Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 113 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
113
Dung lượng
2,64 MB
Nội dung
Bồi dưỡng HSG Toán - ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MƠN TỐN ( ĐỀ 1) Câu 1: Cho bốn số dương a, b, c, d Chứng minh rằng: 1 a b c d 2 abc bcd cd a d a b Câu 2: Cho a, b hai số tự nhiên Biết a chia cho dư b chia cho dư Hỏi tích a.b chia cho dư ? 2bc b c a p p a Câu 3: Cho a b c p Chứng minh : Câu 4: Cho số nguyên a1 , a2 , a3 , , an Đặt S a1 a2 a3 an P a1 a2 a3 an Chứng minh rằng: S chia hết cho P chia hết cho 3 3 1 � � xy x y x y x y Câu 5: a) Cho x, y > Chứng minh 1 �16 b) Áp dụng: Cho ba số dương a, b, c thoả mãn a + b + c =1 Chứng minh ac bc x2 x A x2 Câu 6: Tìm GTLN GTNN biểu thức: Câu 7: Cho hình bình hành ABCD đường thẳng xy khơng có điểm chung với hình bình hành Gọi AA’, BB’, CC’, DD’ đường vng góc kẻ từ A, B, C, D đến đường thẳng xy Tìm hệ thức liên hệ độ dài AA’, BB’, CC’ DD’ Câu 8: Cho tam giác ABC có G trọng tâm đường thẳng d không cắt cạnh tam giác Từ đỉnh A, B, C trọng tâm G ta kẻ đoạn AA’, BB’, CC’ GG’ vng góc với đường thẳng d Chứng minh hệ thức: AA’ + BB’ +CC’ = 3GG’ Câu 9: Cho tam giác ABC có ba đường cao AA’, BB’, CC’ Gọi H trực tâm tam giác HA ' HB ' HC ' 1 a) Chứng minh: AA' BB ' CC ' ; AA ' BB ' CC ' �9 b) Chứng minh: HA' HB ' HC ' ; Câu 10: Cho tam giác ABC (AC > AB) Lấy điểm D, E tùy ý theo thứ tự nằm cạnh AB, AC cho BD = CE Gọi K giao điểm đường thẳng DE, BC Cmr: Tỉ số KE : KD không phụ thuộc vào cách chọn điểm D E ………… HẾT………… -Trang: Bồi dưỡng HSG Toán - ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MƠN TỐN ( ĐỀ 2) Câu 1: a) Chứng minh rằng: 21 39 chia hết cho 45 n n n 1 b) Chứng minh rằng: Với số tự nhiên n ta có: 26.5 M59 30 M 21 x5 x x3 x 3x x2 2x Câu 2: Cho biểu thức a) Rút gọn M b) Tìm giá trị x để giá trị biểu thức M Câu 3: Tìm giá trị nguyên x để giá trị biểu thức sau có giá trị số nguyên x3 x x A 2x M x a x b x b x c x c x a x2 Câu 4: Cho biểu thức Tính M theo a, b, c biết x 2x Câu 5: Giải phương trình: 1 a b c 2 x 2016 x x 1000 x x 2016 x 3x 1000 2 Câu 6: Tìm giá trị biến x để: P Q x2 x x 2x đạt giá trị lớn nhất x 2x đạt giá trị nhỏ nhất a) b) Câu 7: Cho hình vng ABCD M điểm tuỳ ý đường chéo BD Kẻ ME AB, MF AD a) Chứng minh DE = CF; DE CF b) Chứng minh ba đường thẳng DE, BF, CM đồng quy c) Xác định vị trí điểm M BD để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất? Câu 8: Cho hình chữ nhật ABCD Kẻ BH AC Gọi M trung điểm AH, K trung điểm CD, N trung điểm BH a) Chứng minh tứ giác MNCK hình bình hành; b) Tính góc BMK Câu 9: Cho tam giác ABC Gọi D trung điểm cạnh BC Trên hai cạnh AB AC lấy S DEF � S ABC hai điểm E F.Chứng minh Với vị trí hai điểm E F S DEF đạt giá trị lớn nhất? Câu 10: Cho hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB, đáy lớn CD Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt đường chéo BD E, qua B kẻ đường thẳng song song với AD cắt đường chéo AC F a) Chứng minh tứ giác DEFC hình thang cân; b) Tính độ dài EF biết AB = 5cm, CD = 10cm -Trang: Bồi dưỡng HSG Toán - ……………HẾT ………… ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MƠN TỐN ( ĐỀ 3) � x 1 2x2 4x � x2 x R� �: 3 x x x x � � � �x x Câu 1: Cho biểu thức a) Tìm điều kiện x để giá trị biểu thức R xác định; b) Tìm giá trị x để giá trị R 0; R 1 x c) Tìm giá trị để Câu 2: Chứng minh: 10 11 12 a) A chia hết cho b) B 6n 1 n 3n 2n 1 chia hết cho 2, với n �Z c) C 5n 15n 10n chia hết cho 30, với n �Z 2 a b c d) Nếu a x yz; b y xz; c z xy D ax by cz chia hết cho e) E x x x 12 x bình phương số nguyên, với x �Z F x x 1 2018 x x 1 2018 f) chia hết cho 8n 4n 2n n g) G x x chia hết cho x x , với n �N Câu 3: a) Tìm GTLN 2 x 1 A x4 2 x4 b) Tìm GTNN biểu thức B 9x x x , với x Câu 4: Cho tam giác ABC, trung tuyến AM Đường phân giác góc AMB cắt cạnh AB D, đường phân giác góc AMC cắt cạnh AC E a) Chứng minh DE // BC b) Gọi I giao điểm DE với AM Chứng minh ID = IE � Câu 5: Cho tam giác vuông cân ABC, A 90 Trên cạnh AB lấy điểm M, kẻ BD CM , BD cắt CA E Chứng minh rằng: a) EB.ED = EA.EC; b) BD.BE CA.CE BC � c) ADE 45 Câu 6: Cho hình vuông ABCD Gọi E điểm cạnh BC.Qua E kẻ tia Ax vng góc với AE, Ax cắt CD F.Trung tuyến AI tam giác AEF cắt CD K.Đường thẳng kẻ qua E,song song với AB cắt AI G Chứng minh rằng: a) AE = AF tứ giác EGKF hình thoi; b) AKF : CAF , AF FK FC ; -Trang: Bồi dưỡng HSG Toán - c) Khi E thay đổi BC, chứng minh: EK = BE + DK chu vi tam giác EKC không đổi Câu 7: Cho hai đoạn thẳng AB CD cắt E Các tia phân giác góc ACE DBE � � � BAC BDC BKC cắt K Chứng minh rằng: ………… HẾT………… ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MƠN TỐN ( ĐỀ ) a bc a c b bc a a , b , c c b a Câu 1: Cho ba số khác thỏa mãn đẳng thức: � b� � c� � a� P� 1 � 1 � 1 � � � a b c� � � � � � Tính giá trị biểu thức: Câu 2: Cho a1 , a2 , a3 , , a2018 2018 số thực thoả mãn Tính S 2018 a1 a2 a3 a2017 a2018 ak 2k k k , với k 1, 2,3, , 2018 7 5a b 3b 2a a � ,b � P 2a b Tính giá trị biểu thức 3a 2b Câu 3: a) Biết b) Biết b ��3a 6a 15ab 5b Tính giá trị biểu thức 2 Q 2a b 5b a 3a b 3a b Câu 4: a) Chứng minh với số thực x, y, z, t ta ln có bất đẳng thức sau: x y z t �x y z t Dấu đẳng thức xảy nào? 4 3 b) Chứng minh với x, y bất kỳ, ta có: x y �xy x y Câu 5: Rút gọn: k k 2 k 1 a) M 90.10 10 10 , k �N ; b) N 202 182 22 192 17 12 15 14 13 12 Câu 6: Tính giá trị biểu thức P x 2018 x 2018 x 2018 x 2018 x 2018 x 2018 , với x 2017 Câu 7: Cho hình thang ABCD có AB // CD, AB < CD Gọi O giao điểm hai đường chéo, K giao điểm AD BC Đường thẳng KO cắt AB, CD theo thứ tự M, N Cmr: MA MB a) ND NC ; c) MA MB, NC ND MA MB b) NC ND Câu 8: Cho hình thang ABCD (AB // CD) AB = 28, CD=70, AD=35, vẽ đường thẳng song song với hai cạnh đáy, cắt AD,BC theo thứ tự E F Tính độ dài EF, biết DE = 10 -Trang: Bồi dưỡng HSG Toán - Câu 9: Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM Gọi I điểm bất kỳ cạnh BC Đường thẳng qua I song song với AC cắt AB K Đường thẳng qua I song song với AB cắt AM, AC theo thứ tự D, E Chứng minh DE =BK Câu 10: Tứ giác ABCD có E, F theo thứ tự trung điểm CD,CB Gọi O giao điểm AE OD OF DF ; OA = 4OE; Chứng minh ABCD hình bình hành ………… HẾT………… ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MƠN TỐN ( ĐỀ 5) Câu 1: Tìm x, y biết : 2 a) x x y y x y x xy y x y x xy y 16 b) x2 1 y2 x y c) Câu 2: Giải biện luận nghiệm phương trình m x x m theo m Câu 3: Giải phương trình: a) x x x 10 72 b) Giải phương trình: Câu 4: Giải phương trình: �x � �x � �x � 3� 25 20 �2 � � � � �x � �x � �x � x 99 x x 99 x x 99 x x 99 x x 99 x x 99 x 99 98 97 96 95 94 a) 2 x 1 x x 1 2018 2019 b) 2017 32 B 1 32 1 34 1 38 1 316 1 Câu 5: a) So sánh hai số A 20192 20182 2019 2018 D 20192 20182 2019 2018 b) 2 Câu 6: Cho x, y hai số khác nhau, biết x y y x 2 Tính giá trị biểu thức A x xy y 3x y C Câu 7: Đường thẳng qua trung điểm cạnh đối AB, CD tứ giác ABCD cắt đường IA KB thẳng AD, BC theo thứ tự I, K Cmr: ID KC Câu 8: Qua M thuộc cạnh BC tam giác ABC vẽ đường thẳng song song với hai cạnh Chúng cắt đường thẳng AB, AC theo thứ tự H, K Cmr: AH AK a)Tổng AB AC không phụ thuộc vào vị trí điểm M cạnh BC b)Xét trường hợp tương tự M chạy đường thẳng BC không thuộc đoạn thẳng BC -Trang: Bồi dưỡng HSG Toán - Câu 9: Cho tam giác ABC cạnh a, M điểm bất kỳ tam giác ABC MA MB MC a Chứng minh rằng: Câu 10: Cho hình vng ABCD Trên tia đối CB DC, lấy điểm M, N cho DN = BM Các đường thẳng song song kẻ từ M với AN từ N với AM cắt F Cmr: a) Tứ giác ANFM hình vng; � � b) Điểm F nằm tia phân giác MCN ACF 90 ; c) Ba điểm B, O, D thẳng hàng tứ giác BOFC hình thang ( O trung điểm AF ) …………… HẾT.………… ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MƠN TỐN ( ĐỀ ) 3 2 Câu 1: Cho a b c Chứng minh rằng: a b a c b c abc 2 Câu 2: Cho x y z 10 Tính giá trị biểu thức: P xy yz zx x yz y xz z xy 2 2 Câu 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 5 a) x x ; b) x x 8 c) x x ; d) x x 1 1 Câu 4: Chứng minh ba số a, b, c thỏa mãn điều kiện: a b c 2018 a b c 2018 ba số a, b, c phải có số 2018 Câu 5: Giải phương trình sau: b2 x2 a b2 x x b2 ( Phương trình ẩn x ) a) 1 10 L x 2000 x 2001 x 2001 x 2002 x 2009 x 2010 11 x a2 x b) 2009 x 2009 x x 2010 x 2010 2 2009 x 2009 x x 2010 x 2010 c) Câu 6: a) Cmr : 19 49 x 1 x x 3 x �1 � 1� � 1� 1 � ��9 � � b) Cho số dương a b thỏa mãn điều kiện a b Cmr : � a �� b � Câu 7: Cho tam giác ABC vuông cân A, đường trung tuyến BM Lấy điểm D cạnh BC cho BD = 2DC Cmr: BM vng góc với AD Câu 8: Cho tam giác ABC vuông A ( AB < AC ), đường cao AH Trên tia HC lấy HD = HA -Trang: Bồi dưỡng HSG Toán - Đường vng góc với BC D cắt AC E a) Chứng minh : AE = AB ; AHM b) Gọi M trung điểm BE Tính � Câu 9:Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Gọi D E hình chiếu H AB, AC a) Chứng minh: BD.CE.BC AH ; b) Giả sử diện tích tam giác ABC gấp đơi diện tích tứ giác ADHE, chứng tỏ tam giác ABC vuông cân Câu 10: Cho tam giác ABC nhọn, có trực tâm H, cạnh BH lấy điểm M đoạn CH lấy � � điểm N cho AMC ANB 90 Chứng minh rằng: AM = AN …………… HẾT ………… ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MƠN TỐN ( ĐỀ 7) Câu 1: Chứng minh rằng: 95 94 93 31 30 29 a) Đa thức M x x x x x chia hết cho đa thức N x x x x x b) Đa thức P x 1985 x3 x2 x 1979 có giá trị nguyên với x số nguyên 3 Câu 2: a)Xác định số hữu tỉ k để đa thức A x y z kxyz chia hết cho đa thức x y z b) Tìm đa thức bậc ba dư P x P 1 18 P , biết chia P x cho x 1 , cho x , cho x 3 �x x2 x x2 � : � � x2 x � x x 1 x2 x � Câu 3: Cho biểu a) Tìm ĐKXĐ rút gọn P P 1 b) Tìm x để c) Tìm giá trị nhỏ nhất P x Câu 4: Rút gọn phân thức: A a) x B x y z 3xyz x y y z z x 2 ; Câu 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: b) y y z z x2 x y 3 y z z x 3 a x y3 a y x3 x y a3 Câu 6: Chứng minh rằng: -Trang: Bồi dưỡng HSG Toán a b2 c2 c b a 2 2� a b a c a) b c b) x x x x Câu 7: Cho tam giác ABC vng A Vẽ phía ngồi tam giác tam giác ABD ACF vuông cân B C Gọi H giao điểm AB CD, K giao điểm AC BF Cmr: a) AH =AK ; b) AH BH CK Câu 8: Cho tam giác ABC, đường thẳng cắt cạnh BC, AC theo thứ tự D E cắt cạnh BA F Vẽ hình bình hành BDEH Đường thẳng qua F song song với BC cắt AH I Cmr: FI = DC Câu 9: Cho tam giác ABC, đường phân giác AD đường trung tuyến AM Qua điểm I thuộc AD vẽ IH vng góc với AB, IK vng góc với AC Gọi N giao điểm HK AM Cmr : NI vng góc với BC Câu 10: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, trực tâm H Một đường thẳng qua H cắt cạnh AB, AC theo thứ tự P Q cho HP = HQ Gọi M trung điểm BC Cmr: HM vng góc với PQ …………… HẾT…………… ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MƠN TỐN ( ĐỀ 8) A x 1 x 1 21 x 1 x 31 Câu 1: Chứng tỏ đa thức: giá trị biến x Câu 2: a) Rút gọn phân thức: A không âm với x 40 x30 x 20 x10 x 45 x 40 x 35 � � � x5 B x24 x20 x16 x4 x26 x24 x22 x2 1 1� � a b c � � �a b c � Câu 3: Cho số a, b, c khác 0, thoả mãn a 23 b23 a5 b5 a 2019 b2019 b) Rút gọn phân thức: Tính giá trị biểu thức Câu 4: Giải phương trình sau: 1 2017 � 2017 2016 �1 � � � � � x � � � � � � x x 1 2019 2018 � 2016 2017 ; b) 10 a) �2 � � 98.99 x 1.2 2.3 3.4 � 59 x 57 x 55 x 53 x 51 x 2018 5 323400 43 45 47 49 c) 41 ; d) 1 1 e) x x x x 12 x x 20 x 11x 30 Câu 5: Cho x, y, z số dương thỏa mãn Chứng minh rằng: x y z x y y z z x xyz -Trang: Bồi dưỡng HSG Toán 2 2 2 Câu 6: Phân tích đa thức thành nhân tử: 2a b 4ab a c ac 4b c 2bc 4abc Câu 7: Hình chữ nhật ABCD có M, N theo thứ tự trung điểm AD BC Gọi E điểm bất kỳ thuộc tia đối tia DC, K giao điểm EM AC Cmr: MN tia phân giác góc KNE Câu 8: Cho hình thang ABCD, đáy lớn AB Từ đỉnh D kẻ đường thẳng song song với cạnh BC, cắt đường chéo AC M cắt cạnh đáy AB K Từ C kẻ đường thẳng song song với AD, cắt đường chéo BD I cắt cạnh AB F Qua F kẻ đường thẳng song song với AC, cắt cạnh bên BC P Cmr: a) MP / / AB b) Ba điểm M, I, P thẳng hàng c) DC AB.MI Câu 9: Một đường thẳng qua đỉnh A hình bình hành ABCD cắt đường chéo BD E cắt đường thẳng BC, DC theo thứ tự K, G CMR: a) AE EK EG ; 1 b) AE AK AG c) Khi đường thẳng thay đổi qua A tích BK.DG có giá trị khơng đổi Câu 10: Cho tam giác ABC đều, điểm D, E theo thứ tự thuộc cạnh AC, AB cho AD = BE Gọi M điểm bất kì thuộc cạnh BC Vẽ MH // CD, MK //BE (H �AB; K �AC) Cmr: Khi M chuyển động cạnh BC tổng MH + MK có giá trị khơng đổi …………… HẾT .…………… ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MƠN TỐN ( ĐỀ 9) Câu 1: Phân tích thành nhân tử: a b c a) a b c 4b 2 ; a b c b c a c a b2 b) a c) 2 2 b2 c a b2 c 3 Câu 2: Thực phép tính: A a) 2.36 36 53 23.36 23.53 93 125 183 103 b) B x y xy xy x y x y xy x y 3 3 a2 b2 c2 a b c 0 1 Câu 3: Cho b c c a a b Chứng minh rằng: b c c a a b 1 1 1 2 2 Câu 4: Chứng minh a b c a b c abc a b c Câu 5: a) Tìm số có hai chữ sơ mà bình phương lập phương tổng chữ số b)Tìm ba số tự nhiên liên tiếp biết cộng ba tích, tích hai ba số 26 c) Tìm bốn số nguyên dương liên tiếp, biết tích chúng 120 -Trang: Bồi dưỡng HSG Toán a b c �a b c Câu 6: Cmr: a) 4 b) a b �4ab Câu 7: Cho tam giác ABC vng A có đường phân giác BD cắt đường cao AH I a) Chứng minh: tam giác ADI cân b) Chứng minh: AD.BD BI DC c) Từ D kẻ DK vng góc BC K Tứ giác ADKI hình gì? Chứng minh điều ấy Câu 8: Cho tam giác ABC vuông cân A, điểm D, E, F theo thứ tự chia cạnh AB, BC, CA theo tỉ số Cmr: AE = DF; AE DF AB CD Câu 9: Cho hình thang ABCD (AB//CD) có diện tích S, Gọi E,F theo thứ tự trung điểm AB,CD Gọi M giao điểm AF DE, N giao điểm BF CE Tính diện tích tứ giác EMFN theo S Câu 10: Cho hình bình hành ABCD, M trung điểm BC Điểm N cạnh CD cho CN =2 ND Gọi giao điểm AM, AN với BD P, Q Cmr: S APQ S AMN ………… HẾT………… ĐỀ THI THỬ CẤP HUYỆN MƠN TỐN ( ĐỀ 10) Câu 1: Tìm GTNN của: a) A x 16 2007, x x3 ; b) B x x 2018 , x �0 2018 x ; 5n 11 4n 13 số tự nhiên; Câu 2: a) Xác định n �N để b) Chứng minh rằng: B n 6n 19n 24 chia hết cho 1 S n 2.5 5.8 3n 1 3n c) C x 2000 ,x x A c) Tính tổng Câu 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x a) x c) x x x 15 3x 1 x 3x ; ; x b) x d) 2 x x 18 x 20 ; x x 3 x 15 f k k 2k 15 g k k 3 Câu 4: Tìm tất số tự nhiên k để đa thức chia hết cho Câu 5: Cho hai số x y thoả mãn điều kiện: 3x y 2 a) Tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức M 3x y ; b) Tìm giá trị lớn nhất biểu thức N xy -Trang: 10 Bồi dưỡng HSG Toán d UCLN 9n 2,12n 3 d �N * Gọi , � 9n Md � 36n Md � � �� � 36n 36n Md � 1Md � d � 12n 3 Md 36n Md � � Khi đó, 12n n �N 9n Vậy, hai số nguyên tố c) Chứng minh: số có dạng n n 2n 2n với n �N n số phương Ta có n n 2n 2n n n n 2n n � n n 1 n 1 n 1 � � � � n2 � n 1 n3 n2 � n3 1 n2 1 � � � n n 1 � � n n 1 n 2n n 2n n 1 n 1 n 2n n n 1 n Với n �N n n 1 Suy n 2n n 2 với n �N n n 2n khơng phải số phương Vậy, số có dạng n n 2n 2n với n �N n khơng phải số phương Câu a) Chứng minh rằng: A 2n 1 2n 1 chia hết cho với số tự nhiên n n n Theo giả thiết n số tự nhiên nên 1, , ba số tự nhiên liên tiếp n 2 Vì tích ba số tự nhiên liên tiếp chia hết ,3 nên 1 1 M3 Mặt khác, A 1 1 Vậy, chia hết cho với số tự nhiên n n n n n 1 2n 2n 1 M3 n n b) Tìm số nguyên n để B n n 13 số phương? Ta có B số phương 4B số phương Đặt B k , k �N Khi đó, Vì B 4n 4n 52 k � 2n k 2n k 51 2n k 2n k nên ta có trường hợp: 2n k 2n k 2n k 51 �2n k 17 � � � , � ,� ,� � 2n k 51 � 2n k 17 � 2n k 1 �2n k 3 � Giải ta được: n 12, n 3, n 13, n Vậy, n 12 n 3 n 13 n B n n 13 số phương Câu Giải phương trình sau: a) x x 3x -Trang: 99 Bồi dưỡng HSG Toán � 1� x x �x � � 2� Ta có với x Do đó, x2 x 3x � x x 3x � x2 x � x x 1 Vậy, x5 � �� x 1 � S 1;5 b) x3 x x 1 x x2 ĐKXĐ: x �0, x �2 x3 x x � x3 x2 x x x x x2 Ta có x (loai ) � � x x 3x � x x 1 x 3 � � x 1 � x 3 � + Với x , ta có pt x3 x � x x 1 � x loai x + Với , ta có pt S 3;1 Vậy, c) Ta có: x 1 2x x � x 2x x x 1; x 3 ; x0 (*) Các giá trị đặc biệt : Lập bảng xét dấu bỏ giá trị tuyệt đối : x x 1 3 x 1 x x 3 -x VT 2 x 2x x 1 x 1 x 1 2x -x 2x x 2x x 2x 4 2x 3 x� , pt cho trở thành 2 x � x 3 ( nhận ) + Xét 3 �x �0 + Xét , pt cho trở thành x � x ( nhận ) 4 x ( nhận ) � + Xét �x �1 , pt cho trở thành = + Xét x �1 , pt cho trở thành x � x ( nhận ) KL : Pt cho có nghiệm : x 3; �x �1 -Trang: 100 Bồi dưỡng HSG Toán Câu Với a, b, c Hãy chứng minh BĐT: ab bc �2b a) c a ab bc 0, a 0, b 0, c a Với nên c ab bc ab bc ab bc �2 b 2b c a c a Áp dụng BĐT Cô-si cho hai số dương c a ta Dấu “=” � a c ab bc �2b Vậy, c a với a, b, c Dấu “=” � a c ab bc ca �a b c b) c a b �ab bc �c a �2b � �ab ac �2a � � b �c �bc ca ab bc ca �a b c �a b �2c c a b Áp dụng kết câu a, ta có: � Dấu “=” � a b c ab bc ca �a b c Vậy, c a b Dấu “=” � a b c a3 b3 b3 c3 c3 a3 �a b c 2bc 2ca c) 2ab 3 3 3 2 a b b c c a a b b2 c2 c2 a 2bc 2ca 2b 2a 2c 2b 2a 2c Ta có 2ab �a c a c ac �2 � 4b b �2b 2b 2 � c bc �b � � �2a 2a c �a b ab � � c c c Áp dụng kết câu a, ta có: � a b3 b3 c3 c a ab bc ca � �a b c 2ab 2bc 2ca c a b Dấu “=” � a b c � a b b3 c c a �a b c 2bc 2ca Vậy, 2ab Dấu “=” � a b c x4 x2 E x2 Câu a) Cho x x Tính -Trang: 101 Bồi dưỡng HSG Toán x2 x x2 x � x2 x 3x � 3, x �0 x *Cách 1: Ta có E �x x x � x4 x2 x2 x x2 x x2 x 1 � 15 � x2 x x x x � � x x x 1 15 x2 Vậy, x x 2 x x 15 x x x x 1 x E 15, x �0 x2 x2 x2 x *Cách 2: E x2 x F a x x theo a b) Cho x x Tính + Xét x a � F + Xét x �0 a �0 x2 x x x F �2 a �2 1 x x 1 x x 1 x x 1 x x 1 Ta có x2 x x2 x x 1 2a x2 a � 2 2 x x x a a x x 1 2a Mặt khác, a a2 F a � 2a a Từ suy F a2 x a 2a x x Vậy, Câu Tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức P xy , x, y số thực thoả mãn điều kiện: x 2013 y 2013 x1006 y1006 x 2013 y 2013 x1006 y1006 � x 2013 y 2013 x 2012 y 2012 Ta có: Mặt khác: x 2013 y 2013 Từ (2) (3) suy ra: x �4 x 2013 y 2013 2012 y 2012 �4 x (2) (3) 2013 y 2013 2012 2012 Hay : x y (1 xy ) �0 Do P xy �0 2013 2013 Đẳng thức xảy khi: xy � x y (4) 2013 2013 1 �x �x y �� � 2013 2013 2 �y �x y Từ (1) (4) ta có: Vậy Min (P) = x = y =1 BC AB AC � 3BC AB AC BC 18 � BC 1 Câu Vì AB AC BC nên Theo BĐT tam giác ta có: BC AB AC � BC AB AC BC 18 � BC Từ suy BC mà BC có độ dài số chẵn Do BC 8cm Tương tự, c/m AB AC AB AC 10 Suy AB 3cm, AC 7cm AB 4cm, AC 6cm -Trang: 102 Bồi dưỡng HSG Toán Vậy, AB 3cm, AC 7cm, BC 8cm AB 4cm, AC 6cm, BC 8cm Câu Chứng minh AE//BC A E Gọi K giao điểm AC DE � � Vì: ADB = 30 ; ADK = 90 H � Suy KDC = 60 Và DEC K B C D DK AB = = DC AC Nên ABCDKC (g.g) 1 KD DK = DC = DE � = (1) 3 KE Do KH DH = DE � = KD ; Kẻ CHDE (HDE) Mặt khác AD//CH (cùng vng góc với DH) ; KC KH = = Nên theo Talet ta có: KA KD (2) � � Từ (1), (2) AKE = CKD nên theo Talet AE//CD � Câu Tính diện tích tam giác ABC + Gọi h khoảng cách từ K đến AB, ta có: S AKE AE �h / AE AE � S BKE BE �h / BE BE SACE � SBCE 2SACE S BCE + Suy ra: A 10 E S AKM MA � S AKM S CKM S MB CKM + Tương tự: Đặt x S AKM S CKM , ta có: M 20 K S ABM SCBM � 20 10 x x S BCK � S BCK 30 Do đó, S BCK S BEK 20 30 50 Mà BE = 2AE � S AEC 25 � S ABC 75 (đvdt) AM AN PQ AB AC AQ Câu 10.a) Chứng minh rằng: Gọi E, F giao điểm NP, MP với BC Do NE//AB, MF//AC nên theo Thales ta có: AM FC AN BE ; AB BC AC BC PQ EQ FQ EQ FQ EF AQ BQ QC BQ QC BC AM AN PQ FC BE EF 1 AB AC AQ BC BC BC Từ đó: (đpcm) B C D A N M P B E Q F C AM AN PQ AB AC AQ 27 b) Xác định vị trí điểm Q để -Trang: 103 Bồi dưỡng HSG Toán AM AN PQ , , Áp dụng câu a) BĐT Cauchy cho số dương: AB AC AQ : AM AN PQ AM AN PQ AM AN PQ �3 ۣ AB AC AQ AB AC AQ AB AC AQ 1= AM AN PQ � AB AC AQ Dấu “=” xảy 27 Khi MN//BC Vì AQ qua trung điểm MN nên Q trung điểm BC AM AN PQ Vậy, Q trung điểm BC AB AC AQ 27 -HẾT -HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ 19 2 Câu a) Cho a b �2 Chứng minh rằng: a b �2 2 2 Ta có a b �2 mà 2ab �a b �2 a b 2ab �2 � a b �4 � a b �2 � 2 �a b �2 Do 2 Vậy, a b �2 a b �2 b) Cho a, b số tùy ý Chứng minh: 4a a b a 1 a b 1 b �0 B 4a a b a 1 a b 1 b a ab a a ab a b b Đặt Đặt m a ab a , ta có: B 4m m b b 4m2 4mb b2 2m b �0 Vậy, 4a a b a 1 a b 1 b �0 Dấu “=” � 2m b � a ab a b c) Cho a, b,c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh: Đặt b c a x 0, a c b y 0, a b c z xyz x y 2a, y z 2b, z x 2c abc � b c a a c b a b c x y y z z x �8 xyz với x, y , z �0 2 x y �4 xy, y z �4 yz , z x �4 zx Thật vậy, ta có C/m BĐT phụ: x y y z z x Suy 2 �64 x y z � � x y y z z x � � �� xyz � x y y z z x �8 xyz Do đó, x y y z z x �8xyz 2 ( hai vế không âm) với x, y, z �0 Dấu “=” x y z �0 2a 2b 2c �8 b c a a c b a b c ۳ abc b c a a c b a b c abc � b c a a c b a b c Vậy, Dấu “=” � a b c � tam giác cho Áp dụng BĐT trên, ta có Câu a) Ta có: A x a1 x a2 x a2 m1 x a2 m -Trang: 104 Bồi dưỡng HSG Toán x a1 x a2 x am am 1 x am x a2 m x � x a1 x a2 x am am 1 x am x a2 m x am 1 am a2 m a1 a2 am � am Dấu “=” ۣ Vậy, x am1 GTNN A am 1 am 2 a2 m a1 a2 am b) Ta có: � am Dấu “=” ۣ x am1 B x a1 x a2 x a2 m x a2m 1 x a1 x a2 x am am1 x am x a2 m1 x � x a1 x a2 x am 1 am 1 x am x a2 m 1 x am 1 am a2 m 1 a1 a2 am 1 Dấu “=” � x am Vậy, GTNN B am 1 am 2 a2 m 1 a1 a2 am 1 1 P Câu Rút gọn biểu thức: 3 Dấu “=” � x am 54 214 114 234 2 � n n n n 2n n 2n � n 1 1� n 1 1� � � � � Xét 14 54 94 214 P 114 234 1 1 Do đó, 2 2 1 1 2 1 1 20 1 1 22 2 2 1 22 1 1 24 1 24 577 2x 3x 1 x 4x x2 5x Câu Giải phương trình: 2x 3x 4x 3x 1� 1 x x x 5x x x 14 x 10 x 14 Ta có: + Với x khơng nghiệm phương trình 1 14 14 x x 10 x x +Với x �0 phương trình cho viết lại: 14 1 y 2x x Đặt , phương trình viết lại theo ẩn y y y � y 1 y 1 y 1 y 1 �y � y2 y � � �y + Với y x x 14 ( vô nghiệm ) x 1 � x x � � nhân x7 � + Với y �0 -Trang: 105 Bồi dưỡng HSG Toán S 1;7 Vậy, 2 Câu Cho m, n số thực thay đổi cho m n �5 (1) Hãy tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức: Q m n mn (2) 2Q m n 2mn Từ (2) ta có: 2 2 Do đó: 2Q m n m n 2m 2n 2mn m n 1 �1 2Q �1 m n �4 Q Suy ra: (do (1)) � m 2 � � � n 1 �m n � �� �� � m 1 � �m n � � n 2 � � Dấu “=” xảy Vậy Min Q = -2 m =-2, n =1 m =1, n = -2 Câu 6.Tìm số nguyên tố p cho 7p + lập phương số tự nhiên Giả sử Khi p m3 m �� , mà p � p m3 m 1 m2 m 1 m (*) Vì 7, p số nguyên tố, m 1, m m nên từ (*) suy m m m a ) m � m � p 73; m3 512 7.73 , b) m m � m m Giải ta m = m = -3 không thỏa mãn điều kiện m �3 Vậy có số nguyên tố p = 73 số cần tìm Câu So sánh GA GB Gọi I trung điểm AB Nối EF, EI, IF, ta có IE đường trung bình ∆ABC � IE // BC Mà GF BC � GF IE (1) Chứng minh tương tự GE IF (2) Từ (1) (2) � G trực tâm ∆EIF � IG EF (3) Dễ chứng minh EF // AB Từ (3) (4) � IG AB A I B G F E (4) D C Vậy ∆AGB cân G � GA = GB -Trang: 106 Bồi dưỡng HSG Toán BH A 1 Câu Chứng minh rằng: CD Kẻ DK vuông góc với AC D, K �AB , kẻ DL vng góc với BC L, Gọi O giao điểm DL BH � DBH � HBC � 1� � DBC AKD 900 C Ta có �1� � � 900 C � 450 900 � A 900 C 900 1800 2C � � 2 Suy tam giác BDL vuông cân L � BL DL D K O C/m: Suy BO = DC Mà BH = BO + OH > BO Do đó, BH > DC BLO DLC cgv gnk B L C BH 1 Suy CD (đpcm) a b c � Câu 9.a) Cho số dương a, b, c Chứng minh rằng: b c c a a b ( Xem câu 3b đề 14) ka kb kc h hb hc a b) Tìm giá trị bé nhất biểu thức Đặt BC a, AC b, AC b S ABC a.ha 1 Ta có S ABC S ABD S ADC b c ka Mặt khác, ka a Từ (1) (2) suy b c kb k b c , c Tương tự, hb c a hc a b k a kb k c a b c � Suy hb hc b c c a a b ( theo câu a) �k k k � GTNN � a b c � � a b c �ha hb hc � Suy F' kc E F D' kb ka B A' D E' C Lúc tam giác ABC Câu 10 ABCD hình bình hành nên N � CDA � 1800 DAB Từ giả thiết ta lại có � DAB � MAB � DAN � 1800 MAN � � Suy MAN CDA Từ MAN CDA (c.g c) � � � Do AMN DCA BAC A B A C D -Trang: 107 M Bồi dưỡng HSG Toán Lại có AB AM Suy MN AC -HẾT - HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ 20 PHÒNG GD&ĐT HUYỆN TUY AN TRƯỜNG THCS NGUYỄN THÁI BÌNH ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LỚP THCS NĂM HỌC 2018-2019 Mơn thi: TỐN Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian phát đề) ***** HƯỚNG DẪN CHẤM (Bảng hướng dẫn chấm gồm trang) I- Hướng dẫn chung: 1- Nếu thí sinh làm khơng theo cách nêu đáp án mà cho đủ điểm phần hướng dẫn quy định 2- Việc chi tiết hố thang điểm (nếu có) so với thang điểm hướng dẫn chấm phải bảo đảm không sai lệch với hướng dẫn chấm thống nhất thực Hội đồng chấm thi 3- Điểm toàn thi khơng làm trịn số II- Đáp án thang điểm: CÂU Câu ĐÁP ÁN ĐIỂ M 4,00 đ -Trang: 108 Bồi dưỡng HSG Toán 1,00 đ �� 10 x � � x M �2 : x � �� x2 � �x x x �� a) Rút gọn 0,25 đ ĐKXĐ: x ��2 x x 2 x 2 6 x2 M : � 0,50 đ x 2 x 2 x x 2 x 2 2 x Ta có: 0,25 đ M , x ��2 2 x Vậy, x 1,00 đ b) Tính giá trị M , biết 0,25 đ 1 1 x �x x 2 Ta có: 0,25 đ M 1 2 x 2 ( thỏa ĐKXĐ) + Với 0,25 đ M 1 2 x 2 ( thỏa ĐKXĐ) + Với 0,25 đ 2 x M M Vậy, 1,00 đ c) Tìm giá trị x để M 0,50đ M 0� 0�2 x � x 2 x Ta có: (thỏa ĐKXĐ) 0,50 đ M � x Vậy, 1,00 đ d) Tìm giá trị nguyên x để M có giá trị nguyên 0,50đ M x � U 1;1 x có giá trị nguyên x nguyên x ��2 Để 0,25 đ Giải x x ( thỏa ĐKXĐ) 0,25 đ x � 1;3 Suy M có giá trị nguyên Câu 4,00 đ 3 a) Phân tích đa thức A a b c 3abc thành nhân tử Từ suy điều kiện 1,00 đ a, b, c để a b3 c3 3abc A a b3 c3 3abc Ta có: 3 Để a b c 3abc 2 a b c � �a b b c c a � � � a b3 c 3abc 2 � a b c � 0 a b b c c a � � � 0,50 đ 0,25 đ 0,25 đ abc � �� abc � -Trang: 109 Bồi dưỡng HSG Toán 1 yz zx xy 0 B 1,00 đ x y z b) Cho x y z Tính giá trị biểu thức sau: 1 1 1 0 3 y z xyz ( ĐKXĐ: x, y, z �0 ) Áp dụng câu a), x y z nên x yz zx xy xyz xyz xyz B x y z x y z Ta có: �1 1 � xyz � � xyz.3 3 y z � xyz �x 1 0 x y z B Vậy, 3 c) Cho x, y , z ba số thực khác 0, thỏa mãn x y z �0 x y z 3xyz x 2019 y 2019 z 2019 C 2019 x y z Tính Áp dụng câu a), x, y , z ba số thực khác 0, thỏa mãn x y z �0 x y z 3xyz nên x y z �0 x 2019 y 2019 z 2019 3.x 2019 C 2018 2019 2019 x y z 3x Do đó, C 2018 Vậy, với x, y , z ba số thực khác 0, thỏa mãn x y z �0 3 x y z 3xyz 3 ( x - 2018) +( x - 2019) - ( x - 4037) = d) Giải phương trình: 3 x - 2018) +( x - 2019) - ( x - 4037) = ( Ta có: � x 2018 x 2019 4037 x Vì 3 x 2018 x 2019 4037 x nên theo câu a) ta có: x 2018 x 2019 4037 x 0,25 đ 0,50 đ 0,25 đ 1,00 đ 0,25 đ 0,50 đ 0,25 đ 1,00 đ 0,25 đ 0,25 đ � x 2018 x 2019 4037 x � � x 2018 x 2018 � � � �� x 2019 � � x 2019 � 4037 � 4037 x � x � � 0,25 đ 0,25 đ 4037 � � S � 2018; 2019; � � Vậy phương trình cho có tập nghiệm : Câu a) Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức K 4x x2 4,00 đ 2,00 đ -Trang: 110 Bồi dưỡng HSG Toán 2 x x x x x x 1 x 1 0,50 đ K � 2x 2 x 1 x 1 x 1 2 Ta có: 0,25 đ Dấu “=” � x � x 0,25 đ 1 GTNN K � x2 Suy 2 0,50 đ x x x x x x x 1 K 2x 2 x 1 x 1 Ta có: 2 x 1 x 1 x 1 2 �2 x 1 x 1 0,25 đ 1 Dấu “=” 1 GTLN K � x Suy � 2x 1 � x 0,25 đ f x x ax b b) Xác định hệ số hữu tỉ a b cho chia hết cho g x x x 1 f x x ax b g x x2 x Phép chia hết cho có đa thức thương dạng h x x cx b x ax b x x 1 x cx b Ta viết với x 2 x x 1 x cx b x c3 x bx x3 cx bx x cx b Ta có: x c 1 x b c 1 x b c x b x ax b x c 1 x b c 1 x b c x b Suy Đồng nhất thức hai vế, ta được: c 0, b c a, b c Suy a b c Vậy, a b Câu A B I với x 2,00 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 3,00 đ E D H M a) Chứng minh: AB AD C 1,00 đ -Trang: 111 Bồi dưỡng HSG Toán Ta có: AB = 2AI (Vì I trung điểm AB ) (1) 0,25 đ � � � Ta lại có: ADI IDC ( Vì DI phân giác ADC ), 0,50 đ � � mà AID IDC ( Vì AB // DC, slt) 0,25 đ ADI � AID suy ADI cân A nên AD AI Do đó, � Từ (1) (2) suy AB AD 1,50 đ b) Kẻ AH DC ( H �DC ) Chứng minh: DI AH Gọi M trung điểm DC, E giao điểm AM DI �1 � DA DM � AB � �2 �và � ADM 600 nên tam giác ADM Ta có Suy DI đường phân giác nên đường cao Do đó, DI AM E AH DE 3 Vì ADM có AH, DE hai đường cao nên DI DE Vì ADI cân A, có AE DI E nên Từ (3) (4) suy DI AH c) Chứng minh: AC AD AM DM DC � Xét tam giác ADC có AM đường trung tuyến nên DAC 90 Vậy, AC AD Câu B 0,50 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,50 đ 0,50 đ 3,00 đ A E 0,50 đ D C F a) Chứng minh hệ thức: AB AE.AF Ta có : BD / / FC ( vng góc với AC ) AD AB Suy AC AF (1) Ta lại có: AB AC AE AD (?) (2) AE AB Từ (1) (2) suy AB AF , AB AE.AF CE BE b) Chứng minh: CF BF 1,50 đ 0,50 đ 0,50 đ 0,50 đ 1,50 đ -Trang: 112 Bồi dưỡng HSG Toán BCE CBD ch gn + C/m : 0,50 đ � DBC � BCE Suy � � + Mặt khác, DBC BCF ( Vì BD // FC, slt ) 0,50 đ � � Suy BCE BCF 0,50 đ Khi CB đường phân giác ECF CE BE Suy CF BF ( đpcm ) Câu 2,00 đ B A H K M D C Chứng minh: BM MD Gọi K trung điểm DH C/m: MK đường trung bình DHC KM DC 1 Suy KM / / DC AB DC Ta lại có: AB // DC (gt) (2) Từ (1) (2) suy AB KM AB / / KM Do đó, ABMK hình bình hành, cho ta BM / / AK (3) Vì MK / / AB AB AD( gt ) nên MK AD Trong tam giác ADM có MK AD DH AM nên K trực tâm tam giác ADM, AK DM (4) Từ (3) (4) suy BM MD (đpcm) 0,50 đ 0,50 đ 0,50 đ 0,50 đ -Trang: 113 ... PHÚC=100k 220 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 8= 120k; 50 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG CÁC HUYỆN CỦA VĨNH PHÚC=100k 250 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN HUYỆN=150k; 200 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN CẤP TỈNH=100k 70 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN (201 9 -202 0)=100k;... 1 � 201 8 201 9 ? ?201 7 � ? ?201 8 � � 201 9 � b) Ta có: 201 7 201 9 x 201 9 x 201 9 x 1 � �1 � 201 9 x � � 201 7 201 8 201 9 ? ?201 7 201 8 201 9 � 1 �0 � 201 9 x ( Vì 201 7 201 8 201 9... zx ? ?201 9 ……… HẾT………… BỘ ĐỀ ĐÁP ÁN HSG MƠN TỐN FILE WORD Zalo 09460951 98 160 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 6=100k; 60 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG CÁC HUYỆN CỦA VĨNH PHÚC=100k 250 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 7=150k; 60 ĐỀ ĐÁP ÁN