DỰ ĐOÁN SỰ TIÊU TÁN ÁP LỰC NƯỚC LỖ RỖNG CỦA BÀI TOÁN BẤC THẤM (BÀI TOÁN 1D

Nguyễn Trọng Nghĩa Tạp chí Khoa học Đại học Mở Thành phố Hồ Chí Minh, 61(4), 21-32 21 DỰ ĐỐN SỰ TIÊU TÁN ÁP LỰC NƯỚC LỖ RỖNG CỦA BÀI TOÁN BẤC THẤM (BÀI TOÁN 1D) NGUYỄN TRỌNG NGHĨA Trường Đại học Mở Thành phố Hồ Chí Minh - nghia.nt@ou.edu.vn (Ngày nhận: 26/03/2018; Ngày nhận lại: 17/04/2018; Ngày duyệt đăng: 10/07/2018) TÓM TẮT Bấc thấm (PVD) sử dụng rộng rãi việc thúc đẩy nhanh trình cố kết đất yếu qua tăng cường tính chất đất giảm lún Giải toán cố kết bấc thấm giải nhiều phương pháp khác như: Phương pháp giải tích, Phương pháp sai phân hữu hạn phương pháp phần tử hữu hạn Trong đó, phương pháp giải tích với kỹ thuật biến đổi Laplace làm cho tốn giải tích trở nên mạnh giải hầu hết trường hợp chất tải theo thời gian Bài báo trình bày phương pháp sử dụng kỹ thuật biến đổi Laplace để giải toán PVD xuyên phần vào đất với giả sử đầu mũi không thấm Lời giải sử dụng biện pháp tích hợp tốn cố kết phương đứng ngang để có phương pháp tính cố kết đơn giản theo 1D Cùng với giả sử đầu mũi khơng thấm, tốn giảm biến q trình tính tốn trở nên đơn giản nhiều Lý thuyết tính tốn kiểm nghiệm lại với kết đo đập thử nghiệm sân bay quốc tế Thái Lan Áp lực nước lỗ rỗng độ lún từ kết tính tốn lý thuyết tương thích cao với kết đo đạc thực tế Từ khóa: Bấc thấm (PVD); Cố kết; Đất yếu; Kỹ thuật biến đổi Laplace; Phương pháp giải tích Predicting pore pressure estimation in vertical drains (1D problem) ABSTRACT Prefabricated vertical drain (PVD) has been widely utilized in facilitating the consolidation process of soft soil, through that it will increase soil properties and reduce residual settlement The consolidation problems with PVD have been solved by many different approaches including, Analytical methods, finite difference methods, and finite element methods Among them, the analytical method with Laplace transform technique has stronger and capable of solving cases of loading with time This paper presents a solution with utilizing Laplace transform technique to deal with the problem of partially penetrated PVDs with the impervious drain’s end The solution has combined the vertical and horizontal consolidation process into 1D consolidation The assumption of impervious drain’s end has reduced the variants and more simplifies the solution To verify present solution, a test embankment in international airport Thailand has been analyzed The estimated pore pressure and settlement from present solution are excellent agreement with the field data Keywords: Prefabricated vertical drain (PVD); Consolidation; Soft soil; Laplace transform technique; Analytical method Giới thiệu Bấc thấm sử dụng rộng rãi biện pháp tiết kiệm thời gian lẫn chi phí xử lý Các biện pháp thi công với đầu mũi neo khác mô tả theo nghiên cứu Bo cộng (2015) Trong đó, biện pháp thi cơng sử dụng đầu mũi neo dạng (Hình 1) sử dụng rộng rãi Ðầu mũi neo lại chặn không cho trình thấm diễn từ bên PVD từ tốn cố kết PVD phải xem biên mũi biên khơng thấm với điều kiện làm việc thực tế Hầu hết nghiên cứu trước xem đầu mũi biên thấm Hình Mơ hình bấc thấm neo 22 Nguyễn Trọng Nghĩa Tạp chí Khoa học Đại học Mở Thành phố Hồ Chí Minh, 61(4), 21-32 Bài tốn cố kết bấc thấm phân tích từ nhiều phương pháp khác phương pháp giải tích, phương pháp bán giải tích, phương pháp sai phân hữu hạn, phương pháp phần tử hữu hạn Các phân tích bao gồm Indraratna cộng (2000, 2005 2008), Chai cộng (2001), Voottipruex cộng (2014), Lam cộng (2015), Indraratna Rujikiatkamjorn (2008), Geng cộng (2011), Tang Onitsuka (1998 2001), Zeng and Xie (13) Ong cộng (2012) Các nghiên cứu xem đầu biên bấc thấm thấm có nghiên cứu gần Nghia cộng (2018) kể đến vấn đề vào tốn giải tích Tuy nhiên, lời giải từ phương pháp giải tích có nhiều giới hạn áp dụng điều kiện biên đơn giản trường hợp tải đơn giản biên thấm tải tức thời Ðiều làm giảm tính ứng dụng Do đó, báo khắc phục yếu điểm phương pháp giải tích cách kết hợp biến đổi Laplace cho bấc thấm phần đất để giải tốn gia tải theo thời gian Một đập thí nghiệm phân tích lại để chứng tỏ khả áp dụng phương pháp Mơ hình Mơ hình tổng quát cho toán bấc thấm xuyên phần cho Hình Có hai trường hợp với điều kiện biên thấm khác là: thấm mặt không thấm đáy (PTIB); thấm mặt thấm đáy (PTPB) Ðầu mũi xem không thấm Thơng thường địa chất đầu mũi bấc thấm khác so với địa chất bên phía đầu mũi bấc thấm bấc thấm thường cắm xuống hết phần đất yếu địa chất phân thành hai lớp Hình Một số ký hiệu viết tắt báo sau: H = Toàn chiều dày đất; h1 = chiều dài PVD; h2 = chiều dài phần đất không gia cường PVD; rw = bán kính bấc; rs = bán kính vùng xáo động; re = bán kính tương đương; kh = hệ số thấm theo phương ngang đất không bị xáo động; kv1 = hệ số thấm đứng đất có PVD; mv1 = hệ số nén thể tích đất chứa PVD; ks = hệ số thấm phương ngang vùng xáo động; kw = hệ số thấm bấc; kv = hệ số thấm đất khơng có PVD; mv = hệ số nén thể tích đất bên PVD Hình Mơ hình phân tích tốn PVD Nguyễn Trọng Nghĩa Tạp chí Khoa học Đại học Mở Thành phố Hồ Chí Minh, 61(4), 21-32 23 Phương trình Tang Onitsuka (1998 2001) xây dựng dựa kết hợp trình thấm đứng thấm ngang Ðối với khu vực có chứa PVD,  z  h1 Phương trình chủ đạo cho áp lực nước lỗ rỗng tiêu tán là: Khu vực xáo động, rw  r  rs ks1  us1  2us1  k u1 u1  (t )       v1 mv1 w  r r t t r  mv1 w z (1) Khu vực không bị xáo động, rs  r  re kh1  un1  2un1  k u1 u1  (t )       v1   mv1 w  r r t t r  mv1 w z (2) Ðối với khu vực khơng có, h1  z  H , Phương trình chủ đạo là: kv  2u2 u2  (t )   (3) mv 2 w z t t r = trục xoay; z = trục đứng; t = thời gian;  w = dung trọng nước; us1(r, z, t ) áp lực nước lỗ rỗng vực xáo động; un1(r, z, t ) = Áp lực nước lỗ rỗng khu vực không bị xáo động; u1( z, t ) = Áp lực nước lỗ rỗng trung bình đất khu vực có PVD; u2 ( z, t ) = Áp lực nước lỗ rỗng đất không chứa PVD  (t ) tải trọng theo thời gian Áp lực nước lỗ rỗng trung bình xác định bằng: re  rs    u1  2 rus1dr  2 run1dr  2   (re  rw )   rs  rw  Ðiều kiện biên điều kiện liên tục sau:   2uw z un1 r   ks1  us1    rw kw  r  r  r w 0 (4) (5) (6) r  re us1 r r  uw r r (7) us1 r r  un1 r r (8) w w s ks1 us1 r s r  rs  kh1 un1 r r  rs (9) uw z 0  (Thấm mặt bấc) (10) u1 z 0  (Thấm mặt đất) (11) u2 z (12) zH  (PTIB) 24 Nguyễn Trọng Nghĩa Tạp chí Khoa học Đại học Mở Thành phố Hồ Chí Minh, 61(4), 21-32 u2 z  H  (PTPB ) (13) Biên không thấm vị trí đầu bấc z  h1 dẫn đến điều kiện liên tục sau: uw z z  h1  (đầu không thấm bấc) u1 z h  u2 z h 1 kv1 (re2  rw2 ) u1 z (14) (áp lực nước lỗ rỗng nhau) z  h1  kv 2 re2 u2 z (15) (Ðiều kiện liên tục) z  h1 (16) Lời giải đề xuất 3.1 Tổng quát Thay điều kiện bên vào phương trình tổng quát (1) (2) để phương trình liên quan đến biến u w ( z, t ) theo Tang Onitsuka (1998, 2001)  u ( z, t )  (t )   2  w  0 (17) t  z z t z  t Phương trình (17) xem phương trình thấm phương Mối quan hệ áp lực nước lỗ rỗng bấc áp lực nước lỗ rỗng trung bình phân tích (theo Tang Onitsuka 1998,2001) cv1  4uw ( z, t )  2uw ( z, t ) z  3u w ( z, t )  ch11  2uw ( z, t )  2 (u1( z, t )  uw ( z, t ))  (18) cv1  kv1 k r r , ch1  h1 , s  s , n  e , mv1 w mv1 w rw rw k   kh1   1  1  ( n  1) v1  ,  ( n  1)   , kw  F k w  re  re F   n k  n2 s2  s2  k   F   ln  h1 ln s    1  1    h1   n  n   4n  ks1 n   4n   s ks1 Sử dụng kỹ thuật biến đổi Laplace cho phương trình (17) ta cv1  Luw ( z, s) z  (ch11  s)  Lu w ( z, s) z  (2 s) Luw ( z, s)  2 uo   s (s)   Lu w ( z, s) biến đổi Laplace u w ( z, t ) u w ( z,0)  uo giá trị áp lực nước lỗ rỗng ban đầu  s (s) biến đổi Laplace Lời giải phương trình (19)  (t ) t (19) Nguyễn Trọng Nghĩa Tạp chí Khoa học Đại học Mở Thành phố Hồ Chí Minh, 61(4), 21-32 Lu w ( z, s)  X1ea1z  X 2ea1z  X 3ea2 z  X 4ea2 z  uo   s (s)  s 25 (20) ch11  s  a1   ch11  s 2  42c v1 s 2c v1 ch11  s  a2   ch11  s 2  42c v1 s 2c v1 Biến đổi Laplace cho phương trình (18) ta có:  Luw ( z, s) z  2 Lu1( z, s)  2 Lu w ( z, s)  (21) Trong Lu1( z, s) biến đổi Laplace u1( z, s) Thay phương trình (20) vào (21) để giá trị biến đổi Laplace áp lực nước lỗ rỗng trung bình đất vùng có chứa PVD      u   s (s)   a2  a2  a2  a2  Lu1( z, s)  1   X1ea1 z  1   X 2ea1 z  1   X 3ea2 z  1   X 4ea2 z  o (22)  2   2   2   2  s         Sử dụng kỹ thuật biến đổi Laplace cho phương trình (4) cho đất không chứa PVD  Lu2 ( z, s)  s  Lu2 ( z, s)  (uo   s ( s)) z Trong Lu ( z, s) biến đổi Laplace u ( z, t ) Lời giải cho phương trình (23) cv Lu2 ( z, s)  X 5eb1z  X 6eb1z  Trong b1  uo   s (s) s (23) (24) s cv 3.2 Trường hợp (PTIB) Sử dụng điều kiện biên (10), (11), (12), (14), (15), (16) vào phương trình Laplace T (20), (22), (24) để có ma trận (6,6) SPTIB X  QPTIB Trong đó: S PTIB 1 1 0     S21 S22 S23 S24 0  0 0 S35 S36     S41 S42 S43 S44 0  S S S S S S   51 52 53 54 55 56   S61 S62 S63 S64 S65 S66  X   X1 X X X X X   u   s (s) QPTIB   o s   uo   s (s)  0 0 s  (25) 26 Nguyễn Trọng Nghĩa Tạp chí Khoa học Đại học Mở Thành phố Hồ Chí Minh, 61(4), 21-32  a2 S21  1   2  2   2  a2   , S22  1  a1  , S23  1  a2  , S24  1   2   2   2        S43  a2ea2h , S44  a2ea2h , S56  eb1h1 ,S 61 ,  a2  S51  1   ea1h1  2     a2    1   1   a1ea1h1    n   2 , S62   1   S52  a2  1   2   a12  1  n2   2  b H bH  , S35  b1e , S36  b1e   ,  a h e 1    a h  a1e 1    a2 S53  1   2  , S63  1    ah e   , , S41  a1ea h , S42  a1ea1h , 1  a2 S54  1   2   a h e   , S55  eb1h1  a2   a2  1   a2ea2 h1 S64   1   1  2  n   2 n   2   ,   a2e a2 h1   , , S65  b1eb1h1 , S66  b1eb1h1 3.3 Trường hợp (PTPB) Sử dụng điều kiện biên (10), (11), (13), (14), (15), (16) vào phương trình Laplace (20), (22), (24) để có ma trận (6,6) SPTPB X T  QPTPB (26) Trong S PTPB 1 1 0     S21 S22 S23 S24 0  0 0 S35 S36     S41 S42 S43 S44 0  S S S S S S   51 52 53 54 55 56   S61 S62 S63 S64 S65 S66  X   X1 X X X X X   u   s ( s) QPTPB   o s   a2 S21  1   2      ,  uo   s ( s) s  a2 S22  1   2   uo   s (s)  0 0 s    a22  , S23  1   2      b1H a2   , S24  1   , S35  e   2         2   2   a12  a1h1    a1e  n2   2  , S62   1  , S36  eb1H ,  S41  a1ea1h , S42  a1ea1h ,    2    2   a h a S43  a2ea2 h , S44  a2e , S51  1   ea1h1 , S52  1  a1  e a1h1 , S53  1  a2  ea2 h1 , S54  1  a2  e a2 h1 ,         S55  eb1h1 , S56  eb1h1 , S61  1     a12  1  n2   2  a h  a1e 1   , S63  1    a2 1  2  n   2   a2ea2 h1   ,  a2   b h bh S64   1   1   a2e a2 h1 , S65  b1e 1 , S66  b1e 1  n   2   Giá trị ma trận X tìm cách thay giá trị vào ma trận (25) (26) để giải sau giá trị đạt X thay vào phương trình Laplace (20), (22) (24) Một phương pháp biến đổi ngược sử dụng kỹ thuật Weeks (1966) Ðây phép biến đổi sử dụng phương pháp số xấp xỉ gần giá trị cần tìm hàm đa thức Weeks L1uw ( z, s)  uw ( z, t ) (27) weeks L1u1( z, s)  u1( z, t ) (28) weeks L1u2 ( z, s)  u2 ( z, t ) (29) Nguyễn Trọng Nghĩa Tạp chí Khoa học Đại học Mở Thành phố Hồ Chí Minh, 61(4), 21-32 Kiểm tra thảo luận 4.1 Kiểm tra lại với lời giải giải tích Geng (2011) Hình cho thấy so sánh mức độ cố kết giải từ lời giải đề xuất mức độ cố kết dựa theo lời giải Geng (2011) cho trường hợp (PTPB) cho trường hợp bấc thấm phần Chiều sâu cắm bấc khoảng 0.8 tồn chiều sâu Các thơng số đầu vào cho Hình Mức độ cố kết trung bình hai phương pháp tương thích với gần trùng Tuy nhiên, lời giải Geng (2011) sử dụng kỹ thuật biến đổi Laplace số biến biến Trong 27 lời giải đề xuất số biến sử dụng có biến Ðiều rõ ràng lời giải đề xuất tốn thời gian tính tốn Hơn nữa, phương pháp Geng (2011) sử dụng phương pháp số biến đổi ngựợc Laplace phương pháp Durbin (1974) Phương pháp tốn nhiều bước lặp để đạt kết Trong lời giải đề xuất sử dụng kỹ thuật biến đổi Weeks (1966), phương pháp nhanh hội tụ kết cần tìm Chỉ cần 20 lần lặp lời giải đề xuất đạt kết quả, sử dụng phương pháp Durbin (1974) đến 100 lần lặp tốn thời gian Hình So sánh kết cố kết lời giải đề xuất Geng (2011) 4.2 Kiểm tra với kết trường Biện pháp có khả phân tích áp lực nước lỗ rỗng tiêu tán theo thời gian khơng tải cấp mà nhiều cấp tải Một đập thử nghiệm khu vực sân bay quốc tế Thái Lan phân tích lại biện pháp đề xuất để làm rõ vấn đề Ðập thử nghiệm phân tích nhiều báo cáo nghiên cứu Lin Bergado.v.v… Lin Chang (2009) tiến hành phân tích 3D chương trình phần tử hữu hạn kết độ lún áp lực nước lỗ rỗng theo thời gian phù hợp với kết đo đạc (Hình 4) Ðập thử nghiệm có chiều sâu cắm PVD từ mặt đất đến độ sâu 12m Sau 12m lớp sét cứng vừa mô đến độ sâu 16m PVD tính chất đất cho Bảng tham khảo từ nghiên cứu Lin Chang (2009) báo cáo địa chất 28 Nguyễn Trọng Nghĩa Tạp chí Khoa học Đại học Mở Thành phố Hồ Chí Minh, 61(4), 21-32 Hình Mơ hình FEM 3D Lin Chang (2009) Bảng Các thông số đất Độ sâu (m)  (kN / m3 ) CR RR  p (kPa) 0-2 16.1 0.35 0.035 45 2-4 14.4 0.414 0.083 37 4-6 14.5 0.372 0.074 52 6-8 14.3 0.42 0.042 65 8-10 14.3 0.383 0.1 100 10-12 15.4 0.444 0.089 100 12-16 15.7 0.3 0.03 110 Thông hệ số thấm tương đương lớp đất lấy trung bình theo độ sâu lớp đất hệ số thấm đứng ngang lớp đất gia cố PVD (từ 0-12m) kh1  2.845 107 (cm / s) , kv1  kh1 Hệ số thấm đứng lớp đất không gia cố PVD kv  1.165  107 (cm / s) Các thông số cho PVD tham khảo từ nghiên cứu Lin (2009) sau: rw  0.026(m), re  0.847(m), rs  0.084(m), n  re rw  32.6 , s  rs rw  3.2 , kh1 ks1  , hệ số nén thể tích giả sử khoảng mv  1/ 1600(m2 / kN ) cho toàn lớp đất (theo nghiên cứu mv khoảng 1/1000 to 1/2400 Bergado (1996) cho địa chất khu vực đập thử nghiệm) Tải trọng theo thời gian tải cát đắp theo giai đoạn cho Hình Cát đắp đến cao độ 4.2m tương ứng với tải trọng 75.6 (kPa) Hình Gia tải theo thời gian theo Lin Chang (2009) Nguyễn Trọng Nghĩa Tạp chí Khoa học Đại học Mở Thành phố Hồ Chí Minh, 61(4), 21-32 Trong Hình thời điểm cố kết chia thành thời điểm cố kết là: Thời điểm từ t1  35  t2  65 (ngày) Thời điểm từ t3  70  t4  170 (ngày) Thời điểm từ t5  240  t4  420 (ngày) Sử dụng lời giải đề xuất để phân tích 29 tiêu tán áp lực nước lỗ rỗng đập thử nghiệm cho kết tiêu tán áp lực nước lỗ rỗng thời điểm cố kết Hình 6, Từ biểu đồ tiêu tán áp lực nước lỗ rỗng trung bình người thiết kế dễ kiểm sốt q trình cố kết Hình Tiêu tán áp lực nước lỗ rỗng trung bình đất thời điểm cố kết (35-65 ngày) Hình Tiêu tán áp lực nước lỗ rỗng trung bình đất thời điểm cố kết thứ (70-170 ngày) 30 Nguyễn Trọng Nghĩa Tạp chí Khoa học Đại học Mở Thành phố Hồ Chí Minh, 61(4), 21-32 Hình Tiêu tán áp lực nước lỗ rỗng trung bình đất thời điểm cố kết thứ (240-420 ngày) Hình (a,b,c,d) So sánh áp lực nước lỗ rỗng tiêu tán vị trí đất Dự đốn áp lực nước lỗ rỗng từ phân tích Lin Chang (2009) thường nằm bên (tiêu tán nhanh hơn) so với kết đo thực tế Trong lời giải đề xuất cho kết phân tích áp lực nước lỗ rỗng tốt gần với kết đo thực tế so với Lin Chang (2009) Hình so sánh áp lực nước lỗ rỗng vị trí (a) Vị trí 2m mặt đất (b) Vị trí 4m mặt đất (c) Vi trí 6m mặt đất (d) Vị trí 10m mặt đất Nguyễn Trọng Nghĩa Tạp chí Khoa học Đại học Mở Thành phố Hồ Chí Minh, 61(4), 21-32 Độ lún phân tích từ phương pháp điều chỉnh gần với kết quan trắc 31 đập thử nghiệm điều chứng tỏ tính thực dụng hiệu lời giải đề xuất (Hình 10) Hình 10 So sánh độ lún dự đoán từ phương pháp đề xuất với kết đo đạc trường Kết luận Bài báo trình bày kỹ thuật biến đổi Laplace để phân tích q trình cố kết bấc thấm Từ kết thảo luận số kết luận rút sau: Lời giải đề xuất tính đến điều kiện làm việc thực tế đầu biên bấc thấm không thấm Đồng thời phương pháp đề xuất với kỹ thuật biến đổi Laplace mơ q trình chất tải theo thời gian toán đắp xử lý PVD Điều thực dụng hầu hết cơng trình gia cố phải đắp theo giai đoạn Do kể đến điều kiện biên không thấm đầu bấc nên số biến giảm biến so với biến theo lời giải Geng (2011) tiết kiệm cơng sức tính tốn Ðồng thời lời giải đề xuất sử dụng kỹ thuật biến đổi ngược Weeks (1966) cho kết nhanh xác Các kết đo từ đập thử nghiệm cho thấy phù hợp kết dự đoán từ phương pháp đề xuất với kết đo đạc thực tế chí cịn tốt so với kết phân tích 3D FEM Lin Chang (2009) 32 Nguyễn Trọng Nghĩa Tạp chí Khoa học Đại học Mở Thành phố Hồ Chí Minh, 61(4), 21-32 Lời cảm ơn Nghiên cứu tài trợ nguồn kinh phí nghiên cứu Trường Ðại học Mở Thành phố Hồ Chí Minh Tài liệu tham khảo Bo, M.W., Arulrajah, A., Horpibulsuk, S., Leong, M (2015) Quality management of prefabricated vertical materials in mega land reclamation project: a case study Soils Found, 55, 895-905 Chai, J.C., Shen, S.L., Miura, N., Bergado, D.T (2001) Simple method of modeling PVD improved subsoil J Geotech Eng, 127(11), 965-972 Durbin, F (1974) Numerical inversion of Laplace transform: An efficient improvement to Dubner and Abita’ss method The Computer Journal, 17(9), 371–376 Geng, X., Indraratna, B., Rujikiatkamjorn, C (2011) Effectiveness of Partially penetrating vertical drains under a combined surcharge and vacuum preloading Can Geotech J, 48, 970-983 Lam, L.G., Bergado, D.T., Hino, T (2015) PVD improvement of soft Bangkok Clay with and without vacuum preloading using analytical and numerical analyses Geotext Geomembr, 43, 547-557 Lin, D.G, and Chang, K.T (2009) Three-dimensional numerical modelling of soft ground improved by prefabricated vertical drains Geosynthetics International, 16(5) Nghia, N.T., Lam, G.L, Shukla, S.K (2018) A new approach to solution for partially penetrated prefabricated vertical drain International journal of geosymthetic and ground engineering, 2,1-30 Indraratna, B., Redana, I (2000) Numerical modeling of vertical drains with smear and well resistance installed in soft clay Can Geotech J, 37, 132–45 Indraratna, B., Rujikiatkamjorn, C., Sathananthan, I (2005) Analytical and numerical solutions for a single vertical drain including the effects of vacuum preloading Can Geotech J, 42, 994–1014 Indraratna, B., Aljorany A., Rujikiatkamjorn, C (2008) Analytical and numerical modeling of consolidation by vertical drain beneath a circular embankment J Geotech Eng, 8, 199–206 Indraratna, B, and Rujikiatkamjorn, C (2008) Effects of partially penetrating prefabricated vertical drains and loading patterns on vacuum consolidation In Proceedings of GeoCongress 2008: Geosustainability and Geohazard Mitigation, New Orleans, La., 9–12 March 2008 GSP 178 Edited by K.R Reddy, M.V Khire, and A.N Alshawabkeh American Society of Civil Engineers, Reston, V.a 596–603 Ong, C.Y., Chai, J.C., Hino, T (2012) Degree of consolidation of clayey deposit with partially penetrating vertical drains Geotext Geomembr, 34, 19-27 Tang, X.W and Onitsuka, K (1998) Consolidation of ground with partially penetrated vertical drains Geotechnical Engineering Journal, 29(2), 209-231 Tang, X.W and Onitsuka, K (2001) Consolidation of double-layered ground with vertical drains International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics, 25(14), 1449-1465 Weeks, W.T (1966) Numerical inversion of Laplace transforms using Laguerre functions J ACM, 13, 419-426 Voottipruex, P., Bergado, D.T., Lam, L.G., Hino, T (2014) Back-analyses of flow parameters of PVD improved soft Bangkok clay with and without vacuum preloading from settlement data and numerical simulations Geotext Geomembr, 42(5), 457-467  ... prefabricated vertical drains and loading patterns on vacuum consolidation In Proceedings of GeoCongress 2008: Geosustainability and Geohazard Mitigation, New Orleans, La., 9–12 March 2008 GSP 178 Edited... Trong S PTPB 1 1 0     S2 1 S2 2 S2 3 S2 4 0  0 0 S3 5 S3 6     S4 1 S4 2 S4 3 S4 4 0  ? ?S S S S S S   51 52 53 54 55 56   S6 1 S6 2 S6 3 S6 4 S6 5 S6 6  X   X1 X X X X X   u   s ( s) ... Indraratna, B., Redana, I (2000) Numerical modeling of vertical drains with smear and well resistance installed in soft clay Can Geotech J, 37, 132–45 Indraratna, B., Rujikiatkamjorn, C., Sathananthan,