Víi s¸ng kiÕn “Gióp häc sinh ph¸t hiÖn vµ tr¸nh sai lÇm trong khi gi¶i to¸n về căn bậc hai” tôi đã cố gắng trình bày các sai lầm của học sinh thờng mắc phải một cách tổng quát nhất, bên [r]
(1)Tªn s¸ng kiÕn kinh nghiÖm : d¹y häc Gióp häc sinh ph¸t hiÖn vµ tr¸nh sai lÇm Trong gi¶i to¸n vÒ c¨n bËc hai PhÇn I : Më ®Çu A - Lý chọn đề tài : Muốn công nghiệp hoá và đại hoá đất nớc thì phải nhanh chóng tiếp thu khoa học và kỹ thuật đại giới Do phát triển nh vũ bão khoa học và kü thuËt, kho tµng kiÕn thøc cña nh©n lo¹i t¨ng lªn nhanh chãng C¸i mµ h«m cßn là ngày mai đã trở thành lạc hậu Nhà trờng không thể nào luôn luôn cung cấp cho học sinh hiểu biết cập nhật đợc Điều quan trọng là phải trang bị cho các em lực tự học để có thể tự mình tìm kiếm kiến thức cần thiết tơng lai Sù ph¸t triÓn cña nÒn kinh tÕ thÞ trêng, sù xuÊt hiÖn nÒ kinh tÕ tri thøc t¬ng lai đòi hỏi ngời lao động phải thực động, sáng tạo và có phẩm chất thích hợp để bơn chải vơn lên cạnh tranh khốc liệt này Việc thu thập thông tin, d÷ liÖu cÇn thiÕt ngµy cµng trë lªn dÔ dµng nhê c¸c ph¬ng tiÖn truyÒn th«ng tuyªn truyền, máy tính, mạng internet v.v Do đó, vấn đề quan trọng đói với ngời hay cộng đồng không là tiếp thu thông tin, mà còn là sử lý thông tin để tìm giải pháp tốt cho vấn đề đặt sống thân nh xã héi Nh yêu cầu xã hội việc dạy học trớc đây nặng việc truyền thụ kiến thức thì đã thiên việc hình thành lực hoạt động cho HS Để đáp ứng yêu cầu này cần phải thay đổi đồng các thành tố quá trình dạy häc vÒ môc tiªu, néi dung, ph¬ng ph¸p, h×n thøc tæ chøc, ph¬ng tiÖn, c¸ch kiÓm tra đánh giá - Hiện mục tiêu giáo dục cấp THCS đã đợc mở rộng, các kiến thức và kỹ đợc hình thành và củng cố để tạo lực chủ yếu : + Năng lực hành động + N¨ng lùc thÝch øng + N¨ng lùc cïng chung sèng vµ lµm viÖc + Năng lực tự khẳng định mình Trong đề tài này tôi quan tâm để khai thác đến nhóm lực chính là "Năng lực cùng chung sống và làm việc" và "Năng lực tự khẳng định mình" vì kiến thøc vµ kü n¨ng lµ mét nh÷ng thµnh tè cña n¨ng lùc HS Trong quá trình giảng dạy thực tế trên lớp số năm học, tôi đã phát còn nhiều học sinh thực hành kỹ giải toán còn kém đó có nhiều häc sinh(45%) cha thùc sù hiÓu kü vÒ c¨n bËc hai vµ thùc hiÖn c¸c phÐp to¸n (2) bậc hai hay có nhầm lẫn hiểu sai đầu bài, thực sai mục đích… Việc giúp học sinh nhận nhầm lẫn và giúp các em tránh đợc nhầm lẫn đó là công việc vô cùng cần thiết và cấp bách nó mang tính đột phá và mang tính thời rÊt cao, gióp c¸c em cã mån sù am hiÓu v÷ng tr¾c vÒ lîng kiÕn thøc c¨n bËc hai t¹o móng để tiếp tục nghiên cứu các dạng toán cao sau này B- Thêi gian nghiªn cøu : §îc chia lµm giai ®o¹n chÝnh : Giai ®o¹n : Bắt đầu từ ngày 05 tháng năm 2011 đến ngày 26 tháng 10 năm 2011 Giai ®o¹n : Bắt đầu từ ngày 05 tháng năm 2012 đến ngày 29 tháng 10 năm 2012 Giai đoạn : Hoàn thành và đánh giá sáng kiến kinh nghiệm 15 tháng 11 năm 2012 C - Mục đích nghiên cứu : - Do thêi gian cã h¹n nªn t«i nghiªn cøu s¸ng kiÕn kinh nghiÖm nµy víi môc đích nh sau : + Giúp giáo viên toán THCS quan tâm đến phơng pháp dạy học tích cực rÊt rÔ thùc hiÖn + Gióp gi¸o viªn to¸n THCS nãi chung vµ GV d¹y to¸n THCS nãi riªng cã thêm thông tin PPDH tích cực này nhằm giúp họ dễ dàng phân tích để đa biện ph¸p tèi u ¸p dông ph¬ng ph¸p vµo d¹y häc vµ s¸ng kiÕn nµy còng t¹o c¬ së để các GV khác xây dựng sáng kiến khác có phạm vi và quy mô xuyên suốt + Qua s¸ng kiÕn nµy t«i muèn ®a mét sè lçi mµ häc sinh hay m¾c ph¶i quá trình lĩnh hội kiến thức chơng bậc hai để từ đó có thể giúp học sinh khắc phôc c¸c lçi mµ c¸c em hay m¾c ph¶i qu¸ tr×nh gi¶i bµi tËp hoÆc thi cö, kiÓm tra… Còng qua s¸ng kiÕn nµy t«i muèn gióp GV to¸n cã thªm c¸i nh×n míi sâu sắc hơn, chú ý đến việc rèn luyện kỹ thực hành giải toán bậc hai cho học sinh để từ đó khai thác hiệu và đào sâu suy nghĩ t lôgic học sinh giúp häc sinh ph¸t triÓn kh¶ n¨ng tiÒm tµng ngêi häc sinh + Qua sáng kiến này tôi tự đúc rút cho thân mình kinh nghiệm để làm luận cho phơng pháp dạy học tôi năm D - Ph¹m vi nghiªn cøu : Trong s¸ng kiÕn nµy t«i chØ nªu mét sè “Nhãm sai lÇm” mµ häc sinh thêng m¾c ph¶i qu¸ tr×nh lµm bµi tËp vÒ c¨n bËc hai ch¬ng I - §¹i sè Phân tích sai lầm số bài toán cụ thể để học sinh thấy đợc lập luËn sai hoÆc thiÕu chÆt chÏ dÉn tíi bµi gi¶i kh«ng chÝnh x¸c Từ đó định hớng cho học sinh phơng pháp giải bài toán bậc hai E - §èi tîng nghiªn cøu : Nh đã trình bày trên nên sáng kiến này tôi nghiên cứu trên hai nhóm đối tợng cụ thể sau : (3) Gi¸o viªn d¹y to¸n THCS Häc sinh líp THCS : bao gåm líp víi tæng sè 151 häc sinh F - Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu : - §äc s¸ch, tham kh¶o tµi liÖu - Thực tế chuyên đề, thảo luận cùng đồng nghiệp - Dạy học thực tiễn trên lớp để rút kinh nghiệm - Th«ng qua häc tËp BDTX c¸c chu kú Dùa vµo kinh nghiÖm gi¶ng d¹y bé m«n to¸n cña c¸c gi¸o viªn cã kinh nghiÖm trờng năm học trớc và vốn kinh nghiệm thân đã rút đợc số vấn đề có liên quan đến nội dung sáng kiến Trong năm học vừa qua chúng tôi đã quan tâm đến vấn đề mà học sinh m¾c ph¶i Qua nh÷ng giê häc sinh lµm bµi tËp t¹i líp, qua c¸c bµi kiÓm tra díi các hình thức khác nhau, bớc đầu tôi đã nắm đợc các sai lầm mà học sinh thờng mắc phải giải bài tập Sau đó tôi tổng hợp lại, phân loại thành hai nhóm Trong quá trình thực sáng kiến kinh nghiệm này tôi đã sử dụng phơng pháp sau : - Quan sát trực tiếp các đối tợng học sinh để phát vấn đề mà học sinh thấy lúng túng, khó khăn giáo viên yêu cầu giải vấn đề đó - Điều tra toàn diện các đối tợng học sinh lớp khối với tổng số 151 học sinh để thống kê học lực học sinh Tìm hiểu tâm lý các em học môn toán, quan điểm các em tìm hiểu vấn đề giải toán có liên quan đến bậc hai (bằng hệ thống các phiếu câu hỏi trắc nghiệm ) - Nghiên cứu sản phẩm hoạt động GV và HS để phát trình độ nhận thức, phơng pháp và chất lợng hoạt động nhằm tìm giải pháp nâng cao chất lợng giáo dôc - Thùc nghiÖm gi¸o dôc gi¶i bµi míi, c¸c tiÕt luyÖn tËp, tiÕt tr¶ bài kiểm tra tôi đã đa vấn đề này hớng dẫn học sinh cùng trao đổi, thảo luận nhiều hình thức khác nh hoạt động nhóm, giảng giải, vấn đáp gợi mở để học sinh khắc sâu kiến thức, tránh đợc sai lầm giải bài tập Yêu cầu học sinh giải số bài tập theo nội dung sách giáo khoa đa thêm vào đó yếu tố mới, điều kiện khác để xem xét mức độ nhận thức và suy luận cña häc sinh - Ph©n tÝch vµ tæng kÕt kinh nghiÖm gi¸o dôc ¸p dông néi dung ®ang nghiªn cứu vào thực tiễn giảng dạy nhằm tìm nguyên nhân sai lầm mà học sinh thờng mắc phải giải toán Từ đó tổ chức có hiệu các dạy G - Tµi liÖu tham kh¶o : Sách " Một số vấn đề đổi PPDH trờng THCS môn toán" Bộ giáo dôc vµ §µo t¹o Tµi liÖu båi dìng thêng xuyªn cho GV THCS chu kú III ( 2004-2007) m«n to¸n cña Bé gi¸o dôc vµ §µo t¹o Những vấn đề chung đổi giáo dục trung học sở môn toán Bộ gi¸o dôc vµ §µo t¹o (4) Gi¸o tr×nh " Ph¬ng ph¸p d¹y häc to¸n" t¸c gi¶ Hoµng Chóng - BGD&§T SGK vµ SGV to¸n 6,7,8,9.(BGD&§T) Phần II : nội dung đề tài A Ch¬ng I : c¬ së lý luËn I - Quan điểm đổi phơng pháp dạy học và phơng ph¸p d¹y häc tÝch cùc : Quan điểm đổi phơng pháp dạy học : Luật Giáo dục 2005 (Điều 5) quy định : "Phơng pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, t sáng tạo ngời học; bồi dỡng cho ngời học n¨ng lùc tù häc, kh¶ n¨ng thùc hµnh, lßng say mª häc tËp vµ ý chÝ v¬n lªn" Với mục tiêu giáo dục phổ thông là "giúp học sinh phát triển toàn diện đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mĩ và các kỹ bản, phát triển lực cá nhân, tính động và sáng tạo, hình thành nhân cách ngời Việt Nam xã hội chủ nghĩa, x©y dùng t c¸ch vµ tr¸ch nhiÖm c«ng d©n; chuÈn bÞ cho häc sinh tiÕp tôc häc lªn hoÆc vào sống lao động, tham gia xây dựng và bảo vệ Tổ quốc"; Chơng trình giáo dục phổ thông ban hành kèm theo Quyết định số 16/2006/QĐ-BGD ĐT ngày 5/5/2006 Bộ trởng Bộ giáo dục và Đào tạo đã nêu : "Phải phát huy tính tích cực, tự giác chủ động, sáng tạo học sinh; phù hợp với đặc trng môn học, đặc điểm đối tợng học sinh, điều kiện đối tợng học sinh, điều kiện lớp học; båi dìng cho häc sinh ph¬ng ph¸p tù häc, kh¶ n¨ng hîp t¸c; rÌn luyÖn kü n¨ng vËn dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú và tr¸ch nhiÖm häc tËp cho HS" - Quan điểm dạy học : là định hớng tổng thể cho các hành động phơng pháp, đó có kết hợp các nguyên tắc dạy học làm tảng, sở lý thuyết lý luận dạy học, điều kiện dạy học và tổ chức nh định híng vÒ vai trß cña GV vµ HS qu¸ tr×nh d¹y häc Quan ®iÓm d¹y häc lµ nh÷ng định hớng mang tính chiến lợc, cơng lĩnh, là mô hình lý thuyết PPDH Những quan ®iÓm d¹y häc c¬ b¶n : DH gi¶i thÝch minh ho¹, DH g¾n víi kinh nghiÖm, DH kÕ thừa, DH định hớng HS, DH định hớng hành động, giao tiếp; DH nghiên cứu, DH kh¸m ph¸, DH më Ph¬ng ph¸p d¹y häc tÝch cùc : Việc thực đổi chơng trình giáo dục phổ thông đòi hỏi phải đổi đồng từ mục tiêu, nội dung, phơng pháp, PTDH đến cách thức đánh giá kết dạy học, đó khâu đột phá là đổi PPDH Mục đích việc đổi PPDH trờng phổ thông là thay đổi lối dạy học truyÒn thô mét chiÒu sang d¹y häc theo ph¬ng ph¸p d¹y häc tÝch cùc(PPDHTC) nh»m giúp học sinh phát huy tính tích cực, tự giác chủ động, sáng tạo, rèn luyện thói quen vµ kh¶ n¨ng tù häc, tinh thÇn hîp t¸c, kü n¨ng vËn dông kiÕn thøc vµo nh÷ng t×nh huèng kh¸c häc tËp vµ thùc tiÔn; t¹o niÒm tin, niÒm vui, høng thó häc tËp Lµm cho "Häc" lµ qu¸ tr×nh kiÕn t¹o; HS t×m tßi, kh¸m ph¸, ph¸t hiÖn luÖn tËp khai th¸c vµ sö lý th«ng tin… HS tù h×nh thµnh hiÓu biÕt, n¨ng lùc vµ phÈm chất Tổ hoạt động nhận thức cho HS, dạy HS cách tìm chân lý Chú trọng hình thành các lực(tự học, sáng tạo, hợp tác,…) dạy phơng pháp và kỹ thuật lao động (5) khoa học, dạy cách học Học để đáp ứng yêu cầu sống và tơng lai Những điều đã học cần thiết, bổ ích cho thân HS và cho phát triển xã héi PPDH tích cực đợc dùng với nghĩa là hoạt động, chủ động, trái với không hoạt động, thụ động PPDHTC hớng tới việc tích cực hoá hoạt động nhận thức HS, nghĩa là hớng vào phát huy tính tích cực, chủ động ngời học không hớng vµo ph¸t huy tÝnh tÝch cùc cña ngêi d¹y Muốn đổi cách học phải đổi cách dạy Cách dạy định cách học, nhiên, thói quen học tập thụ động HS ảnh hởng đến cách dạy thầy Mặt khác, có trờng hợp HS mong muốn đợc học theo PPDHTC nhng GV cha đáp ứng đợc Do vậy, GV cần phải đợc bồi dỡng, phải kiên trì cách dạy theo PPDHTC, tổ chức các hoạt động nhận thức từ đơn giản đến phức tạp, từ thấp đến cao, hình thành thói quen cho HS Trong đổi phơng pháp phải có hợp tác thầy và trò, phối hợp hoạt động dạy với hoạt động học thì có kết PPDHTC hàm chứa ph¬ng ph¸p d¹y vµ ph¬ng ph¸p häc * §Æc trng cña ph¬ng ph¸p d¹y häc tÝch cùc : a) dạy học tăng cờng phát huy tính tự tin, tính tích cực, chủ động, sáng tạo thông qua tổ chức thực các hoạt động học tập học sinh b) D¹y häc tró träng rÌn luyÖn ph¬ng ph¸p vµ ph¸t huy n¨ng lùc tù häc cña HS c) D¹y häc ph©n hãa kÕt hîp víi häc tËp hîp t¸c d) Kết hợp đánh giá thầy với đánh giá bạn, với tự đánh giá e) T¨ng cêng kh¶ n¨ng, kü n¨ng vËn dông vµo thùc tÕ, phï hîp víi ®iÒu kiÖn thực tế sở vật chất, đội ngũ GV C¨n cø vµo môc tiªu cña ngµnh gi¸o dôc “§µo t¹o ngêi ph¸t triÓn toµn diÖn” c¨n cø vµo nhiÖm vô n¨m häc 2006 - 2007 vµ nhiÖm vô ®Çu n¨m häc 2007 -2008 là tiếp tục đổi chơng trình SGK, nội dung phơng pháp giáo dục tất các bậc học, cấp học, ngành học Xây dựng đội ngũ giáo viên, cán quản lý giáo dục có đủ phẩm chất giáo dục chính trị, đạo đức, đủ số lợng, đồng cấu, chuẩn hoá trình độ đào tạo…Nhằm nâng cao chất lợng giáo dục II – C¬ së thùc tiÔn cña s¸ng kiÕn kinh nghiÖm : Qua nhiều năm giảng dạy môn toán và tham khảo ý kiến các đồng nghiÖp nhiÒu n¨m kinh nghiÖm, t«i nhËn thÊy : qu¸ tr×nh híng dÉn häc sinh gi¶i toán Đại số bậc hai thì học sinh lúng túng vận dụng các khái niệm, định lý, bất đẳng thức, các công thức toán học Sù vËn dông lÝ thuyÕt vµo viÖc gi¶i c¸c bµi tËp cô thÓ cña häc sinh cha linh ho¹t Khi gặp bài toán đòi hỏi phải vận dụng và có t thì học sinh không xác định đợc phơng hớng để giải bài toán dẫn đến lời giải sai không làm đợc bài Một vấn đề cần chú ý là kỹ giải toán và tính toán số häc sinh cßn rÊt yÕu Để giúp học sinh có thể làm tốt các bài tập bậc hai phần chơng I đại số thì ngời thầy phải nắm đợc các khuyết điểm mà học sinh thờng mắc phải, từ đó cã ph¬ng ¸n “ Gióp häc sinh ph¸t hiÖn vµ tr¸nh sai lÇm gi¶i to¸n vÒ c¨n bËc hai” Ch¬ng “C¨n bËc hai, c¨n bËc ba” cã hai néi dung chñ yÕu lµ phÐp khai ph- (6) ơng(phép tìm bậc hai số học số không âm) và số phép biến đổi biểu thức lÊy c¨n bËc hai Giíi thiÖu mét sè hiÓu biÕt vÒ c¨n bËc ba, c¨n thøc bËc hai vµ b¶ng c¨n bËc hai Cách trình bày và đa định nghĩa, ký hiệu bậc hai chơng trình SGK cũ n¨m häc 2004-2005 : a) Nh¾c l¹i mét sè tÝnh chÊt cña luü thõa bËc hai : - Bình phơng hay luỹ thừa bậc hai số không âm - Hai số đối có bình phơng và ngợc lại hai số có bình phơng thì chúng đối - Víi hai sè a,b : NÕu a>b th× a2 > b2 vµ ngîc l¹i nÕu a2 > b2 th× a >b - B×nh ph¬ng cña mét tÝch(hoÆc mét th¬ng) b»ng tÝch(hoÆc th¬ng) c¸c b×nh ph¬ng c¸c thõa sè(hoÆc sè bÞ chia víi b×nh ph¬ng sè chia) b) C¨n bËc hai cña mét sè : * XÐt bµi to¸n : Cho sè thùc a H·y t×m sè thùc x cho x2 = a Ta thÊy : - NÕu a< th× kh«ng tån t¹i sè thùc x nµo tho¶ m·n x2 =a - NÕu a > cã hai sè thùc x mµ x 2=a, mét sè thùc d¬ng x1>0 mµ x12=a vµ mét sè thực âm x2<0 mà x22=a, đó là hai số đối * Công nhận : Ngời ta chứng minh đợc với số thực a ≥ luôn luôn tồn t¹i sè thùc nhÊt x≥ mµ x2 =a Ta ký hiÖu x = √ a vµ gäi lµ c¨n bËc hai sè häc cña a * Từ đó đa định nghĩa : bậc hai số học (CBHSH) số a ≥ là số kh«ng ©m x = √ a ≥ cã b×nh ph¬ng b»ng a : x=√ a ⇔ x≥0 ¿ √ a ¿2=a ¿ x 2=¿ * Đa chú ý : a) Số − √ a <0, số đối CBHSH √ a a (a>0) đợc gọi là bậc hai âm a Nh số thực a> có bậc hai là hai số đối : √ a>0 gäi lµ CBHSH hay cßn gäi lµ c¨n bËc hai d¬ng cña a − √ a< gäi lµ c¨n bËc hai ©m cña a b) C¨n bËc hai sè häc cã thÓ coi lµ kÕt qu¶ cña phÐp to¸n sau : ( √ ❑): R+ → R+ a → √ a cho √ a ¿¿ =a phép toán đó gọi là phép khai phơng hay phép khai bậc hai trên R+, đó là phép toán ngợc phép bình phơng trên R+ C¸ch tr×nh bµy c¨n bËc hai ë líp (SGK míi) : a) Đa kiến thức đã biết lớp : (7) - C¨n bËc hai cña mét sè a kh«ng ©m lµ sè x cho x2=a - Số dơng a có đúng hai bậc hai là hai số đối : sốdơng kí hiệu là √ a vµ sè ©m kÝ hiÖu lµ - √ a - Số có đúng bậc hai là chính số 0, ta viết √ = b) Đa định nghĩa : Với số dơng a, số √ a đợc gọi là bậc hai số học a Số đợc gọi là bậc hai số học c) §a chó ý : Víi a≥ 0, ta cã : NÕu x= √ a th× x ≥ vµ x2 =a; NÕu x ≥ vµ x2 =a th× x= √ a Ta viÕt : x=√ a ⇔ x ≥0, x 2=a ¿{ d) §a néi dung vÒ phÐp khai ph¬ng : PhÐp to¸n t×m c¨n bËc hai sè häc cña sè kh«ng ©m gäi lµ phÐp khai ph¬ng e) Khi biết bậc hai số học số, ta dễ dàng xác định đợc các bậc hai bậc hai nã III - Tæng hîp nh÷ng néi dung c¬ b¶n vÒ c¨n bËc hai : KiÕn thøc : Nội dung chủ yếu bậc hai đó là phép khai phơng(phép tìm bậc hai số học số không âm) và số phép biến đổi biểu thức lấy bậc hai * Néi dung cña phÐp khai ph¬ng gåm : - Giới thiệu phép khai phơng(thông qua định nghĩa, thuật ngữ bậc hai số häc cña sè kh«ng ©m) - Liªn hÖ cña phÐp khai ph¬ng víi phÐp b×nh ph¬ng(víi a≥0, cã ( √ a )2=a ; víi a bÊt kú cã √ a2=¿ a∨¿ ) - Liªn hÖ phÐp khai ph¬ng víi quan hÖ thø tù(SGK thÓ hiÖn bëi §Þnh lý vÒ so s¸nh c¸c c¨n bËc hai sè häc : “Víi a ≥ 0, b ≥ 0, ta cã : a < b ⇔ √ a< √ b ”) - Liên hệ phép khai phơng với phép nhân và phép chia(thể : định lý “ a √a = Với a ≥ 0, b ≥ 0, ta có : √ ab= √a √b ” và định lý “ Với a ≥ 0, b > 0, ta có : b √b ”) √ * Các phép biến đổi biểu thức chứa bậc hai mà SGK giới thiệu cho các công thức sau : √ A = | A| (với A là biểu thức đại số hay nói gọn là biểu thức ) √ AB=√ A √ B ( víi A, B lµ hai biÓu thøc mµ A ≥ 0, B ≥ 0) √ A √A = B √B √ A B=¿ A∨√ B ( víi A, B lµ hai biÓu thøc mµ A ≥ 0, B > 0) ( víi A, B lµ hai biÓu thøc mµ B ≥ ) (8) √ A = √ AB B B ( víi A, B lµ hai biÓu thøc mµ AB ≥ 0, B ≠ ) A A √B = √B B ( víi A, B lµ biÓu thøc vµ B > 0) C ( √ A ∓ B) C = √A±B A − B2 (víi A, B, C lµ biÓu thøc mµ A≥ vµ A ≠ B2) C( √ A ∓ √ B) C = A−B √ A ± √B ( víi A, B, C lµ biÓu thøc mµ A ≥ 0, B ≥ vµ A ≠ B ) * Tuy nhiên mức độ yêu cầu các phép biến đổi này là khác và chủ yếu việc giới thiệu các phép này là nhằm hình thành kỹ biến đổi biểu thức( sè phÐp chØ giíi thiÖu qua vÝ dô cã kÌm thuËt ng÷ Mét sè phÐp g¾n víi tr×nh bµy tÝnh chÊt phÐp tÝnh khai ph¬ng) Kü n¨ng : Hai kỹ chủ yếu là kỹ tính toán và kỹ biến đổi biểu thức * Cã thÓ kÓ c¸c kü n¨ng vÒ tÝnh to¸n nh : - Tìm khai phơng số ( số đó có thể là số chính phơng khoảng từ đến 400 là tích hay thơng chúng, đặc biệt là tích thơng số đó với số 100) - Phèi hîp kü n¨ng khai ph¬ng víi kü n¨ng céng trõ nh©n chia c¸c sè ( tÝnh theo thø tù thùc hiÖn phÐp tÝnh vµ tÝnh hîp lý cã sö dông tÝnh chÊt cña phÐp khai ph¬ng) * Có thể kể các kỹ biến đổi biểu thức nh : - Các kỹ biến đổi riêng lẻ tơng ứng với các công thức nêu phần trên( với công thức dạng A = B , có thể có phép biến đổi A thành B và phép biến đổi B thành A) Ch¼ng h¹n kü n¨ng nh©n hai c¨n(thøc) bËc hai cã thÓ coi lµ vËn dông c«ng thøc √ AB=√ A √ B theo chiÒu tõ ph¶i qua tr¸i - Phối hợp các kỹ đó( và kỹ có lớp trớc) để có kỹ biến đổi biểu thức chứa thức bậc hai Chẳng hạn kỹ trục thøc ë mÉu Điều quan trọng rèn luyện các kỹ biến đổi biểu thức là tính mục đích các phép biến đổi Điều này, SGK chú ý thông qua các ứng dụng sau hình thành ban đầu kỹ biến đổi biểu thức Các ứng dụng này còn nhằm phong phú thêm cách thức rèn kỹ năng( để so sánh số, giải toán tìm x thoả mãn điều kiện nào đó.) Ngoài hai kỹ nêu trên ta còn thấy có kỹ đợc hình thành và củng cố phÇn nµy nh : - Gi¶i to¸n so s¸nh sè - Gi¶i to¸n t×m x - Lập luận để chứng tỏ số nào đó là bậc hai số học số đã cho - Một số lập luận giải toán so sánh số(củng cố tính chất bất đẳng thức nêu toán 8) - Mét sè kü n¨ng gi¶i to¸n t×m x ( kÓ c¶ viÖc gi¶i ph¬ng tr×nh tÝch) - Kü n¨ng tra b¶ng sè vµ sö dông m¸y tÝnh Cã thÓ nãi r»ng, h×nh thµnh vµ rÌn luyÖn kü n¨ng chiÕm thêi gian chñ yÕu cña phần kiến thức này( việc hình thành kiến thức chú ý đến các kỹ tơng ứng và nhiều khi, chẳng hạn nh giới thiệu phép biến đổi, thông qua hình thành (9) kü n¨ng) B Ch¬ng II : Néi dung thùc hiÖn I - C¸c bíc tiÕn hµnh : LËp kÕ ho¹ch nghiªn cøu néi dung viÕt s¸ng kiÕn kinh nghiÖm Trao đổi thảo luận cùng đồng nghiệp Đăng ký sáng kiến, làm đề cơng Thu thËp, tËp hîp sè liÖu vµ néi dung phôc vô cho viÖc viÕt s¸ng kiÕn Qua kh¶o s¸t, c¸c bµi kiÓm tra, c¸c giê luyÖn tËp, «n tËp Ph©n lo¹i c¸c sai lÇm cña häc sinh gi¶i c¸c bµi to¸n vÒ c¨n bËc hai thµnh tõng nhãm Đa định hớng, các phơng pháp tránh các sai lầm đó Vận dụng vào các ví dụ cụ thể Tæng kÕt, rót bµi häc kinh nghiÖm II - Khảo sát đánh giá : Nh÷ng giê gi¶ng d¹y trªn líp, qua bµi kiÓm tra ®Çu giê, qua luyÖn tËp, «n tËp GV cần lu ý đến các bài toán bậc hai, xem xét kĩ phần bài giải học sinh, gợi ý để học sinh tự tìm sai sót(nếu có) bài giải, từ đó giáo viên đặt các câu hỏi để học sinh trả lời và tự sửa chữa phần bài giải cho chính xác Qua bµi kiÓm tra 15 phót th× tØ lÖ häc sinh m¾c sai lÇm gi¶i to¸n t×m c¨n bËc hai cña 139 häc sinh líp n¨m häc 2006-2007 lµ : 38/139 em chiÕm 27,33% Trong bµi kiÓm tra ch¬ng I - §¹i sè n¨m häc 2006-2007 cña 139 häc sinh th× sè häc sinh m¾c sai lÇm vÒ gi¶i to¸n cã chøa c¨n bËc hai lµ 56/139 em chiÕm 40,3%(nghiªn cøu tæng hîp qua gi¸o viªn d¹y to¸n n¨m häc 2006-2007) Nh số lợng học sinh mắc sai lầm giải bài toán bậc hai là tơng đối cao, việc các sai lầm học sinh để các em tránh đợc làm bài tập năm học 2007-2008 nµy lµ mét c«ng viÖc v« cïng quan träng vµ cÊp thiÕt qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y ë trêng THCS §ång Khª III - Ph©n tÝch nh÷ng ®iÓm khã vµ míi kiÕn thøc vÒ c¨n bËc hai : So víi ch¬ng tr×nh cò th× ch¬ng I - §¹i sè ch¬ng tr×nh míi nµy cã nh÷ng ®iÓm míi vµ khã chñ yÕu sau : §iÓm míi : - Khái niệm số thực và bậc hai đã đợc giới thiệu lớp và tiếp tục sử dụng qua số bài tập lớp Do đó, SGK này tập trung vào giới thiệu bậc hai số học và phép khai phơng - Phép tính khai phơng và bậc hai số học đợc giới thiệu gọn, liên hệ thứ tự và phép khai phơng đợc mô tả rõ sách cũ ( nhng là bổ sung phần đã nêu ë líp 7) - Các phép biến đổi biểu thức chứa thức bậc hai trình bày nhẹ ( nhẹ lý thuyết, nhẹ mức độ phức tạp các bài tập) - Cách trình bày phép tính khai phơng và phép biến đổi biểu thức chứa thức bậc hai đợc phân biệt rạch ròi ( Tên gọi các mục Đ3 và Đ4 và các chuyển ý giới thiệu các phép biến đổi sau nêu tính chất phép khai phơng thể điều đó) - Cách thức trình bày kiến thức, rèn luyện kỹ đợc SGK chú ý để HS có thể tham gia chủ động nhiều thông qua hệ thống câu hỏi ?n có phần bài häc mçi bµi (10) §iÓm khã vÒ kiÕn thøc so víi kh¶ n¨ng tiÕp thu cña häc sinh : - Nội dung kiến thức phong phú, xuất dày đặc chơng với số tiết không nhiều nên số kiến thức giới thiệu để làm sở để hình thành kỹ tính toán, biến đổi Thậm chí mét sè kiÕn thøc chØ nªu ë d¹ng tªn gäi mµ kh«ng gi¶i thÝch (nh biÓu thøc chøa c¨n bËc hai, ®iÒu kiện xác định thức bậc hai, phơng pháp rút gọn và yêu cầu rút gọn ) - Tªn gäi ( thuËt ng÷ to¸n häc ) nhiÒu vµ dÔ nhÇm lÉn, t¹o nguy c¬ khã hiÓu kh¸i niÖm (ch¼ng h¹n nh c¨n bËc hai, c¨n bËc hai sè häc, khai ph¬ng, biÓu thøc lÊy c¨n, nh©n c¸c c¨n bËc hai, khö mÉu, trôc c¨n thøc) IV - Nh÷ng sai lÇm thêng gÆp gi¶i to¸n vÒ c¨n bËc hai : Nh đã trình bày trên thì học sinh mắc vào hai hớng sai lầm chủ yếu sau : Sai lÇm vÒ tªn gäi hay thuËt ng÷ to¸n häc : a) §Þnh nghÜa vÒ c¨n bËc hai : * ë líp : - §a nhËn xÐt 32=9; (-3)2 =9 Ta nãi vµ -3 lµ c¸c c¨n bËc hai cña - §Þnh nghÜa : C¨n bËc hai cña mét sè a kh«ng ©m lµ sè x cho x2 =a - Số dơng a có đúng hai bậc hai, số dơng ký hiệu là √ a và số âm ký hiÖu lµ- √ a * lớp nhắc lại lớp đa định nghĩa bậc hai số học b) §Þnh nghÜa c¨n bËc hai sè häc : Với số dơng a, số √ a đợc gọi là bậc hai số học a Sau đó đa chú ý : với a ≥ 0, ta có : NÕu x = √ a th× x ≥ vµ x2 =a; NÕu x ≥ vµ x2 =a th× x = √ a Ta viÕt x= √ a ⇔ x≥ x 2=a ¿{ PhÐp to¸n t×m c¨n bËc hai sè häc cña sè kh«ng ©m gäi lµ phÐp khai ph¬ng (gäi t¾t lµ khai ph¬ng) ⋆ Nguy dẫn đến học sinh có thể mắc sai lầm chính là thuật ngữ “ bậc hai” vµ"c¨n bËc hai sè häc” VÝ dô : T×m c¸c c¨n bËc hai cña 16 Rõ ràng học sinh dễ dàng tìm đợc số 16 có hai bậc hai là hai số đối lµ vµ - VÝ dô : TÝnh √ 16 Học sinh đến đây giải sai nh sau : √ 16 = vµ - cã nghÜa lµ √ 16 = ± Nh học sinh đã tính đợc số √ 16 có hai bậc hai là hai số đối là : √ 16 =4 vµ √ 16 = -4 Do đó việc tìm bậc hai và bậc hai số học đã nhầm lẫn với (11) Lời giải đúng : √ 16 = ( cã thÓ gi¶i thÝch thªm v× > vµ 42 = 16) Trong c¸c bµi to¸n vÒ sau kh«ng cÇn yªu cÇu häc sinh ph¶i gi¶i thÝch c) So s¸nh c¸c c¨n bËc hai sè häc : Víi hai sè a vµ b kh«ng ©m, ta cã a < b ⇔ √ a<√ b VÝ dô : so s¸nh vµ √ 15 Häc sinh sÏ loay hoay kh«ng biÕt nªn so s¸nh chóng theo h×nh thøc nµo v× theo định nghĩa số √ 15 chính là bậc hai số học 15 đó đem so sánh với số thì số có hai bậc hai số học là và -2 cho nên với suy nghĩ đó học sinh đa lời giải sai nh sau : < √ 15 (vì hai bậc hai nhỏ √ 15 ) TÊt nhiªn c¸i sai nµy cña häc sinh kh«ng ph¶i c¸c em hiÓu nhÇm sau häc song bài này mà sau học thêm loạt khái niệm và hệ thức thì học sinh không chú ý đến vấn đề quan trọng này Lời giải đúng : 16 > 15 nên √ 16 > √ 15 Vậy = √ 16 > √ 15 ë ®©y gi¸o viªn cÇn nhÊn m¹nh lu«n lµ ta ®i so s¸nh hai c¨n bËc hai sè häc! d) Sai thuật ngữ chú ý định nghĩa bậc hai số học : víi a ≥ 0, ta cã : NÕu x = √ a th× x ≥ vµ x2 =a; NÕu x ≥ vµ x2 =a th× x = √ a VÝ dô : T×m sè x, kh«ng ©m biÕt : √ x = 15 Häc sinh sÏ ¸p dông chó ý thø nhÊt vµ sÏ gi¶i sai nh sau : NÕu x = √ a th× x ≥ vµ x2 =a; v× ph¬ng tr×nh x2 = a cã nghiÖm lµ x = √ a và x =- √ a học sinh đã đợc giải lớp nên các em giải bài toán trên nh sau : Do x ≥ nªn √ x2 = 152 hay x = 225 vµ x = -225 Vậy tìm đợc hai nghiệm là x1 =225 và x2 =-225 Lời giải đúng : từ chú ý bậc hai số học, ta có x = 152 Vậy x =225 e) Sai thuËt ng÷ khai ph¬ng : VÝ dô : TÝnh - √ 25 - Học sinh hiểu đợc phép toán khai phơng chính là phép toán tìm bËc hai sè häc cña sè kh«ng ©m nªn häc sinh sÏ nghÜ - √ 25 lµ mét c¨n bËc hai ©m cña sè d¬ng 25, cho nªn sÏ dÉn tíi lêi gi¶i sai nh sau : - √ 25 = vµ - Lời giải đúng là : - √ 25 = -5 g) Sai sử dụng thức bậc hai và đẳng thức √ A = | A| ∙ C¨n thøc bËc hai : Với A là biểu thức đại số, ngời ta gọi √ A là thức bậc hai A, còn A đợc gọi là biểu thức lấy hay biểu thức dới dấu (12) √ A xác định (hay có nghĩa ) A lấy giá trị không âm ∙ Hằng đẳng thức : √ A = | A| Cho biÕt mèi liªn hÖ gi÷a phÐp khai ph¬ng vµ phÐp b×nh ph¬ng Ví dụ : Hãy bình phơng số -8 khai phơng kết vừa tìm đợc Häc sinh víi vèn hiÓu biÕt cña m×nh sÏ cã lêi gi¶i sau (lêi gi¶i sai) : (-8)2 = 64 , nªn khai ph¬ng sè 64 l¹i b»ng -8 Lời giải đúng : (-8)2 = 64 và √ 64 = Mèi liªn hÖ √ a2 = | a| cho thÊy “ B×nh ph¬ng mét sè, råi khai ph¬ng kÕt qu¶ đó, cha đợc số ban đầu” Ví dụ : Với a2 = A thì √ A cha đã a Cụ thể ta có (-5)2 = 25 nhng √ 25 = 5; nhiều ví dụ tơng tự đã khảng định đợc kÕt qu¶ nh ë trªn Sai lÇm c¸c kü n¨ng tÝnh to¸n : a) Sai lầm việc xác định điều kiện tồn bậc hai : VÝ dô : T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña : A = x + √x * Lêi gi¶i sai : A= x + √ x = (x+ √ x + ) - = ( √ x + )2 ≥ - 4 VËy A = - * Ph©n tÝch sai lÇm : 1 Sau chøng minh f(x) ≥ - , cha chØ trêng hîp x¶y f(x) = - X¶y vµ chØ √ x = - (v« lý) * Lời giải đúng : x=0 Để tồn √ x thì x ≥0 Do đó A = x + √ x ≥ hay A = và 1− x ¿2 -6=0 4¿ √¿ VÝ dô : T×m x, biÕt : * Lêi gi¶i sai : 1− x ¿2 -6=0 4¿ √¿ 1− x ¿ ¿ ¿ ⇔2 √¿ ⇔ 2(1-x) = ⇔ 1- x = ⇔ x = - * Phân tích sai lầm : Học sinh có thể cha nắm vững đợc chú ý sau : Một cách tæng qu¸t, víi A lµ mét biÓu thøc ta cã √ A = | A|, cã nghÜa lµ : √ A = A nÕu A ≥ ( tøc lµ A lÊy gi¸ trÞ kh«ng ©m ); (13) √ A = -A nÕu A < ( tøc lµ A lÊy gi¸ trÞ ©m ) Nh thÕ theo lêi gi¶i trªn sÏ bÞ mÊt nghiÖm * Lời giải đúng : 1− x ¿2 -6=0 4¿ √¿ 1- x = ⇔ x = -2 1− x ¿ ¿ ¿ ⇔2 √¿ ⇔ | 1- x | = Ta ph¶i ®i gi¶i hai ph¬ng tr×nh sau : 1) 2) 1- x = -3 ⇔ x = Vậy ta tìm đợc hai giá trị x là x1= -2 và x2= VÝ dô 10 : T×m x cho B cã gi¸ trÞ lµ 16 B = √ 16 x +16 - √ x+ + √ x +4 + √ x+1 víi x ≥ -1 * Lêi gi¶i sai : B = √ x+1 -3 √ x+1 + √ x −1 + √ x −1 B = √ x+1 16 = √ x+1 ⇔ = √ x+1 ⇔ = ( √ x+1 ) hay 16 = 2 x+ 1¿2 ¿ √¿ ⇔ 16 = | x+ 1| Nªn ta ph¶i ®i gi¶i hai ph¬ng tr×nh sau : 1) 16 = x + ⇔ x = 15 2) 16 = -(x+1) ⇔ x = - 17 * Phân tích sai lầm : Với cách giải trên ta đợc hai giá trị x là x 1= 15 và x2=17 nhng có giá trị x1 = 15 là thoả mãn, còn giá trị x 2= -17 không đúng Đâu là nguyên nhân sai lầm đó ? Chính là áp dụng quá dập khuôn vào công thức mà không để ý đến điều kiện đã cho bài toán, với x ≥ -1 thì các biểu thức luôn tồn nên không cần đa biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối nữa.! * Lời giải đúng : B = √ x+1 -3 √ x+1 + √ x −1 + √ x −1 B = √ x+1 16 = √ x+1 ⇔ = √ x+1 (do x ≥ -1) ⇔ 16 = x + Suy x = 15 b) Sai lầm kỹ biến đổi : Trong học sinh thực phép tính các em có đôi bỏ qua các dấu số chiều bất đẳng thức dẫn đến giải bài toán bị sai VÝ dô 11 : T×m x, biÕt : (4- √ 17 ¿ x< √3(4 − √17) * Lêi gi¶i sai : (4- √ 17 ¿ x< √3(4 − √17) ⇔ 2x < √ ( chia c¶ hai vÕ cho 4- √ 17 ) ⇔ x< √ * Phân tích sai lầm : Nhìn qua thì thấy học sinh giải đúng và không có vấn đề gì (14) Học sinh nhìn thấy bài toán này thấy bài toán không khó nên đã chủ quan không để ý đến dấu bất đẳng thức : “Khi nhân chia hai vế bất đẳng thức với cùng số âm thì bất đẳng thức đổi chiều” Do đó rõ ràng sai chỗ học sinh đã bỏ qua việc so sánh và √ 17 cho nên bá qua biÓu thøc - √ 17 lµ sè ©m, dÉn tíi lêi gi¶i sai * Lời giải đúng : Vì = √ 16 < √ 17 nên - √ 17 < 0, đó ta có ⇔ (4- √ 17 ¿ x< √3(4 − √17) 2x > √ x > √3 ⇔ VÝ dô 12 : Rót gän biÓu thøc : x −3 x +√ x −3 x +√ = ( x − √3)(x + √ 3) = x - √ x+ √3 * Phân tích sai lầm : Rõ ràng x = - √ thì x + √ = 0, đó biểu thức x −3 không tồn Mặc dù kết giải đợc học sinh đó không sai, nhng x +√ sai lóc gi¶i v× kh«ng cã c¨n cø lËp luËn, v× vËy biÓu thøc trªn cã thÓ kh«ng tån thì làm có thể có kết đợc * Lời giải đúng : Biểu thức đó là phân thức, để phân thức tồn thì cần phải có x + √ ≠ hay x ≠ - √ Khi đó ta có * Lêi gi¶i sai : x −3 x +√ = ( x − √ 3)(x + √ 3) = x - √ (víi x ≠ - √ ) x+ √3 VÝ dô 13 : Rót gän M, råi t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña M M= ( a −1√ a + √ a−1 ) : a −√2a+1 √ a+1 víi a > * Lêi gi¶i sai : M= ( a −1√ a + √ a−1 ) : a −√2a+1 √ a+1 = ( 1+ √ a : √ a(√ a −1) ) √ a −1 ¿2 ¿ √ a+1 ¿ M= ( 1+ √ a √ a(√ a −1) ) √ a −1 ¿2 ¿ ¿ ¿ M = √a − √a Ta cã M = >0 √ a − = √a - = 1- , đó ta nhận thấy M < vì a √a √a √a √a Do đó M = và a = * Ph©n tÝch sai lÇm : Nh×n vµo kÕt qu¶ cña bµi to¸n rót gän th× kh«ng sai, nhng (15) sai ë chç häc sinh lËp luËn vµ ®a kÕt qu¶ vÒ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña M th× l¹i sai Rõ ràng học sinh không để ý đến chi tiết a = thì √ a = đó √ a - 1= 0, ®iÒu nµy sÏ m©u thuÉn ®iÒu kiÖn tån t¹i cña ph©n thøc * Lời giải đúng : M= ( a −1√ a + √ a−1 ) : a −√2a+1 √ a+1 cã a > vµ √ a - ≠ hay a >0 vµ a ≠ Víi ®iÒu kiÖn trªn, ta cã : M= ( 1+ √ a √ a(√ a −1) ) √ a −1 ¿2 ¿ ¿ ¿ M = √a − √a đó ta nhận thấy M < vì a >0 Nếu M = 0, và a = 1(mâu thuẫn với điều kiÖn) VËy < M < 1, vµ chØ 0< a <1 VÝ dô 14 : Cho biÓu thøc : Q= ( 1−√ x√ x + 1+√√x x )+ 3x−−1√ x víi x ≠ 1, x > a) Rót gän Q b) Tìm x để Q > -1 ( √x + √x +3 − √x x −1 1− √ x 1+ √ x Q= [ √ x (1+ √ x )+ √ x (1 − √ x) - − √ x (1 − √ x)(1+ √ x ) 1−x Q= ( √ x +1x +−√xx − x ) − Q= √x − 1−x Gi¶i : a) Q = ) ] − √x 1−x Q = 3√ x−3 = 1−x Q=- − √x 1−x = √ x −(3 − √ x) 1−x −3 1+ √ x 1+ √ x b) * Lêi gi¶i sai : Q > -1 nªn ta cã 1+ √ x > -1 ⇔ > 1+ √ x ⇔ > √x ⇔ > x hay x < VËy víi x < th× Q < -1 * Phân tích sai lầm : Học sinh đã nghiễm nhiên bỏ dấu âm hai vế bất đẳng thức vì có luôn đợc bất đẳng thức với hai vế dơng nên kết (16) bài toán dẫn đến sai * Lời giải đúng : Q > -1 nªn ta cã 1+ √ x ⇔ x > 1+ √ x > -1 ⇔ < ⇔ 1+ √ x > ⇔ √x > VËy víi x > th× Q > - V - Nh÷ng ph¬ng ph¸p gi¶i to¸n vÒ c¨n bËc hai : Xét thuật ngữ toán học : Vấn đề này không khó dễ dàng ta có thể khắc phục đợc nhợc điểm này học sinh XÐt biÓu thøc phô cã liªn quan : VÝ dô : Víi a > 0, b > h·y chøng minh √ a+b < √ a+ √ b Gi¶i : Ta ®i so s¸nh hai biÓu thøc sau : a + b vµ ( √ a + √ b )2 Ta cã : ( √ a + √ b )2 = a+ b + √ ab Suy a + b < ( √ a + √ b )2 đó ta khai hai vế ta đợc : √ a+b < √ a+√ b ¿2 ¿ vì a > 0, b > nên ta đợc : √¿ √ a+b < √ a+√ b * Nh bài toán này muốn so sánh đợc √ a+b với √ a+ √ b thì ta phải so sánh hai biểu thức khác có liên quan và biết đợc quan hệ thứ tự chúng, đó biểu thức liên quan đó ta gọi là biểu thức phụ VÝ dô : T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt, lín nhÊt cña biÓu thøc A : A= − √3 − x Gi¶i : Ta ph¶i cã |x| ≤ DÔ thÊy A > Ta xÐt biÓu thøc phô sau : B= =¿ A Ta cã : ≤ √ 3− x ≤ x=0 2- √ 3− x √ 3− x ≤ √ => - √ ≤- √ 3− x ≤ => 2- √ ≤ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña B = 2- √ ⇔ √ = √ 3− x ⇔ Khi đó giá trị lớn A = − √3 = 2+ √ Gi¸ trÞ lín nhÊt cña B = vµ chØ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A = B = √ 3− x = ⇔ x = ± √ , đó * Nhận xét : Trong ví dụ trên, để tìm đợc giá trị lớn và giá trị nhỏ (17) biÓu thøc A, ta ph¶i ®i xÐt mét biÓu thøc phô A Vận dụng các hệ thức biến đổi đã học : Giáo viên chú ý cho học sinh biến đổi và thực các bài toán bậc hai cách sử dụng các hệ thức và công thức đã học : Hằng đẳng thức, Quy tắc khai ph¬ng mét tÝch, quy t¾c nh©n c¸c c¨n bËc hai, quy t¾c khai ph¬ng mét th¬ng, quy t¾c chia hai c¨n bËc hai, ®a thõa sè ngoµi dÊu c¨n, ®a thõa sè vµo dÊu c¨n, Khö mÉu cña biÓu thøc lÊy c¨n, trôc c¨n thøc ë mÉu… Ngoài các hệ thức đã nêu trên, tính toán học sinh gặp bài toán có liên quan đến bậc hai biểu thức, nhng bài toán lại yêu cầu tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức đã cho Hay yêu cầu tìm giá trị tham số nào đó để biểu thức đó luôn âm luôn dơng hoặc giá trị nào đó… thì giáo viên cần phải nắm vững nội dung kiến thức cho hớng dẫn học sinh thực nhẹ nhàng mà học sinh hiểu đợc bài toán đó VÝ dô : Cho biÓu thøc : P= ( √ a − √a − − √ a+1 2√a √ a+1 √ a −1 )( ) víi a > vµ a ≠ a) Rót gän biÓu thøc P; b) Tìm giá trị a để P < Gi¶i : a) √ a+1 ¿2 P= ( ¿ a− 1¿ −¿ √ ¿ √ a √ a −1 ¿ 2√ a ) 2 = ( a2−1√ a ) a −2 √ a+1a−a−1− √a − = √a ¿ ¿ (a −1)(− √ a) ¿ 1−a = (1− a) √ a = 4a √a VËy P = 1−a √a víi a > vµ a ≠ b) Do a > vµ a ≠ nªn P < vµ chØ 1−a <0 ⇔ 1- a < ⇔ √a VÝ dô : T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc A : a > A = √ x −1 + √ y − biÕt x + y = Gi¶i : Ta cã A2 = ( x-1) + (y - 2) + √ (x − 1)( y − 2) = = (x + y) - + √( x − 1)( y − 2) = 1+ √( x − 1)( y − 2) (18) Ta l¹i cã √( x − 1)( y − 2) ≤ (x -1) + (y- 2) = Nªn A2 ≤ => Gi¸ trÞ lín nhÊt cña A = √ vµ chØ ¿ x −1= y − x+ y=4 ⇔ ¿ x=1,5 y=2,5 ¿{ ¿ Trªn ®©y lµ mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i to¸n vÒ c¨n bËc hai vµ nh÷ng sai lÇm mµ häc sinh hay m¾c ph¶i, xong qu¸ tr×nh híng dÉn häc sinh gi¶i bµi tËp, gi¸o viªn cÇn phân tích kỹ đề bài để học sinh tìm đợc phơng pháp giải phù hợp, tránh lập luận sai hiểu sai đầu bài dẫn đến kết không chính xác VI- KÕt qu¶ thùc hiÖn : Qua thực tế giảng dạy chơng I- môn đại số năm học 2007-2008 này Sau xây dựng đề cơng chi tiết sáng kiến kinh nghiệm đợc rút từ năm học 2006-2007 tôi đã vận dụng vào các dạy các lớp 9A, 9B chủ yếu vào các tiết luyện tập, ôn tËp Qua viÖc kh¶o s¸t chÊm ch÷a c¸c bµi kiÓm tra t«i nhËn thÊy r»ng tØ lÖ bµi tËp häc sinh giải đúng tăng lên Cô thÓ : Bµi kiÓm tra 15 phót : Tæng sè 73 em Số bài kiểm tra học sinh giải đúng là 66 em chiếm 90,4% (ở năm học 20062007 là 73%) Tuy dừng lại các bài tập chủ yếu mang tính áp dụng nhng hiệu đem lại đã phản ánh phần nào hớng đúng Bµi kiÓm tra ch¬ng I : Tæng sè 73 em Số bài kiểm tra học sinh giải đúng là 56 em chiếm 76,7% (ở năm học 2006-2007 là 60%) các bài tập đã có độ khó, cần suy luận và t cao Nh vËy sau t«i ph©n tÝch kü c¸c sai lÇm mµ häc sinh thêng m¾c ph¶i giải bài toán bậc hai thì số học sinh giải đúng bài tập tăng lên, số học sinh mắc sai lầm lập luận tìm lời giải giảm nhiều Từ đó chất lợng dạy và học môn Đại số nói riêng và môn Toán nói chung đợc nâng lên VII- Bµi häc kinh nghiÖm vµ gi¶i ph¸p thùc hiÖn : Qua qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y bé m«n To¸n, qua viÖc nghiªn cøu caqcs ph¬ng ¸n gióp häc sinh tránh sai lầm giải toán bậc hai chơng I-Đại số 9, tôi đã rút số kinh nghiệm nh sau : * VÒ phÝa gi¸o viªn : - Ngời thầy phải không ngừng học hỏi, nhiệt tình giảng dạy, quan tâm đến chất lợng học sinh, nắm vững đợc đặc điểm tâm sinh lý đối tợng học sinh và phải hiểu đợc gia cảnh nh khả tiếp thu học sinh, từ đó tìm phơng pháp dạy học hợp lý theo sát đối tợng học sinh Đồng thời dạy các tiết học luyện tập, ôn tập giáo viên cần rõ sai lầm mà học sinh thờng mắc phải, phân tích kĩ các lập luận sai để học sinh ghi nhớ và rút kinh nghiệm làm các bài tập Sau đó giáo viên cần tổng hợp đa phơng pháp giải cho loại bài để học sinh giải bài tập dễ dàng - Th«ng qua c¸c ph¬ng ¸n vµ ph¬ng ph¸p trªn th× gi¸o viªn cÇn ph¶i nghiªm khắc, uốn nắn sai sót mà học sinh mắc phải, đồng thời động viên kịp thời (19) các em làm bài tập tốt nhằm gây hứng thú học tập cho các em, đặc biệt lôi đợc đại đa số các em khác hăng hái vào công việc - Giáo viên cần thờng xuyên trao đổi với đồng nghiệp để học hỏi và rút kinh nghiệm cho thân, vận dụng phơng pháp dạy học phù hợp với nhận thức học sinh, không ngừng đổi phơng pháp giảng dạy để nâng cao chất lợng dạy và học - Giáo viên phải chịu hy sinh số lợi ích riêng đặc biệt thời gian để bố trí các buổi phụ đạo cho học sinh * VÒ phÝa häc sinh : - B¶n th©n häc sinh ph¶i thùc sù cè g¾ng, cã ý thøc tù häc tù rÌn, kiªn tr× vµ chÞu khã qu¸ tr×nh häc tËp - Trong học trên lớp cần nắm vững phần lý thuyết hiểu đợc chất vấn đề, có kỹ vận dụng tốt lí thuyết vào giải bài tập Từ đó học sinh có thể tránh đợc sai lầm gi¶i to¸n - Phải có đầy đủ các phơng tiện học tập, đồ dùng học tập đặc biệt là máy tính ®iÖn tö bá tói Caisi« f(x) tõ 220 trë lªn; giµnh nhiÒu thêi gian cho viÖc lµm bµi tËp ë nhà thờng xuyên trao đổi, thảo luận cùng bạn bè để nâng cao kiến thức cho thân VIII- KÕt luËn : Phần kiến thức bậc hai chơng I- Đại số rộng và sâu, tơng đối khó với học sinh, cã thÓ nãi nã cã sù liªn quan vµ mang tÝnh thùc tiÔn rÊt cao, bµi tËp vµ kiÕn thùc réng, nhiÒu Qua việc giảng dạy thực tế tôi nhận thấy để dạy học đợc tốt phần chơng I- Đại số thì cần phải nắm vững sai lầm học sinh thờng mắc phải và bên cạnh đó học sinh phải có đầy đủ kiến thøc cò, ph¶i cã ®Çu ãc tæng qu¸t, l«gic vËy sÏ cã nhiÒu häc sinh c¶m thÊy khã häc phÇn kiÕn thøc nµy §Ó n©ng cao chÊt lîng d¹y vµ häc gióp häc sinh høng thó häc tËp m«n To¸n nãi chung vµ phÇn ch¬ng I- §¹i sè nãi riªng th× mçi gi¸o viªn ph¶i tÝch luü kiÕn thøc, ph¶i cã ph¬ng ph¸p gi¶ng d¹y tÝch cùc, cñng cè kiÕn thøc cò cho häc sinh vµ lµ c©y cÇu nèi linh ho¹t cã hån gi÷a kiÕn thøc vµ häc sinh Víi s¸ng kiÕn “Gióp häc sinh ph¸t hiÖn vµ tr¸nh sai lÇm gi¶i to¸n bậc hai” tôi đã cố gắng trình bày các sai lầm học sinh thờng mắc phải cách tổng quát nhất, bên cạnh đó tôi phân tích các điểm và khó phần kiến thức này so với khả tiếp thu học sinh để giáo viên có khả phát sai lầm học sinh để từ đó định hớng và đa đợc hớng nh biện pháp khắc phục các sai lầm đó Bên cạnh đó tôi luôn phân tích các sai lầm học sinh và nêu các phơng pháp khắc phục và định hớng dạy học dạng để nâng cao cách nhìn nhận học sinh qua đó giáo viên có thể giải vấn đề mà học sinh mắc phải cách dễ hiểu Ngoài tôi còn đa số bài tập tiêu biểu thông qua các ví dụ để các em cã thÓ thùc hµnh kü n¨ng cña m×nh Vì thời gian nghiên cứu đề tài có hạn và tối nghiên cứu phạm vi Vì tôi đa vấn đề để áp dụng vào năm học này qua đúc rút các năm học trớc đã dạy Tôi xin đợc đề xuất số ý nhỏ nh sau nhằm n©ng cao chÊt lîng d¹y vµ häc cña gi¸o viªn vµ häc sinh : - Gi¸o viªn cÇn nghiªn cøu kÜ néi dung vµ ch¬ng tr×nh s¸ch gi¸o khoa, so¹n gi¸o án cụ thể và chi tiết, thiết kế đồ dùng dạy học và TBDH cho sinh động và thu hút đối tợng học sinh tham gia - Giáo viên cần tích cực học hỏi và tham gia chuyên đề, hội thảo tổ, nhóm và nhµ trêng, tham gia tÝch cùc vµ nghiªn cøu tµi liÖu vÒ båi dìng thêng xuyªn - Häc sinh cÇn hãc kÜ lý thuyÕt vµ cè g¾ng hiÓu kÜ kiÕn thøc trªn líp (20) - Học sinh nhà tích cực làm bài tập đầy đủ, phân phối thời gian hợp lý - Gia đình học sinh và các tổ chức đoàn thể xã hội cần quan tâm và tr¸ch nhiÖm h¬n n÷a tíi viÖc häc tËp cña em m×nh V× kh¶ n¨ng cã h¹n, kinh nghiÖm gi¶ng d¹y m«n To¸n cha nhiÒu, tÇm quan s¸t tæng thÓ cha cao, l¹i nghiªn cøu mét thêi gian ng¾n, nªn khã tr¸nh khái thiÕu sót và khiếm khuyết Rất mong đợc lãnh đạo và đồng nghiệp bảo, giúp đỡ và bổ xung cho tôi để sáng kiến đợc đầy đủ có thể vận dụng đợc tốt và có chất lợng nh÷ng n¨m häc sau T«i xin ch©n thµnh c¸m ¬n ! PhÇn III : theo dâi thùc hiÖn Tôi đã áp dụng sáng kiến kinh nghiệm này vào giảng dạy thực tế từ tuần đến tuần (dạy chơng I- Đại số 9) năm học 2011-2012 đợc kết nh sau : TuÇn KÕt qu¶ thùc hiÖn Tån t¹i §iÓu chØnh- bæ xung -Häc sinh cã ý thøc học tơng đối tốt, chuẩn bị bài đầy đủ, có đủ đồ dïng häc tËp - Häc sinh bÞ hæng kiÕn thøc cò, kiÕn thøc c¬ b¶n tõ líp díi t¬ng đối nhiều thời gian - Cã sù hµo høng bíc hÌ dµi häc sinh cha cã ®iÒu kiÖn «n vµ cËp vµo m«n häc nhËt l¹i - Yªu cÇu häc sinh «n tËp l¹i bµi cò, cñng cè l¹i c¸c kiÕn thøc vÒ c¨n bậc hai đã đợc học từ líp - ¸p dông c¸c ph¬ng ph¸p vµ mét sè bµi tËp ban ®Çu, nhËn thÊy tØ lÖ häc sinh giải bài tập đúng t¨ng lªn - Cßn nhiÒu häc sinh cha vËn dông tèt c¸c ph¬ng ph¸p hoÆc cha n¾m v÷ng kiÕn thøc c¬ b¶n cña bµi học đó còn cha theo kÞp b¹n bÌ - Cho häc sinh lµm nhiÒu bµi tËp, luyÖn tËp, GV cÇn nªu râ c¸c bíc gi¶i sö dông ph¬ng ph¸p - T×m nhiÒu bµi tËp t¬ng tự để học sinh nhà lµm t¹o thãi quen vµ hiÓu kÜ vÒ c¸ch lµm - ¸p dông ph¬ng ph¸p gi¶i bµi tËp th× tØ lÖ häc sinh gi¶i bµi tập đã tăng lên nhiÒu Cô thÓ lµ tæng sè häc sinh tham gia kiÓm tra 15 phót lµ 73, số học sinh giải đúng lµ 66 em - Cßn mét sè häc sinh gi¶i bµi tËp sai hoÆc không giải đợc bài tËp nµo Mét phÇn lµ häc sinh yÕu tõ tríc, mét phÇn cha cËp nhËt vµ tiÕp cËn víi ph¬ng ph¸p - Tæ chøc «n tËp riªng để hớng dẫn học sinh nµy gi¶i bµi tËp đơn giải để học sinh tiÕp cËn dÇn dÇn víi c¸c bµi tËp ®i tõ mức độ dễ đến mức độ khã - Củng cố các phơng - Trình độ mặt - Tiếp tục tổ chức học (21) ph¸p gi¶i to¸n chøa chung gi÷a c¸c häc c¨n bËc hai sinh ®ang cã sù ph©n hoá rõ nét Nhóm đối tîng häc sinh yÕu ®ang cã su thÕ ch¸n vµ bá bÔ bµi tËp ôn thêm cho đối tợng nh÷ng häc sinh yÕu - Thảo luận cùng đồng nghiệp để kịp thời đánh giá phơng pháp tạo đồng thuận vµ t©m lý yªn t©m - §iÒu kiÖn häc thªm, phßng häc thªm cha cã hoÆc Ýt nªn cha thÓ bố trí để các học sinh cßn yÕu theo häc - Các học sinh yếu đã dần - Đa phần học sinh dần theo kịp và giải bài tập nghèo đó thiếu đã tiến lên rõ rệt trang thiÕt bÞ häc tËp nh m¸y tÝnh ®iÖn tö bá tói… - §a c¸c vÝ dô minh họa để học sinh tự làm nhà thay vì đến lớp ôn tËp v× kh«ng cã líp - TiÕp tôc t×m c¸c sai - TØ lÖ häc sinh m¾c lÇm vµ ph©n tÝch c¸c sai lÇm vµ hiÓu cha s©u sai lÇm cña häc sinh vÉn cßn cao để giúp học sinh tránh các sai lầm đó - Híng dÉn häc sinh giải các bài tập đơn giải để học sinh nắm đợc ph¬ng ph¸p lµm bµi vµ tù t×m nh÷ng sai lÇm bµi lµm cña m×nh để bài sau làm chính x¸c h¬n - §a mét sè d¹ng bµi tËp tæng qu¸t cã liên quan đến nhiều kiến thức để học sinh thùc hiÖn, c¸c bµi tËp ë mức độ khó - Nh×n chung häc sinh trung b×nh vµ yÕu lµm bµi tËp cßn chËm vµ sai sãt nhiÒu - Nªn chuyÓn híng c¸c bài tập tổng hợp có độ khó và độ phức tạp sang đối tợng học sinh khá - Nh÷ng bµi tËp ë d¹ng giái tæng hîp th× häc sinh trung - Đa số học sinh đã nắm đ- bình cha làm hoàn thiện îc ph¬ng ph¸p, hiÓu kü vµ s©u vÒ c¸c ph¬ng ph¸p th× kho¶ng 50% trªn tæng sè häc sinh/ - KÞp thêi t×m hiÓu nguyªn nh©n, gia c¶nh cña häc sinh, động viên kịp thời tới häc sinh cßn yÕu - Nh÷ng bµi tËp mang tÝnh t mµ häc sinh rÊt dÔ m¾c sai lÇm th× cha ®a cho häc sinh trung b×nh vµ yÕu - Cñng cè toµn bé c¸c - Mét sè häc sinh yÕu - §éng viªn khÝch lÖ kÞp phơng pháp giải cha nhớ và cha thời học sinh học đợc và to¸n c¨n bËc hai hiÓu s©u ph¬ng ph¸p cha học đợc - Phân tích kỹ các sai lầm - Một số học sinh khác đã - Nghiêm khắc với mà học sinh mắc phải và quên kiến thức phần học sinh còn cố tình chây ltránh sai lầm đó ®Çu ch¬ng êi häc tËp - Theo dâi vµ thu thËp - Cßn 10% häc sinh - n¨m häc sau, kÕt qu¶ qua bµi kiÓm gi¶i bµi sai mét phÇn ¸p dông s¸ng kiÕn kinh tra cuèi ch¬ng nghiÖm nµy cÇn ph©n lo¹i häc sinh vµ lùa - KÕt qu¶ bµi kiÓm tra cuèi Sè häc sinh gi¶i bµi chän ph¬ng ph¸p phï ch¬ng I : sai toàn là 13,4% hợp với đối tợng Tæng sè 73 häc sinh nguyªn nh©n lµ häc häc sinh sinh nhËn thøc chËm, (22) Sè häc sinh gi¶i bµi tËp lêi lµm bµi tËp ë nhµ đúng là 56 em và lên lớp cha chú ý 76,6% DuyÖt cña tæ KHTN Duyệt hội đồng khoa học nhà trờng (23) Môc lôc : TT 10 11 12 13 Néi dung Trang PhÇn I : Më ®Çu A - Lý chọn đề tài : ………………………………………………… B- Thêi gian nghiªn cøu : …………………………………………… C - Mục đích nghiên cứu: …………………………………………… D - Ph¹m vi nghiªn cøu : …………………………………………… E - §èi tîng nghiªn cøu : …………………………………………… F - Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu : ……………………………………… G - Tµi liÖu tham kh¶o : ……………………………………………… Phần II : nội dung đề tài : A Ch¬ng I : c¬ së lý luËn : I- Quan điểm đổi phơng pháp : ……………………………… II- C¬ së thùc tiÔn cña s¸ng kiÕn kinh nghiÖm : ……………………… III- Tæng hîp nh÷ng néi dung c¬ b¶n vÒ c¨n bËc hai : ………………… 1 2 4 4 (24) 14 B Ch¬ng II : Néi dung thùc hiÖn : 15 16 17 18 19 20 21 22 23 I - C¸c bíc tiÕn hµnh : ………………………………………………… II - Khảo sát đánh giá : ………………………………………………… III - Ph©n tÝch nh÷ng ®iÓm khã vµ míi kiÕn thøc vÒ c¨n bËc hai : IV - Nh÷ng sai lÇm thêng gÆp gi¶i to¸n vÒ c¨n bËc hai : ………… V - Nh÷ng ph¬ng ph¸p gi¶i to¸n vÒ c¨n bËc hai : …………………… VI- KÕt qu¶ thùc hiÖn : ………………………………………………… VII- Bµi häc kinh nghiÖm vµ gi¶i ph¸p thùc hiÖn : …………………… VIII- KÕt luËn : ………………………………………………………… PhÇn III : Theo dâi thùc hiÖn : 10 10 10 11 18 20 20 21 23 (25)