Đang tải... (xem toàn văn)
Từ môt điểm A bất kỳ trên tia đối của tia BC vẽ các tiếp tuyến AM, AN với đường tròn M và N là các tiếp điểm, M nằm trên cung nhỏ BC.Gọi I là trung điểm của dây BC, đường thẳng MI cắt đ[r]
(1)SỞ GD&ĐT NGHỆ AN Đề chính thức KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP CẤP THCS NĂM HỌC 2011 – 2012 Môn thi: TOÁN - BẢNG A Thời gian làm bài: 120 phút Câu (5.0 điểm): 2 a) Cho a và b là các số tự nhiên thoả mãn điều kiện: a b 7 Chứng minh a và b chia hết cho b) Cho A = n + n + Tìm tất các số tự nhiên n để A nhận giá trị là số nguyên tố Câu (4.5 điểm): a) Giải phương trình: x x x x 2x x b) Cho x, y, z là các số thực khác thoả mãn: xy + yz + zx = Tính giá trị biểu thức: yz zx xy M x y z Câu (4.5 điểm): a) Cho các số thực x, y, z thoả mãn điều kiện: x + y + z + xy + yz + zx = Chứng minh rằng: x2 + y2 + z2 b) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện: a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a3 b3 c3 P 2 2 2 a b b c c a Câu (6.0 điểm): Cho đường tròn (O;R) và dây BC cố định không qua O Từ môt điểm A trên tia đối tia BC vẽ các tiếp tuyến AM, AN với đường tròn ( M và N là các tiếp điểm, M nằm trên cung nhỏ BC).Gọi I là trung điểm dây BC, đường thẳng MI cắt đường tròn (O) điểm thứ hai là P a) Chứng minh rằng: NP song song với BC b) Gọi giao điểm đường thẳng MN và đường thẳng OI là K Xác định vị trí điểm A trên tia đối tia BC để tam giác ONK có diện tích lớn Hết (2) Họ và tên thí sinh: Số báo danh: SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP CẤP THCS NĂM HỌC 2011 – 2012 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn: TOÁN – BẢNG A ( Hướng dẫn chấm này gồm 04 trang) Câu Nội dung Giả sử a không chia hết cho b không chia hết cho a 17 b 17 5.0đ 0.5 0.5 (1) a => a + b -2 7 2.5đ Ta có a + b = (a + b )(a - ab + b) (Do a + b 7) (2) Câu Điểm 0.5 0.5 Từ (1); (2) suy ra: 7 0.25 Điều này vô lý, đó a và b chia hết cho 0.25 Khi n = thì A = (không thoả mãn) 0.25 Khi n = thì A = (Thoả mãn) 0.5 Với n > , ta có : A = n - n + n - n + n +n +1 = n ( n - 1) + n( n - 1) + n +n +1 = ( n - 1)( n + n) + (n +n +1) 0.5 b 2.5đ Vì n - 1 n - 0.5 Nên n - 1 n +n +1 0.25 A n +n +1 0.25 Do đó : Câu 2.0đ a 2.5đ Dễ thấy : A> n +n +1 với n > nên n > thì A là hợp số Vậy với n = thì A có giá ttrị là số nguyên tố Đặt: a x ; b 2x ; x x (a; b 0) Ta có: a - b = - x; đó phương trình đã cho trở thành: a - b + a - b =0 0.25 0.5 0.5 0.25 (a - b)(a + b + 1) =0 0.25 a = b (Do a + b + > 0) (3) Câu Nội dung Điểm 0.25 Lúc đó: x x = 2x 0.25 x => x - = 2x => x = 0.25 Thay vào ta x = thoả mãn, đó phương trình có nghiệm là x =2 Ta có: xy + yz +zx = (1) Chia hai vế (1) cho xyz ≠ ta có 0.25 => 0.25 + + =0 b 2.0đ 1 1 1 1 1 3 3 ( )( ) 0 x y z xyz x y z x y z xy yz zx 1 ( Do 0) x y z 0.25 0.5 1 3 3 => x y z xyz 0.5 xy yz zx 3 z x y 0.5 Câu 4.0đ) Ta có: a2 + b2 2ab nên: a 2.5đ 0.5 ab ab b a b 2ab Do đó : a3 ab b a 2 2 a b a b a - 0.5 Tương tự, ta có: b3 b2 c2 b c3 c2 a2 c - 0.5 Từ đó suy được: P = Dấu đẳng thức xảy a = b = c = Vậy giá trị nhỏ P là a = b = c =1 0.5 0.25 0.25 (4) Câu Nội dung Ta có: b 2.0đ Điểm x + 2x y2 + 2y z2 + 2z 2(x2 + y2 + z2) 2(xy + yz + zx) 0.25 0.25 0.25 0.25 Cộng bất đẳng thức trên, ta được: 3( x2 + y2 + z2) + 2(xy + yz + zx + x + y + z) 0.5 3(x2 + y2 + z2) + 12 0.25 (Do xy + yz + zx + x + y + z = 6) x2 + y2 + z2 Đẳng thức xảy x = y = z = 0.25 K M A C B I a 3.0đ E O N P F Gọi giao điểm OI với cung lớn BC là F 0.5 Dễ thấy các điểm O; I; M; A; N cùng thuộc đường tròn đường kính AO Do đó: IAN NMI (cùng chắn cung IN) 0.5 0.5 (5) Câu Nội dung OF IAN N Điểm Mà tứ giác AION nội tiếp nên: 0.5 => NMI NOF 0.5 OF N Sđ NP => Sđ 0.5 F là điểm chính cung NP OF NP hay NP// BC Gọi E là giao OA và MN 0.25 Ta có: KEO AIO OE.OA = OI.OK (1) 0.25 Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông OMA có đường cao ME, ta có: OM2 = OE.OA (2) b 3.0đ Từ (1) và (2) suy ra: OI.OK = OM2 OK = = OK không đổi Vẽ NH OI H, ta thấy : SNOK lớn NH lớn nhất; Mà NH ON dấu đẳng thức xẩy ON OI Lúc đó OIAN là hình chữ nhật, đó : IA = R Vậy A trên tia đối tia BC cho IA = R thì tam giác NOK có diện tích lớn 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 0.25 0.5 0.25 Lưu ý: - Học sinh làm cách khác đúng cho điểm tối đa - Điểm bài thi là tổng các điểm thành phần, không làm tròn (6)