De thi HSG Vinh Phuc 2012

Chứng minh rằng không tồn tại tam giác đều có đỉnh là các mút của lưới.. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.[r]

PHÒNG GD & ĐT YÊN LẠC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Năm học 2012-2013 ( Thời gian làm bài 150 phút không kể phát đề) Câu 1: 2 a,Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: x  y 2013 b, Chứng minh rằng, tổng bình phương p số nguyên liên tiếp ( p là số nguyên tố, p > 3) chia hết cho p Câu 2: a, Trên mặt phẳng, xét lưới các ô vuông 11 Chứng minh không tồn tam giác có đỉnh là các mút lưới 3 b, Cho a; b; c  và thỏa mãn điều kiện a c  b a  c b abc P Tìm giá trị nhỏ biểu thức b c a   a  ab b  bc c  ca Câu 3: M   x2   a, Rút gọn biểu thức b, Giải phương trình x  x  x  1 x  1 x     x2 Câu 4: Từ điểm A ngoài đường tròn tâm O, kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với B, C là các tiếp điểm Trên đoạn OB lấy điểm N cho BN=2ON Đường trung trực đoạn thẳng CN cắt AM OA M Tính tỉ số AO Câu 5:  y  x     x   2  y  x  xy  16 x  y  16 0 a, Giải hệ phương trình b, Cho tam giác nhọn ABC Chứng minh SinA  SinB  SinC   cos A  cos B  cos C  ………………………… Hết ……………………………… PHÒNG GD & ĐT YÊN LẠC ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN Năm học 2012-2013 Câu 1(2đ) Nội dung Điểm a, Vì x  y lẻ suy 0,25 x lẻ Đặt x 2m  , m  Z , 0,25 thay vào phương trình ta 2 2m  m  1  y 1006 (1) Từ (1) suy y chẵn 0,25 Đặt y=2n+1, n  Z Thay vào (1) , ta 0,25 m  m  1 2n  503 , suy m(m+1) lẻ ( vô lý) Vậy phương trình không có nghiệm nguyên b, Giả sử p số nguyên 0,25 liên tiếp là a  1, a  2, a  3, , a  p ,  aZ Đặt 2 A  a  1   a      a  p   A  pa      p  a  12  22   p  A  pa  p  p  1 a   p  p 0,25 1  p  1  A  p  a   p 1 a 0,25   p 1  p  1  p  2(2đ) Do p là số nguyên tố, p>3 suy (p,6)=1 Vậy A chia hết cho p a,  0,25 B M N C P A Giả sử tồn tam giác ABC có các đỉnh là các nút lưới Xét hình chữ nhật bao 0,25 quanh tam giác ABC ( các đỉnh A,B,C nằm trên cạnh hình chữ nhật) Ta có thể chọn cho đỉnh hình chữ nhật trùng với đỉnh tam giác ABC, hình vẽ Vì các cạnh HCN là số nguyên, suy S AMNP   Q , S AMB   Q S NCB   Q , , S ACP   Q Suy S ABC   0,25 S AMNP   S AMB   S NCB   S ACP   Q (*) Gọi cạnh tam giác 0,25 là a thì a2 2 Vì a  AM  MB  Z S ABC   Q S ABC   0,25 , nên mâu thuẫn với (*) Suy ĐPCM b, Áp dụng BĐT AM- 0,25 GM, ta có a 3c  b3 a  c 3b a b c  a  b  c  a c  b a  c b abc       a  b  c abc b c a a b c 1 0,5 32 9 P      a b c  a b2 c   a b2 c2  a b  c       a  b  c 2    b c a c a c a  b  b 3 Vậy GTNN P= 0,25 và a b c  3(2đ) a, ĐKXĐ là  x 1 Ta có 0,25  x   0,25 x2 1  x 1 x  1 x  2   x2  0,25 1 x 1 x    1 x  1 x -Suy M 2 1 x2 0,25  1 x  1 x   1 x   x  1 x2   x2 b, Ta có 0,25 x  x  x   x  x  x  12 x  0   x3  x     x 1 x  x0,25 2  0,5 16     4(2đ) B K N M O C Gọi K là trung điểm BN Ta có OA là trung trực đoạn BC Do M thuộc OA nên MB=MC Do M thuộc trung trực CN nên MC=MN Suy MB=MN Do đó M thuộc trung trực BN, suy MK  BN Vì OB  BA ( Tính 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 chất tiếp tuyến)  MK / / AB Xét tam giác OBA, theo định lí Ta-Lét ta 0,5 AM BK   có AO BO 5(2đ)  Biến đổi PT thứ hai ta 0,25 A  2x y   x   y  x  16 x  16 0   y  x    y  x   0  y 5 x    y 4  x - Với y=5x+4, thay vào PT đầu ta  5x   0,25  x   y 0   x     x    x   y 4  -Với y=4-x, thay vào phương trình đầu ta   x 0,25  x 4  y 0  x     x  0    x 0  y 4 Vậy nghiệm hệ phương trình là 0,25  ;0     x, y   0;  ,  4;0  ,   b, Gọi (O;R) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, H,K,L tương ứng là trung điểm BC,CA,AB B L A O H K C A  BOC  Ta có ( vì 0,25 tam giác BOC cân O và OH là đường cao)  sin A sin HOC  ; HC BC BC   OC 2OC 2R cos A cos HOC  OH OH  OC R Ta cần chứng minh AB+BC+CA<4(OH+ OK+OL) Ta có 0,25 0,25 AB ; BC OL  OK  KL  ; AC OH  OL  HL  OH  OK  HK  Suy AB+BC+CA<4(OH+ OK+OL) 0,25