Bài giảng: Hệ một bậc tự do, Khoa xây dựng và cơ học ứng dụng

1. Phương trình vi phân dao động tổng quát 2. Dao động tự do 3. Dao động cưỡng bức do tải điều hòa và tải trọng có chu kỳ 4. Dao động cưỡng bức do tải bất kỳ, tải xung, tải ngắn hạn. 5. Lời giải số cho phản ứng động 6. Hệ một BTD suy rộng2 1. Phương trình vi phân dao động tổng quát (1) 4 o Mục tiêu − Giới thiệu lực đàn hồi và lực cản. − Thiết lập phương trình vi phân chuyển động hệ 1 BTD động học. 1. Phương trình vi phân dao động tổng quát (2) 5 o Các kết cấu đơn giản Tháp nước (tk từ Internet) (tk từ EERC của ĐH Berkely)3 1. Phương trình vi phân dao động tổng quát (3) 6 Kết cấu khung 1 tầng (tk từ Internet) 1. Phương trình vi phân dao động tổng quát (4) 7 Nếu các kết cấu này chịu tác dụng của − Tải trọng ngang tại đỉnh − Hoặc chuyển động ngang của nền do động đất  Có thể được đơn giản hóa thành hệ 1 BTD gồm một khối lượng tập trung m đặt trên 1 kết cấu không có khối lượng có độ cứng k theo phương ngang.4 1. Phương trình vi phân dao động tổng quát (5) 8 m k u(t) u(t) m k sàn cứng u(t) m c k  Bỏ qua co dãn dọc trục của dầm hoặc cột. 1. Phương trình vi phân dao động tổng quát (6) 9 o Lực đàn hồi của hệ u fS fS fS :lực đàn hồi fS u 1 k fS  ku (2.1) k: độ cứng ngang của hệ Lực đàn hồi fS5 1. Phương trình vi phân dao động tổng quát (7) 10 o Ví dụ 1: Tìm độ cứng k của hệ sau EI w L 1. Phương trình vi phân dao động tổng quát (8) 11 o Giải: − Biểu đồ mômen do lực w −Cvị tại điểm đặt lực w: w EI, L wL G − Biểu đồ mômen do lực đvị 1 L 2L3 3 1 1 2 2 3 3 u L wL L EI wL u EI                 −Độ cứng k: 3 w EI 3 k u L  6 1. Phương trình vi phân dao động tổng quát (9) 12 o Ví dụ 2: Tìm độ cứng k của hệ sau u f EIb= S EI H c EIc 1. Phương trình vi phân dao động tổng quát (10) 13 u r11 3 12 c EI H 3 12 c EI H 11 3 24 c EI r H  EI b= EI H c EIc fS fS R1P R f 1P S   11 1 3 3 0 24 0 24 P S S c c r EI k u R EI u f H fu H        Phương trình chính tắc Giải:7 1. Phương trình vi phân dao động tổng quát (11) 14 o Bài tập: Tìm độ cứng k của các hệ 1 BTD sau w EI L k 1. 1. Phương trình vi phân dao động tổng quát (12) 15 2. u fS EI b EI H c EIc L8 1. Phương trình vi phân dao động tổng quát (13) 16 3. u fS EI b = EI H c EIc L

Chương 2: HỆ MỘT BẬC TỰ DO Khoa Xây Dựng & Cơ Học Ứng Dụng – ĐH SPKT TPHCM Nội dung Phương trình vi phân dao động tổng quát Dao động tự Dao động cưỡng tải điều hịa tải trọng có chu kỳ Dao động cưỡng tải bất kỳ, tải xung, tải ngắn hạn Lời giải số cho phản ứng động Hệ BTD suy rộng 1 Phương trình vi phân dao động tổng quát (1) o Mục tiêu − Giới thiệu lực đàn hồi lực cản − Thiết lập phương trình vi phân chuyển động hệ BTD động học Phương trình vi phân dao động tổng quát (2) o Các kết cấu đơn giản Tháp nước (tk từ Internet) (tk từ EERC ĐH Berkely) Phương trình vi phân dao động tổng quát (3) Kết cấu khung tầng (tk từ Internet) Phương trình vi phân dao động tổng quát (4) Nếu kết cấu chịu tác dụng − Tải trọng ngang đỉnh − Hoặc chuyển động ngang động đất  Có thể đơn giản hóa thành hệ BTD gồm khối lượng tập trung m đặt kết cấu khơng có khối lượng có độ cứng k theo phương ngang Phương trình vi phân dao động tổng quát (5) m u(t) sàn cứng u(t) m k k u(t) m  Bỏ qua co dãn dọc trục dầm cột c k Phương trình vi phân dao động tổng quát (6) o Lực đàn hồi hệ u fS fS fS:lực đàn hồi fS k Lực đàn hồi fS f S  ku (2.1) u k: độ cứng ngang hệ Phương trình vi phân dao động tổng qt (7) o Ví dụ 1: Tìm độ cứng k hệ sau EI w L 10 Phương trình vi phân dao động tổng quát (8) o Giải: − Biểu đồ mô-men lực w wL w G EI, L −C/vị điểm đặt lực w: 1  2   L  wL    L  EI   3  wL3 u 3EI u − Biểu đồ mô-men lực đ/vị −Độ cứng k: w 3EI L 2L/3 k  u L 11 Phương trình vi phân dao động tổng qt (9) o Ví dụ 2: Tìm độ cứng k hệ sau u EIb= H fS EIc EIc 12 Phương trình vi phân dao động tổng quát (10) Giải: H u EIb= fS R1P   f S EIc EIc fS R1P Phương trình tắc r11 12 EI c H3 12 EI c H3 r11  24 EI c H3 r11u  R1P  24 EI c u  fS  H3 24 EI c f k  S  H3 u 13 Phương trình vi phân dao động tổng quát (11) o Bài tập: Tìm độ cứng k hệ BTD sau EI k w L 14 Phương trình vi phân dao động tổng quát (12) u EIb H EIc fS EIc L 15 Phương trình vi phân dao động tổng quát (13) EIb = H u m EIc fS EIc L 16 Phương trình vi phân dao động tổng quát (14) H u m EIb EIc fS EIc L 17 Phương trình vi phân dao động tổng quát (15) o Lực không đàn hồi hệ fS Lực không đàn hồi fS f S  f S  u , u  k u 18 Phương trình vi phân dao động tổng quát (16) o Lực cản hệ − Dao động tự hệ tắt dần lượng hệ bị tiêu tán − Các nguyên nhân gây tiêu tán lượng kết cấu: o Ma sát liên kết kết cấu thép o Mở đóng vết nứt kết cấu BTCT o Ma sát kết cấu thành phần khác tường …  Các nguyên nhân tiêu tán lượng thay lực cản 19 Phương trình vi phân dao động tổng quát (17)  Phần lớn tiêu tán lượng hệ BTD thay lực cản nhớt tương đương u fD fD fD:lực cản fD Lực cản nhớt tương đương fD f D  cu c u (2.2) c: hệ số cản nhớt; đơn vị: lực x tgian / cdài 20 Phương trình vi phân dao động tổng quát (18) o Phương trình dao động tổng quát hệ m u(t) p(t) c k 21 10 Lời giải số cho phản ứng động (4) p p1 p2 ti p0 t0 t1 ti ti 1 pi pi 1 t t2 u u1 u0 t0 t1 t2 ti u2 ui ui 1 t ti 1 132 Lời giải số cho phản ứng động (5) − Điều kiện ban đầu biết thời điểm t0 cung cấp đủ thông tin cần thiết để bắt đầu pp số − Lời giải ptvp (2.5.1) khoảng thời gian ti thường khơng phải lời giải xác Nhiều pp xấp xỉ khác dùng để tính tốn số − Ba yêu cầu quan trọng cho pp số:  Hội tụ (convergence): bước thời gian giảm, lời giải số tiến đến lời giải xác  Ổn định (stability): lời giải không ảnh hưởng sai số làm trịn  Chính xác (accuracy): kết gần với lời giải xác 133 66 Lời giải số cho phản ứng động (6) − phương pháp số theo bước thời gian trình bày:  PP dựa xấp xỉ lực kích thích  PP dựa sai phân hữu hạn (finite difference) vận tốc gia tốc  PP dựa xấp xỉ gia tốc (pp Newmark) 134 Lời giải số cho phản ứng động (7) o Phương pháp dựa xấp xỉ lực kích thích − Bằng cách xấp xỉ lực kích thích bước thời gian dùng pp trình bày để tìm lời giải, pp dùng để giải hệ tuyến tính − Nếu bước thời gian nhỏ, xấp xỉ tuyến tính cho lực kích thích sau đủ: p    pi  pi 1 p pi p   pi  ti (2.5.6) Với pi  pi 1  pi t ti ti 1    ti 135 67 Lời giải số cho phản ứng động (8) − Vậy ptvp cần giải mu  cu  ku  pi  pi  ti (2.5.7) − Chuyển vị u() khoảng thời gian (0    ti) tổng phần: Dao động tự với điều kiện ban đầu ti Dao động cưỡng lực số pi điều kiện ban đầu p i Dao động cưỡng lực  điều ti kiện ban đầu 136 Lời giải số cho phản ứng động (9) − Từ lời giải biết dao động nêu trên, ta tìm ui 1  Aui  Bui  Cpi  Dpi 1 ui 1  Aui  B ui  C pi  D pi 1 ' Với C ' ' ' (2.5.8)    A  en t  sin D t  cos D t   1       sin D t  B  en t   D    2     2   2  n t     e t t sin  cos            D D   t k  n t     n t   D     2   1 2 2 sin D t  cos D t   D  1   en t  n t k  n t  D t   137 68 Lời giải số cho phản ứng động (10)    n A'  en t  sin D t   1        B '  en t  cos D t  sin D t    1    C'       t n    e n  k  t    t    D'      sin D t  cos D t    t         1  en t  sin D t  cos D t    1   k t     138 Lời giải số cho phản ứng động (11) o Phương pháp sai phân trung tâm (central difference method) − PP dựa xấp xỉ sai phân hữu hạn vận tốc gia tốc − Chọn bước thời gian không đổi ti  t, biểu thức sai phân trung vận tốc gia tốc thời điểm ui  ui 1  ui 1 u  2ui  ui 1 ; ui  i 1 2t  t  (2.5.9) − Thế xấp xỉ vận tốc gia tốc (2.5.9) vào ptvp tuyến tính (2.5.1a) m ui 1  2ui  ui 1 u u  c i 1 i 1  kui  pi (2.5.10) 2t  t  139 69 Lời giải số cho phản ứng động (12) − Trong (2.5.10), ui ui-1 biết (2.5.10) viết lại  m  m  c  c  2m        u p u k       ui (2.5.11) i 1 i i 1 2   t  2t    t  2t    t   − Hoặc Với ˆ  pˆ ku i 1 i (2.5.12) m c kˆ    t  2t (2.5.13)  m  c  2m  pˆ i  pi   u k       ui i 1 2   t  2t    t   (2.5.14) − Suy ui 1  pˆ i kˆ (2.5.15) 140 Lời giải số cho phản ứng động (13) − Lời giải ui+1 thời điểm ti+1 xác định từ điều kiện cân động học thời điểm ti mà không cần điều kiện cân động học thời điểm ti+1 PP gọi pp (explicit method) − Để xác định lời giải u1 thời điểm t1 (theo 2.5.15) cần biết u0 u-1 Trong đó, u0 điều kiện ban đầu biết Và u-1 xác định từ (2.5.9) với i=0 u0  u  2u0  u1 u1  u1 ; u0  2t  t  (2.5.16) 141 70 Lời giải số cho phản ứng động (14) − Xác định u1 từ pt đầu vào pt sau để tìm u1  u0  t  u0   t   2 u0 (2.5.17) − Từ pt cân động học thời điểm t0, ta có mu0  cu0  ku0  p0 − Suy u0  (2.5.18) p0  cu0  ku0 m − Điều kiện ổn định toán t  Tn  (2.5.19) 142 Lời giải số cho phản ứng động (15) o Phương pháp Newmark (Newmark’s method) − Năm 1959, N.M Newmark phát triển họ pp bước thời gian dựa vào pt sau: ui 1  ui  1    t  ui   t  ui 1 (2.5.20a) 2 ui 1  ui   t  ui   0,5    t   ui     t   ui 1     (2.5.20b) Trong đó,   định nghĩa biến đổi gia tốc theo thời gian xác định độ ổn định xác pp − Thơng thường chọn  = 1/2 1/6    1/4 143 71 Lời giải số cho phản ứng động (16) − Pt (2.5.20) kế hợp với pt (2.5.5) giúp tính ui 1 , ui 1 , ui 1 thời điểm ti+1 từ giá trị biết ui , ui , ui phương pháp lặp đại lượng chưa biết ui 1 xuất vế phải (2.5.20) − Để khơng phải tính lặp xác định ui 1 , ui 1 , ui 1 ta thiết lập công thức độ gia tăng sau Đặt ui  ui 1  ui ; ui  ui 1  ui ; ui  ui 1  ui (2.5.21) pi  pi 1  pi (2.5.22) 144 Lời giải số cho phản ứng động (17) − Pt (2.5.20) viết lại ui   t  ui   t  ui ui   t  ui  t   2 (2.5.23a) ui    t  ui (2.5.23b) − Từ (2.5.23b) ta có ui    t  ui  1 ui  ui t 2 (2.5.24) − Thế (2.5.24) vào (2.5.23a) ui       ui  ui  t 1   ui t     (2.5.25) 145 72 Lời giải số cho phản ứng động (18) − Lấy (2.5.5) trừ (2.5.1a) (xét trường hợp tuyến tính) mui  cui  k ui  pi (2.5.26) − Thế (2.5.24) (2.5.25) vào (2.5.26) pˆ (2.5.27) kˆui  pˆ i  ui  i ˆ k Trong  kˆ  k  c m (2.5.28) t   t          pˆ i  pi    1 c  ui m  c  ui   m  t     t  2    2 (2.5.29) 146 Lời giải số cho phản ứng động (19) − Trong pp Newmark, lời giải thời điểm ti+1 xác định từ pt cân (2.5.5) thời điểm ti+1 nên gọi pp ẩn (implicit method) − PP Newmark ổn định t 1  Tn    2 (2.5.30) 147 73 Lời giải số cho phản ứng động (20) o Tóm tắt pp Newmark cho hệ tuyến tính Tính giá trị ban đầu p0  cu0  ku0 m Chọn t u0   kˆ  k  c m t   t   m c t      1 c b m  t  2  2  a 148 Lời giải số cho phản ứng động (21) Tính giá trị bước i pˆ i  pi  aui  bui pˆ ui  i kˆ ui       ui  ui  t 1   ui t     1  u  ui i 2 t   t  ui 1  ui  ui ; ui 1  ui  ui ; ui 1  ui  ui ui  ui  Lập lại bước với i = i+1 149 74 Lời giải số cho phản ứng động (22) o PP trung bình gia tốc (PP Newmark: =1/2; =1/4) − Giả sử biến thiên gia tốc bước thời gian số:  ui 1  ui   u    ui   ui 1  ui  t ui 1  ui   ui 1  ui  2 u    ui  ui   ui 1  ui  t   ui 1  ui  ui t   ui 1  ui  u    (2.5.31) (2.5.32) (2.5.33) (2.5.34) (2.5.35) 150 Lời giải số cho phản ứng động (23) o PP gia tốc tuyến tính (PP Newmark: =1/2; =1/6) − Giả sử biến thiên gia tốc bước thời gian tuyến tính: u    ui    ui 1  ui  t 2 u    ui  ui   ui 1  ui  2t t ui 1  ui   ui 1  ui  2 3 u    ui  ui  ui   ui 1  ui  6t  21 ui 1  ui  ui t   t   ui 1  ui   6 (2.5.36) (2.5.37) (2.5.38) (2.5.39) (2.5.40) 151 75 Lời giải số cho phản ứng động (24) o Ổn định lời giải số − Các pp số tiếp cận lời giải xác bước thời gian nhỏ giới hạn ổn định gọi pp số ổn định có điều kiện (conditionally stable) − Ngược lại, pp số tiếp cận lời giải xác bất chấp bước thời gian gọi pp số ổn định khơng có điều kiện (unconditionally stable) − PP trung bình gia tốc ổn định không điều kiện − PP gia tốc tuyến tính ổn định t/Tn < 0,551 − PP sai phân trung tâm ổn định t/Tn < 1/ 152 Lời giải số cho phản ứng động (25) o Phương pháp Newmark cho ứng xử phi tuyến − Pt cân phi tuyến dạng gia tăng mui  cui   f S i  pi fS  f S i 1  ki T (2.5.41)  ki sec Với,  f S i   ki sec ui (2.5.42)  f S i  f S i Do ui+1 chưa biết nên, ui u ui ui 1  f S i   ki T ui (2.5.43) 153 76 Lời giải số cho phản ứng động (26) − Thay (2.5.43) vào (2.5.41) mui  cui   ki T ui  pi (2.5.44) − Pt cho thấy tương tự với ptvp tuyến tính (2.5.26) Do đó, pp Newmark áp dụng cho toán phi tuyến − Tuy nhiên, áp dụng pp Newmark với bước thời gian không đổi dẫn đến sai số không chấp nhận Sai số nguyên nhân chính:  Độ cứng tiếp tuyến (ki)T dùng thay cho độ cứng cát tuyến (ki)sec  Dùng bước thời gian không đổi dẫn đến không phát điểm chuyển tiếp quan hệ lực – biến dạng 154 Lời giải số cho phản ứng động (27) − Để giảm sai số, ta phải dùng pp lặp bước thời gian − PP lặp dùng pp Newton-Raphson pp Newton-Raphson hiệu chỉnh (modified NewtonRaphson) pˆ pˆ R 2 pˆ f 1 kˆ  3 R  3 T  2 f kˆT  2 kˆT 1 u 1 R 2 pˆ f 1 R  3 f  2 kˆT kˆT u  2 u  3 PP Newton-Raphson u u 1 u  2 u  3 u PP Newton-Raphson hiệu chỉnh 155 77 Lời giải số cho phản ứng động (28) o Tóm tắt giải thuật Newton-Raphson hiệu chỉnh Tính giá trị ban đầu ui01  ui ; f S 0   f S i ; R1  pˆ i ; kˆT  kˆi Tính giá trị cho bước lặp j j j j Giải kˆT u    R   u   uij11  uij11  u  j    f  j   f S j   f S j 1  kˆT  kT u  j  R j 1  R j   f  j  Lặp lại bước với j = j+1 hội tụ 156 Lời giải số cho phản ứng động (29) o Tóm tắt pp Newmark cho hệ phi tuyến Tính giá trị ban đầu p0  cu0  ku0 m Chọn t      1 c a m  c; b  m  t  t  2  2  u0  Tính giá trị bước i pˆ i  pi  aui  bui Xác định độ cứng tiếp tuyến ki 157 78 Lời giải số cho phản ứng động (30)  kˆi  ki  c m t   t  Giải ui từ kˆi pˆ i dùng pp lặp ui  ui       ui  ui  t 1   ui t   2    t  ui  1 ui  ui 2 t ui 1  ui  ui ; ui 1  ui  ui ; ui 1  ui  ui Lập lại bước với i = i+1 158 Hệ BTD suy rộng (1) o Khái niệm hệ BTD suy rộng m1 c p t  EI  x  , m  x  k u  x, t   xz  t  x m2 u  x, t     x  z  t  z t  x − Hệ BTD suy rộng hệ có chuyển vị trí xác định tọa độ suy rộng z(t) thông qua hàm dạng (x): (2.5.45) u  x, t     x  z  t  159 79 Hệ BTD suy rộng (2) − Pt chuyển động hệ BTD suy rộng có dạng   t   p  t    t   cz   t   kz mz (2.5.46)   , c,, k , p  t  khối lượng suy Trong m rộng, cản suy rộng, độ cứng suy rộng lực suy rộng − Pt chuyển động hệ BTD suy rộng (2.5.46) tương tự pt chuyển động hệ BTD Do đó, áp dụng pp trình bày tìm z(t) Từ (2.5.45) xác định u(x,t) với hàm dạng (x) chọn trước − Vấn đề đặt tìm xác định đại lượng suy rộng  , c, k, p  t  từ hệ cho? Đồng thời chọn m hàm dạng (x) phù hợp? (Tự đọc) 160 80 ... cưỡng tác dụng xung (3) o Phản ứng dao động lực xung − Do lực xung tác dụng thời gian ngắn nên hệ không tồn có mặt tải trọng động  Hệ dao động tự với vận tốc ban đầu lực xung truyền cho hệ − Trước... xung tác dụng t =  hệ ? ?ứng yên, tức chuyển vị ban đầu u    102 4a Dao động cưỡng tác dụng xung (4) − Tìm vận tốc ban đầu lực xung truyền vào hệ Theo định luật Newton, lực p(t) tác động vào vật... chu kỳ tự nhiên, tần số tự nhiên dao động 32 Dao động tự (2) o Phương trình vi phân chuyển động − P/t vi phân chuyển động tổng quát hệ BTD mu  cu  ku  p  t  − Nếu hệ 1BTD dao động tự p(t)