Phương pháp chuỗi giải phương trình vi phân

2Ư E BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐÀ NẴNG KHOA TOÁN  -  KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Đề tài: PHƯƠNG PHÁP CHUỖI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN GVHD: TS LÊ HẢI TRUNG SVTH: NGUYỄN THỊ BÍCH TRÂM LỚP: 13CTUD KHOA: TOÁN Đà Nẵng, tháng05 năm 2017 Phương pháp chuỗi giải phương trình vi phân LỜI CẢM ƠN Sau thời gian học tập nghiên cứu trường Đại học Sư Phạm – Đại học Đà Nẵng với kiến thức tiếp thu từ quý thầy cô, đặc biệt từ q thầy Khoa Tốn giúp em cảm thấy có nhiều động lực để thực luận văn tốt nghiệp Em xin gởi lời cảm ơn đến thầy Khoa Tốn, xin gửi lời cảm ơn sâu sắc chân thành đến thầy giáo TS Lê Hải Trung – người tận tình giúp đỡ, động viên có gợi ý để em hồn thành khóa luận tốt nghiệp Em xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè tạo điều kiện giúp đỡ em thời gian qua Vì thời gian kiến thức cịn hạn chế nên thân cố gắng luận văn cịn nhiều thiếu sót Mong nhận ý kiến đóng góp quý báu từ quý Thầy cô bạn Sinh viên thực NGUYỄN THỊ BÍCH TRÂM Phương pháp chuỗi giải phương trình vi phân MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN .1 PHẦN MỞ ĐẦU LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU .3 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU .3 CÁC BƯỚC THỰC HIỆN PHẠM VI NGHIÊN CỨU NỘI DUNG LUẬN VĂN CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Chuỗi lũy thừa 1.2 Khai triển hàm số thành chuỗi lũy thừa 1.3 Một vài khai triển 1.4 Một vài khái niệm phương trình vi phân 1.5 Giải phương trình vi phân tuyến tính cấp hai 1.6 Giải phương trình vi phân tuyến tính cấp hai khơng 10 1.7 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số .11 1.8 Phương trình Cauchy-Euler 13 CHƯƠNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP CHUỖI 14 2.1 Phương pháp chuỗi lũy thừa 14 2.1.1 Điều kiện tồn nghệm dạng chuỗi 20 2.1.2 Cách tìm nghiệm dạng chuỗi lũy thừa phương trình vi phân tuyến tính 20 2.2 Phương pháp Frobenius 25 2.2.1 Lý thuyết phương pháp Frobenius .26 2.2.2 Phương trình vi phân có điểm kỳ dị quy 30 PHẦN KẾT LUẬN 37 TÀI LIỆU THAM KHẢO 38 Phương pháp chuỗi giải phương trình vi phân PHẦN MỞ ĐẦU LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Ngày với chuyên ngành khác Toán học ngành Toán Giải tích có biến đổi mạnh mẽ thu nhiều thành tựu vang dội Trong đó, lĩnh vực phương trình vi phân khơng ngừng phát triển có nhiều ứng dụng thực tiễn Vì thế, nhà tốn học nghiên cứu nhiều phương pháp để giải phương trình vi phân xây dựng hệ nghiệm sở, phương pháp Lagrange, phép biến đổi Fourier, phép biến đổi Laplace hay ứng dụng tin học để giải Trong số đó, phương pháp vận dụng chuỗi để giải phương trình vi phân phương pháp hay có nhiều ứng dụng toán xây dựng, động học, nhiệt học… Dưới gợi ý hướng dẫn thầy giáo TS Lê Hải Trung em mạnh dạn lựa chọn đề tài “Phương pháp chuỗi giải phương trình vi phân” cho luận văn tốt nghiệp MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Đề tài “Phương pháp chuỗi giải phương trình vi phân” nhằm mục đích tìm hiểu nghiên cứu việc xây dựng nghiệm phương trình vi phân dạng chuỗi số, thơng thường chuỗi lũy thừa, qua sử dụng tính hội tụ chuỗi nhận để viết nghiệm dạng hàm giải tích PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Các kiến thức sử dụng luận văn liên quan đến lĩnh vực sau đây: Giải tích, Lý thuyết phương trình vi phân, Đại số tuyến tính… CÁC BƯỚC THỰC HIỆN  Nhận đề tài  Sưu tầm tài liệu liên quan đến đề tài  Lập đề cương chi tiết  Nghiên cứu, khai thác, phân tích đề tài  Thực đề tài  Trình bày thơng qua GVHD  Chỉnh sửa hoàn chỉnh luận văn Phương pháp chuỗi giải phương trình vi phân  Báo cáo luận văn PHẠM VI NGHIÊN CỨU Trong luận văn trình bày việc xây dựng nghiệm chuỗi phương trình vi phân cấp một, phương trình vi phân cấp hai sở phương pháp chuỗi lũy thừa phương pháp Frobenius NỘI DUNG LUẬN VĂN Luận văn chia làm hai chương sau: Chương Kiến thức Chương chủ yếu trình bày khái niệm định lý chuỗi lũy thừa phương trình vi phân làm tảng cho chương sau Chương Giải phương trình vi phân phương pháp chuỗi Chương trình bày vấn đề phương pháp chuỗi lũy thừa, phương pháp Frobenius Đây nội dung luận văn Phương pháp chuỗi giải phương trình vi phân CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Chuỗi lũy thừa Định nghĩa 1.1 (xem [3]) Chuỗi lũy thừa theo x  xo (hoặc chuỗi luỹ thừa tâm x0 ) chuỗi hàm có dạng:   an  x  x0  n 0 n  a0  a1  x  x0   a2  x  x0   (1.1) an ( n  0,1, 2, ) số gọi hệ số chuỗi Đặc biệt, x0  ta chuỗi :   an x n (1.2) n 0 gọi chuỗi MacLaurin Định nghĩa 1.2 (xem [3]) Chuỗi (1.1) gọi hội tụ điểm   an (x  x n 0 x chuỗi số ) n hội tụ Nhận xét 1.1 Chuỗi (1.1) hội tụ x  x0 Định nghĩa 1.3 (xem [3]) Tập hợp tất điểm x chuỗi lũy thừa hội tụ khoảng có tâm x  x0 Khoảng gọi khoảng hội tụ chuỗi lũy thừa Nhận xét 1.2 Đối với chuỗi luỹ thừa   an ( x  x0 )n có khả sau n 0 xảy ra: (i) Chuỗi hội tụ x  x0 (ii) Chuỗi hội tụ với x  x0  R, x0  R    x0  R, x0  R  (iii) Chuỗi hội tụ khoảng tâm x0 :   x0  R, x0  R   x  R, x  R   Số R trường hợp (iii) gọi bán kính hội tụ chuỗi lũy thừa Trong trường hợp (i) ta nói R  , trường hợp (ii) ta nói R   Phương pháp chuỗi giải phương trình vi phân Định lý sau cho phép ta xác định bán kính hội tụ chuỗi lũy thừa Định lý 1.1 (xem [4]) Nếu lim an1 n an   , ( lim an   ) n n (1.3) 1   ,    ,  R   0,   ,  ,     Ta xét chuỗi lũy thừa với x0  , tức chuỗi có dạng:  a x n n 0 n  a0  a1 x  a2 x   Mỗi chuỗi lũy thừa xác định hàm số khoảng hội tụ   n Tính chất 1.1 Giả sử f ( x)   an x g ( x )   bn x Khi n n 0 n 0  f ( x)  g ( x)   (an  bn ) x n n 0 Tính chất 1.2 Với c số n số nguyên, ta có:   n 0 n 0 cx m  an x n   can x n m  n Tính chất 1.3 Nếu f ( x)   an x với R  x  R n 0  f ( x)   nan x n1  a1  2a2 x  với R  x  R n 1 Bằng cách lặp lại tính chất , ta được: f (k )  ( x)   n  n  1 n    n  k  1 an x nk nk 1.2 Khai triển hàm số thành chuỗi lũy thừa Nếu chuỗi lũy thừa   a x  x  n 0 n n có bán kính hội tụ R  tổng chuỗi xác định số f ( x)  x0  R, x0  R  Khi đó, f ( x) gọi Phương pháp chuỗi giải phương trình vi phân khai triển thành chuỗi lũy thừa Nhận xét 1.3 Giả sử chuỗi  f  x    a n  x  x0   a0  a1  x  x0   a  x  x0    n (1.4) n 0 hội tụ f x với x0  R  x  x0  R, R  Khi đó: f  k   x0  ak  với k  0, 1, 2, 3, k! * Nếu f x có đạo hàm cấp x  x0 chuỗi   n 0 f n   x0  x  x0  n! n (1.5) gọi chuỗi Taylor f theo lũy thừa x  x0  Định lý 1.3 (xem [3]) (Điều kiện khai triển thành chuỗi Taylor) Giả sử f x khả vi vô hạn lần tồn C : n f    x   C ,  x   xo  R, x0  R  Khi đó, ta có: f  x   n f    x0  n 0 n!     x  x0  , x  x0  R, x0  R n Định nghĩa 1.4 (xem [1]) Một hàm số f x giải tích x  x0 f x tổng chuỗi lũy thừa theo lũy thừa  x  x0  chuỗi có bán kính hội tụ R  Nếu f giải tích điểm khoảng mở I f nói giải tích khoảng I 1.3 Một vài khai triển Sau khai triển số hàm sơ cấp đơn giản thông dụng: x x2 xn e  1     , x  R 1! 2! n! x ch x  e x  ex x2 x4  1   2! 4! Phương pháp chuỗi giải phương trình vi phân sh x  e x  ex x3 x5 1   3! 5! cos x   sin x  x  2n x2 x4 n x     1  , x  R 2n! 2! 4! x3 x5 x n1 n     1  , x  R 2n  1! 3! 5! n x2 n 1 x ln1  x   x     1  , x   1,1 n 1  x    x     1 x      1   n  1 x n  , x   1,1 2! n! 1.4 Một vài khái niệm phương trình vi phân Định nghĩa 1.5 (xem [3]) Phương trình vi phân biểu thức liên hệ biến độc lập, biến phụ thuộc-hàm phải tìm đạo hàm Phương trình vi phân có dạng:   F x, y, y, y,, y m   (1.6) y  yx  hàm cần tìm có đạo hàm (đến cấp đó) ẩn y Cấp phương trình vi phân cấp lớn đạo hàm có mặt phương trình Nghiệm phương trình vi phân hàm thay vào thỏa phương trình Định nghĩa 1.6 (xem [3]) Phương trình vi phân cấp phương trình có dạng: F x, y, y  (1.7) Hay y  f x, y  (1.8) Định lý 1.4 (xem [3]) (Định lý tồn nghiệm) Cho phương trình: y  f  x, y  Giả sử hàm f ( x, y) , f ( x, y) liên tục hình chữ nhật D(a  x  b, c  y  d ) ( ( x0 , y0 ) điểm D Khi đó, tồn nghiệm y x  (1.8) xác định liên tục khoảng  x0   , x0    (   ) cho y0  y x0  Định nghĩa 1.7 (xem [3]) Nghiệm phương trình vi phân (1.8) hàm y  f x  thay vào thỏa (1.8) Phương pháp chuỗi giải phương trình vi phân Định nghĩa 1.8 (xem [3]) Nghiệm tổng quát (1.8) hàm y   x, C  thỏa (1.8) với số C Định nghĩa 1.9 (xem [3]) Nghiệm riêng (1.8) nghiệm y   x,C0  thỏa điều kiện ban đầu y0  y x0  Nghiệm riêng thu từ nghiệm tổng quát cách cho C  C0 Bài tốn tìm nghiệm riêng gọi Bài toán Cauchy Định nghĩa 1.10 (xem [3]) Phương trình vi phân tuyến tính cấp phương trình có dạng y  a1 x y  a2 x y  f x (1.9) a1 x, a2 x , f x hàm biến độc lập x Nếu f x  (1.9) trở thành y  a1 x y  a2 x y  (1.10) gọi phương trình vi phân tuyến tính tương ứng với (1.9) Nếu f x   (1.9) gọi phương trình vi phân tuyến tính cấp hai khơng 1.5 Giải phương trình vi phân tuyến tính cấp hai  Tìm nghiệm riêng y1 x   Tìm nghiệm riêng y2  x  độc lập tuyến tính với y1 x  bởi: y2  y1    a  x dx e  dx y12 Khi đó, nghiệm tổng quát (1.11) là: yTQ  C1 y1  C2 y2 với C1 , C2 số Chú ý 1.1 Công thức cho nghiệm y2 ( x) tìm từ phương pháp sau: Xét phương trình vi phân tuyến tính cấp hai: y  px y  qx y  khoảng mở I mà hàm px  qx  hàm số liên tục Giả sử ta biết nghiệm y1 x  phương trình Ta tìm nghiệm y2 x  , cho y2 x  y1 x  tạo thành hệ nghiệm độc lập tuyến tính Phương pháp chuỗi giải phương trình vi phân c6   l  4l  5 c 5.6   1 24 l  4l  2l  l  1l  3l  5 c 1.2.3.4.5.6  c m   1 l  2m  2 l  2l  l  1l  3 l  2m  1 c , 2m ! m m  1, 2, 3,  Tương tự: c m 1   1 m l  2m  1 l  3l  1 l  2l  4 l  2m  c , 2m  1! m  1, 2, 3,  Vậy nghiệm phương trình Legendre: y ( x)  c0 y1 ( x)  c1 y2 ( x)   m l  m   l  l   l  1l  3 l  2m  1 m  y  x   c0 1    1 x   2m !  m 1    m l  2m  1 l  3l  1  l  l   l  2n  m 1    c1  x    1 x 2m  1! m 1   Ví dụ 2.5 Tìm nghiệm dạng chuỗi lũy thừa x  phương trình sau: 1  x y   xy   y  Giả sử nghiệm phương trình có dạng:  yx    cn x n n 0 Khi đó, đạo hàm  y x    c n nx n 1 , n 0  y x    c n nn  1x n  n 0 Thế y, y, y vào phương trình cho, ta được:   x2     n 0 n 0 n 0  cn n  n  1 x n2  x  cnnx n1  2 cn x n      n 0 n 0 n 0 n 0   cn n  n  1 x n2   cn n  n  1 x n   cn nx n   cn x n      n2 n 0 n 0 n 0   c n nn  1x n    c n nn  1x n  2 c n nx n  2 c n x n      n 0 n 0 n 0 n 0   cn  n   n  1 x n   cn n  n  1 x n   cn nx n   cn x n  Phương pháp chuỗi giải phương trình vi phân 25 hay:   n  2n  1c n 0 Từ đó, ta được:  cn  n2  nn  1c n  2c n x n   n  2 n  1 cn2  n  n  1 cn  2cn  0, n  0, 1, 2, n  n  1  c , n  0, 1, 2,  n   n  1 n Nên: 1 c2  c0 , c3  , c4  c2   c0 , c5  c3  , c6  c4   c0 , c7  c5  , 3 c8  c6   c0 ,… 7 Ta thấy: c2 m   c0 c2 m1  với m  0, 1, 2,  2m  Vậy nghiệm phương trình cho:   2m  y  c0    x 2m   m 0  Khơng có điều kiện cho c0 nên c0 số tùy ý 2.2 Phương pháp Frobenius Phương pháp chuỗi lũy thừa giải lớp phương trình vi phân với  nghiệm có dạng: y  x    cn x  x0 n giới thiệu phần trước Đối n 0 với phương trình như: xy   y   y  với nghiệm tổng quát yx  Acos x  B sin x i i     1 i  1 i 1 / x  a1  x hay y x   a0  i 0 2i ! i 0 2i  1!  A, B, a0 , a1 số tùy ý, số mũ tổng thứ hai phân số nên phương pháp chuỗi lũy thừa khơng thể áp dụng với phương trình Định nghĩa 2.5 (xem [1]) Phương pháp Frobenius phương pháp để giải lớp phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hàm số, nhiên phương pháp Frobenius áp dụng cho nhiều phương trình mà phương pháp chuỗi lũy thừa Phương pháp chuỗi giải phương trình vi phân 26 không làm Phương pháp Frobenius mở rộng phương pháp chuỗi lũy thừa bao gồm số mũ phân số số âm nên phương pháp có tầm quan trọng ứng dụng nhiều Phương pháp Frobenius phương pháp xác định nghiệm có dạng y  x    x  x0  s   c x  x  n n n 0 s số Chuỗi có dạng gọi chuỗi Frobenius Sau đây, ta nghiên cứu lớp phương trình vi phân áp dụng phương pháp Frebenius để giải 2.2.1 Lý thuyết phương pháp Frobenius Phương trình vi phân có điểm kỳ dị * Đặt vấn đề: - Xét phương trình vi phân tuyến tuyến tính: x y   y  (2.2) Vấn đề tìm nghiệm dạng chuỗi lũy thừa quanh x  phương trình Thay yx  c0  c1 x  c2 x  c3 x3  c4 x , yx  2c2  6c3 x  12c4 x  vào phương trình, ta được:     x 2c2  6c3 x  12c4 x   c0  c1 x  c2 x  c3 x  c4 x    2c0  2c1 x  4c3 x3  10c4 x   Một chuỗi lũy thừa đồng không tất hệ số khơng, nghĩa c0  c1  c3  c4    Vì khơng có điều kiện cho c2 nên c x nghiệm với c2 số tùy ý Nhưng ta khơng tìm nghiệm thứ hai theo phương pháp - Ta xét tiếp phương trình sau: x y   y  Áp dụng phương pháp chuỗi luỹ thừa để tìm nghiệm dạng chuỗi lũy thừa quanh x  Ta thấy tất hệ số chuỗi  c n 0 n x n không Phương pháp chuỗi giải phương trình vi phân 27 Cả hai phương trình nêu khơng thỏa giả thiết định lý tồn nghiệm dạng chuỗi luỹ thừa: Ở phương trình đầu q x    q  x    phương trình x2 khơng hàm giải tích x  4x Định nghĩa 2.6 (xem [2]) Nếu hai hàm số p( x), q( x) phương trình y  p( x) y  q( x) y  giải tích x = x0 điểm x = x0 gọi điểm quy phương trình * Điểm quy x  x0 phương trình h( x) y  p  x  y  q  x  y  điểm mà h  x  , p  x  , q  x  giải tích h  x0   * Một điểm khơng điểm quy gọi điểm kỳ dị phương trình * Nếu x0 điểm quy phương trình phương pháp chuỗi luỹ thừa cho nghiệm dạng chuỗi theo luỹ thừa x  x0 Tuy nhiên, x0 điểm kỳ dị phương pháp chuỗi luỹ thừa không áp dụng * Hai phương trình phương trình Cauchy-Euler có dạng: b2 x y   b1 xy   b0 y  có nghiệm là: C1 x  C x 1 C1 x /  C x 1 / Chỉ bốn hàm nghiệm tổng quát chuỗi lũy thừa x  Điều giải thích ta khơng tìm nghiệm tổng qt phương trình dạng:  c n 0 n x n Tuy nhiên, tất nghiệm có dạng lũy thừa x Ta giả sử nghiệm có dạng chuỗi lũy thừa nhân với lũy thừa x , tức dạng:  y x   x s  cn x n n 0 s số khơng thiết số nguyên Để dễ dàng lấy đạo hàm, ta viết:   n 0 n 0 y  x   x s  c n x n   cn x s  n  c0 x s  c1 x s 1  c2 x s    yx  c0 ss 1x s2  c1 s  1sx s1  c2 s  2s  1x s   Thế y, y  vào phương trình x y  y  , ta được: (2.3) Phương pháp chuỗi giải phương trình vi phân   2c x 28  x c0 ss 1x s2  c1 s  1sx s1  c2 s  2s  1x s  c3 s  3s  2x s1    s   c1 x s 1  c2 x s 2  c3 x s 3    hay ss  1  2c0 x s  s  1s  2c1 x s1  s  2s  1  2c2 x s2  s  3s  2  2c3 x s3    Từ ta được: ss  1  2c0  s  1s  2c1  s  2s  1  2c2  s  3s  2  2c3  (2.4)  Vì c0  , phương trình đầu cho ta: ss  1     s   s  1  (2.5) Ta được: s  s  1 Hai giá trị nhận s dẫn đến nghiệm tổng quát phương trình cho C1 x  C2 x 1 ○ Với s  , kết hợp với (2.4) ta được: c1  c3  c4    Khi đó, (2.4) trở thành c0 x c0 số tùy ý Nên C1 y1 x  với y1  x   x nghiệm (2.2) ○ Với s  1 , kết hợp (2.4) ta được: c1  c3  c4    Khi đó, (2.3) trở thành c0 x 1 c0 số tùy ý Nên C2 y2 x với y2  x   x 1 nghiệm thứ hai (2.2) Vì y1 x  y2  x  hai nghiệm độc lập tuyến tính nên nghiệm tổng quát x y  y  là: C1 y1 x   C y  C1 x  C x 1 Định nghĩa 2.7 (xem [1]) Giả sử x  x0 điểm kỳ dị phương trình vi phân a2  x  y  a1  x  y  a0  x  y   Sau thay y  x    x  x0 s  cn  x  x0 n vào phương trình này, xếp lũy n 0 thừa x  x0 cho hệ số lũy thừa thấp x  x0 phương Phương pháp chuỗi giải phương trình vi phân 29 trình nhận được gọi phương trình định phương trình bậc hai theo x * Phương pháp Frobenius Xét phương trình: a2  x  y  a1  x  y  a0  x  y  có điểm kỳ dị x  x0 , a2 x, a1 x, a0  x  đa thức x Để giải phương trình ta thực bước sau: Giả sử nghiệm phương trình có dạng: y  x    x  x0  s    c x  x    c x  x  n n n 0 n 0 sn n  c0  x  x0   c1  x  x0  s 1 s  c  x  x0  s2 c0  Tính đạo hàm y , y  y, y, y vào phương trình cho, xếp lại theo lũy thừa x  x0 Cho hệ số lũy thừa x  x0 không Xác định phương trình định Giải phương trình định Ứng với nghiệm s suy hệ số cn để tìm hai nghiệm độc lập tuyến tính y1  x  y2  x  phương trình cho Kết luận nghiệm tổng quát có dạng: yx   C1 y1 x   C2 y2 x  Áp dụng Xét phương trình: x y   y  (2.6) Phương trình có điểm kỳ dị x  Ta áp dụng phương pháp Frobenius để giải phương trình Giả sử nghiệm cần tìm có dạng:   n 0 n 0 y  x   x s  c n x n   c n x s  n  c0 x s  c1 x s 1  c x s    , c0   Khi đó: yx  c0 ss  1x s2  c1 s  1sxs1  c2 s  2s  1x s   Thế y, y  vào phương trình (2.6) ta được:  Phương pháp chuỗi giải phương trình vi phân  30  4x c0 ss  1x s2  c1 s  1sxs1  c2 s  2s  1x s  c3 s  3s  2x s1    3[c0 x s  c1x s 1 c2 x s   c3 x s 3  ]    4s  s  1  3 c0 x s    s  1 s  3 c1x s 1    s   s  1  3 c2 x s     s  3 s    3 c3 x s 3   Cho hệ số không: 4ss  1  3c0  4s  1s  3c1  (2.7) 4s  2s  1  3c2  4s  3s  2  3c3   Phương trình định: 4ss  1    4s  4s    s   s    ○ Với s  , kết hợp với (2.7) ta được: c1  c2  c3    Khi đó, (2.3) trở thành c0 x / c0 số tùy ý Nên C1 y1 x  với y1  x   x / nghiệm (2.6) ○ Với s   , kết hợp (2.7) ta được: c1  c2  c3    Khi đó, (2.6) trở thành c0 x 1 / c0 số tùy ý Nên C2 y2 x với y2  x   x 1/ nghiệm thứ hai (2.6) Vì y1 x  y2  x  hai nghiệm độc lập tuyến tính nên nghiệm tổng quát (2.6): C1 y1 x   C y  C1 x /  C x 1 / 2.2.2 Phương trình vi phân có điểm kỳ dị quy Đặt vấn đề: Phương pháp chuỗi giải phương trình vi phân 31 Xét phương trình: x y  x y  y  (2.8) có điểm kỳ dị x  Nếu dùng phương pháp đề cập để giải phương trình ta có:   x c0 ss  1x s2  c1 s  1sxs1  c2 s  2s  1x s  c3 s  3s  2x s1       x3 c0 sxs1  c1 s  1x s  c2 s  2x s1       c0 x s  c1 x s 1  c2 x s2  c3 x s3     c0 x s  c1x s 1  c0 s  s  1  2c0 s  c2  x s    Nhận xét: hệ số lũy thừa thấp x không phụ thuộc vào s cho hệ số không, ta phải có: c0  Nhưng c0  , nên phương trình (2.8)  khơng có nghiệm dạng: y  x   x s  cn x n n 0 Vậy phương pháp Frobenius giải phương trình (2.2) (2.6) khơng giải phương trình (2.8) Ta biết rằng, y1  x  y2  x  hai nghiệm độc lập tuyến tính phương trình: y  px  y  qx  y  Thì p x    y  y   y y  y1 y2  y1y2 qx   2 y1 y2  y1 y2 y1 y 2  y1 y  Vậy nghiệm phương trình có dạng y  x   x s  cn x n là: n 0   n 0 n 0 y1  x   x s1  c n x n y  x   x s2  c n x n thì: p x   a1  a0  a1 x   x q x   b2 b1   b0  b1 x   x2 x Điều đòi hỏi xp x  x q  x  phải giải tích x  Vì vậy, điểm kỳ dị chia thành hai loại: Một loại gọi quy xp x  x q  x  giải tích x  , trường hợp khác gọi không quy Phương pháp chuỗi giải phương trình vi phân 32 Định nghĩa 2.8 (xem [3]) Xét phương trình vi phân dạng y  p  x  y  q  x  y  có x  x0 điểm kỳ dị.Nếu hàm  x  x0  p x   x  x0 2 q x  giải tích x  x0 x0 gọi điểm kỳ dị quy Ví dụ 2.6 Chứng minh x  0, x  điểm kỳ dị quy phương trình x  1y  y  y  x Chia hai vế phương trình cho x 1 , ta được: y   y  y  xx  1 x 1 Ta có: p  x   , q  x   x  x  1 x 1 Ta thấy x  0, x  điểm kỳ dị phương trình cho * Trước hết, ta chứng minh x  điểm kỳ dị quy phương trình cho Từ kết trên, ta có: x2 xp  x   , x q  x   x 1  x  1 Đây hàm giải tích x  Thật vậy:     1 x  x2  , x 1  2x  2x  x  x  , x 1 x  Nên x  điểm kỳ dị quy phương trình cho * Ta chứng minh x  điểm kỳ dị quy phương trình cho Ta có:  x  1 p  x   , x  x  1 q  x   2  x  1 Đây hàm giải tích x  Thật vậy: Các chuỗi Taylor hàm là:  x 1  x 12  x 13    2x 1 Do đó, x  điểm kỳ dị quy phương trình cho Định nghĩa 2.9 (xem [3]) Điểm kỳ dị x  x0 phương trình Phương pháp chuỗi giải phương trình vi phân 33 y  p  x  y  q  x  y  khơng điểm kỳ dị quy gọi điểm kỳ dị khơng quy Ví dụ 2.7 Chứng minh x  0, x  điểm kỳ dị khơng quy phương trình x  12 y   y   y  x2 Chia hai vế phương trình cho  x  12 , ta được: y   Ta có: p  x   x  x  1 2 y  y  x  12 x  x  1 , q  x   x  1 Ta thấy x  0, x  điểm kỳ dị phương trình cho Trước hết, ta chứng minh x  điểm kỳ dị khơng quy phương trình cho Từ kết trên, ta có: xp  x   x  x  1 Đây hàm khơng giải tích x  Nên x  điểm kỳ dị khơng quy phương trình cho Ta chứng minh x  điểm kỳ dị khơng quy phương trình cho Ta có:  x  1 p  x   x  x  1 Đây hàm không giải tích x  Nên x  điểm kỳ dị khơng quy phương trình cho Định lý 2.2 (xem [3]) Xét phương trình vi phân có dạng: y  pxy  qx  đó, x0 điểm kỳ dị quy, R bán kính hội tụ nhỏ hai hàm x  x0  px  x  x0 2 qx  , s nghiệm lớn phương trình định Khi đó, phương trình có nghiệm dạng y  x    x  x0  s   c x  x  n 0 n n Phương pháp chuỗi giải phương trình vi phân 34 nghiệm hội tụ khoảng  x  x0  R Chú ý 2.3 Nếu phương trình định có hai nghiệm s1 , s2 ( s1  s2 ) theo định lý  với s  s1 y x    x  x0 s  cn  x  x0 n chắn nghiệm phương n 0 trình vi phân  Đơi nghiệm cịn lại có từ s2 nghiệm thứ hai độc lập tuyến tính với nghiệm y(x) Định lý 2.3 (xem [3]) Nếu x0 điểm kỳ dị quy phương trình vi phân tuyến tính cấp hai a2 x  y  a1 x  y  a0 x  y  thay y  x  x0 s vào phương trình ta nhận phương trình định cách cho hệ số lũy thừa thấp x  x0 khơng Ví dụ 2.8 Tìm nghiệm phương trình định liên kết với nghiệm chuỗi phương trình: xy   y   xy  Phương trình cho có x = điểm kỳ dị quy Để tìm phương trình định ta thay y  x s vào phương trình cho, ta được: xss  1x s 2  6sx s 1  xx s  2ss  1  6s x s 1  x s 1 Vì lũy thừa thấp x x s 1 nên ta phương trình định là: 2ss  1  6s   2s  4s  Phương trình có hai nghiệm s1  0, s2   Ứng với nghiệm lớn phương trình định s1  ta nghiệm dạng chuỗi quanh x  phương trình vi phân cho Định lý 2.4 (xem [1]) Xét phương trình vi phân tuyến tính cấp hai a1 x  y   a1 x  y  a0 x   với x  điểm kỳ dị quy, s1 , s2 hai nghiệm phương trình định, s1  s2 Trong trường hợp, ta ln có nghiệm Phương pháp chuỗi giải phương trình vi phân 35  y1  x   x s1  cn x n n 0 Nghiệm lại y2 x  xác định sau: (a) Nếu s1  s2 khơng số ngun  y  x   x s2  c n x n (2.9) n 0 (b) Nếu s1  s2  y  x   y1  x  ln x  x s1  cn x n (2.10) n 0 (c) Nếu s1  s2 số nguyên    y  x   Cy1  x ln x  x s2 1   cn x n   n1  (2.11) đó, C số C có khơng hay khơng phụ thuộc vào phương trình vi phân cho Chú ý 2.4 Nếu x0 điểm kỳ dị quy, ta dùng biến đổi X  x  x0 Khi phương trình vi phân nhận nhận X  điểm kỳ dị quy Để tìm nghiệm chuỗi phương trình a2 x  y   a1 x  y   a0 x  y  (2.12)  có dạng x s  cn x n đó, x  điểm kỳ dị quy, ta làm bước sau: n 0 i) Kiểm tra x  điểm kỳ dị quy phương trình ii) Xác dịnh phương trình định tìm nghiệm s1, s2 phương trình iii) Xác định hệ thức truy hồi cách chuỗi x s  c x n 0 n n vào phương trình (2.19) cho hệ số lũy thừa x không iv) Sử dụng hệ thức truy hồi để tìm cơng thức tổng quát cho cn Từ suy nghiệm thứ phương trình (2.12) y1 x  v) Tìm nghiệm thứ hai theo trường hợp: Phương pháp chuỗi giải phương trình vi phân 36 (a) Nếu s1  s2 không số nguyên giả sử nghiệm có dạng (2.16) sau thực bước 3, bước 4, sử dụng (2.9) thay cho  x s1  cn x n s2 thay cho s1 n 0 (b) Nếu s1  s2 giả sử nghiệm có dạng (2.10) sau thực bước 3, sử dụng (2.10) thay cho x s1   cn x n n 0 (c) Nếu s1  s2 số ngun giả sử nghiệm có dạng (2.11) sau thực bước 3, 4, sử dụng (2.11) thay cho x s1   cn x n n 0 Phương pháp chuỗi giải phương trình vi phân 37 PHẦN KẾT LUẬN Luận văn trình bày phương pháp chuỗi lũy thừa phương pháp Frobenius vận dụng phương pháp vào giải số lớp phương trình vi phân Tuy nhiên đề tài dừng lại mức độ giới thiệu mô tả hai phương pháp, đưa khái niệm, định lý, trọng vào kỹ thuật, không sâu vào việc chứng minh định lý có liên quan… Vì khn khổ luận văn có giới hạn nên đề tài chưa nghiên cứu đến việc vận dụng chuỗi Fourier để giải lớp phương trình vi phân khác, Nếu có điều kiện em tiếp tục nghiên cứu việc ứng dụng chuỗi Fourier để giải lớp phương trình vi phân có nghiệm tuần hồn Trong q trình thực đề tài, thân có nhiều cố gắng khơng tránh khỏi sai lầm thiếu sót Kính mong q thầy đóng góp ý kiến để đề tài hồn thiện Sinh viên thực NGUYỄN THỊ BÍCH TRÂM Phương pháp chuỗi giải phương trình vi phân 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Alex Himonas, Alan Howard, Calculus- Ideas and Application, John Willey & Sons, Inc [2] James Steward, McMaster University, Calculus, Brooks/ Cole Publishing Company [3] Nguyễn Đình Phư, Phương trình vi phân, Nhà xuất Đại học Quốc gia Tp HCM, 2002 [4] Nguyễn Hữu Khánh, Vi tích phân A2, Đại học Cần Thơ, 1999 [5] N.Piskunov, English Translation, Differential and Integral Calculus II, Mir Publisher 1981 [6] Phan Tuấn Kiệt, Về nghiệm dạng chuỗi phương trình vi phân, Luận văn Thạc sĩ Toán học, 2007 ... n 0 Phương pháp chuỗi giải phương trình vi phân 37 PHẦN KẾT LUẬN Luận văn trình bày phương pháp chuỗi lũy thừa phương pháp Frobenius vận dụng phương pháp vào giải số lớp phương trình vi phân. .. nhiên phương pháp Frobenius áp dụng cho nhiều phương trình mà phương pháp chuỗi lũy thừa Phương pháp chuỗi giải phương trình vi phân 26 khơng làm Phương pháp Frobenius mở rộng phương pháp chuỗi. .. thừa phương pháp để giải phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hàm số Ý tưởng phương pháp chuỗi lũy thừa cho vi? ??c giải phương trình vi phân đơn giản tự nhiên Phương pháp cho nghiệm phương trình