Xây dựng chuyên đề ứng dụng đạo hàm vào thực tế theo hướng phát triển năng lực học sinh của chương trình phổ thông mới

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TỐN - - KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐỀ TÀI: XÂY DỰNG CHUYÊN ĐỀ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM VÀO THỰC TẾ THEO HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC HỌC SINH CỦA CHƯƠNG TRÌNH PHỔ THƠNG MỚI Giáo viên hướng dẫn : T.S HOÀNG NHẬT QUY Sinh viên thực : PHAN ANH THI Lớp : 15ST Đà Nẵng, tháng 01 năm 2019 GVHD: T.S HOÀNG NHẬT QUY SVTH: PHAN ANH THI LỜI CẢM ƠN Trong q trình nghiên cứu khóa luận, tơi cố gắng nỗ lực Để hồn thành tốt khóa luận, tơi nhận động viên, giúp đỡ tận tình từ phía q thầy cơ, gia đình bạn bè Nhân đây, tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành Đầu tiên em xin gửi lời cảm ơn đến quý thầy khoa Tốn tận tình giảng dạy em suốt bốn năm để em có tảng tri thức kinh nghiệm quý báu để hồn thành khóa luận Đặc biệt, em xin chân thành cảm ơn thầy Hồng Nhật Quy, thầy ln tận tình góp ý, chỉnh sửa để khóa luận hồn thành tốt Tiếp xúc với thầy, em học nhiều điều từ xếp nội dung khoa học, tính cẩn thận nghiên cứu học bổ ích khác Tơi xin cảm ơn gia đình, bạn bè động viên, tạo điều kiện tốt để tơi suốt thời gian thực khóa luận Đà Nẵng, tháng 01 năm 2019 Sinh viên thực Phan Anh Thi Khóa luận tốt nghiệp Trang GVHD: T.S HOÀNG NHẬT QUY SVTH: PHAN ANH THI MỤC LỤC CÁC CHỮ VÀ KÍ HIỆU VIẾT TẮT A PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu: Nhiệm vụ nghiên cứu: Phương pháp nghiên cứu: Cấu trúc luận văn: B PHẦN NỘI DUNG Chương 1: Cơ sở lý luận 1.1 Năng lực phát triển lực HS theo chương trình phổ thơng 1.1.1 Khái niệm lực 1.1.2 Các lực chung: 1.2 Xác định lực chung, cốt lõi, chun biệt mơn Tốn 15 1.2.1 Các lực chung cốt lõi mà mơn Tốn hình thành phát triển 15 1.2.2 Các lực chuyên biệt Toán học 15 1.3 Nội dung đạo hàm chương trình toán THPT 17 1.3.1 Vị trí chương đạo hàm yêu cầu cần đạt dự thảo chương trình mơn Tốn cải cách 17 1.3.2 Nội dung chương đạo hàm chương trình 21 1.3.3 Phương pháp dạy học nhằm phát triển lực HS 23 1.3.4 Kiểm tra, đánh giá theo lực HS: 24 Chương 2: Xây dựng số chuyên đề ứng dụng đạo hàm vào thực tế theo định hướng phát triển NL HS chương trình phổ thông 26 2.1 Ứng dụng đạo hàm kinh tế 26 2.1.1 Giá trị cận biên 27 2.1.2 Hệ số co dãn 30 2.1.3 Sự lựa chọn tối ưu kinh tế 31 2.2 Một số tốn tìm GTLN, GTNN thực tế: 34 2.2.1 Mơ hình hóa tốn học kết liên quan đến GTLN, GTNN 34 Khóa luận tốt nghiệp Trang GVHD: T.S HOÀNG NHẬT QUY 2.2.2 2.3 SVTH: PHAN ANH THI Một số ví dụ 38 Ứng dụng đạo hàm vật lý 44 2.3.1 Bài toán tìm vận tốc gia tốc tức thời chuyển động học 44 2.3.2 Bài toán tốc độ 49 2.3.3 Bài toán chuyển động cong 52 KẾT LUẬN 56 TÀI LIỆU THAM KHẢO 57 Khóa luận tốt nghiệp Trang GVHD: T.S HOÀNG NHẬT QUY SVTH: PHAN ANH THI CÁC CHỮ VÀ KÍ HIỆU VIẾT TẮT Khóa luận tốt nghiệp THPT : Trung học phổ thông GV : Giáo viên HS : Học sinh NL : Năng lực MHH : Mơ hình hóa GTLN : Giá trị lớn GTNN : Giá trị nhỏ Trang GVHD: T.S HOÀNG NHẬT QUY SVTH: PHAN ANH THI A PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong thời đại khoa học công nghệ phát triển nhanh chóng việc phát triển mà phẩm chất NL người học định hướng trội mà nhiều nước tiên tiến thực từ đầu kỉ XXI đến Các nước ý hình thành, phát triển NL cần cho việc học suốt đời gắn với sống ngày Đảng Nhà nước nhận định rõ tình hình đưa định hướng đổi tồn diện giáo dục Đào tạo Điều thể rõ Hội nghị lần thứ Ban chấp hành Trung ương Đảng khóa XI vừa qua nêu rõ : “ Tiếp tục đổi mạnh mẽ phương pháp dạy học theo hướng đại; phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo vận dụng kiến thức, kĩ người học; khắc phục lối truyền thụ áp đặt chiều, ghi nhớ máy móc Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo sở người học cập nhật đổi tri thức, kĩ năng, phát triển NL” Giáo dục phổ thông nước ta thực bước chuyển từ chương trình giáo dục tiếp cận nội dung sang tiếp cận NL người học, nghĩa từ chỗ quan tâm đến việc HS học đến chỗ quan tâm HS vận dụng qua việc học Về đặc điểm mơn Tốn: Tốn học ngày có nhiều ứng dụng sống, kiến thức kĩ Toán học giúp người giải vấn đề thực tế sống cách có hệ thống xác, góp phần thúc đẩy xã hội phát triển Mơn Tốn trường THPT góp phần hình thành phát triển phẩm chất, nhân cách HS, phát triển kiến thức, kĩ then chốt tạo hội để HS trải nghiệm, áp dụng toán học vào đời sống thực tiễn, tạo dựng kết nối Tốn học với mơn học khác Trong chương trình Giải tích 11- THPT suốt chương trình lớp 12 kì thi lớn quốc gia, nội dung đạo hàm ứng dụng đạo hàm chiếm phần khơng nhỏ Vì vậy, việc hệ thống hóa dạng tập liên quan đến ứng dụng đạo hàm giúp cho GV HS có nhìn bao qt hơn, có cách tiếp cận phương pháp học dạy học hướng tới phát triển NL vô quan trọng Khóa luận tốt nghiệp Trang GVHD: T.S HỒNG NHẬT QUY SVTH: PHAN ANH THI Với lí trên, chọn nghiên cứu luận văn “Xây dựng chuyên đề ứng dụng đạo hàm vào thực tế theo hướng phát triển lực học sinh chương trình phổ thơng mới” Mục đích nghiên cứu: Nghiên cứu việc vận dụng kiến thức đạo hàm vào giải tốn thực tế từ giúp HS thấy ý nghĩa quan trọng kiến thức đạo hàm không mơn Tốn học mà cịn ứng dụng giải tốn mơn học khác ngồi thực tế Từ rèn luyện kĩ năng, bồi dưỡng NL ứng dụng đạo hàm thực tế Nhiệm vụ nghiên cứu: Để đạt mục tiêu trên, thấy luận văn cần thực nhiệm vụ sau: - Khái niệm lực, lực chung, lục chuyên biệt - Xác định lực chung, lực chun biệt mơn Tốn - Phân loại số ứng dụng đạo hàm thực tế số ví dụ áp dụng Phương pháp nghiên cứu: ❖ Nghiên cứu lí luận: - Nghiên cứu tài liệu lí luận (chương trình phổ thơng mới, triết học, giáo dục học, tâm lí học, lí luận dạy học mơn tốn) có liên quan tới đề tài luận văn - Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo, tạp chí tốn học, tài liệu nước có liên quan nội dung đạo hàm, ứng dụng đạo hàm bồi dưỡng NL giải toán cho HS trung học phổ thông Cấu trúc luận văn: Luận văn gồm phần “Mở đầu”, “Kết luận” hai chương Chương 1: Cơ sở lý luận Chương 2: Xây dựng số chuyên đề ứng dụng đạo hàm vào thực tế Khóa luận tốt nghiệp Trang GVHD: T.S HOÀNG NHẬT QUY SVTH: PHAN ANH THI theo định hướng phát triển NL HS theo chương trình phổ Kết luận Tài liệu tham khảo Khóa luận tốt nghiệp Trang GVHD: T.S HOÀNG NHẬT QUY SVTH: PHAN ANH THI B PHẦN NỘI DUNG Chương 1: Cơ sở lý luận 1.1 Năng lực phát triển lực HS theo chương trình phổ thơng 1.1.1 Khái niệm lực Các khái niệm khoa học thường có nhiều định nghĩa tùy theo cách tiếp cận phạm trù khác Ở đây, tiếp cận NL theo hướng NL hành động, tức có cấu trúc, mơ tả được, theo [1, tr.5] : • Năng lực khả thực thành công hoạt động bối cảnh định nhờ huy động tổng hợp kiến thức, kỹ thuộc tính cá nhân khác hứng thú, niềm tin, ý chí, NL cá nhân đánh giá qua phương thức kết hoạt động cá nhân giải vấn đề sống • Năng lực chung NL bản, thiết yếu mà người cần có để sống, học tập làm việc Các hoạt động giáo dục (bao gồm môn học hoạt động trải nghiệm sáng tạo), với khả khác nhau, hướng tới mục tiêu hình thành phát triển NL chung HS • Năng lực đặc thù môn học (của môn học nào) NL mà môn học (đó) có ưu hình thành phát triển (do đặc điểm mơn học đó) Một NL NL đặc thù nhiều môn học khác 1.1.2 Các lực chung: Qua nghiên cứu, tham khảo kinh nghiệm nước phát triển, đối chiếu với yêu cầu điều kiện giáo dục nước năm tới, định hướng chuẩn đầu NL chung nhà khoa học Việt Nam đề xuất sau: Năng lực tự học: Xác định mục tiêu học tập: - Xác định nhiệm vụ học tập có tính đến kết học tập trước định hướng phấn đấu tiếp, mục tiêu học đặt chi tiết, cụ thể, đặc biệt tập trung nâng cao khía cạnh cịn yếu Khóa luận tốt nghiệp Trang GVHD: T.S HOÀNG NHẬT QUY SVTH: PHAN ANH THI Lập kế hoạch thực cách học: - Đánh giá điều chỉnh kế hoạch học tập; hình thành cách học tập riêng thân; tìm nguồn tài liệu phù hợp với mục đích, nhiệm vụ học tập khác nhau; thành thạo sử dụng thư viện, chọn tài liệu làm thư mục phù hợp với tùng chủ đề học tập tập khác nhau; ghi chép thông tin đọc hình thức phù hợp, thuận lợi cho việc ghi nhớ, sử dụng, bổ sung cần thiết; tự đặt vấn đề học tập Đánh giá điều chỉnh việc học: - Tự nhận điều chỉnh sai sót, hạn chế thân trình học tập; suy ngẫm cách học mình, đúc kết kinh nghiệm để chia sẻ, vận dụng vào tình khác; sở thông tin phản hồi biết vạch kế hoạch điều chỉnh cách học để nâng cao chất lượng học tập Năng lực giải vấn đề: Phát làm rõ vấn đề: - Phân tích tình học tập, sống, phát nêu tình có vấn đề học tập sống Đề xuất, lựa chọn giải pháp: - Thu thập làm rõ thơng tin có liên quan đến vấn đề; đề xuất phân tích số giải pháp giải vấn đề; lựa chọn giải pháp phù hợp Thực đánh giá giải pháp giải vấn đề: - Thực đánh giá giải pháp giải vấn đề; suy ngẫm cách thức tiến trình giải vấn đề để điều chỉnh vận dụng bối cảnh Năng lực sáng tạo: - Đặt câu hỏi có giá trị để làm rõ tình ý tưởng trừu tượng; xác định làm rõ thông tin, ý tưởng phức tạp từ nguồn thơng tin khác nhau; phân tích nguồn thơng tin độc lập để thấy khuynh hướng có độ tin cậy ý tưởng Khóa luận tốt nghiệp Trang GVHD: T.S HOÀNG NHẬT QUY SVTH: PHAN ANH THI Vậy số lượng vi khuẩn tăng lên lớn Max N (t ) = N (10) = 1005 , thời điểm 𝑡 = x 0 10 Ví dụ 4: Trong nội dung thi điền kinh bơi lội phối hợp diễn hồ bơi có chiều rộng 50m chiều dài 200m Một vận động viên cần chạy phối hợp với bơi ( bắt buộc hai) phải lộ trình xuất phát từ A đến B hình vẽ Hỏi sau chạy bao xa ( quãng đường x) vận động viên nên tiếp tụ bơi đích nhanh nhất? Biết vận tốc vận động biên chạy bờ bơi 4,5m/s 1,5m/s Lời giải Gọi C vị trí mà vận động viên kết thúc phần chạy điền kinh đặt AC = x , ( x  0) Với lộ trình vạch sẵn hình vẽ, ta thấy, với chiều rộng chiều dài hồ bơi, ta nhận thấy tổng quãng đường vận động viên phải AC + CB Khi ta có t1 = x thời gian từ A đến C 4,5 Quãng đường bơi BC, BC = 502 + (200 − x) 502 + (200 − x) BC = Khi ta có thời gian bơi từ C đến B t2 = 1,5 1,5 Tổng thời gian vận động viên T = t1 + t2 = Khóa luận tốt nghiệp 502 + (200 − x) x + 4,5 1,5 Trang 43 GVHD: T.S HOÀNG NHẬT QUY SVTH: PHAN ANH THI 502 + (200 − x)2 x + ,0  x  200 Xét hàm f ( x) = 4,5 1,5 Ta có f '( x) = + −(200 − x) , x  (0, 200) 502 + (200 − x) f '( x) =  3(200 − x) = 502 + (200 − x)  8(200 − x)2 = 502  x0 = 400 − 25  182,322 Lập bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên f ( x) = f ( x(0,200) 400 − 25 )  75,87 s 2.3 Ứng dụng đạo hàm vật lý Có hai tốn nguồn gốc làm nảy sinh khái niệm đạo hàm, thuộc lính vực Vật lý, đến từ Hình học Nói đến ứng dụng đạo hàm khơng thể khơng nói đến ứng dụng Vật lý Ngồi việc cơng cụ để tính tốn tốn tối ưu, cịn có số ứng dụng khác để hình thành số cơng thức Vật lý Bài viết xin trình bày số ứng dụng sau: 2.3.1 Bài tốn tìm vận tốc gia tốc tức thời chuyển động học ▪ Vận tốc tức thời Xét chuyển động thẳng xác định phương trình 𝑠 = 𝑠(𝑡), với 𝑠 = 𝑠(𝑡) hàm số có đạo hàm Vận tốc tức thời chuyển động thời điểm 𝑡0 đạo hàm hàm số 𝑠 = 𝑠(𝑡) 𝑡0 : 𝑣 (𝑡0 ) = 𝑠′(𝑡0 ) Giải thích: Khóa luận tốt nghiệp Trang 44 GVHD: T.S HỒNG NHẬT QUY SVTH: PHAN ANH THI Một chất điểm M chuyển động trục s ' Os Quãng đường 𝑠 chuyển động hàm số thời gian 𝑡: s = s (t ) Trong khoảng thời gian từ 𝑡0 đến 𝑡 s − s0 = s(t ) − s(t0 ) Vận tốc trung bình chất điểm chuyển động khoảng thời gian t − t0 s (t ) − s (t0 ) t − t0 Khi 𝑡 gần 𝑡0 , tức t − t0 nhỏ vận tốc trung bình thể xác mức độ nhanh chậm chuyển động thời điểm 𝑡0 Từ nhận xét trên, người ta đưa định nghĩa sau đây: Giới hạn hữu hạn ( có) : lim t → t0 s (t ) − s (t0 ) , t − t0 gọi vận tốc tức thời chuyển động thời điểm t0 Hay là: 𝑣 (𝑡0 ) = 𝑠′(𝑡0 ) ▪ Gia tốc tức thời: Xét chuyển động thẳng xác định phương trình vận tốc 𝑣 = 𝑣(𝑡), với 𝑣 = 𝑣(𝑡) hàm số có đạo hàm Gia tốc tức thời chuyển động thời điểm 𝑡0 đạo hàm hàm số 𝑣 = 𝑣(𝑡) 𝑡0 : Khóa luận tốt nghiệp Trang 45 GVHD: T.S HOÀNG NHẬT QUY SVTH: PHAN ANH THI 𝑎(𝑡0 ) = 𝑣′(𝑡0 ) Ví dụ 1: Một cano chạy với phương trình chuyển động 𝑠(𝑡 ) = 3𝑡 + 4𝑡 + 2𝑡 Vận tốc 𝑡 = bao nhiêu? Lời giải: Vận tốc cano : Ta có 𝑣 (𝑡 ) = 𝑠′(𝑡) = 9𝑡 + 8𝑡 + Tại thời điểm 𝑡 = 3, vận tốc cano chạy là: 𝑣 (3) = 107 Ví dụ 2: Một chất điểm chuyển động thẳng theo phương trình 𝑆 = 𝑡 − 3𝑡 + 4𝑡, 𝑡 tính giây (s) 𝑆 tính mét (m) Tính gia tốc chất điểm lúc 𝑡 = 2𝑠 Lời giải: Gia tốc chất điểm là: 𝑎 = 𝑆 ′′ = (𝑡 − 3𝑡 + 4𝑡 )′′ = (3𝑡 − 6𝑡 + 4)′ = 6𝑡 − Tại thời điểm 𝑡 = 2, 𝑎 = 6.2 − = 6(𝑚/𝑠 ) Ví dụ 3: Cho chuyển động thẳng xác định phương trình 𝑆 = 𝑡 + 3𝑡 − 9𝑡 + 27, 𝑡 tính giây (s) 𝑆 tính mét (m) Tính gia tốc chất điểm thời điểm vận tốc triệt tiêu Lời giải: Vận tốc chất điểm đạo hàm quãng đường theo thời gian: 𝑣 = 𝑆 ′ = 3𝑡 + 6𝑡 − Gia tốc chất điểm đạo hàm vận tốc theo thời gian: 𝑎 = 𝑣 ′ = 6𝑡 + Tại thời điểm vận tốc bị triệt tiêu: 𝑣 = ⟹ 3𝑡 + 6𝑡 − = ⟹ 𝑡 = (do 𝑡 > 0) Khi gia tốc chất điểm là: 𝑎 = 6.1 + = 12(𝑚/𝑠 ) Khóa luận tốt nghiệp Trang 46 GVHD: T.S HỒNG NHẬT QUY SVTH: PHAN ANH THI Ví dụ 4: Một vật chuyển động đường thẳng Hình đồ thị phụ thuộc vận tốc vào tọa độ x Hãy tìm độ lớn cực đại gia tốc đoạn đường từ đến 5m Lời giải: Từ đồ thị suy ra, 𝑥 < m 𝑥 > m, vận tốc vật không đổi: 𝑎 = Trong khoảng từ 𝑥 = m đến 𝑥 = m, ta có: 𝑥 = −𝑣 dx = −dv Suy ra: a= dv − dx = = −v dt dt Gia tốc có độ lớn tỉ lệ với vận tốc Tại 𝑥 = 1, vận tốc cực đại nên gia tốc có độ lớn cực đại: amax = vmax = 4m / s Ví dụ 5: Hai vật dao động điều hòa dọc theo trục song song với vị trí cân Phương trình dao động vật x1 = A cos t (cm )  x1 = A cos(t − ) (cm) Biết 32 x12 + 18 x2 = 1152 (cm2 ) Tại thời điểm t , vật thứ hai qua vị trí có li độ x2 = 3cm với vận tốc v2 = cm / s Khi vật thứ có tốc độ bao nhiêu? Lời giải: Ta có 32 x12 + 18 x2 = 1152 , x2 = Khóa luận tốt nghiệp Trang 47 GVHD: T.S HOÀNG NHẬT QUY  x1 = SVTH: PHAN ANH THI 1152 − 18 x2 1152 − 18 x2 = x1 = − = −3 32 32 Lấy đạo hàm hai vế 32 x12 + 18 x2 = 1152 , ta được: 64 x1 ( x1 ) '+ 36 x2 ( x2 ) ' = (1) Mà x1 ' = v1 , x2 ' = v2 nên (1) tương đương: 16 x1v1 + x2v2 =  v1 = −9 x2 v2 16 x1 Khi x1 =  v1 = −18 (cm / s) Khi x1 = −3  v1 = 18 (cm / s) Tóm lại, vật thứ có tốc độ 18 cm/s Ví dụ 6: Cho ba vật dao động điều hòa biên độ A = 5cm , với tần số khác Biết thời điểm li độ vận tốc vật liên hệ với biểu thức x1 x2 x3 Tại thời điểm t , vật cách vị trí cân chúng + = v1 v2 v3 3cm, 2cm x0 cm Tính x0 Lời giải: x x1 x2 x3 x x  ( + )' = ( )' + = v1 v2 v3 v1 v2 v3 x x x  ( ) '+ ( ) ' = ( ) ' (1) v1 v2 v3 Bây ta tính : x x 'v − v ' x ( )' = v v2 = ax v.v − ax v − ax  x2 x2 − x.x x2 = − = = − = + = + = + v2 v2 v2 v2 v2 v2 A2 − x 2 Theo Khóa luận tốt nghiệp Trang 48 GVHD: T.S HOÀNG NHẬT QUY (1)  +  1+ SVTH: PHAN ANH THI x32 x12 x2 + + = + A2 − x12 A2 − x2 A2 − x32 x32 x12 x2 + = A2 − x12 A2 − x2 A2 − x32 x0 32 22  1+ 2 + = − − 22 52 − x0 Tính ta x0  3,99 cm 2.3.2 Bài toán tốc độ Cơ sở lý thuyết: Theo định nghĩa đạo hàm: f '( x0 ) = lim x →0 f ( x0 + x) − f ( x0 ) y = lim  x → x x Khi ∆𝑥 có giá trị tuyệt đối đủ nhỏ ta có: y f ( x0 + x) − f ( x0 ) =  f '( x0 ) x x  y = f ( x0 + x) − f ( x0 )  f '( x0 )x Do đó, đạo hàm phản ảnh tốc độ biến thiên hàm số so với tốc độ biến thiên biến số x x → x0 Ví dụ 1: Một thang dài 13ft ( ft viết tắt feet ( số nhiều foot), foot=0,3048m) tựa vào tường Chân thang bắt đầu trượt khỏi tường với tốc độ ft phút Khi chân thang cách tường ft, với tốc độ đỉnh thang trượt xuống? Khóa luận tốt nghiệp Trang 49 GVHD: T.S HOÀNG NHẬT QUY SVTH: PHAN ANH THI Lời giải Cho ℎ(𝑡) chiều cao thang thời điểm 𝑡 𝑏(𝑡) khoảng cách chân thang với tường theo biến thời gian 𝑡 Do đó, theo định lý Pytago ta có: h(t )2 + b(t )2 = 132 Vi phân hai vế theo biến t ( t theo phút) ta được: 2h(t ).h '(t ) + 2b(t )b '(t ) =  h '(t ) = − b(t ).b '(t ) h(t ) Lúc toán đặt ra, 𝑏(𝑡 ) = 5, ℎ(𝑡 ) = 12 𝑏′ (𝑡 ) = Thế giá trị vào phương trình ta được: h '(t ) = − 5.1 = ft/phút 12 12 Kết âm, phù hợp đỉnh thang trượt xuống Vậy với tốc độ ft/phút đỉnh thang trượt xuống 12 Ví dụ 2: Một miếng bọt biển có hình dạng nón Khi thấm nước, phình Tại thời điểm định, chiều cao tương đương inch tăng với tốc độ 0,3 inch giây Vào thời điểm tương tự, bán kính đáy inch, tăng với tốc độ 0,2 inch giây Thể tích thay đổi thời điểm Lời giải: Ta biết thể tích 𝑉 hình nón có liên quan đến chiều cao ℎ bán kính 𝑟 cơng thức: V =  r 2h Khóa luận tốt nghiệp Trang 50 GVHD: T.S HOÀNG NHẬT QUY SVTH: PHAN ANH THI Vi phân hai vế theo biến t ( t theo giây) ta được: dV dr dh =  (2 h + r2 ) dt dt dt Thế giá trị r , dr / dt , h dh / dt : dV 24 =   2.4.(0, 2).6 + 42.(0,3)  =  dt 24  in3 /phút Vậy thể tích thay đổi với tốc độ Ví dụ 3: Một bóng đồ chơi có dạng hình cầu Nó thổi phồng lên với tốc độ 20in3/phút Tại thời điểm mà hình cầu tích 64 in3, tốc độ thay đổi bán kính nào? Lời giải: Ta biết thể tích bán kính hình cầu quan hệ với công thức: V =  r3 Lấy vi phân phương trình theo biến thời gian t: dV 4 dr = 3r dt dt Mà theo đề ta có in3/ phút r = (1) dV = 20 tính bán kính thời điểm hình cầu tích 64 dt 3V 3.64 48 = = 4 4  Thế giá trị vào (1) ta 20 =  Vậy bán kính tăng với tốc độ  48 Khóa luận tốt nghiệp 4 48 dr  dt dr = dt  48 in/phút Trang 51 GVHD: T.S HOÀNG NHẬT QUY SVTH: PHAN ANH THI 2.3.3 Bài toán chuyển động cong Đạo hàm cấp hàm số y = f ( x) y '' = ( y ') ' = dy ) dx = d y dx dx d( Bây ta tìm hiểu ý nghĩa đạo hàm cấp hai: Như biết “độ dốc” “hướng dốc” đồ thị xác định đạo hàm bậc Bây ta đặt câu hỏi liệu có xác định “độ cong”, “hướng cong” đồ thị điểm hay không? Ta coi đoạn thẳng nhỏ đồ thị đoạn đường trịn bán kính Xét cung nhỏ PP1 có độ dài s : s ds =  →  d Ta có r = lim r= ds dx dx d Trong đó: (dx) + (dy ) ds  dy  = = 1+   dx dx  dx  tan  = dy  dy    = acr tan   dx  dx   dy  1+   dx 1 dx = = = 2  d d y d d  dy  acr tan   dx dx dx  dx    dy   1 +      dx   Thay vào ta r =  d2y dx   dy   1 +      dx   Do r   r =  d2y dx Khóa luận tốt nghiệp 3/2 3/2 Trang 52 GVHD: T.S HOÀNG NHẬT QUY SVTH: PHAN ANH THI Ví dụ 1: Một hịn bi nhỏ có khối lượng m bắt đầu lăn từ điểm O máng trơn OCB hình vẽ Hãy tính áp lực bi lên máng C, biết hình cắt máng đường xác định phương l x trình y = h sin   với h =  l  Lời giải: Trước hết ta xác định độ dốc máng C: dy h x  =  cos   dx l  l  Tại điểm C: x = dy l =0 dx Chọn mốc C, áp dụng định luật bảo toàn O C ta có: mv = mgh  v = gh = gl Phương trình động lực học C: mv N − mg = r Trong r bán kính cong quỹ đạo C, tính cơng thức:   dy   1 +      dx   r= d2y dx 3/2 dy d2y  2h   x  2 = Với = − sin  =− dx dx l 3l  l  Khi độ lớn bán kính đường cong r = 3l 2 Khi áp lức lên máng N = mg + Khóa luận tốt nghiệp   mv 2 gl   2  = m g +  = mg 1 +  r 3 l     Trang 53 GVHD: T.S HỒNG NHẬT QUY SVTH: PHAN ANH THI Ví dụ 2: Một vật khối lượng 2m coi chất điểm đặt đỉnh đường trượt (C) có dạng parabol với phương trình hệ tọa độ 𝑂𝑥𝑦 ( hình vẽ) : y = ax ; a=20, x tính theo m Một viên đạn khối lượng m bay theo phương ngang với vận tốc v0 đến va chạm mềm với chất điểm nói Tìm điều kiện v0 để vật ln trượt đường (C) nói Bỏ qua ma sát Lời giải: Giả sử sau ca chạm, vật trượt đường trượt, tọa độ x, y bất kì, ta có N + mg = ma Tại vị trí, vật trượt mặt cong có bán kính r tính cơng thức:   dy 2  1 +      dx   r= d2y dx 3/2 (1 + 4a x ) = 2a Chiếu phương trình vectơ lên trục hướng tâm vị trí ta mg.cos  − N = Trong đó: tan  = mv r dy 1 = 2ax  cos  = = dx + tan  + 4a x Thay vào phương trình ta có: N=  2av  g −   + 4a x  + 4a x  m Áp dụng định luất bảo toàn động lượng cho hai vật trước sau va chạm ta được: Khóa luận tốt nghiệp Trang 54 GVHD: T.S HOÀNG NHẬT QUY SVTH: PHAN ANH THI mv0 = 3mv1  v1 = v0 Định luật bảo toàn năng: 1 3mv12 = 3mv − 3mgy 2 v2 v  Hay   = v + gax  v = − 2agx 3 Khi áp lực đường trượt vật là:   v0  2a  − 2agx    m  g−  N= 2 2   + a x + 4a x     Điều kiện để vật không rời đường trượt N  0, x , tức v  2a  − 2agx    0, x g−  2 + 4a x  ga x  2av0 − g , x Điều khi: 2av0 9g 9.10 − g   v0  = = 1,5 (m/s) 2a 2.20 Khóa luận tốt nghiệp Trang 55 GVHD: T.S HOÀNG NHẬT QUY SVTH: PHAN ANH THI KẾT LUẬN Qua nghiên cứu đề tài theo tiêu chí bám sát mục tiêu nhiệm vụ đề ra, khóa luận giải nội dung cụ thể sau: Chương 1: Khóa luận làm rõ vấn đề NL, NL toán học; biểu NL chung thành tố NL tốn học; mục đích, vị trí, vai trị, ý nghĩa, chức tập tốn; vị trí chương đạo hàm, ứng dụng đạo hàm yêu cầu cần đạt chương trình mơn Tốn mới, nội dung chương trình đạo hàm; phương pháp dạy học nhằm phát triển NL HS; Kiểm tra đánh giá nhằm nâng cao NL cho HS Chương 2: Khóa luận làm rõ số toán ứng dụng đạo hàm vào thực tế lĩnh vực toán tối ưu, kinh tế vật lý Hi vọng khóa luận góp phần giúp HS học tốt, phát huy NL Toán học học nội dung Đạo hàm ứng dụng vào thực tế, khơi dậy cho HS niềm đam mê Tốn học, khơng cịn thấy Tốn học khơng phải mơn học khơ khan thiếu thực tế, tài liệu thiết thực để mở rộng kiến thức ứng dụng đạo hàm, đồng thời nâng cao chất lượng dạy học trường Trung học Phổ Thông, đặc biệt đất nước bước áp dụng nội dung chương trình giáo dục phổ thơng vào dạy học Qua khóa luận, tơi hi vọng đóng góp nhỏ luận đem lại lợi ích định cho GV HS Khóa luận tốt nghiệp Trang 56 GVHD: T.S HOÀNG NHẬT QUY SVTH: PHAN ANH THI TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Bộ Giáo dục đào tạo (2015), Chương trình giáo dục phổ thơng tổng thể, Hà Nội [2] Bộ Giáo dục đào tạo (2018), Chương trình giáo dục phổ thơng mơn Tốn , Hà Nội [3] Bộ Giáo dục đào tạo (2014), Dạy học kiểm tra, đánh giá kết học tập theo định hướng phát triển lực học sinh, Hà Nội [4] Nguyễn Nhật Minh (2014), Giới thiệu ứng dụng đạo hàm theo sách Calculus Demytified Steven G.Krantz, Huế [5] Trần Công Diệu, Nguyễn Công Quang (2017), Tiếp cận phương pháp vận dụng cao trắc nghiệm toán thực tế, Nxb Đại Học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội [6] Lê Đình Thúy (2010), Tốn cao cấp cho nhà kinh tế phần II, Nxb Đại học Kinh tế Quốc Dân, Hà Nội [7] Bộ Giáo dục đào tạo (2017), Đại số Giải tích 11 , Nxb Giáo dục, Hà Nội [8] Bộ Giáo dục đào tạo (2017), Vật 1ý 10 , Nxb Giáo dục, Hà Nội [9] Nguyễn Danh Nam (2015), Quy trình mơ hình hóa dạy học tốn trường phổ thơng, Tạp chí khoa học ĐHQGHN [10] Một số tài liệu mạng: https://www.wikipedia.org/ https://www.tailieu.vn/ http://thuvien.ued.udn.vn Khóa luận tốt nghiệp Trang 57 ... ? ?Xây dựng chuyên đề ứng dụng đạo hàm vào thực tế theo hướng phát triển lực học sinh chương trình phổ thơng mới? ?? Mục đích nghiên cứu: Nghiên cứu việc vận dụng kiến thức đạo hàm vào giải toán thực. .. lực HS: 24 Chương 2: Xây dựng số chuyên đề ứng dụng đạo hàm vào thực tế theo định hướng phát triển NL HS chương trình phổ thơng 26 2.1 Ứng dụng đạo hàm kinh tế 26 2.1.1... sát hướng dạy học theo chương trình phân tích chương 1, tơi xin trình bày ba ứng dụng sau: ✓ Ứng dụng đạo hàm kinh tế ✓ Một số tốn tìm GTLN, GTNN thực tế ✓ Ứng dụng đạo hàm vật lý 2.1 Ứng dụng đạo