tài liệu gồm lý thuyết và bài tập về chương tích phân kép giải tích 2 dành cho các bạn sinh viên đại hoc, cao đẳng, tài liệu được biên soạn dễ hiểu.
Chương 2: TÍCH PHÂN BỘI 2.1 Tích phân phụ thuộc tham số 2.1.1 Tích phân xác định phụ thuộc tham số a) ĐN: Cho hàm số f(x,y) xác định hình chữ nhật [a,b]x[c,d] thỏa mãn f(x,y) khả tích theo biến x [a,b] với 𝑦 ∈ [𝑐, 𝑑] Khi đó, hàm số 𝑏 𝑔 𝑦 ≔ 𝑎 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 Được gọi hàm tích phân phụ thuộc vào tham số y Hàm số g(y) xác định có tính chất sau: b) Tính chất: TC1: (Tính chất liên tục) Nếu hàm f(x,y) liên tục hình chữ nhật [a,b]x[c,d] , hàm số g(y) liên tục đoạn [c,d] Chú ý 2.2 Nếu hàm f(x,y) liên tục hình chữ nhật a, b c, d , hàm số y , y liên tục c, d a y b, a y b, y c, d Thì hàm số g y : y f x, y dx liên tục đoạn [c,d] y Ví dụ 2.3 Cho hàm số f(x) liên tục [0,1] Chứng minh y2 f x g y : dx x y liên tục 0, Bài giải: Giả sử y0 , tồn số c,d cho c y0 d Ký hiệu D : 0,1 c, d Theo giả thiết f(x) liên tục [0,1], nên hàm dấu tích y2 f x phân liên tục D Theo định lý 2.1, hàm g(y)liên tục [c,d], nên x y hàm g(y) liên tục y0 Vậy g(y) liên tục khoảng 0, TC2: (Tính chất khả vi) Cho hàm số f(x,y) liên tục theo biến x [a,b] với y∈ [𝑐, 𝑑] đạo hàm riêng 𝑓𝑦′ (𝑥, 𝑦) liên tục hình chữ nhật D = [a,b]x[c,d] Khi 𝑏 𝑏 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 ⟹ 𝑔′ 𝑦 = 𝑔 𝑦 ≔ 𝑎 𝑓𝑦′ 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 𝑎 Chú ý 2.5 Nếu hàm f(x,y) có đạo hàm riêng 𝑓𝑦′ (𝑥, 𝑦) liên tục hình chữ nhật D = [a,b]x[c,d] , hàm số 𝛼 𝑥, 𝑦 , 𝛽(𝑥, 𝑦) khả vi [c,d]và a ≤ 𝑎 𝑦 ≤ 𝑏; a ≤ 𝛽 𝑦 ≤ 𝑏; ∀𝑦 ∈ [𝑐, 𝑑] Thì hàm số 𝑔 𝑦 ≔ 𝛽(𝑦) 𝑓 𝛼(𝑦) 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 Khả vi đoạn [c,d] 𝛽(𝑦) 𝑔′ 𝑦 ≔ 𝑓𝑦′ 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑓 𝛽 𝑦 , 𝑦 𝛽 ′ 𝑦 − 𝑓 𝛼 𝑦 , 𝑦 𝛼 ′ 𝑦 𝛼(𝑦 VD: Tìm đạo hàm hàm số 𝜋 𝑔 𝑦 = ln 𝑦 − 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 𝑑𝑥 (𝑦 > 1) Giải: (HV đọc tài liệu trang 44) TC3: Nếu hàm f(x,y) liên tục miền D = [a,b]x[c,d] 𝒅 𝒃 (𝒂𝒇 𝒄 𝒙, 𝒚 𝒅𝒙)𝒅𝒚 = 𝒃 𝒅 ( 𝒇 𝒂 𝒄 𝒙, 𝒚 𝒅𝒚)𝒅𝒙 (Đây công thức đổi thứ tự tích phân TP kép) 2.1.2 Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số (HV đọc tài liệu trang 45 – 50) 2.2.Tích phân kép 2.2.1 Định nghĩa Cho h/s z=f(x,y) xác định miền đóng bị chặn 𝐷 ⊂ 𝑅 - Chia miền D tùy ý (ký hiệu P) thành n mảnh nhỏ D1, D2, …, Dn có diện tích tương ứng ∆𝐷1 , ∆𝐷2 ,…, ∆𝐷𝑛 - Chọn điểm tùy ý 𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 ∈ 𝐷𝑖 , ∀𝑖 = 1,2, … , 𝑛 Khi đó, tổng 𝜎𝑛 = 𝑛𝑖=1 𝑓(𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 )∆𝐷𝑖 Được gọi tổng tích phân hàm f(x,y) miền D Ta định nghĩa đường kính tập hợp 𝐷𝑖 xác định 𝑑𝑖𝑎𝑚 𝐷𝑖 = 𝑠𝑢𝑝 𝐴𝐵: 𝐴 ∈ 𝐷𝑖 , 𝐵 ∈ 𝐷𝑖 Ký hiệu ∆𝑝 = 𝑚𝑎𝑥 𝑑𝑖𝑎𝑚𝐷1 , 𝑑𝑖𝑎𝑚𝐷2 , … , 𝑑𝑖𝑎𝑚𝐷𝑛 ) Nếu giới hạn 𝐼 = lim 𝜎𝑝 Tồn tại, không phụ thuộc vào ∆𝑝→0 phép chia P phép chọn điểm (xi, yi) I gọi tích phân kép hàm f(x,y) miền D ký hiệu là: 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 D • Một số ý: 1) D gọi miền lấy tích phân, x,y biến tích phân Nếu tích phân tồn tại, ta nói hàm số f(x,y) khả tích miền D 2) Người ta chứng minh rằng, f(x,y) liên tục miền D đóng chị chặn hàm f(x,y) khả tích miền D 2.2.2 Các tính chất Tích phân kép có tính chất tương tự tích phân xác định với giả thiết tích phân tồn • Nếu f(x,y) = 1, 𝐷 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝐷 𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝑆𝐷 diện tích miền D • f x, y ± g x, y dxdy = 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 ± 𝑔 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 • 𝑘𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝑘 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 với k = const • Nếu D chia thành 𝐷1 , 𝐷2 cho 𝑖𝑛𝑡 𝐷1 ∩ 𝐷2 = ∅ 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 + 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 2.2.2 Tính chất: Tích phân kép có tính chất tương tự tích phân xác định với giả thiết tích phân tồn 1) Nếu f(x,y) = 1, f x, y dxdy diện tích miền D D 2) f x, y g x, y dxdy f x, y dxdy g x, y dxdy D D D 3) kf x, y dxdy k f x, y dxdy D với k = const D 4)Nếu D chia thành mảnh nhỏ D1, D2 cho int D1 D2 ,thì 5)Nếu , f x, y dxdy f x, y dxdy f x, y dxdy D f x, y g x , y x , y D D f x, y dxdy g x, y dxdy D D D • (Định lý giá trị trung bình) Nếu f(x,y) liên tục miền D đóng bị chặn có diện tích dt D 0, , tồn điểm x , y D cho f x , y f x, y dxdy dt D D 2.2.3 Cách tính tích phân kép hệ tọa độ đề a) Nếu miền lấy tích phân D hình chữ nhật Định lý Fubini (Xem tài liệu trang 53) Ta có công thức rút từ định lý: Nếu f(x,y) liên tục D = [a,b]x[c,d] thì: 𝒃 𝒇 𝒙, 𝒚 𝒅𝒙𝒅𝒚 = 𝑫 𝒅 𝒅 ( 𝒇 𝒙, 𝒚 𝒅𝒚)𝒅𝒙 = 𝒂 𝒄 𝒃 ( 𝒇 𝒙, 𝒚 𝒅𝒙)𝒅𝒚 𝒄 𝒂 VD1: Tính tích phân 𝐼 = 𝐷 𝑥 𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦 với D = [0,1]x[0,2] Giải: (HV đọc taì liệu trang 54) VD2: Tính tích phân 𝐼 = 𝑑𝑥𝑑𝑦 , 𝐷 (𝑥+𝑦)2 với D = [1,2]2 Giải: (HV tự giải, hv trình bày); kết 𝐼 = 𝑙𝑛 2.3 Tích phân bội ba 2.3.1 Định nghĩa Cho hàm biến số 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) xác định miền khối 𝑉 ⊂ 𝑅 đóng bị chặn - Phân hoạch P khối V thành n khối nhỏ 𝑉1 , 𝑉2, …,𝑉𝑛 Ký hiệu ∆𝑉𝑖 thể tích khối 𝑉𝑖 , 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 - Tron khối ∆𝑉𝑖 lấy điểm tùy ý 𝑀𝑖 𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 , 𝑧𝑖 - Tổng 𝐼𝑛 = 𝑛𝑖=1 𝑓 𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 , 𝑧𝑖 ∆𝑉𝑖 gọi tổng tích phân hàm 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) V - Nếu 𝑛 → ∞ cho 𝑚𝑎𝑥𝑑𝑖 → 0, (𝑑𝑖 đường kính ∆𝑉𝑖 ) mà 𝐼𝑛 → 𝐼 xác định không phụ thuộc cách chia miền V cách lấy điểm 𝑀𝑖 I gọi TP bội hàm 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) miền 𝑉 Ký hiệu: 𝑉 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑉 Chú ý: 1) Nếu hàm số liên tục miền V đóng bị chặn Oxyz, tồn I (hay ta cịn nói hàm khả tích V) 2) Nếu 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) khối lượng riêng vật thể V tích phân bội khối lượng vật thể V 3) Nếu 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑉 𝑑𝑉 = 𝑉 (𝑉 𝑡ℎể 𝑡𝑖𝑐ℎ 𝑚𝑖ề𝑛 𝑉) 4) TP bội có t/c tương tự TP kép 5) Có thể chia V mf // với mf tọa độ, khối nhỏ ∆𝑉𝑖 nói chung hình chữ nhật, 𝑑𝑉 = 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 ta viết 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑉 = 𝑉 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑉 2.3.2 Cách tính tích phân bội hệ tọa độ đề Tương tự tính TP kép, ta đưa TP đơn liên tiếp - Nếu miền V giới hạn mặt 𝑍1 𝑥, 𝑦 , 𝑍2 (𝑥, 𝑦) 𝑍1 𝑥, 𝑦 , 𝑍2 (𝑥, 𝑦) hàm liên tục miền D, với D hình chiếu V lên mf (oxy) Khi đó: 𝑰 = 𝑫 𝒅𝒙𝒅𝒚 𝒛𝟐 (𝒙,𝒚) 𝒇 𝒛𝟏 (𝒙,𝒚) 𝒙, 𝒚, 𝒛 𝒅𝒛 - Nếu 𝐷 = 𝑥, 𝑦 : 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏; 𝑦1 (𝑥) ≤ 𝑦 ≤ 𝑦2 (𝑥) ta có: 𝑰= 𝒃 𝒚𝟐 (𝒙) 𝒛𝟐 (𝒙,𝒚) 𝒅𝒙 𝒚 (𝒙) 𝒅𝒚 𝒛 (𝒙,𝒚) 𝒇 𝒂 𝟏 𝟏 VD1: Tính 𝐼 = 𝒙, 𝒚, 𝒛 𝒅𝒛 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑉 (1+𝑥+𝑦+𝑧)3 V miền giới hạn mf tọa độ mf x + y + z = Giải: GV hướng dẫn h/v giải Giải: ta có 𝑉: ≤ 𝑥 ≤ 1; ≤ 𝑦 ≤ − 𝑥; ≤ 𝑧 ≤ − 𝑥 − 𝑦 ⟹𝐼= 1−𝑥 𝑑𝑥 1−𝑥−𝑦 𝑑𝑦 0 𝑑𝑧 = 𝑙𝑛2 − (1 + 𝑥 + 𝑦 + 𝑧) 16 VD2: Tính 𝐼= 𝑉 2𝑧 + 𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧, 𝑉 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 : ≤ 𝑧 ≤ − 𝑥2 − 𝑦2 Giải: HV đọc tài liệu trang 66 2.3.3 Đổi biến tích phân bội a) Công thức đổi biến: xét TP 𝑉 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 f liên tục V 𝑥 = 𝑥(𝑢, 𝑣, 𝑤) Thực phép đổi biến 𝑦 = 𝑦(𝑢, 𝑣, 𝑤) 𝑧 = 𝑧(𝑢, 𝑣, 𝑤) Giả sử rằng: 1) 𝑥 = 𝑥(𝑢, 𝑣, 𝑤), 𝑦 = 𝑦(𝑢, 𝑣, 𝑤), 𝑧 = 𝑧(𝑢, 𝑣, 𝑤) hàm liên tục với đhr cấp chúng miền đóng V’ kg Ouvw 2) Cơng thức (*) xác định song ánh từ V’ lên V mf (oxy) 3) Định thức hàm Jacobi ′ 𝑥𝑢′ 𝑥𝑣′ 𝑥𝑤 𝐷(𝑥,𝑦,𝑧) 𝐽 = 𝐷(𝑢,𝑣,𝑤) = 𝑦𝑢′ 𝑦𝑣′ 𝑦𝑤′ = miền V’ ta ′ 𝑧𝑢′ 𝑧𝑣′ 𝑧𝑤 có CT 𝒇 𝒙, 𝒚, 𝒛 𝒅𝒙𝒅𝒚𝒅𝒛 = 𝑽 𝒇 𝒙 𝒖, 𝒗, 𝒘 , 𝒚 𝒖, 𝒗, 𝒘 , 𝒛 𝒖, 𝒗, 𝒘 𝑽′ 𝑱 𝒅𝒖𝒅𝒗𝒅𝒘 b) Đổi biến tọa độ trụ • k/n tọa độ trụ: tọa độ trụ điểm M(x,y,z) kg (oxyz) số (r,𝜑, 𝑧) 𝑟, 𝜑 tọa độ cực M’ hình chiếu M lên mf (oxy) Với điểm kg ta có: 𝑟 ≥ 0, ≤ 𝜑 < 2𝜋, −∞ < 𝑧 < +∞ * Giữa tọa độ trụ tọa độ đề có liên hệ: 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑, 𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑, 𝑧 = 𝑧 hệ thức liên hệ thỏa mãn đ/k phép đổi biến J = r Khi đó: 𝑉 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = 𝑉′ 𝑓(𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑, 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑, 𝑧)𝑟𝑑𝑟𝑑𝜑𝑑𝑧 VD: Tính 𝐼 = 𝑉 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 Với V hình nón trịn xoay giới hạn mặt 𝑧2 = 𝑥 + 𝑦 2, 𝑧 = 𝑎 Giải: chuyển sang tọa độ trụ ta có 𝐼 = 𝑉′ (𝑟 + c) Đổi biến tọa độ cầu Tọa độ cầu điểm M(x,y,z) kg Oxyz số 𝑟, 𝜃, 𝜑 r = OM, 𝜑 góc Ox 𝑂𝑀′ ; 𝑀′ h/c M lên mf Oxy, 𝜃 góc 𝑂𝑀 Oz với điểm M(x,y,z) ta có ≤ 𝑟 < +∞; ≤ 𝜃 ≤ 𝜋; ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋 Ta có: 𝑥 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜑; 𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃𝑠𝑖𝑛𝜑; 𝑧 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 Nếu < 𝑟; < 𝜃 < 𝜋; ≤ 𝜑 < 2𝜋 hệ thức thỏa mãn phép đổi biến 𝐽 = 𝑟 𝑠𝑖𝑛𝜃 ta có 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑉 𝑓(𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜑, 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃𝑠𝑖𝑛𝜑, 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃)𝑟 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑑𝑟𝑑𝜃𝑑𝜑 = 𝑉′ VD: Tính 𝐼 = 𝑉 𝑥 + 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 với V xđ 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 ≤ 𝑅2; 𝑧 ≥ Giải: (hv giải) 𝜋 Chuyển sang tọa độ cầu ta có V’: ≤ 𝑟 < 𝑅; ≤ 𝜃 ≤ ; ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋 Khi 𝐼 = 4𝜋𝑅5 15 Bài 2.2 Đổi thứ tự tích phân sau 1 x 1 1) dx f x, y dy 2 y 0 3) dy f x, y dx x x2 3 y 5) dx f x, y dy 7) dy f x, y dx y 4 y 0 2) dy 1 x2 f x, y dx 4) dx f x, y dy 6 x 2x 6) dx f x, y dy 2x x 8) dx f x, y dy Bài 2.4 Tính tích phân kép I1 xy y dxdy D tam giác nối đỉnh O,A(10, 1), B(1, 1) D I x y dxdy , D x, y : 1 x 2, y 1 D I x y dxdy, D x, y :x y 4, x D I x y x dxdy, D 0, 2 4,0 D x2 2 2 I dxdy, D x, y :1 x y , x y 1 y D I e D x2 x2 2 dxdy, D x, y : x y I x xy y dxdy, với D x, y : x xy y D I8 x y dxdy, với D: x y 2 2 D I x y dxdy, với D: x y x D I10 y x y dxdy, với D: x y y D x2 y Bài 2.5 Tính tích phân bội ba 1) I V dxdydz với V = ( x, y, z ) : x y z 9 2 1 x y 2) I z dxdydz với V = ( x, y, z ) : x y z 4; x y z z V 3) I xyzdxdydz với V = ( x, y, z ) : x y z;0 z 2 V 4) I x y z dxdydz với V = ( x, y, z ) : x y z x V 5) I V dxdydz x y z 2 , V miền giới hạn mặt cầu x y z 1, x y z 6) I ( x y )dxdydz , V V miền xác định x2 + y2 + z2 R , z Bài 2.5 Dùng TP kép, tính diện tích miền phẳng: 1) xy 2, xy 4, y x, y x 2) xy 2, xy 6, y x, y x 3) x y 2, x y 4, y x, y 3x 2 2 y x , y x , x y , x y 4)