuuur r MM '  v 3.1.2 Phép đối xứng qua mặt phẳng P  Nội dung Là phép biến hình biến điểm thuộc nó, biến điểm M điểm M ' cho P  khơng thuộc thành Hình vẽ P  thành P  thành mặt phẳng trung trực MM ' Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng P  P  biến hình H gọi mặt phẳng đối xứng H 3.1.3 Phép đối xứng qua tâm O Trang 52 Hình vẽ Nội dung Là phép biến hình biến điểm O thành nó, biến điểm M khác O thành điểm M ' cho O trung điểm MM ' H Nếu phép đối xứng tâm O biến hình Hình vẽ thành   H O gọi tâm đối xứng 3.1.4 Phép đối xứng qua đường thẳng  (phép đối xứng trục  ) Nội dung Hình vẽ Là phép biến hình biến điểm thuộc đường thẳng  thành nó, biến điểm M không thuộc  thành điểm M ' cho  đường trung trực MM ' Nếu phép đối xứng trục  biến hình H thành   H  gọi trục đối xứng * Nhận xét:  Thực liên tiếp phép dời hình phép dời hình  Phép dời hình biến đa diện H H thành đa diện thành đỉnh, cạnh, mặt tương ứng  H ' , biến đỉnh, cạnh, mặt  H ' 3.2 Hai hình Hai hình đa diện gọi có phép dời hình biến hình thành hình PHÂN CHIA VÀ LẮP GHÉP CÁC KHỐI ĐA DIỆN Nội dung Hình vẽ Nếu khối đa diện H  , H  H hợp hai khối đa diện     H1 H2 cho khơng có chung điểm ta nói chia khối đa diện H thành hai khối đa diện thể lắp ghép hai khối đa diện để khối đa diện H  H  và  H  , hay có H  với H KHỐI ĐA DIỆN LỒI 5.1 Khối đa diện lồi Một khối đa diện gọi khối đa diện lồi với hai điểm A B điểm đoạn AB thuộc khối Trang 53 Khối đa diện lồi Khối đa diện không lồi 5.2 Khối đa diện 5.2.1 Định nghĩa  Khối đa diện khối đa diện lồi có hai tính chất sau đây:  Các mặt đa giác n cạnh  Mỗi đỉnh đỉnh chung p cạnh  Khối đa diện gọi khối đa diện loại 5.2.2 Định lí Chỉ có loại khối đa diện Đó loại  n, p  3;3 , loại  4;3 , loại  3;4 , loại  5;3 ,   3;5 loại Tùy theo số mặt chúng, khối đa diện có tên gọi là: Khối tứ diện đều; khối lập phương; khối bát diện đều; khối mười hai mặt đều; khối hai mươi mặt 5.2.3 Bảng tóm tắt năm loại khối đa diện Khối đa diện Số Loại Số MPĐX Số Số cạn đỉnh mặt h Tứ diện  3;3 Khối lập phương 12  4;3 Bát diện 12  3;4 Mười hai mặt 20 30 12  5;3 Hai mươi mặt 12 30 20 Trang 54 15 15  3;5 Chú ý: Giả sử khối đa diện loại Khi đó:  n, p có Đ đỉnh, C cạnh M mặt pĐ  2C  nM 5.3 Một số kết quan trọng khối đa diện lồi 5.3.1 Kết Cho khối tứ diện Khi đó:  Các trọng tâm mặt đỉnh khối tứ diện đều;  Các trung điểm cạnh đỉnh khối bát diện (khối tám mặt đều) 5.3.2 Kết Tâm mặt khối lập phương đỉnh khối bát diện 5.3.3 Kết Tâm mặt khối bát diện đỉnh khối lập phương 5.3.4 Kết Hai đỉnh khối bát diện gọi hai đỉnh đối diện chúng không thuộc cạnh khối Đoạn thẳng nối hai đỉnh đối diện gọi đường chéo khối bát diện Khi đó:  Ba đường chéo cắt trung điểm đường  Ba đường chéo đơi vng góc với nhau;  Ba đường chéo THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN 6.1 Thể tích khối chóp Nội dung V   Sđ�y Hình vẽ S h đ�y : Diện tích mặt đáy  h : Độ dài chiều cao khối chóp VS.ABCD  d S  S, ABCD   ABCD 6.2 Thể tích khối lăng trụ Nội dung Hình vẽ Trang 55 V  Sđ�y h  Sđ�y : Diện tích mặt đáy  h : Chiều cao khối chóp Lưu ý: Lăng trụ đứng có chiều cao cạnh bên 6.3 Thể tích khối hộp chữ nhật Nội dung Hình vẽ V  abc 6.4 Thể tích khối lập phương Nội dung Hình vẽ V  a3 6.5 Tỉ số thể tích Nội dung Hình vẽ VS A��� SA�SB �SC � BC  VS ABC SA SB SC S A ’ BC Thể tích hình chóp cụt ABC A��� V    h B  B�  BB � A B C ’ ’ B C � Với B, B , h diện tích hai đáy chiều cao 6.6 Một số ý độ dài đường đặc biệt  Đường chéo hình vng cạnh a a  Đường chéo hình lập phương cạnh a : a  Đường chéo hình hộp chữ nhật có kích thước a,b,c : a  Đường cao tam giác cạnh a là: CÁC CƠNG THỨC HÌNH PHẲNG 7.1 Hệ thức lượng tam giác 7.1.1 Cho D ABC vuông A , đường cao AH 2  AB  AC  BC Trang 56 a2  b2  c2  AB  BH BC  AC  CH BC  AH BC  AB.AC  AH  BH HC 1   2 AB AC  AH  AB  BC sinC  BC cosB  AC tanC  AC cot B 7.1.2 Cho D ABC có độ dài ba cạnh là: a, b, c độ dài trung tuyến ma , mb , mc bán kính đường trịn ngoại tiếp R ; bán kính đường trịn nội tiếp r nửa chu vi p  Định lí hàm số cosin: a2  b2  c2 - 2bc.cosA; b2  c2  a2  2ca.cosB ; c2  a2  b2  2ab.cosC  Định lí hàm số sin: a b c    2R sin A sin B sinC  Độ dài trung tuyến: ma2  b2  c2 a2 c2  a2 b2 a2  b2 c2  ; mb2   ; mc2   4 7.2 Các công thức tính diện tích 7.2.1 Tam giác 1 S  a.ha  bh b  ch 2 c  1 S  bc sin A  ca.sin B  ab sinC 2   S abc 4R  S  pr     S  p pa pb pc  ABC vuông A :  ABC đều, cạnh a : S  AB AC BC AH  2 AH  a a2 S , 7.2.2 Hình vng  S a ( a : cạnh hình vng) 7.2.3 Hình chữ nhật  S  ab ( a, b : hai kích thước) Trang 57 7.2.4 Hình bình hành �  S = đáy  cao = AB AD.sin BAD 7.2.5 Hình thoi � = AC BD S = AB AD.sin BAD  7.2.6 Hình thang  S a b h   ( a, b : hai đáy, h : chiều cao) 7.2.7 Tứ giác có hai đường chéo vng góc AC & BD  S AC BD MỘT SỐ CƠNG THỨC TÍNH NHANH THỂ TÍCH KHỐI CHĨP THƯỜNG GẶP Nội dung Hình vẽ A Cho hình chóp SABC với mặt phẳng  SAB  ,  SBC  ,  SAC  vuông góc với đơi một, diện tích tam giác SAB, SBC , SAC S1,S2,S3 Khi đó: VS ABC  S C B 2S1.S2 S3 Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với  SAB , hai mặt phẳng � � nhau, BSC = a , ASB = b   SBC  vng  ABC  S góc với C A SB 3.sin2 tan  12 Khi đó: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, cạnh bên b VS ABC  Khi đó: VS ABC  a2 3b2  a2 12 B S C A G M B Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy a mặt bên tạo với mặt phẳng đáy góc  Khi đó: VS.ABC  a3 tan 24 S C A G B Trang 58 M Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh bên b cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc  Khi đó: VS ABC  S C A 3b3.sin  cos2  G Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy a, cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc  Khi đó: VS.ABC S C A a3.tan   12 G Khi đó: S D a2 4b2  2a2  Khi đó: B S A a3.tan M O C S D A M O a3 tan2    C B Khi đó: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh bên a, góc tạo mặt bên mặt đáy  S ��  ��0; � � � với Khi đó: D B �  �  �� ; � � �4 � a, SAB = a với VS.ABCD  M O Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy VS.ABCD A C Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a, góc tạo mặt bên mặt phẳng đáy  VS ABCD  M B Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD a, hình vng cạnh SA  SB  SC  SD  b VS ABC M B A D M O B 4a tan   tan2   Trang 59 C Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy   P a Gọi S F mặt phẳng qua A song song với BC vuông góc với mặt phẳng đáy   SBC  , góc  P  N A E x C G với M B a3 cot  24 Khi đó: Khối tám mặt có đỉnh tâm mặt hình lập phương cạnh a VS.ABCD  Khi đó: V  A' B' O' a3 D' O1 C' O2 O4 A O3 B O D C Cho khối tám mặt cạnh a Nối tâm mặt bên ta khối lập phương S G2 2a3 V  27 Khi đó: D A G1 N M C B S' CÁC CÔNG THỨC ĐẶC BIỆT THỂ TÍCH TỨ DIỆN Cơng thức Điều kiện tứ diện abc  cos2   cos2   cos2   2cos cos  cos Công thức tính biết cạnh, góc đỉnh tứ diện VABCD  abd sin Công thức tính biết cạnh đối, khoảng cách góc cạnh 2S S sin VSABC  3a Cơng thức tính biết cạnh, diện tích góc mặt kề abc VS.ABC  sin sin  sin VS.ABC  Cơng thức tính biết cạnh, góc đỉnh góc nhị diện Trang 60 SA = a, SB = b, SC = c � � �� � = b, CSA � =j �ASB = a , BSC � � AB  a,CD  b � � d AB,CD  d, AB,CD   �     � SSAB  S1, SSAC  S2, SA  a � � SAB , SAC   � �    � SA = a, SB = b, SC = c � � � �(� � SAB ) , ( SAC ) = a � � � � � � �ASB = b, ASC = j ( )  Nếu phương trình M, N  * có hai nghiệm d cắt  S hai điểm phân biệt Chú ý: Ðể tìm tọa độ M , N ta thay giá trị t vào phương trình đường thẳng d 3.3 Góc khơng gian 3.3.1 Góc hai mặt phẳng Nội dung Định lý Hình vẽ ( Oxyz ) cho hai mặt phẳng ,  Trong không gian xác định phương trình : ( ) : A1x  B1y  C 1z  D1  ( ) : A2x  B2y  C 2z  D2  Gọi  góc hai mặt phẳng ( ) & ( ) ta có cơng thức: cos  A1A2  B1B2  C 1C A12  B12  C 12 A22  B22  C 22 3.3.2 Góc đường thẳng mặt phẳng Nội dung x  x0 y  y0 z  z0 () :   a b c Cho đường thẳng mặt phẳng ( ) : Ax  By  Cz  D  Hình vẽ Gọi  góc hai mặt phẳng () & ( ) ta có cơng thức: sin  Aa  Bb  Cc A2  B  C a2  b2  c2 3.3.3 Góc hai đường thẳng Nội dung Cho hai đường thẳng : x  x0 y  y0 z  z0   a b c x  x0� y  y0� z  z0� (2) :   a' b' c' ( ) & (2) Gọi  góc hai mặt phẳng ta có (1) : cos  công thức: aa'  bb'  cc' a2  b2  c2 a'2  b'2  c'2 Trang 88 Hình vẽ 3.4 Khoảng cách 3.4.1 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Nội dung Cho mặt phẳng ( ) : Ax  By  Cz  D  điểm Hình vẽ M 0(x0;y0;z0) Khoảng cách từ điểm tính : d(M 0; )  M0 đến mặt phẳng ( ) Ax0  By0  Cz0  D A2  B  C 3.4.2 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Nội dung M 0(x0;y0;z0) Cho đường thẳng () qua điểm r có VTCP u  (a;b;c) Khi khoảng cách từ điểm M đến () tính cơng thức: uuuuuur r � M 0M 1;u� � � d(M 1, )  r u 3.4.3 Khoảng cách đường thẳng chéo Nội dung Định lý: Hình vẽ Hình vẽ  Oxyz  cho hai đường thẳng Trong không gian chéo : r (1) co VTCP u  (a;b;c) va qua M 0(x0;y0;z0) ur (2) co VT CP u'  (a';b';c') va qua M 0' (x0' ;y0' ;z0' ) ( ) va ( 2 ) Khi khoảng cách tính r uu r uuuuuur � u, u '� M M ' � � 0 d(1, 2)  r uu r � u;u '� � � công thức 3.5 Lập phương trình đường thẳng Để lập phương trình đường thẳng d ta cần xác định điểm thuộc d VTCP 3.5.1 Dạng �x  x  a t � o (d) : �y  yo  a2t r �z  z  a t � o d qua điểm M 0(x0;y0;z0) có VTCP a  (a1;a2;a3) 3.5.2 Dạng uuur d qua hai điểm A, B : Một VTCP d AB Trang 89 ( t �R ) 3.5.3 Dạng d qua điểm M 0(x0;y0;z0) song song với đường thẳng  cho trước: Vì d / /  nên VTCP  VTCP d 3.5.4 Dạng d qua điểm M 0(x0;y0;z0) vng góc với mặt phẳng   d P nên VTPT 3.5.5 Dạng P  P  cho trước: Vì VTCP d d giao tuyến hai mặt phẳng ( P ) , ( Q ) :  Cách 1: Tìm điểm VTCP � (P ) � � (Q )  Tìm toạ độ điểm A �d : cách giải hệ phương trình � (với việc chọn giá trị cho ẩn) r r r d :a  � nP , nQ � � �  Tìm VTCP  Cách 2: Tìm hai điểm A, B thuộc d , viết phương trình đường thẳng qua hai điểm 3.5.6 Dạng d qua điểm M 0(x0;y0;z0) vng góc với hai đường thẳng d1,d2 : r r r a� ad ,ad � d  d1, d  d2 �1 � Vì nên VTCP d là: 3.5.7 Dạng d qua điểm M 0(x0;y0;z0) , vng góc cắt đường thẳng   Cách 1: � H � � �uuuuur r M H  u M Gọi H hình chiếu vng góc đường thẳng  Thì � M , H Khi đường thẳng d đường thẳng qua  Cách 2: Gọi P  mặt phẳng qua A vng góc với d   ; Q mặt phẳng     d � P �Q qua A chứa d Khi 3.5.8 Dạng d qua điểm M 0(x0;y0;z0) cắt hai đường thẳng d1,d2 :  Cách 1: Gọi M �d1, M �d2 M 1, M Từ điều kiện M , M 1, M thẳng hàng ta tìm Từ suy phương trình đường thẳng d  Cách 2: Trang 90 Gọi  P   (M ,d ) ,  Q   (M ,d ) Khi d   P  � Q  Do đó, VTCP d r r r a� nP , nQ � � � chọn 3.5.9 Dạng d nằm mặt phẳng P  cắt hai đường thẳng   d1,d2 :   A  d1 � P , B  d2 � P Tìm giao điểm Khi d đường thẳng AB 3.5.10 Dạng 10 Viết phương trình mặt phẳng P        Q d, d chứa  mặt phẳng chứa  d P �Q Khi 3.5.11 Dạng 11 d đường vng góc chung hai đường thẳng d1, d2 chéo nhau:  Cách 1: � MN  d1 � � MN  d2 M �d1, M �d2 Gọi Từ điều kiện � , ta tìm M , N Khi đó, d đường thẳng MN  Cách 2:  Vì d  d1 d  d2 r r r a� ad ,ad � � 2� nên VTCP d là:  Lập phương trình mặt phẳng P  chứa d d1, cách: d  Lấy điểm A P   Một VTPT r r r nP  � a,ad � � 1� là:  Tương tự lập phương trình mặt phẳng Q  chứa d d2 Khi     d P �Q 3.5.12 Dạng 12 d hình chiếu đường thẳng  lên mặt phẳng ( P ) ta Lập phương trình Q  chứa  vng góc với mặt phẳng  Lấy M � r Q P nQ    Vì chứa vng góc với nên mặt phẳng     d   P  � Q   Khi 3.5.13 Dạng 13 d qua điểm M , vng góc với d1 cắt d2 :  Cách 1: Trang 91 P  cách: r r � a , nP � � � d MN  d1, Gọi N giao điểm d Từ điều kiện ta tìm N Khi đó, d đường thẳng MN  Cách 2:  Viết phương trình mặt phẳng  Viết phương trình mặt phẳng  Khi P  Q  d qua M vng góc với d chứa M     d P �Q 3.6 Vị trí tương đối 3.6.1 Vị trí tương đối hai đường thẳng Để xét VTTĐ hai đường thẳng, ta sử dụng phương pháp sau:  Phương pháp hình học: Dựa vào mối quan hệ VTCP điểm thuộc đường thẳng  Phương pháp đại số: Dựa vào số nghiệm hệ phương trình đường thẳng 3.6.2 Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng Để xét VTTĐ đường thẳng mặt phẳng, ta sử dụng phương pháp sau:  Phương pháp hình học: Dựa vào mối quan hệ VTCP đường thẳng VTPT mặt phẳng  Phương pháp đại số: Dựa vào số nghiệm hệ phương trình đường thẳng mặt phẳng 3.6.3 Vị trí tương đối đường thẳng mặt cầu Để xét VTTĐ đường thẳng mặt cầu ta sử dụng phương pháp sau:  Phương pháp hình học: Dựa vào khoảng cách từ tâm mặt cầu đến đường thẳng bán kính  Phương pháp đại số: Dựa vào số nghiệm hệ phương trình đường thẳng mặt cầu 3.7 Khoảng cách 3.7.1 Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d  Cách 1: uuuuur r � � M � 0M ,a � d ( M , d )  r r M a Cho đường thẳng d qua có VTCP a  Cách 2:  Tìm hình chiếu vng góc H M đường thẳng d   d M ,d  MH   Cách 3: Trang 92  Gọi   N x; y; z �d Tính MN theo t (t tham số phương trình đường thẳng d)  Tìm t để MN nhỏ d  M ,d   MH  Khi N �H Do 3.7.2 Khoảng cách hai đường thẳng chéo Cho hai đường thẳng chéo d2 qua điểm Chú ý: M2 có VTCP r a2 d1 d2 Biết d1 qua điểm M1 có VTCP r r uuuuuur � a M 1M �1,a2 � � d(d1,d2)  r r � a1,a2 � � � Khoảng cách hai đường thẳng chéo d1, d2 khoảng cách r a1 , d1    chứa d2 song song với d1 với mặt phẳng 3.7.3 Khoảng cách hai đường thẳng song song Khoảng cách hai đường thẳng song song khoảng cách từ điểm thuộc đường thẳng đến đường thẳng 3.7.4 Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song Khoảng cách đường thẳng d với mặt phẳng  khoảng cách từ điểm M d đến mặt phẳng 3.8 Góc 3.8.1 Góc hai đường thẳng Cho hai đường thẳng d1, d2 có VTCP r r a1,a2 d1, d2 r r a1,a2 song song với  r r a1.a2 r r cos a1,a2   r r a1 a2 Góc bù với góc là: 3.8.2 Góc đường thẳng mặt phẳng r r  a  (a1;a2;a3) Cho đường thẳng d có VTCP mặt phẳng có VTPT n  (A;B ;C )   Góc đường thẳng d mặt phẳng hình chiếu d'  (  Aa1 + Ba2 + Ca3 ) sin d�, ( a ) = là: góc đường thẳng d với A2 + B + C a12 + a2 + a32 MẶT CẦU 4.1 Phương trình mặt cầu 4.1.1 Phương trình tắc Phương trình mặt cầu  S tâm   I a;b;c , Trang 93 bán kính R là:  (S) : (x  a)2  (y  b)2  (z  c)2  R  1 Phương trình gọi phương trình tắc mặt cầu 2 2 Đặc biệt: Khi I �O (C ) : x  y  z  R 4.1.2 Phương trình tổng quát 2 2 2 Phương trình : x  y  z  2ax  2by  2cz  d  với a  b  c  d  phương trình mặt cầu  S có tâm   I a;b;c , 2 bán kính R  a  b  c  d 4.2 Giao mặt cầu mặt phẳng   S Cho mặt phẳng ( ) mặt cầu có phương trình : ( ) : Ax  By  Cz  D  (S) : (x  a)2  (y  b)2  (z  c)2  R   S Gọi d(I ; ) khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng  S I ; R  Cho mặt cầu mặt phẳng  P  P  � d  IH Gọi H hình chiếu vng góc I lên dR dR Mặt cầu mặt Mặt phẳng tiếp xúc mặt phẳng khơng có điểm P cầu: mặt phẳng tiếp chung diện mặt cầu H :   tiếp điểm  dR Mặt phẳng cắt mặt cầu theo thiết diện đường trịn có tâm I � có tâm 4.3.2 Dạng  S     I a;b;c S  : (x  a)2  (y  b)2  (z  c)2  R  R bán kính I a;b;c có tâm qua điểm A bán kính R  IA 4.3.3 Dạng  S nhận đoạn thẳng AB cho trước làm đường kính:  Tâm I trung điểm đoạn thẳng A B : xI  xA  xB bán r  R  IH 4.3 Một số toán liên quan 4.3.1 Dạng  S   d I , P  ; yI  yA  yB ; zI  zA  zB Trang 94 kính  Bán kính 4.3.4 Dạng  S R  IA  AB qua bốn điểm A, B,C , D ( mặt cầu ngoại tiếp tứ diện)  Giả sử phương trình mặt cầu  S có dạng:   x2  y2  z2  2ax  2by  2cz  d  *   * ,  Thay toạ độ điểm A, B,C , D vào ta phương trình  S  Giải hệ phương trình đó, ta tìm a,b,c,d � Phương trình mặt cầu 4.3.5 Dạng  S qua ba điểm A, B,C có tâm I giải tương tự dạng 4.3.6 Dạng  S có tâm I tiếp xúc với mặt cầu P  nằm mặt phẳng T  cho trước cho trước:   T  Xác định tâm I bán kính R ' mặt cầu  Sử dụng điều kiện tiếp xúc hai mặt cầu để tính bán kính R mặt cầu Chú ý:  S  (Xét hai trường hợp tiếp xúc ngoài)  S  : x  y  z  2ax  2by  2cz  d  Với phương trình mặt cầu a b c  S  có tâm I  �;�;� với a  b  c  d  bán kính R  a 2 2 2 Đặc biệt: Cho hai mặt cầu   b2  c2  d  S  I , R  � S  , S  S1 I 1, R1  I 1I  R1  R2  I 1I  R1  R2 �  S1  ,  S2   I 1I  R1  R2 � S1 , S2  I 1I  R1  R2 �  S1  ,  S2   R1  R2  I 1I  R1  R2 2     tiếp xúc tròn giao tuyến) 4.3.7 Dạng Viết phương trình mặt cầu trước bán kính mặt cầu tiếp xúc ngồi     cắt � S1 , S2  S có tâm  theo đường tròn (đường I a;b;c    R d I; P Trang 95  , tiếp xúc với mặt phẳng  P  cho 4.3.8 Dạng       S I a;b;c P Viết phương trình mặt cầu có tâm , cắt mặt phẳng cho trước theo giao tuyến đường tròn thoả điều kiện  Đường tròn cho trước (bán kính diện tích chu vi) từ cơng thức diện tích đường trịn S   r chu vi đường tròn P  2 r ta tìm bán kính đường trịn giao tuyến r  Tính    d d I, P 2  Tính bán kính mặt cầu R  d  r  Kết luận phương trình mặt cầu 4.3.9 Dạng Viết phương trình mặt cầu   S tiếp xúc với đường thẳng  cho trước có      I a;b;c S R  d I , tâm cho trước đường thẳng  tiếp xúc với mặt cầu ta có 4.3.10 Dạng 10  S Viết phương trình mặt cầu  M xo, yo, zo  tiếp xúc với đường thẳng  tiếp điểm thuộc  có tâm I thuộc đường thẳng d cho trước ta làm sau:  Viết phương trình mặt phẳng thẳng   Toạ độ tâm   I  P �  Bán kính mặt cầu P  qua điểm M vng góc với đường nghiệm phương trình  R  IM  d I ,   Kết luận phương trình mặt cầu 4.3.10 Dạng 10 Viết phương trình mặt cầu điểm A, B thoả mãn điều kiện:  S  S có tâm  I a;b;c  cắt đường thẳng  hai  Độ dài AB số  Tam giác IAB tam giác vuông  Tam giác IAB tam giác   d I ,  IH Thì ta xác định cầu R tính sau: , IAB cân I nên 2  R  IH  HB  R IH sin45o Trang 96 HB  AB bán kính mặt R IH sin60o  4.3.11 Dạng 11 Tập hợp điểm mặt cầu Giả sử tìm tập hợp điểm M thoả tính chất  Tìm hệ thức toạ độ x, y, z điểm M P  2 (x  a)2  (y  b)2  (z  c)2  R hoặc: x  y  z  2ax  2by  2cz  d   Tìm giới hạn quĩ tích (nếu có) 4.3.12 Dạng 12 Tìm tập hợp tâm mặt cầu � x  f (t) � y  g(t) � * � � z  h(t)  Tìm toạ độ tâm I , chẳng hạn: �     *  Khử t ta có phương trình tập hợp điểm  Tìm giới hạn quĩ tích (nếu có) MỘT SỐ DẠNG GIẢI NHANH CỰC TRỊ KHÔNG GIAN 5.1 Dạng      P M �P MA  MB Cho hai điểm A, B Tìm để Phương pháp  Nếu A B trái phía so với P   Nếu A B phía so với ?   � M , A, B thẳng hàng � M  AB � P P  5.2 Dạng  tìm B ' đối xứng B qua P     P  hai điểm A, B Tìm M � P để MA  MB max ? Cho Phương pháp  Nếu A B phía so với  Nếu A B trái phía so với P  P    � M , A, B thẳng hàng � M  AB � P tìm B ' đối xứng B qua P  � MA  MB '  AB ' 5.3 Dạng Cho điểm trình P   M xM ;yM ;zM  khơng thuộc trục mặt phẳng tọa độ Viết phương V qua M cắt tia Ox,Oy,Oz A, B,C cho O.ABC nhỏ nhất? Phương pháp  P  : 3xx M  y z  1 3yM 3zM Trang 97 5.4 Dạng Viết phương trình mặt phẳng   P điểm M �d đến P  chứa đường thẳng d , cho khoảng cách từ lớn nhất? � QuaA ��d �r r uuuur r P : �u � � n P   ud, AM � , ud � � � � � � �   Phương pháp 5.5 Dạng Viết phương trình mặt phẳng P  qua A cách M khảng lớn ? � QuaA � � r uuuur P : �u n P   AM �   Phương pháp 5.6 Dạng     P P Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d , cho  không song song với d ) góc lớn lớn ? tạo với  ( � QuaA ��d �u r r r r P :� � � � � n u P  d, u , ud  � � � � � �   Phương pháp 5.7 Dạng Cho   Viết phương trình đường thẳng d nằm (P) song song với / / P  cách  khoảng nhỏ ? Phương pháp � QuaA �� � r d : �r u  u  P  �d  Lấy A � , gọi A�là hình chiếu vng góc A 5.8 Dạng Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A cho trước nằm mặt phẳng  P  cho trước cho khoảng cách từ điểm ( AM khơng vng góc với Phương pháp P  ) ? � QuaA ��d � u r uuuur d : �r � � u  n d P , AM � �  � � Trang 98 M cho trước đến d lớn 5.9 Dạng Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A cho trước nằm mặt phẳng  P  cho trước cho khoảng cách từ điểm M ( AM khơng vng góc với Phương pháp P  ) ? � QuaA ��d � u r uuuur u r d : �r � � � � u n d  P  , AM , n  P   � � � � � � 5.10 Dạng 10 Viết phương trình đường thẳng d qua điểm cho trước đến d nhỏ  P  tạo với đường thẳng   cho trước, cho d nằm A�P  góc nhỏ (  cắt không vuông   P góc với )? Phương pháp � QuaA ��d � u r uuuur u r d : �r � � � � u n d  P  , AM , n  P   � � � � � � MỤC LỤC PHẦN I KHỐI ĐA DIỆN .54 KHỐI LĂNG TRỤ VÀ KHỐI CHÓP 54 KHÁI NIỆM VỀ HÌNH ĐA DIỆN VÀ KHỐI ĐA DIỆN 54 2.1 Khái niệm hình đa diện 54 2.2 Khái niệm khối đa diện 54 HAI ĐA DIỆN BẰNG NHAU .55 3.1 Phép dời hình khơng gian .55 3.2 Hai hình .56 PHÂN CHIA VÀ LẮP GHÉP CÁC KHỐI ĐA DIỆN 56 KHỐI ĐA DIỆN LỒI .56 5.1 Khối đa diện lồi 56 5.2 Khối đa diện .57 5.3 Một số kết quan trọng khối đa diện lồi 58 THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN 58 6.1 Thể tích khối chóp 58 6.2 Thể tích khối lăng trụ 58 Trang 99 6.3 Thể tích khối hộp chữ nhật 59 6.4 Thể tích khối lập phương .59 6.5 Tỉ số thể tích .59 6.6 Một số ý độ dài đường đặc biệt 59 CÁC CƠNG THỨC HÌNH PHẲNG 60 7.1 Hệ thức lượng tam giác 60 7.2 Các cơng thức tính diện tích 60 MỘT SỐ CƠNG THỨC TÍNH NHANH THỂ TÍCH KHỐI CHĨP THƯỜNG GẶP CÁC CƠNG THỨC ĐẶC BIỆT THỂ TÍCH TỨ DIỆN 63 PHẦN II MẶT NÓN - MẶT TRỤ - MẶT CẦU 64 MẶT NĨN TRỊN XOAY VÀ KHỐI NĨN .64 1.1 Mặt nón trịn xoay 64 1.2 Khối nón .64 1.3 Thiết diện cắt mặt phẳng .65 MẶT TRỤ TRÒN XOAY 65 2.1 Mặt trụ 65 2.2 Hình trụ trịn xoay khối trụ tròn xoay 65 MẶT CẦU – KHỐI CẦU 66 3.1 Mặt cầu .66 3.2 Vị trí tương đối mặt cầu mặt phẳng .66 3.3 Vị trí tương đối mặt cầu đường thẳng 67 3.4 Đường kinh tuyến vĩ tuyến mặt cầu 67 MỘT SỐ DẠNG TỐN VÀ CƠNG THỨC GIẢI 68 4.1 Bài tốn mặt nón 68 4.2 Một số dạng tốn cơng thức giải tốn mặt trụ .71 MỘT SỐ DẠNG TỐN VÀ CƠNG THỨC GIẢI BÀI TỐN MẶT CẦU 72 5.1 Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện .72 5.2 Kỹ thuật xác định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp 75 5.3 Kỹ xác định trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy 75 5.4 Kỹ thuật sử dụng hai trục xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp đa diện .76 5.5 Tổng kết dạng tìm tâm bán kính mặt cầu .77 TỔNG HỢP CÁC CƠNG THỨC ĐẶC BIỆT VỀ KHỐI TRỊN XOAY 78 6.1 Chỏm cầu 78 6.2 Hình trụ cụt 78 6.3 Hình nêm loại 79 6.4 Hình nêm loại 79 6.5 Parabol bậc hai-Paraboloid tròn xoay 79 6.6 Diện tích Elip Thể tích khối trịn xoay sinh Elip 79 6.7 Diện tích hình vành khăn 79 Trang 100 61 6.8 Thể tích hình xuyến (phao) 79 PHẦN HỆ TRỤC TỌA ÐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ .80 HỆ TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN 80 1.1 Các khái niệm tính chất 80 1.2 Phương pháp giải số toán thường gặp .82 MẶT PHẲNG 82 2.1 Các khái niệm tính chất 82 2.2 Viết phương trình mặt phẳng 83 2.3 Vị trí tương đối hai mặt phẳng 85 2.4 Khoảng cách hình chiếu 85 2.5 Góc hai mặt phẳng .86 2.6 Vị trí tương đối mặt phẳng mặt cầu Phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu 86 ĐƯỜNG THẲNG 87 3.1 Phương trình đường thẳng 87 3.2 Vị trí tương đối 87 3.3 Góc khơng gian 90 3.4 Khoảng cách .90 3.5 Lập phương trình đường thẳng 91 3.6 Vị trí tương đối 94 3.7 Khoảng cách .94 3.8 Góc .95 MẶT CẦU 95 4.1 Phương trình mặt cầu 95 4.2 Giao mặt cầu mặt phẳng 96 4.3 Một số toán liên quan 96 MỘT SỐ DẠNG GIẢI NHANH CỰC TRỊ KHÔNG GIAN 99 5.1 Dạng 99 5.2 Dạng 99 5.3 Dạng 99 5.4 Dạng 99 5.5 Dạng 99 5.6 Dạng 99 5.7 Dạng 100 5.8 Dạng 100 5.9 Dạng 100 5.10 Dạng 10 100 Trang 101 Trang 102 ... CÁC CƠNG THỨC HÌNH PHẲNG 60 7.1 Hệ thức lượng tam giác 60 7.2 Các cơng thức tính diện tích 60 MỘT SỐ CƠNG THỨC TÍNH NHANH THỂ TÍCH KHỐI CHĨP THƯỜNG GẶP CÁC CƠNG THỨC... Bài tốn hình nón ngoại tiếp nội tiếp hình chóp Nội dung Hình vẽ Hình chóp tứ giác Hình nón nội tiếp hình chóp S.ABCD hình S.ABCD nón có đỉnh S , đáy đường trịn nội tiếp hình vng ABCD Khi hình nón... Dạng Bài tốn hình nón tạo phần cịn lại hình trịn sau cắt bỏ hình quạt Nội dung Hình vẽ V    O;R cắt bỏ hình quạt AmB Độ Từ hình trịn � dài cung AnB x Phần cịn lại hình trịn ghép lại hình nón Tìm