Giải phương trình quy về phương trình bậc 2 cho HS lớp 9 tại trường THCS, giúp các em giải được một số phương trình quy về dưới dạng phương trình bậc hai. Giải một số bài toán có liên quan đến phương trình bậc hai trong chương trình toán thcs
Trường THCS Mỹ Thọ Quyên GV: Trần Thị Tố A MỞ ĐẦU I ĐẶT VẤN ĐỀ Thực trạng vấn đề địi hỏi phải có giải pháp để giải quyết: Qua thực tế nhiều năm giảng dạy mơn Tốn lớp 9, thân tơi thấy số kiến thức sách giáo khoa viết ngắn gọn vài tiết lý thuyết luyện tập tầm quan trọng lớn Những nội dung kiến thức xuất hầu hết đề thi như: đề thi tuyển sinh vào lớp 10, đề thi học sinh giỏi cấp, đề kiểm tra học kì … Nội dung “phương trình quy phương trình bậc hai” khơng phải ngoại lệ Trong sách giáo khoa Toán 9, nội dung giảng dạy tiết với dạng tốn như: phương trình trùng phương, phương trình chứa ẩn mẫu, phương trình tích Nhưng đề kiểm tra, đề thi cấp nội dung đề thi khơng dừng lại dạng nêu mà mở rộng dạng phương trình khác khó hơn, phức tạp mà quy phương trình bậc hai để giải Qua khảo sát học sinh trường THCS Phước Mỹ – Quy Nhơn – Bình Định, nơi tơi cơng tác, thân tơi nhận thấy có học sinh tự nghiên cứu thêm tài liệu tham khảo để nắm bắt thêm dạng tốn mở rộng nâng cao, khả vận dụng kiến thức để giải tập mở rộng học sinh lúng túng, nhiều hạn chế Đặc biệt, học sinh chưa biết cách trình bày áp dụng kiến thức có liên quan cách không linh hoạt thiếu sáng tạo Hơn nữa, nội dung “phương trình quy phương trình bậc hai” phần kiến thức trọng tâm chương trình mơn Tốn lớp 9, có nhiều tác giả viết nhiều tài liệu vấn đề với nhiều dạng toán mở rộng, nhiều tập đa dạng phong phú Tuy nhiên qua nghiên cứu đề tài này, nhận thấy tác giả viết dạng tản mạn, nằm nhiều tài liệu khác Điều làm cho học sinh vốn tự tìm tịi, nghiên cứu lại gặp khó khăn việc hệ thống, bao quát kiến thức Việc có đề tài, tài liệu hệ thống đầy đủ dạng toán từ đến mở rộng, nâng cao nội dung “Phương trình quy phương trình bậc hai” nhu cầu cần thiết Ý nghĩa tác dụng giải pháp mới: a Ý nghĩa: a.1) Đối với giáo viên: Đề tài giúp giáo viên có hội tìm hiểu, học hỏi thêm dạng tốn chương trình tốn THCS giải phương trình quy phương trình bậc hai a.2) Đối với học sinh: Đề tài giúp học sinh có hội làm quen với dạng tốn THCS từ đến mở rộng nâng cao nội dung: “Phương trình quy phương trình bậc 2” Rèn luyện kĩ giải tốn nhanh, xác, trình bày khoa SKKN –Phương trình quy phương trình bậc Trang: Trường THCS Mỹ Thọ Quyên GV: Trần Thị Tố học cho học sinh qua phục vụ tốt cho việc học tập tham gia kỳ thi cấp liên quan đến nội dung: “Phương trình quy phương trình bậc 2” b Tác dụng: Với giải pháp việc đưa dạng tốn từ đơn giản đến phức tạp “phương trình quy phương trình bậc hai” vào giải tốn đem lại hiệu cao chất lượng dạy học giáo viên học sinh, nâng cao chất lượng kiểm tra hay thi học sinh giỏi cấp Phạm vi nghiên cứu đề tài: + Nghiên cứu phương pháp dạy học toán trường THCS + Nghiên cứu phương trình bậc hai, cách giải phương trình bậc hai cách giải phương trình quy phương trình bậc hai + Nghiên cứu nội dung sách giáo khoa đại số + Nghiên cứu tài liệu tham khảo chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán mạng internet + Nghiên cứu qua thực tế giảng dạy, qua học hỏi đồng nghiệp II PHƯƠNG PHÁP TIẾN HÀNH: Cơ sở lí luận thực tiễn có tính định hướng cho việc nghiên cứu, tìm giải pháp đề tài: 1.1) Cơ sở lí luận: - Như biết, ngày việc dạy học không đơn truyền đạt kiến thức cho học sinh cách khô khan theo lối truyền thụ chiều (thầy nói – trị nghe, thầy đọc – trị chép), mà cần phát huy tính tích cực, tự học sáng tạo học sinh, giáo viên người hướng dẫn để học sinh tự phát chiếm lĩnh tri thức Điều thơi thúc giáo viên cần phải cố gắng nghiên cứu, tìm tịi dạng tốn mới, kiến thức có liên quan với kiến thức chương trình học để hướng dẫn cho học sinh - Xuất phát từ dạng toán phức tạp cấp trung học sở liên quan đến “phương trình quy phương trình bậc hai” 1.2) Cơ sở thực tiễn: - Từ yêu cầu thực tế kì kiểm tra, thi học sinh giỏi cấp có tập liên quan đến phương trình quy phương trình bậc hai dạng mở rộng nâng cao không dừng lại dạng toán đơn giản sách giáo khoa - Nhu cầu tài liệu đầy đủ hệ thống để phục vụ cho việc giảng dạy ôn thi học sinh giỏi cấp, ôn thi tuyển vào 10 SKKN –Phương trình quy phương trình bậc Trang: Trường THCS Mỹ Thọ Quyên GV: Trần Thị Tố - Nhu cầu học sinh, đặc biệt học sinh giỏi tìm tịi, học hỏi để nâng cao kiến thức ngày nhiều - Trong SGK đại số đưa cho học sinh số dạng phương trình quy phương trình bậc hai như: phương trình trùng phương, phương trình chứa ẩn mẫu, phương trình tích, đặt ẩn phụ, song nhìn chung mức độ yêu cầu loại dừng lại mức độ nhận biết thông hiểu vận dụng cấp thấp, phù hợp với đối tượng học sinh đại trà, với em học sinh lớp chuyên, lớp chọn dừng lại yêu cầu chưa đủ, cần hệ thống, phân loại giới thiệu đầy đủ với em mảng kiến thức “Phương trình quy phương trình bậc hai” Các biện pháp tiến hành, thời gian tạo giải pháp: 2.1) Các biện pháp tiến hành: 2.1.1) Biện pháp 1: + Trước thực đề tài, tiến hành khảo sát học sinh lớp năm học 2013 – 2014 cách cho học sinh làm kiểm tra để biết kết quả, mức độ nắm bắt kiến thức học sinh dạng tốn: phương trình quy phương trình bậc hai Qua tiến hành nghiên cứu hồn chỉnh đề tài áp dụng đề tài việc bồi dưỡng học sinh giỏi toán trường THCS Phước Mỹ – Quy Nhơn – Bình Định năm học 2014 – 2015, sau bồi dưỡng xong cho học sinh làm kiểm tra để có kết đối chiếu, để thấy hiệu đề tài 2.1.2) Biện pháp 2: + Tìm hiểu nội dung dạy học mơn Tốn THCS, nghiên cứu kỹ sách, tạp chí, tài liệu tham khảo có liên quan đến dạng tốn: “phương trình quy phương trình bậc hai” + Khai thác tư liệu mạng internet từ làm sở để chọn phương pháp dạng tập phù hợp 2.1.3) Biện pháp 3: + Học hỏi đồng nghiệp vấn đề liên quan đến đề tài khảo sát, điều tra để nắm bắt thực trạng vấn đề từ tổ chức, hướng dẫn học sinh nắm nội dung cách giải dạng toán phương trình quy phương trình bậc hai 2.1.4) Biện pháp 4: + Rèn luyện cho học sinh dạng tập qua giúp học sinh nắm cách giải dạng tốn phương trình quy phương trình bậc hai 2.2) Thời gian tạo giải pháp: - Cuối năm học 2014 – 2015: cho 50 em học sinh năm học 2014 – 2015 làm kiểm tra để khảo sát nắm bắt học sinh nội dung phương trình quy phương trình bậc hai SKKN –Phương trình quy phương trình bậc Trang: Trường THCS Mỹ Thọ Quyên GV: Trần Thị Tố - Từ cuối năm học 2014 – 2015 đến cuối năm học 2015 – 2016: nghiên cứu đề tài hoàn thành đề tài - Cuối năm học 2015 – 2016: cho 50 học sinh năm học 2015 – 2016 làm kiểm tra lại (cùng đề kiểm tra hồi cuối năm học 2014 – 2015) để khảo sát lại nắm bắt kiến thức học sinh sau thực đề tài, qua thấy rõ hiệu đề tài - Từ cuối năm học 2015 – 2016 đến tháng năm học 2016 – 2017: hoàn thiện đề tài B NỘI DUNG I MỤC TIÊU: - Nhiệm vụ đề tài nghiên cứu chọn dạng phương trình quy phương trình bậc hai cách có hệ thống từ đến mở rộng nâng cao nhằm: + Giúp cho học sinh dễ dàng bao quát nắm kiến thức, từ học sinh tự tin hơn, vận dụng kiến thức cách linh hoạt để giải tập từ đến phức tạp, qua rèn cho học sinh kĩ thành thạo giải toán nhằm phục vụ tốt cho việc học tập thi cử + Giúp cho học sinh hứng thú, yêu thích mơn học, ham tìm tịi, ham học hỏi + Giúp cho giáo viên có nguồn tài liệu đầy đủ hệ thống dạng toán để phục vụ tốt cho công tác giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi II MÔ TẢ GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI: Thuyết minh tính mới: + Ngồi việc hệ thống nội dung “phương trình quy phương trình bậc hai” sách giáo khoa toán 9, đề tài cịn bổ sung nhiều dạng tốn thường gặp đợt kiểm tra, thi học sinh giỏi cấp cấp THCS liên quan đến “phương trình quy phương trình bậc hai” + Đề tài có phân loại dạng toán, dạng toán củng cố phần lí thuyết, phương pháp giải, ví dụ minh họa tập tự luyện nhằm giúp học sinh dễ dàng nắm bắt kiến thức vận dụng vào giải tập tương tự nâng cao * NỘI DUNG CỤ THỂ: 1.1) Phương trình bậc hai ẩn cách giải : 1.1.1) Định nghĩa: SKKN –Phương trình quy phương trình bậc Trang: Trường THCS Mỹ Thọ Quyên GV: Trần Thị Tố + Phương trình bậc hai ẩn phương trình có dạng tổng quát: ax + bx + c =0 (trong x ẩn; a, b, c hệ số; a 0) + Nghiệm phương trình bậc hai giá trị ẩn số mà thay vào vế trái phương trình ta giá trị hai vế 1.1.2) Giải biện luận phương trình bậc hai : Đối với phương trình ax2 + bx + c = (a # 0) biệt thức b2 4ac + Nếu 0thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 + Nếu 0thì phương trình có nghiệm kép: x1 =x2 =- b 2a -b+ -b- ; x2 2a 2a + Nếu phương trình vơ nghiệm * Khi b chẵn, hay b = 2b’ Khi ta kí hiệu : ' b '2 ac => 4 ' - Ta có cơng thức nghiệm thu gọn sau: b ' ' b' ' + Nếu ' phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt: x1 ; x2 a + Nếu ' phương trình (1) có nghiệm kép : x1 x a b' a + Nếu ' phương trình (1) vơ nghiệm * Chú ý: Nếu phương trình ax2 bx c (a �0) có a c trái dấu tức a.c < b2 4ac Khi phương trình có hai nghiệm phân biệt * Đối với số phương trình bậc hai đơn giản (với hệ số nguyên) trường hợp phương trình có nghiệm ( �0) ta dùng định lý Viet để nhẩm nghiệm phương trình * Định lý Vi-et Nếu phương trình ax2 + bx + c = (a 0) có nghiệm : x1; x2 ( 0) thì: x1 + x2 = b c ; x1 x2 = a a * Trường hợp đặc biệt: + Nếu a + b + c = phương trình có nghiệm là: x1 = 1; x2 = c a + Nếu a – b + c = phương trình có nghiệm là: x1 = - 1; x2 = - SKKN –Phương trình quy phương trình bậc c a Trang: Trường THCS Mỹ Thọ Quyên GV: Trần Thị Tố * Nhờ định lý Viet ta khảo sát tính chất nghiệm phương trình bậc hai : + Phương trình bậc hai có hai nghiệm dấu khi: � b 4ac �0 �0 � � hay �c � �x1.x2 � 0 �a + Phương trình bậc hai có hai nghiệm dương � � b 4ac �0 � �0 � � �c hay � �x1.x2 �x x �a �1 �b 0 � �a + Phương trình có hai nghiệm âm khi: � � b 4ac �0 � � � � �c hay � �x1.x2 �x x �a �1 �b 0 � �a + Phương trình bậc hai có hai nghiệm trái dấu khi: c 0 a �c 0 � �x1.x2 �a hay � + Phương trình có hai nghiệm đối khi: � �x1 x2 �b �a + Phương trình có hai nghiệm trái dấu nghiệm số dương có giá trị tuyệt �c 0 � x x �1 �a hay � đối lớn khi: � �x1 x2 �b �a + Phương trình có hai nghiệm trái dấu nghiệm số âm có trị tuyệt đối lớn �c 0 � �x1.x2 �a hay khi: � � �x1 x2 �b �a SKKN –Phương trình quy phương trình bậc Trang: Trường THCS Mỹ Thọ Quyên GV: Trần Thị Tố *) Nhờ định lý Viet, ta tính tổng (hoặc hiệu) luỹ thừa bậc n hai n n nghiệm phương trình: x �x2 (với n Z ) Ví dụ: Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = có hai nghiệm x1; x2 thì: x12 x22 ( x1 x2 )2 x1 x2 ( b c b 2ac ) a a a2 x13 x23 ( x1 x2 )3 ( x1 x2 ) x1 x2 ( x14 x24 ( x12 x22 ) 2( x1 x2 ) ( b b c b bc ) ( )3 a a a a a b 2ac c ) 2( ) a a 1.2) Các phương trình quy phương trình bậc hai: Trong chương trình mơn Tốn THCS ta thường gặp số dạng phương trình quy phương trình bậc hai sau: 1.2.1) Phương trình chứa ẩn mẫu: Phương trình chứa ẩn mẫu phương trình có ẩn nằm mẫu thức phương trình a) Cách giải: + Bước Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ) phương trình + Bước Quy đồng mẫu thức hai vế khử mẫu thức + Bước Giải phương trình vừa nhận + Bước Trong giá trị tìm ẩn, loại giá trị không thỏa mãn ĐKXĐ, giá trị thỏa mãn ĐKXĐ nghiệm phương trình cho b) Ví dụ bản: b.1) Ví dụ 1: Giải phương trình: x4 (1) x x( x 2) x ( x 2) Giải: ĐKXĐ: x �0; x ��2 (1) 2x – (x + 2) + (x – 4)(x – 2) = x2 – 5x + = x=3Vx=2 Đối chiếu ĐKXĐ => x = Vậy phương trình có nghiệm x = * Nhận xét: Khi giải loại cần phải so sánh giá trị tìm ẩn với ĐKXĐ trước kết luận nghiệm phương trình SKKN –Phương trình quy phương trình bậc Trang: Trường THCS Mỹ Thọ Quyên b.2) Ví dụ 2: Giải phương trình: GV: Trần Thị Tố 1 1 (2) x x 20 x 11x 30 x 13x 42 18 Giải: (2) � 1 1 ( x 4)( x 5) ( x 5)( x 6) ( x 6)( x 7) 18 ĐKXĐ: x � 4; x � 5; x � 6; x � Với ĐKXĐ ta có: 1 1 ( x 4)( x 5) ( x 5)( x 6) ( x 6)( x 7) 18 1 1 1 � ( x 4) ( x 5) ( x 5) ( x 6) ( x 6) ( x 7) 18 1 � ( x 4) ( x 7) 18 � 18( x 7) 18( x 4) ( x 7)( x 4) � x 11x 26 � x V x 13 Đối chiếu ĐKXĐ => x = V x = -13 Vậy phương trình có nghiệm x = 3; x = -13 b.3) Ví dụ 3: Giải biện luận theo a , phương trình: x x (3) x a x b Giải: ĐKXĐ: x �a; x �b Khi đó: (3) x(x – b) + x(x – a) = 2(x – a)(x – b) (a + b)x = 2ab (*) + Nếu a # - b => Phương trình (3) có nghiệm x 2ab a b + Nếu a = - b (*) 0x = - a2 Trường hợp a = b = => phương trình (*) khơng xác định Trường hợp a # (b # 0) => Phương trình (*) vơ nghiệm Vậy Nếu a # - b phương trình (3) có nghiệm x 2ab a b Nếu a = b = phương trình (3) không xác định Nếu a = - b a # phương trình (3) vơ nghiệm SKKN –Phương trình quy phương trình bậc Trang: Trường THCS Mỹ Thọ Quyên GV: Trần Thị Tố c) Các ví dụ mở rộng nâng cao: Các tập mở rộng nâng cao dạng phương trình chứa ẩn mẫu thức thường phải kết hợp với việc đặt ẩn phụ Nếu không đặt ẩn phụ, sau đưa dạng nguyên, nhiều ta phải giải phương trình bậc cao phức tạp Sau số dạng dạng tập thường gặp: c.1) Dạng tập chia tử mẫu phân thức cho x # 0: Ví dụ: Giải phương trình: 4x 3x 1 (1) x x x 10 x Giải: ĐKXĐ: Với x �R Ta thấy x = khơng nghiệm phương trình Chia tử mẫu phân thức cho x �0 4x x x 10 x 1 x Đặt 4x y phương trình trở thành 1 y y 10 ĐKXĐ: y �8; y �10 1 (2) y y 10 4(y - 10) + 3(y - 8) = (y - 8)(y - 10) 7y – 64 = y2 – 18y +80 y2 – 25y +144 = b 4ac (25)2 4.1.144 49 Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt: y1 = 16; y2 = (thỏa mãn điều kiện) x Với y1 = 16 x 16 4x2 – 16x + = ' 36 => phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 ; x2 2 x Với y2 = x 4x2 – 9x + = ' 31 => phương trình vơ nghiệm Vậy phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt: x1 ; x2 SKKN –Phương trình quy phương trình bậc Trang: Trường THCS Mỹ Thọ Quyên GV: Trần Thị Tố c.2) Dạng tập thêm biểu thức vào hai vế để tạo thành bình phương đúng: Ví dụ: Giải phương trình: x x2 (1) ( x 2) (Đề thi HSG Thành phố Quy Nhơn năm học 2004-2005) Giải: Điều kiện: x �-2 Thêm 2.x 2x vào hai vế được: x2 2x x2 x2 x2 (x ) 5 �( ) 5 x2 ( x 2) x2 ( x 2) Đặt x2 y , ta y2 + 4y – = x2 Có a + b + c = + + (-5) = => phương trình có hai nghiệm phân biệt là: y 1= 1; y2 = -5 + Với y1= x2 x2 – x – = x2 Có a – b + c = –(– 1) + (– 2) = => phương trình có hai nghiệm phân biệt là: x1= -1; x2 = (*) + Với y2= -5 x2 x2 + 5x + 10 = x2 có 15 => phương trình vơ nghiệm (**) Từ (*) (**) => phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt là: x1= -1; x2 = c.3) Dạng tập đặt hai ẩn phụ tìm liên hệ chúng: 2 x2 �x � �x � 0 Ví dụ: Giải phương trình: 20 � � � � 48 x 1 �x � �x � (1) Giải: Điều kiện: x ��1 Đặt x2 x2 y; z , ta được: 20y2 – 5z2 + 48yz = (2) x 1 x 1 + Nếu z = y = 0, loại y y �� �� + Nếu z �0, chia hai vế phương trình (2) cho z2 được: 20 � � 48 � � z z �� Đặt �� y a , ta được: 20.a2 + 48.a – = (3) z SKKN –Phương trình quy phương trình bậc 10 Trang: Trường THCS Mỹ Thọ Quyên GV: Trần Thị Tố Ta có 153 Phương trình có nghiệm là: x1= 153 ; x2 = 153 + Với t = - 13 thay vào x2 – 5x – 19 = t Ta có x2 – 5x – = Phương trình có nghiệm là: x3 = - ; x4 = Vậy phương trình (1) có nghiệm là: 153 153 ; ; - ; 2 * Nhận xét: Với loại phương trình có dạng trên, khai triển vế trái phương trình bậc đầy đủ ta khó giải học sinh THCS chưa học Bằng việc nhóm hợp lý đôi hệ số, khai triển biến đổi nhóm ta đưa phương trình bậc hai trung gian + Nếu phương trình bậc hai trung gian vơ nghiệm phương trình ban đầu vơ nghiệm + Khi giải phương trình bậc hai trung gian (ẩn t) sau giải tìm giá trị ta trả biến giải phương trình bậc hai theo ẩn x, nghiệm phương trình (nếu có) nghiệm phương trình đầu c) Bài tập tự luyện: Giải phương trình: a) x(x-1)(x+1)(x+2) = b) (4x+3)2(x+1)(2x+1) = 810 c) (x+1)(x+7)(x–2)(x+4) = 19 d) (x+4)(x+5) (x+7)(x+8) = e) (x+5)(x+6)(x+8)(x+9) = 40 1.2.3.4) Phương trình hồi quy: a) Cách giải: Dạng tổng quát: ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = (1) e �d � Trong x ẩn số,a;b;c;d;e hệ số; a 0 � � với e 0 a �b � + Vì e 0 nên x = khơng phải nghiệm phương trình (1) chia hai vế phương trình (I) cho x2 ta phương trình tương đương ax2 + bx + c + d e 0 (II) x x SKKN –Phương trình quy phương trình bậc 19 Trang: Trường THCS Mỹ Thọ Quyên GV: Trần Thị Tố Nhóm � e �� d� ax � � bx � c � x �� x� � Hay e � � d � � a �x � b �x � c � ax � � bx � Đổi biến: x+ d d2 d d2 e t x 2 t (do ) bx b a b x b x2 Nên e 2d t b ax Ta có phương trình: at 2d bt c 0 b Ta phương trình trung gian: at2 + bt + c Giải phương trình at2 + bt + c phương trình x + 2ad =0 b 2ad = tìm nghiệm (sau trả biến giải b d t Sau ta biện luận nghiệm phương trình (1) bx b) Các ví dụ bản: Ví dụ: Giải phương trình x4 – 3x3 – 6x2 + 3x + = (1) Giải: Vì x = khơng nghiệm phương trình Chia vế phương trình (1) cho x2 ta được: (1) � x x x x 1 � ( x ) 3( x ) (*) x x x Đặt x t (*) t2 – 3t – = Nghiệm phương trình : t1 = - 1; t2 = x + Với t1 = - ta có x 1 (x 0 ) x2 + x – = Nghiệm phương trình là: x 1 � thoả mãn (x 0 ) x + Với t2 = ta có x (x 0 ) SKKN –Phương trình quy phương trình bậc 20 Trang: Trường THCS Mỹ Thọ Quyên GV: Trần Thị Tố x2 – 4x – = Nghiệm phương trình là: x � thoả mãn (x 0 ) Vậy nghiệm phương trình (1) : 1 � ; 2� c) Bài tập tự luyện: Giải phương trình: a) x4 – 3x3 + 3x +1 = b) x4 + 3x3 – 14x2 – 6x + = c) 2x4 – 21x3 + 74x2 – 105x + 50 = 1.2.3.5) Phương trình đối xứng: a) Cách giải: Dạng tổng quát: ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = (1) Trong x ẩn số,a; b; c hệ số; a 0 + Vì a 0 nên x = khơng phải nghiệm phương trình (1) nên ta chia hai vế phương trình (1) cho x2 ta phương trình tương đương b x ax2 + bx + c + Đặt: Nên (II) � a �� b� bx � c �ax � � x �� x� � Nhóm Hay a 0 x2 � � a �x � � 1� � b �x � c x2 � � x � t x x2 1 � t x2 x x (ĐK: t �2 ) t2 x2 Ta có phương trình: a.(t2 – 2) + bt + c = (2) Giải phương trình (2) tìm nghiệm t, đối chiếu ĐK chọn giá trị t thỏa mãn x sau thay t x để tìm nghiệm x phương trình (1) b) Các ví dụ bản: Ví dụ: Giải phương trình x4 – 2x3 – x2 – 2x + = (1) Giải: Ta thấy x = khơng phải nghiệm phương trình (1) nên chia hai vế cho x ta phương trình tương đương: SKKN –Phương trình quy phương trình bậc 21 Trang: Trường THCS Mỹ Thọ Quyên (1) x2 – 2x – – � � �x Đặt x GV: Trần Thị Tố 0 x x2 � � 1� � �x � (*) x2 � � x � 1 t (ĐK: t �2 ) => x t x x Khi (*) t2 – – 2t – = t2 – 2t – = Phương trình có nghiệm là: t1 = - (không thỏa mãn ĐK) => loại t2 = (thỏa mãn ĐK) x Với t2 = => x � x 3x Phương trình có nghiệm là: x 3� Vậy phương trình (1) có nghiệm là: 3� * Nhận xét: + Giải phương trình đối xứng: phép biến đổi tương đương đổi biến đưa phương trình bậc hai trung gian Giải trả biến tìm nghiệm phương trình đối xứng ban đầu + số nghiệm phương trình đối xứng: - Nếu phương trình bậc hai trung gian vơ nghiệm phương trình đầu vơ nghiệm - Nếu phương trình bậc hai trung gian có nghiệm t1, t2 phương trình x d d t1 ; x t vơ nghiệm phương trình đầu vô nghiệm bx bx - Nếu phương trình x d t1 ; bx x d t có nghiệm phương bx trình đầu có nhiêu nghiệm c) Bài tập tự luyện: Giải phương trình: a) x4 – 7x3 + 14x2 – 7x + = c) 2x4 + 3x3 - 16x2 + 3x + = c) x4 – 10x3 + 26x2 – 10x + = d) x4 + x3 – 4x2 + x + = 1.2.3.6) Phương trình dạng: a � �f x � � bf x c (1) SKKN –Phương trình quy phương trình bậc 22 Trang: Trường THCS Mỹ Thọ Quyên GV: Trần Thị Tố (Trong a 0 ; f(x) đa thức biến x, x ẩn phương trình) a) Cách giải: - Tìm tập xác định phương trình phép đổi biến f(x) = t - Đưa phương trình dạng: at2 + bt + c = (2) - Nếu phương trình (2) có nghiệm t = t0, ta giải tiếp phương trình f(x) = t0 (*) - Nghiệm phương trình (*) thoả mãn điều kiện) nghiệm phương trình cho b) Các ví dụ bản: b.1) Ví dụ 1: Giải phương trình: x4 – 4x3 + 8x – = (1) Giải: Ta có (1) (x2 – 2x)2 – 4(x2 – 2x) – = (2) Đặt t = x2 – 2x (ĐK : + t �0 => t �- 1) (2) t2 – 4t – = t = - V t = (thỏa mãn ĐK) + Với t = - ta có: x2 – 2x = - x2 – 2x + = x = + Với t = ta có: x2 – 2x = x2 – 2x – = x = + Vx=1– Vậy nghiệm phương trình (1) : ; + ; – b.2) Ví dụ 2: Giải phương trình: (x2 – 4x + 5)2 – (x – 1)(x – 3) = (1) Giải: (1) (x2 – 4x + 5)2 – (x2 – 4x + 3) – = (2) Đặt t = x2 – 4x + (ĐK : t – �0 => t �1) (2) t2 – (t – 2) – = t2 – t – = Phương trình có nghiệm : t1 = - (không thỏa mãn ĐK); t2 = (thỏa mãn ĐK) Với t = ta có : x2 – 4x + = x2 – 4x + = Phương trình có nghiệm : x1 = 1; x2 = Vậy nghiệm phương trình (1) là: x1 = 1; x2 = d) Bài tập tự luyện: Giải phương trình: a) 4(x2 – x + 1)3 = 27(x2 – x)2 b) (x2 + 1)2 + (x + 2)(3x2 – 4x – 5) = SKKN –Phương trình quy phương trình bậc 23 Trang: Trường THCS Mỹ Thọ Quyên GV: Trần Thị Tố c) x6 - 9x3 + = d) x4 + 6x3 + 5x2 - 12x + = 1.2.3.7) Phương trình vơ tỷ: Dạng thường gặp: 1) a f ( x) M (M số đa thức) 2) af(x) + b g ( x) c a) cách giải: - Khi giải phương trình vơ tỷ ta cần chủ ý tìm TXĐ phương trình - Tiến hành giải: * Dùng phương pháp nâng lên lũy thừa: + Cô lập thức, bình phương hai vế để khử bậc hai (ĐK hai vế phương trình khơng âm) + Sử dụng định nghĩa thức bậc n (n chẵn) 2k f ( x) g ( x) f(x)= g ( x) k (1) g(x) 0 (2) * Dùng phương pháp đặt ẩn phụ: + Nhận định số nghiệm phương trình: Phương trình vơ nghiệm phương trình bậc hai trung gian vơ nghiệm Phương trình vơ nghiệm nghiệm phương trình bậc hai trung gian khơng thoả mãn điều kiện phương trình đầu Phương trình có nghiệm nghiệm phương trình bậc hai trung gian thuộc TXĐ phương trình đầu b) Các ví dụ bản: b.1) Ví dụ 1: Giải phương trình x x (1) Giải: ĐKXĐ: phương trình 2x – �0 => x � Tách riêng thức vể ta được: 2x x Ta phải có thêm ĐK: x – �0 => x �3 Với ĐK (4) (3) (2) (3) (4) 2x – = (x – 3)2 2x – = x2 – 6x + SKKN –Phương trình quy phương trình bậc 24 Trang: Trường THCS Mỹ Thọ Quyên GV: Trần Thị Tố x2 – 8x + 12 = Phương trình có nghiệm là: x1 = (không TMĐK (4)); x2 = (TMĐK) Vậy phương trình (1) có nghiệm là: x = * Nhận xét: - Nếu không đặt ĐK (3) ta sai lầm nhận x = nghiệm - Có thể bình phương vế (1) từ đầu với ĐK 2x – �0, nhiên cách giải không ngắn gọn cách tách riêng thức vế b.2) Ví dụ 2: Giải phương trình: x2 - 4x = x (1) Giải: �x �1 �x -1 �0 � �۳�� x �4 ĐK: �2 �x - 4x �0 �� x �0 �� x Bình phương vế (1) ta được: x4 – 8x3 + 16x2 = 64(x – 1) x4 – 8x3 + 8x2 + 8x2 – 64x – 64 = x2(x2 – 8x + 8) + 8(x2 – 8x + 8) = (x2 + 8) (x2 – 8x + 8) = (x2 – 8x + 8) = (vì x2 +8 > 0) Nghiệm phương trình là: x1 = - 2 (không TMĐK) => loại x2 = + 2 (TMĐK) Vậy nghiệm phương trình (1) x = + 2 c) Bài tập tự luyện: Giải phương trình: x x 1 3x a) 2x + x 16 b) c) x x d) x = x7 1.2.4) Những phương trình đặc biệt: a) Các ví dụ bản: a.1) Ví dụ 1: Giải phương trình: 3x x (1) x 3x Giải: SKKN –Phương trình quy phương trình bậc 25 Trang: Trường THCS Mỹ Thọ Quyên ĐK : x > Ta có bất đẳng thức Với x > GV: Trần Thị Tố a b �2 với a > 0; b > 0, xảy đẳng thức a = b b a (1) x 3x x2 – 3x + = Phương trình có hai nghiệm phân biệt là: x1 = 1; x2 = thỏa mãn điều kiện Vậy phương trình (1) có nghiệm là: x1 = 1; x2 = * Nhận xét: Ở toán ta sử dụng điều kiện xảy dấu “=” bất đẳng thức không chặt a b �2 b a a.2) Ví dụ : Giải phương trình: 3x x x 10 x 14 x x (1) Giải: Vế trái: 3x x x 10 x 14 3( x 1) 5( x 1) � Vế phải: – 2x – x2 = – (x + 1)2 �5 Vậy hai vế (1) x = - Vậy nghiệm phương trình (1) là: x = -1 * Nhận xét: Ở tốn ta sử dụng tính đối nghịch giá trị hai vế để nhận xét suy nghiệm phương trình nhanh gọn nhiều ta sử dụng phương pháp bình phương vế phương trình Đơi với cách nhận xét này, vế trái phương trình ln có giá trị nhỏ số m (m số) giá trị vế phải lớn m ngược lại ta khẳng định phương trình vơ nghiệm a.3) Ví dụ 3: Giải phương trình: x5 + x2 + 2x + = (1) Giải: Dễ thấy, phương trình có nghiệm x = -1 (1) x2(x3 – 1) + 2(x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x3 – x2 + 2) = (x2 + x + 1)(x+1)(x2 – 2x + 2) = 1� 2 x +1 = (vì x2 + x + = � �x � x – 2x + = (x – 1) +1 >0) � 2� x = -1 Vậy nghiệm phương trình (1) là: x = -1 SKKN –Phương trình quy phương trình bậc 26 Trang: Trường THCS Mỹ Thọ Quyên GV: Trần Thị Tố a.4) Ví dụ 4: Giải phương trình: x4 + (x + 1)(5x2 – 6x – 6) = (1) Giải: (1) x4 – x2(x + 1) + (x + 1)(6x2 – 6x – 6) = x2(x2 – x – 1) + 6(x + 1)(x2 – x – 1) = (x2 – x – 1)(x2 + 6x + 6) = x2 – x – = (2) x2 + 6x + = (3) Giải phương trình (2) ta x = 1� Giải phương trình (3) ta x = 3 � Vậy phương trình (1) có nghiệm phân biệt là: 1� ; 3 � * Nhận xét: Với phương trình đặc biệt, phương trình có cách giải riêng đòi hỏi tư cao, đòi hỏi khả vận dụng kiến thức tổng hợp cách linh hoạt b) Bài tập tự luyện: Giải phương trình: a) (x + 2)2 + (x + 3)3 + (x + 4)4 = c) x x 2x b) (x – 2)6 + (x – 4)6 = 64 0 2 d) x x x x Khả áp dụng : - Trong năm học giáo viên dùng đề tài để làm sở định hướng cho học sinh việc tìm tịi mở rộng kiến thức đồng thời việc thực giảng dạy nội dung kiến thức giáo viên thực dễ dàng - Đề tài sở để giáo viên học sinh dễ dàng tìm hiểu phát thêm dạng toán liên quan đến nội dung : “phương trình quy phương trình bậc hai” - Đề tài giúp học sinh tham khảo tìm số kiến thức mới, kĩ cần thiết, phù hợp nhằm phục vụ cho việc thi, kiểm tra đạt kết cao hơn, qua em có tiến rõ rệt, có nhìn tồn diện mảng kiến thức này, khơng cịn lúng túng giải dạng phương trình học, tìm hiểu đề tài - Đề tài đồng nghiệp đánh giá cao xem tài liệu dùng để bồi dưỡng học sinh giỏi bồi dưỡng học sinh thi tuyển vào lớp 10 mảng kiến thức liên quan đến “phương trình quy phương trình bậc hai” SKKN –Phương trình quy phương trình bậc 27 Trang: Trường THCS Mỹ Thọ Quyên GV: Trần Thị Tố - Với thành công nêu trên, mạnh dạn viết lại hệ thống kiến thức mong phổ biến rộng rãi hơn, góp phần vào việc bồi dưỡng kiến thức cho học sinh giỏi Tuy nhiên, thời gian hạn hẹp, kinh nghiệm thân cịn hạn chế, chắn khơng tránh khỏi thiếu sót Rất mong q thầy đồng nghiệp góp ý bổ sung để đề tài hồn thiện Lợi ích kinh tế-xã hội : - Với hiệu đề tài mang lại lợi ích đáng kể mặt tiết kiệm thời gian tìm tịi, nghiên cứu hệ thống lại mảng kiến thức “phương trình quy phương trình bậc hai” - Giúp học sinh say mê yêu thích việc học mơn Tốn - Tạo mơi trường học tập gần gủi, vui vẻ, thân thiện - Học sinh khơng cịn ngại khó hay lúng túng trước tốn khó, phức tạp mà thay vào học sinh độc lập tư suy nghĩ, tìm hướng giải hay cách nhanh - Có học sinh khơng tìm cách giải mà tìm nhiều cách giải tốn khác - Với đề tài giúp em học sinh lớp học tốt mơn tốn nâng cao tỉ lệ học sinh đậu vào lớp 10 hệ công lập, nâng cao thành tích học sinh kỳ kiểm tra, thi học sinh giỏi cấp C KẾT LUẬN Những điều kiện, kinh nghiệm áp dụng, sử dụng giải pháp: Sau điều tra thực trạng học sinh khối năm học 2013 -2014 tiến hành thực nghiệm học sinh khối năm học 2014 -2015 biện pháp nêu Để so sánh, đánh giá kết trước sau thực nghiệm cho kiểm tra ngẫu nhiên 50 học sinh khối học kì II năm học 2014 –2015 trường THCS Phước Mỹ, với đề kiểm tra thời gian làm đề cho 50 học sinh lớp năm học 2013 - 2014 làm điều tra thực trạng thu kết so sánh cụ thể sau: Năm học Điểm 9- 10 Điểm 7- điểm - Điểm 2- Điểm 2014 -2015 20 12 2015 -2016 12 22 Như so với kết kiểm tra năm học trước: - Số học sinh đạt điểm giỏi tăng : HS - Số học sinh đạt điểm tăng : HS - Số học sinh đạt điểm trung bình tăng : HS SKKN –Phương trình quy phương trình bậc 28 Trang: Trường THCS Mỹ Thọ Quyên GV: Trần Thị Tố - Số học sinh có điểm TB giảm: HS Như qua thực tế giảng dạy với kết điều tra thực trạng cho thấy kết học tập học sinh cải thiện đáng kể Tuy nhiên khả vận dụng kiến thức lí thuyết vào giải tập học sinh nhiều hạn chế, khả tính tốn học sinh cịn chậm Để khắc phục hạn chế thân nhận thấy điều kiện thiếu học sinh em phải có tài liệu tham khảo Trường THCS Mỹ Thọ chúng tơi thuộc vùng đặc biệt khó khăn số học sinh có thêm tài liệu tham khảo ảnh hưởng khơng nhỏ đến chất lượng học tập, kiểm tra em Và để kết kì thi liên quan đến nội dung “phương trình quy phương trình bậc hai” em học sinh đạt kết cao hơn, theo kinh nghiệm thân tơi khơng bồi dưỡng tạo điều kiện tốt cho em học sinh làm quen nắm thật kiến thức lí thuyết mà cịn phải hướng dẫn cho học sinh biết ứng dụng để ôn lại phần lí thuyết học, vận dụng linh hoạt, sáng tạo vào giải toán bản, tốn khó có liên quan đến nội dung nêu Qua giúp học sinh thích thú mơn học, phát huy tính tự học, tự tìm tịi chủ động việc chiếm lĩnh kiến thức Muốn dạy kiến thức giáo viên phải thường xuyên chọn dạng tập tổng hợp để giới thiệu với học sinh cách giải cung cấp cho em tập luyện tập liên quan để em có điều kiện nâng cao kỹ giải tốn Tuy nhiên để đề tài áp dụng có hiệu cần có hỗ trợ nhiều hình thức phương pháp dạy học khác Mặt khác với kinh nghiệm giảng dạy chưa nhiều, thời gian thực nghiệm cịn nên cịn nhiều phương án, nhiều dạng toán, nhiều tập hay chưa đề cập tới, mong đồng nghiệp tận tình đóng góp ý kiến để đề tài hoàn thiện Những triển vọng việc vận dụng phát triển giải pháp: - Các giải pháp nêu có triển vọng giáo viên vận dụng vào giảng dạy học sinh hay giáo viên dùng để bồi dưỡng học sinh giỏi, bồi dưỡng học sinh thi tuyển vào lớp 10 năm học nhiều năm học tới - Học sinh tham khảo đề tài nhằm tạo điều kiện cho học sinh học tập tốt mơn Tốn, phục vụ tốt cho việc kiểm tra tham gia có hiệu thi cấp liên quan đến nội dung “phương trình quy phương trình bậc hai” Đề xuất – kiến nghị: Để tạo điều kiện cho giáo viên trường học hỏi sáng kiến hay nhằm áp dụng vào thực tiễn giảng dạy xin đề nghị với nhà trường cấp, hàng năm nên tổ chức cho giáo viên học tập sáng kiến kinh nghiệm hay đạt giải SKKN –Phương trình quy phương trình bậc 29 Trang: Trường THCS Mỹ Thọ Quyên GV: Trần Thị Tố Xin trân trọng cảm ơn ! Quy Nhơn, ngày 15 tháng năm 2016 ` Người viết Trần Thị Tố Quyên MỤC LỤC A MỞ ĐẦU I ĐẶT VẤN ĐỀ Trang Thực trạng vấn đề đòi hỏi phải có giải pháp để giải Ý nghĩa tác dụng giải pháp Phạm vi nghiên cứu đề tài II PHƯƠNG PHÁP TIẾN HÀNH Cơ sở lí luận thực tiễn có tính định hướng cho việc nghiên cứu, tìm giải pháp đề tài Các biện pháp tiến hành, thời gian tạo giải pháp 2-3 B NỘI DUNG I MỤC TIÊU II MÔ TẢ GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI Thuyết minh tính SKKN –Phương trình quy phương trình bậc 30 Trang: Trường THCS Mỹ Thọ Quyên GV: Trần Thị Tố 1.1) Phương trình bậc hai ẩn cách giải 4-6 1.2) Các phương trình quy phương trình bậc hai 1.2.1) Phương trình chứa ẩn mẫu 6-9 1.2.2) Phương trình tích 9-12 1.2.3) Những phương trình bậc cao quy phương trình bậc hai 1.2.3.1) Phương trình trùng phương 12-15 1.2.3.2) Phương trình dạng: (x+a)4 + (x+b)4 = c 15-17 1.2.3.3) Phương trình dạng (x+a)(x+b)(x+c)(x+d)=m 17-19 1.2.3.4) Phương trình hồi quy 19-20 1.2.3.5) Phương trình đối xứng 20-22 1.2.3.6) Phương trình dạng: a f x bf x c 0 22-24 1.2.3.7) Một vài phương trình bậc cao khác 24-26 1.2.3.8) Phương trình vơ tỷ 26-27 1.2.4) Những phương trình đặc biệt 27-28 Khả áp dụng 28 Lợi ích kinh tế-xã hội 28-29 C KẾT LUẬN Những điều kiện, kinh nghiệm áp dụng, sử dụng giải pháp 29-30 Những triển vọng việc vận dụng phát triển giải pháp 30 Đề xuất – kiến nghị 30 TÀI LIỆU THAM KHẢO Nâng cao phát triển Toán - NXB Giáo dục – Vũ Hữu Bình SGK Đại số (tập 2) - NXB Giáo dục Bài tập Đại số - NXB Giáo dục Bồi dưỡng Toán (tập 1) - NXB Giáo dục – Đỗ Đức Thái & Đỗ T H Thúy Toán phát tiển bồi dưỡng học sinh giỏi Đại số – Võ Đại Mau SKKN –Phương trình quy phương trình bậc 31 Trang: Trường THCS Mỹ Thọ Quyên GV: Trần Thị Tố Phương pháp dạy học mơn tốn - NXB Giáo dục Các tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp – Nguồn mạng Internet o0o NHẬN XÉT CỦA HỘI ĐỒNG GIÁM KHẢO *************************************** SKKN –Phương trình quy phương trình bậc 32 Trang: Trường THCS Mỹ Thọ Quyên GV: Trần Thị Tố SKKN –Phương trình quy phương trình bậc 33 Trang: ... trình: x3 + 2x2 + 2 x + 2 = (2) Giải (2) ( x3+ 2 ) + (2x2 + 2 x) = (x + )(x2 - x +2) + 2x(x + (x + 2 )(x - (x + 2 )(x + (2 - 2) =0 x +2 + 2x) = )x +2) = (x + ) = (x2 + (2 - )x +2) = SKKN –Phương... có hai nghiệm x1; x2 thì: x 12 x 22 ( x1 x2 )2 x1 x2 ( b c b 2ac ) a a a2 x13 x23 ( x1 x2 )3 ( x1 x2 ) x1 x2 ( x14 x24 ( x 12 x 22 ) 2( x1 x2 ) ( b b c b... x x2 (1) ( x 2) (Đề thi HSG Thành phố Quy Nhơn năm học 20 04 -20 05) Giải: Điều kiện: x � -2 Thêm ? ?2. x 2x vào hai vế được: x? ?2 2x x2 x2 x2 (x ) 5 �( ) 5 x? ?2 ( x 2) x? ?2 ( x 2) Đặt