Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn O;R kẻ hai tiếp tuyến AM, AN M,N ε O:R, Trên cung nhỏ MN lấy điểm P khác M và N, tiếp tuyến tại P cắt AM tại B, cắt AN tại C.. Chứng minh chu vi của ta[r]
(1)ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN YÊN ĐỊNH Năm học: 2012-2013 Môn thi toán Thời gian làm bài: 150’ √ x −2 √ x +2 x −2 x +2 − ) Câu (3đ) Cho A = ( x −1 x +2 √ x +1 a Rút gon A b Tìm x để A>0 c Tìm giá trị lớn A Câu (6đ) a Giải phương trình ; 2x2- 8x - √ x2 − x − 8=18 b Giải bất phương trình |2 x −7| < x2 + 2x + Câu 3: (4đ) a P = 1 + 2 2+ 2 2 b +c − a a + c −b a +b − c b Tìm số tự nhiên n cho A = n2 +n +6 là số chính phương Câu (5đ) a Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O;R) kẻ hai tiếp tuyến AM, AN (M,N ε (O:R), Trên cung nhỏ MN lấy điểm P khác M và N, tiếp tuyến P cắt AM B, cắt AN C Cho A cố định và OA= a Chứng minh chu vi tam giác ABC không đổi P di động trên cung nhỏ MN Tính giá trị không đổi theo a và R b Cho tam giác ABC có diện tích 36 (đvdt) Trên cạnh BC và cạnh CA lấy điểm D và điểm E cho DC = 3DB và EA =2EC; AD cắt BE I Tính diện tích tam giác BID Câu (2đ) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: x10 y10 16 ( ) ( x y16 ) (1 x y ) 2 y x Q= (2) Hướng dẫn Câu 3: (4đ) a)Cho a +b +c = 0, tính giá trị biểu thức; P= 1 + 2 2+ 2 2 b +c − a a + c −b a +b − c Từ a +b +c = => b2 +c2 –a2 = -2bc; a2 +c2 –b2 = -2ac;a2 +b2 –c2 = -2ab 1 a b c 0 2ab 2bc 2ca 2abc => Q b) Ta có A = n2 +n + giả sử A là số chính phương tồn a cho a2 = n2 +n + a2 = 4n2 +4n + 24 <=> (2a-2n-1)(2a +2n+1)=23 Ta có : 23=1.23=(-1)(-23)=(-23)(-1)=23.1 Giải ta : n=5;a=6 Vậy với n=5 thì A là số chính phương Ghi chú: Bài toán trên đúng cho n là số hữu tỉ và tìm số là Thực : a ;(a; b) 1; b 0) Giả sử n là sử số hữu tỉ n= b a2 a n 2 Sao cho b b => a2 =b(-a-6b-n2b) b Vậy n= a Khi đó a2 = 4n2 +4n + 24 <=> (2a-2n-1)(2a +2n+1)=23 Ta có : 23=1.23=(-1)(-23)=(-23)(-1)=23.1 Giải ta : n=5;a=6 Vậy với n=5 thì A là số chính phương Câu 5:áp dụng BĐT cô si ta có x10 x5 y10 y5 2 y2 y ; x2 x áp dụng BĐT cô si ta có x5 y x10 y10 2 2 x y y2 x2 y x 16 x y16 1 x y Tương tự: x10 y10 16 ( ) ( x y16 ) (1 x y ) x => y (3) Q Vởy giá trị nhỏ Q là x2 =y2 =1 (4)