Tài liệu Nguyên Lí Dirichle Tổng Quát docx

Nguyễn Hữu Điển: http:// free.hostdepartment.com/n/nhdien Nguyên lí lồng và thỏ Nguyên lý Đirichlê tổng quát Nguyễn Hữu Điển Viện Toán học Nguyên lý những chiếc lồng và các chú thỏ ngay trong trờng phổ thông cơ sở đều đã đợc biết và đôi lần áp dụng giải bài tập toán. Nguyên lý đó là ta nhốt một số thỏ vào một số lồng, nếu số lồng ít hơn số thỏ thì ít nhất có hai thỏ nhốt cùng một lồng. Rất nhiều bài tập toán đợc giải bằng nguyên lý này, tôi đã tập hợp lại thành cuốn sách "Phơng pháp Đirichlê và ứng dụng", NXB Khoa học và kỹ thuật, 160 trang, đã đợc phát hành vào tháng 3/1999. Trong cuốn sách này bao gồm trên 200 bài toán điển hình về việc dùng phơng pháp Đirichlê. Sách đợc chia ra 16 chơng mỗi chơng theo một chủ đề : Nguyên lý Đirichlê và ví dụ, Số học, Dãy số, Hình học, Mở rộng nguyên lý Đirichlê, Nguyên lý Đirichlê cho diện tích, Toán tổ hợp, Một số đề thi vô địch quốc tế, . Trong mỗi chơng trên có 10 bài tập đợc giải kỹ theo chủ đề và cách áp dụng nguyên lý Đirichlê, sau đó là khoảng 5 bài luyện tập nhng cũng đợc giải ở chơng 15 nếu ngời đọc thấy khó khăn. Nhiều bài toán giải bằng phơng pháp này rất ngắn gọn, một số bài giải bằng phơng pháp này mà ta không để ý tới khi áp dụng. Theo tôi đây là cuốn sách tham khảo cho các thày cô giáo và các bạn học sinh ham thích Toán học. I. Một số bài toán mới. Bài 1. Trong một cửa hàng hoa quả ngời ta trở đến 25 sọt cam trong ba loại chất lợng, biết rằng mỗi sọt chỉ chứa một loại cam. Chứng minh rằng ít nhất có 9 sọt có cùng một loại chất lợng. Lời giải. Nếu mỗi loại chất lợng đều có không quá 8 sọt, thì số lơng chung sọt cam sẽ không vợt quá 8.3 = 24, điều này trái với giả thiết đã cho ta có 25 sọt (Nguyên lý Đirichlê mở rộng). Suy ra một loại chất lợng nào đó phải có nhiều hơn 8 sọt, nghĩa là ít nhất 9 sọt. Bài 2. Trong một lớp học có 40 học sinh, biết rằng tất cả học sinh đều sinh một năm. Chứng minh rằng có không dới 4 em sinh cùng một tháng. Lời giải. Một năm có 12 tháng, nếu mỗi tháng chỉ sinh ra nhiều nhất là 3 học sinh thì số học sinh chỉ là 12.3=36 < 40. Nh vậy ít nhất phải có 1 tháng có 4 học sinh đợc sinh ra (Nguyên lý Đirichlê mở rộng). Bài 3. Hãy tìm số tự nhiên nhỏ nhất m sao cho giữa mỗi bộ m số tự nhiên có hai số mà hiệu của chúng chia hết cho 5. Lời giải. Ta chia tập hợp các số tự nhiên thành 5 tập hợp con M i (i=1,2,3,4) sao cho M 1 gồm tất cả các số chia hết cho 5; M 2 gồm tất cả các số chia cho 5 còn d 1; M 3 gồm tất cả các số chia cho 5 còn d 2; . Nếu ta lấy 5 số trong các tập hợp con khác nhau, thì hiệu của bất kỳ hai số trong các số này đều không chia hết cho 5. Nếu ta lấy 6 số tự nhiên bất kỳ, thì hai trong chúng phải nằm trong cùng một tập hợp trên (nguyên lý Đirichlê). Suy ra hiệu của chúng chia hết cho 5. Nh vậy số lợng nhỏ nhất những số ta phải lấy là 6 số tự nhiên. Bài 4. Một lần 20 ngời quyết định đi bơi thuyền bằng 10 chiếc thuyền đôi. Một số ngời đã quen nhau, một số ngời không quen nhau. Nhng biết rằng mỗi cặp hai ngời A và B mà không quen nhau, thì tổng những ngời quen của A và những ngời quen của B không nhỏ hơn 19. Chứng minh rằng có thể phân chia số ngời vào các thuyền đôi sao cho trong mỗi thuyền đều là những ngời quen nhau. Lời giải. Dễ thấy rằng ít nhất có 1 thuyền mà ngời ta xếp hai ngời quen nhau. Ta ký hiệu k số lợng thuyền lớn nhất , mà trong đó ngời ta có thể xếp những cặp quen nhau và để cụ thể ta ký hiệu trong thuyền thứ nhất xếp hai ngời quen A 1 và B 1 , thuyền thứ hai là A 2 và B 2 , , . và trong thuyền thứ k xếp hai ngời quen nhau A k và B k . Nếu k =10, thì bài toán đã đợc giải. Vì thế ta giả sử rằng k 9. Ta ký hiệu tập hợp M gồm tất cả những ngời cha đợc xếp vào thuyền. Dễ thấy không có hai ngời A và B từ M quen nhau, vì 1 Nguyễn Hữu Điển: http:// free.hostdepartment.com/n/nhdien Nguyên lí lồng và thỏ nếu ngợc lại A và B có thể xếp vào thuyền thứ k+1. Ta chọn hai ngời bất kỳ A và B từ M. Theo điều kiện đầu bài tổng của những ngời quen của A và tổng những ngời quen của B không nhỏ hơn 19 và những ngời quen họ nằm trong số những ngời đã xếp vào k thuyền rồi. Tồn tại một thuyền đã xếp mà số lợng quen biết giữa một trong hai ngời A và B và một trong những ngời trong thuyền này không nhỏ hơn 19/k > 2. Dễ thấy khi đó một ngời nào đó trong A hoặc B quen biết hai ngời trong thuyền đã biết, còn một trong những ngời dới thuyền quen cả A và B. Để cụ thể hóa ta có thể giả thiết rằng trong thuyền này xếp hai ngời A k và B k . Nhng khi đó ta có thể xếp lại : trong k-1 thuyền đầu tiên vẫn giữ nguyên, còn trong thuyền thứ k xếp A k và B, còn thuyền thứ k+1 xếp A và B k . Theo cách xếp này ta tiếp tục xếp đến hết 10 thuyền sao cho trong mỗi thuyền hai ngời đều quen nhau. Bài 5. Cho 12 số có hai chữ số . Chứng minh rằng giữa chúng có hai số mà hiệu của chúng cũng là hai chữ số, hai chữ số này trùng nhau. Lời giải. Trong 12 số có hai chữ số có hai số cho cùng số d khi chia cho 11 (nguyên lý Đirichlê). Cho những số đó là a i , a j (a i > a j ) . Khi đó a i - a j chia hết cho 11. nhng số a i - a j là hai chữ số trùng nhau nên chỉ có thể là 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77 , 88. Bài 6. Số lợng lớn nhất là bao nhiêu số ta có thể chọn trong các số từ 1 đến 1999 sao cho tổng của mọi hai số trong các số đã chọn không chia hết cho hiệu của chúng. Lời giải. Ta sẽ chứng minh rằng từ các số đã cho có thể chọn đợc 666 số thỏa mãn điều kiện của đề bài. Thật vậy, ta lấy tất cả các số có dạng 3k + 1, ở đây k = 1, 2, ., 666. Hiệu của hai số bất kỳ đã chọn chia hết cho 3, còn tổng của chúng chia cho 3 còn d 2. Từ đây suy ra tổng của hai số ở dạng trên không chia hết cho hiệu của chúng. Ta chứng minh rằng chọn số lợng lớn hơn 666 số thỏa mãn điều kiện đầu bải không thể đợc ?. Thật vậy, Nếu chọn nhiều hơn 666 số, thì sẽ tìm đợc hai số hiệu của chúng nhỏ hơn 3 ( nếu ngợc lại hiệu của số lớn nhất và số nhỏ nhất trong các số đã chọn khả năng lớn hơn 3.666 = 1998, điều này không thể xẩy ra). nghĩa là hiệu của chúng chỉ là hoặc 1, hoặc 2. Trong trờng hợp thứ nhất mọi số đều chi hết cho 1, nghĩa là cả tổng của chúng; trờng hợp thứ hai, hai số sẽ cùng tính chẵn, lẻ và khi đó tổng của chúng là một số chẵn. Trong trờng hợp này tổng của hai số ta lấy sẽ chia hết cho hiệu của nó. Nh vậy từ 1999 số dã cho không thể chọn hơn 666 số sao cho thỏa mãn điều kiện đầu bài. Ta cũng xây dựng đợc cách chọn 666 số. Suy ra số lợng lớn nhất các số ta phải tìm là 666. Bài 7. Cho S là tập hợp n phần tử M i S , M i , i = 1, 2, 3, .n+1 Chứng minh rằng tồn tại hai bộ số 1 i 1 < i 2 < < i r n+1 và 1 j 1 < j 2 < < j r n+1 sao cho MM MM M M ii i j j 12 1 1 2 j 1 = . . Lời giải. Số lơng những hợp khác nhau của những tập hợp con M MM M ii 12 . MM M ii 12 i 1 j 1 1 , M 2 , ,M n+1 sao cho tập hợp con { i 1 , i 2 , , i r } trong {1, 2, , . n+1}, là 2 n+1 -1. Nh vậy số lợng những tập hợp khác trống của S là 2 n -1 < 2 n+1 -1, thì trong những tập hợp con ở trên có hai tập hợp con đều là một tập hợp con của tập hợp S (nguyên lý Đirichlê) : M M M i j j 1 1 2 = Bài 8. Từ 5 đờng tròn mỗi cặp 4 đờng tròn đều đi qua một điểm. Chứng minh rằng tồn tại một điểm mà đi qua tất cả năm vòng tròn. Lời giải. Cho những đờng tròn k 1 , k 2 , k 4 , k 5 đi qua điểm chung A; những đờng tròn k 1 , k 3 , k 4 , k 5 đi qua điểm chung B; những đờng tròn k 2 , k 3 , k 4 , k 5 đi qua điểm chung C. Dễ thấy ba điểm A, B, C không thể đồng thời khác nhau vì tất cả đều nằm trên đờng tròn k 4 , cả trên k 5 , nhng đờng tròn chỉ cắt nhay hai điểm. Suy ra, hai điểm nào đó trong ba điểm A, B, C trùng nhau (nguyên lý 2 Nguyễn Hữu Điển: http:// free.hostdepartment.com/n/nhdien Nguyên lí lồng và thỏ Đirichlê). Qua điểm trùng này sẽ đi qua tất cả 5 đờng tròn. Bài 9. Cho A là tập hợp điểm trên đờng tròn sinh ra bởi một điểm chuyển dịch liên tiếp (theo chiều kim đồng hồ) trên đờng tròn một cung 1 radian. Chứng minh rằng một cung bất kỳ trên đờng tròn đều có chứa những điểm thuộc A. Lời giải. Ta lấy một cung bất kỳ ký hiệu P 1 P 2 . Ta có thể lấy cung này P 1 P 2 = 2 m , ở đây m là số tự nhiên. Ta dựng các điểm P 3 , P 4 , ., P m sao cho chúng chia đờng tròn thành m cung bằng nhau. Ta lấy điểm nào đó Q 0 A và ký hiệu Q n là điểm ảnh của Q 0 sau khi ta chuyển liên tiếp n radian. Chứng minh rằng tập hợp những điểm A( Q 0 ) = { Q 0 , Q 1 , , Q n , } là vô hạn. Thật vậy, nếu ngợc lại, thì tồn tại hai chỉ số s và t sao cho Q s = Q t (Nguyên lý Đirichlê cho dãy số). Nếu s < t, thì suy ra điểm Q s dịch chuyển về chính mình sau phép lặp t-s radian. Nh vậy, mà cả vòng tròn có 2 radian, nghĩa là = ts 2 . Điều này trái với tính chất số là một số vô tỷ. Nh vậy A( Q 0 ) là tập hợp vô hạn điểm. Nhng số các cung P 1 P 2 , P 2 P 3 , ., P m P 1 hữu hạn và phủ toàn bộ đờng tròn, thì tồn tại một cung nào đó P k P k+1 chứa ít nhất 2 điểm Q s và Q t thuộc A( Q 0 ). Nh vậy độ dài của cung Q s Q t bằng < 2 m . Nh lý luận phần trên, Q s Q t , nghĩa là 0. Bây giờ ta xét dãy các điểm R 0 = Q s , R 1 = Q t , ., R n = Q s+n(t-s) , . thuộc A(Q 0 ). Với mọi n cung R n R n+1 nhận đợc từ cung R 0 R 1 = Q s Q t lặp lại chuyển dịch n(t-s) radian. Suy ra cung R n R n+1 = . Dễ thấy với n > 2 cung R 0 R 1 , R 1 R 2 , R 2 R 3 , ., R n R n+1 phủ kín đờng tròn. Nh vậy P 1 nằm ở trong cung nào đó R k R k+1 . Nhng vì độ dài cung R k R k+1 < P 1 P 2 , thì hoặc là R k+1 , hoặc là R k-1 nằm trong P 1 P 2 , điều cần chứng minh. II. Nguyên lý Đirichlê mở rộng. Trong cuốn sách đã nói ở trên chúng tôi có khai thác và xem xét mọi khía cạnh của nguyên lý Đirichlê. Nhất là chơng nói về nguyên lý Đirichlê cho diện tích, ta có đề cập đến nguyên lý Đirichlê cho độ dài đoạn thẳng, cho độ dài cung, cho diện tích, cho thể tích. Ta cũng có thể chứng minh các nguyên lý này ví dụ nh: 1. Cho những doạn thẳng a 1 , a 2 , ., a n nằm trong đoạn a và tổng độ dài các đoạn thẳng a 1 , a 2 , ., a n lớn hơn độ dài của a. Khi đó ít nhất có hai trong số những đoạn thẳng a 1 , a 2 , ., a n có điểm chung. 2. Cho những đa diện D 1 , D 2 , ., D n nằm trong đa diện D và tổng thể tích của D 1 , D 2 , ., D n lớn hơn thể tích D. Khi đó ít nhất có hai trong số D 1 , D 2 , ., D n có điểm chung. Bây giờ ta xét bài toán : Trên mặt cầu cho hai điểm và một tập hợp, diện tích của tập hợp đã cho lớn hơn nửa diện tích của cả mặt cầu. Chứng minh rằng tồn tại một phép quay trong không gian quanh một trục nào đó của hình cầu đa hai điểm vào tập hợp đã cho. Muốn giải bài toán này đòi hỏi nguyên lý Đirichlê trên những nhóm tô pô . Ta có cảm tởng rằng điều này lại thêm một nguyên lý nữa về loại này, nhng rất may là ta có thể phát biểu Nguyên lý Đirichlê tổng quát hơn thế, một nguyên lý chung cho tất cả. Ta có thể xây dựng nguyên lý nh sau: Cho X là một tập hợp bất kỳ, là tập hợp mà các phần tử của nó là các tập hợp con của X. Ngoài ra còn chứa hợp, giao và hiệu của những tập hợp trong nó. Những khái niệm trong phần này rất cơ bản trong toán học hiện đại trong các ngành Tô pô, Giải tích hàm, . Vì điều kiện một bài báo nên ta chỉ nhắc lại một cách tơng đối chính xác. Định nghĩa. Ta nói rằng trong xác định một độ đo , khi với mỗi phần tử A thuộc cho tơng ứng với một số không âm (A) sao cho thỏa mãn đẳng thức sau (A 1 A 2 )= (A 1 ) + (A 2 ) 3 Nguyễn Hữu Điển: http:// free.hostdepartment.com/n/nhdien Nguyên lí lồng và thỏ với mọi hai phần tử A 1 và A 2 thuộc , mà A 1 A 2 = . Ví dụ : Nếu X là mặt phẳng, là tập hợp gồm các mặt và nếu mỗi một mặt ta cho ta cho tơng ứng với diện tích của nó, thì dẽ kiểm tra thấy đây chính là một độ đo. Một ví dụ khác, ký hiệu là một tập hợp của những tập hợp con hữu hạn trong một tập hợp bất kỳ X và nếu với mỗi tập hợp hữu hạn ta cho ứng với số lợng phần tử của nó. Thì đây cũng là một độ đo. Tơng tự nh vậy cho không gian ba chiều với độ đo diện tích. Dễ dàng chứng minh đợc (từ định nghĩa) mệnh đề sau: Mệnh đề. Chứng minh rằng nếu A, A 1 , A 2 , , A n là phần tử của , mà chúng thỏa mãn A i A (i =1, 2, n) và (A ) < (A 1 ) + (A 2 )+ + (A n ), thì hai trong số các tập A 1 , A 2 , , A n có điểm chung. Mệnh đề này ta gọi là Nguyên lý Đirichlê tổng quát. Trờng hợp ở các ví dụ trên đa ta về Nguyên lý Đirichlê cho diện tích, trờng hợp thứ hai là nguyên lý Đirichlê lồng và thỏ. Trong những trờng hợp cụ thể ta lại có nguyên lý Đirichlê tơng ứng với độ đo, nh vậy là vô cùng nhiều, nhng không phải mọi nguyên lý với độ đo khác nhau đều là hay và mang một ý nghĩa lớn. Nhng chúng tôi tin rằng trong thực tế có nhiều bài toán hay có thể giải bằng phơng pháp này. Nhân đây tôi cũng cám ơn và mong mỏi nhận đợc các ý kiến về cuốn sách theo chuyên đề này và nếu có các bài tập mới đợc phát hiện và hay, hãy gửi về cho chúng tôi để lần xuất sau đợc đầy đủ hơn và những ngời có sáng kiến đợc mang tên kèm theo bài tập khi sách đợc in lại. Mọi liên hệ với tác giả theo địa chỉ Nguyễn Hữu Điển, Viện toán học, Phòng giải tích số và Tính toán khoa học, P. O. Box 361, Bờ Hồ, Hà nội, Việt nam. Email: nhdien@thevinh.ac.vn. III.Bài tập tự giải. Bài 10. Tập hợp M = {1, 2, ., 2n} (n 2) đợc chia ra k tập hợp con không giao nhau M 1 , M 2 , ,M k , ở đây k 3 +1 n. Chứng minh rằng có k +1 số chẵn 2j 1 , 2j 2 , ., 2j k+1 nằm trong cùng một tập hợp M i (1 i k), sao cho những số 2j 1 -1, 2j 2 -1, ., 2j k+1 -1 cũng nằm trong một tập hợp M r (1 r k). Bài 11. Cho một số hình tròn không giao nhau, chiếm trên mặt phẳng một diện tích bằng đơn vị. Chứng minh rằng trong số đó có thể chọn ra một hình tròn hoặc một số các hình tròn đôi một không giao nhau mà diện tích tổng cộng của chúng không nhỏ hơn 1/9. Bài 12. Có thể lấy bao nhiêu số tự nhiên khác nhau không lớn hơn 10, để trong chúng không tìm đợc hai số mà một trong hai số đó gấp hai lần số kia. Bài 13. Chứng minh rằng trong số 25 số dơng khác nhau có thể chọn ra hai số sao cho không có một số nào trong các số còn lại bằng tổng hoặc hiệu của các số đã đợc chọn. Bài 14. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n tồn tại một số N, mà nó chia hết cho n và trong cách viết thập phân có gặp tất cả các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Bài 15. Chứng minh rằng nếu 6 đờng tròn cắt nhau tại một điểm, thì ít nhất một trong chúng chứa tâm của một đờng tròn khác. 4 . http:// free.hostdepartment.com/n/nhdien Nguyên lí lồng và thỏ Nguyên lý Đirichlê tổng quát Nguyễn Hữu Điển Viện Toán học Nguyên lý những chiếc lồng và các chú. đề này ta gọi là Nguyên lý Đirichlê tổng quát. Trờng hợp ở các ví dụ trên đa ta về Nguyên lý Đirichlê cho diện tích, trờng hợp thứ hai là nguyên lý Đirichlê