Đang tải... (xem toàn văn)
http://toanhocmuonmau.violet.vn HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CỤM MÔN: TOÁN - LỚP 10 NĂM HỌC 2012-2013 Chú ý: Dưới đây chỉ là sơ lược từng bước giải và cách cho điểm từng phần của [r]
(1)http://toanhocmuonmau.violet.vn ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CỤM MÔN: TOÁN - LỚP 10 NĂM HỌC 2012-2013 Thời gian làm bài : 180 phút SỞ GD&ĐT BẮC GIANG CỤM LẠNG GIANG Ngày thi 24.02.2013 Câu (3 điểm) Cho hàm số f (x) = x 1+ x , đặt g (x) = f f (x) , h (x) = f g (x) Xét tính chẵn - lẻ hàm số h(x) Cho phương trình : − x2 + |x − 1| − 4m + = a) Giải phương trình m = b) Tìm m để phương trình trên có đúng hai nghiệm phân biệt Câu (2 điểm) a) Giải phương trình: − x = 1− x −1 x + y = a + Tìm a để tích xy lớn b) Cho hệ phương trình 2 x + y = 2a − Câu (2 điểm) a) Giải bất phương trình sau: (−x + 4x) x − 3x + ≤ x − 2x − m + ≤ b) Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm: 2 x − (2m + 1) x + m + m ≤ Câu (2 điểm) a) Cho tam giác ABC có I là tâm đường tròn nội tiếp, BC=a, CA=b, AB=c Chứng minh rằng: a.IA + b.IB + c.IC = b) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC với đường cao kẻ từ B và đường phân giác góc A có phương trình là 3x + 4y + 10 = và x – y + = 0; điểm M(0; 2) thuộc cạnh AB đồng thời cách điểm C khoảng Tìm tọa độ các đỉnh tam giác ABC Câu (1 điểm) Cho tam giác ABC có chu vi 4; gọi a, b, c là độ dài các cạnh tam giác Chứng minh rằng: 27 (a + b + c2 + abc) ≥ 208 _Hết _ Họ và tên thí sinh:…………………………………… Số báo danh:………………… (2) http://toanhocmuonmau.violet.vn HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CỤM MÔN: TOÁN - LỚP 10 NĂM HỌC 2012-2013 Chú ý: Dưới đây là sơ lược bước giải và cách cho điểm phần bài Bài làm học sinh yêu cầu tiết, lập luận chặt chẽ Nếu học sinh giải cách khác mà đúng thì chấm điểm phần tương ứng SỞ GD&ĐT BẮC GIANG CỤM LẠNG GIANG Câu (3 điểm) Nội dung x Cho hàm số f (x) = + x2 Điểm , đặt g (x) = f f (x) , h (x) = f g (x) Xét tính chẵn - lẻ hàm số h(x) g (x) = f f (x) = h (x) = f g (x) = f (x) + f (x) g (x) + g (x) * Xét hàm số h (x) = = x + 2x = x + 3x −x + 3x 0,25 x + 3x - TXĐ: ℝ + Với ∀x,x ∈ ℝ ⇒ −x ∈ ℝ + h (−x) = 0,25 = −h (x) 0,25 0,25 Vậy h(x) là hàm số lẻ Cho phương trình : − x2 + |x − 1| − 4m + = phương trình trở thành: − x2 + |x − 1| = +) x ≥ : − x2 + (x − 1) = ⇔ x = +) x < : − x2 − (x − 1) = ⇔ x = −2 ± 2 Kết luận: phương trình có nghiệm phân biệt x = ; x = −2 ± 2 a) Với m = 0,5 0,5 b) Tìm m để phương trình trên có đúng hai nghiệm phân biệt − x2 + |x − 1| − 4m + = ⇔ 4m = − x2 + |x − 1| + −x2 + 4x − x ≥ ⇔ 4m = −x − 4x + x < −x + 4x − x ≥ Xét hàm số f (x) = −x − 4x + x < Ta có bảng biến thiên: 0,25 (3) http://toanhocmuonmau.violet.vn x −∞ -2 f(x) −x − 4x + | Biến thiên f(x) +∞ −x + 4x − 0,5 −∞ −∞ Số nghiệm phương trình đã cho số giao điểm đồ thị hàm số y = f(x) và đường thẳng y = 4m Dựa vào bảng biến thiên suy phương trình có nghiệm phân biệt và < m < m < (2 điểm) a) Giải phương trình: 0,25 − x = − x −1 a = − x a = − x ⇔ ⇒ a3 + b2 = Đặt b = x −1 ≥ b = x −1 Thay vào phương trình được: a = 1− b Ta có hệ phương trình 0,25 a = b = a = a = 2 a = a + b = ⇔ a + (1 − a ) = ⇔ a + a − 2a = ⇔ ⇔ a = −2 a = − b b = − a b = − a b = a = 1− b a = −2 b = a = +) ⇒x=2; b = a = +) ⇒ x = 1; b = a = −2 +) ⇒ x = 10 b = Kết luận: phương trình có nghiệm phân biệt x = 1; x = 2; x =10 0,25 0,5 x + y = a + b) Cho hệ phương trình Tìm a để tích xy lớn x + y = 2a − x + y = a + x + y = a + ⇔ Ta có: x + y2 = 2a − xy = − a + a + 2 0,25 Hệ phương trình trên có nghiệm và a ≤−1 (a + 1) ≥ − a + a + ⇔ 3a − 2a − ≥ ⇔ a ≥ 2 0,25 (4) http://toanhocmuonmau.violet.vn 5 Xét hàm số f (a) = − a + a + trên (−∞;−1] ∪ ; +∞ 2 Bảng biến thiên a −∞ -1 f(a) v v v v v v v v 1/2 −∞ +∞ 16/9 0,25 −∞ 5 Tích xy lớn và f(a) đạt giá trị lớn trên (−∞;−1] ∪ ; +∞ Dựa vào bảng biến thiên suy xy lớn 16/9 a = 5/3 (2 điểm) ( a) Giải bất phương trình sau: −x + 4x ) 0,25 x − 3x + ≤ x = x − 3x + = x = (−x2 + 4x) x2 − 3x + ≤ ⇔ x − 3x + > ⇔ x ≤ −x + 4x ≤ x ≥ x − x − m + ≤ (1) b) Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm: x − (2 m + 1) x + m + m ≤ (2) Xét bất phương trình (1): x − x − m + ≤ có ∆ ' = m , bất phương trình có nghiệm ⇔ ∆ ' ≥ ⇔ m ≥ Khi đó bất phương trình (1) có nghiệm 1− m ≤ x ≤ + m Xét bất phương trình (2): x − (2 m + 1) x + m + m ≤ có ∆ = >0 Khi đó bất 0,5 phương trình (2) có nghiệm m ≤ x ≤ m + Xét bài toán tìm m để hệ bất phương trình vô nghiệm: m + < 1− m Hệ vô nghiệm ⇔ m > + m ⇔ m> 3+ Vậy để hệ có nghiệm thì giá trị m cần tìm là ≤ m ≤ (2 điểm) 3+ 0,5 a) Cho tam giác ABC có I là tâm đường tròn nội tiếp, BC=a, CA=b, AB=c Chứng A minh rằng: a.IA + b.IB + c.IC = Ta có: IA ' BA ' CA ' BA '+ CA ' a = = = = IA BA CA BA + CA b+c Suy ra: a.IA = −(b + c) IA ' I B A’ 0,25 C (5) http://toanhocmuonmau.violet.vn ac ab BA ' = ; CA ' = b+c b+c CA ' A 'B b c IB + IC = IB + IC Mặt khác: IA ' = BC BC b+c b+c (1 điểm) ⇒ (b + c) IA ' = b.IB + c.IC ⇒ a.IA + b.IB + c.IC = A b) Gọi M’ là điểm đối xứng với M qua đường phân giác góc A thì M’ thuộc AC Gọi I là giao điểm MM’ và đường phân giác góc A thì I là trung M’ M điểm MM’ I MM’: x + y – = C 1 3 B Điểm I ; , điểm M ' (1;1) 2 AC qua M’ và vuông góc với đường cao kẻ từ B nên AC: 4x – 3y – = Điểm A là giao điểm AC và đường phân giác kẻ từ A nên A(4; 5) Đường thẳng AB qua A, M nên có phương trình: 3x – 4y + = 1 Điểm B là giao điểm AB và đường cao kẻ từ B nên B −3;− 4 x + (y − 2) = MC = , tọa độ điểm C là nghiệm (x; y) hệ , suy C (1;1) 4x − 3y −1 = 31 33 C ; 25 25 Cho tam giác ABC có chu vi 4; gọi a, b, c là độ dài các cạnh tam giác Chứng minh rằng: 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 27 (a + b + c2 + abc) ≥ 208 Ta có a + b + c = ⇒ a + b = − c > c ⇒ c < Tương tự: a < 2; b < Áp dụng Định lý Côsi cho số dương: − a; − b; − c 2−a+2−b+2−c ⇒ (2 − a )(2 − b)(2 − c) ≤ = 27 ⇔ − 4( a + b + c) + 2( ab + bc + ca) − abc ≤ 27 ⇔ −8 + 2( ab + bc + ca) − ≤ abc 27 ⇔ −8 + ( a + b + c ) − ≤ a + b + c + abc 27 ⇔ 27(a + b + c + abc) ≥ 208 0,25 0,25 0,5 (6)