DE THI HSG TOAN8 HAY

Đường thẳng qua O và song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự ở M và N.. Chứng minh rằng OM = ON.[r]

§Ò thi chän häc sinh n¨ng khiÕu líp N¨m häc 2010 - 2011 M«n to¸n Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề Ngµy thi: 20 th¸ng n¨m 2011 phòng giáo dục & đào tạo huyÖn phï ninh §Ò thi cã 01 trang Bµi (3 ®iÓm) Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö : a) 3x2 – 7x + 2; Bµi (6 ®iÓm) Cho biểu thức: a Rút gọn biểu thức A b) a(x2 + 1) – x(a2 + 1)   10  x   x A    : x      x2   x  2 x x2  b Tính giá trị A, biết x = c Tìm giá trị x để A < d Tìm các giá trị nguyên x để A có giá trị nguyên Bµi (5 điểm) a Tìm x, y, z thỏa mãn phương trình sau : 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = a b c x y z x2 y z   0   1   1 b Cho a b c và x y z Chứng minh : a b c Bµi (1 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = a − a3 +3 a2 −4 a+5 Bài (5 điểm) Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt O Đường thẳng qua O và song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự M và N a Chứng minh OM = ON 1 b Chứng minh AB + CD =MN c Biết SAOB= 20102 (đơn vị diện tích); SCOD= 20112 (đơn vị diện tích) Tính SABCD - Hết Lu ý: Thí sinh thi môn Toán không đợc sử dụng Máy tính cầm tay phòng giáo dục - đào tạo huyÖn phï ninh híng dÉn chÊm bµi thi häc sinh giái huyÖn N¨m häc 2010 - 2011 M«n: to¸n - líp Bµi 1: (3 ®iÓm) a (1,5 3x2 – 7x + = 3x2 – 6x – x + = ®iÓm) = 3x(x -2) – (x - 2) = (x - 2)(3x - 1) b (1,5 a(x2 + 1) – x(a2 + 1) = ax2 + a – a2x – x = ®iÓm) = ax(x - a) – (x - a) = = (x - a)(ax - 1) Bµi điểm 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5   10  x   x A    : x      x   x x 2   x 2   Biểu thức: 1 A x a Rút gọn kq: 1 1 x   x x 2 b 1.5 4 A c A   x  1 AZ   Z  x   1;3 x  d  A 1.5 1.5 1.5 Bài (5 ®iÓm) a (2,5) 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 =  (9x2 – 18x + 9) + (y2 – 6y + 9) + 2(z2 + 2z + 1) =  9(x - 1)2 + (y - 3)2 + (z + 1)2 = (*) Bài a b c ayz+bxz+cxy   0  0 x y z xyz  ayz + bxz + cxy = x y z x y z   1  (   ) 1 a b c a b c Từ : b (2,5) Do : ( x  1) 0;( y  3) 0;( z  1) 0 Nên : (*)  x = 1; y = 3; z = -1 Vậy (x,y,z) = (1,3,-1) Ta có : x2 y2 z xy xz yz    2(   ) 1 a b c ab ac bc 2 x y z cxy  bxz  ayz    2 1 a b c abc x2 y2 z2    1(dfcm) a b c  Biến đổi để có A= a2 (a2+ 2) −2 a(a2 +2)+(a 2+2)+3 1,0 0,5 0,5 0,25 0,25 0,5 0,25 0,5 0,5 0,5 0,25 0,5đ 0,5đ a −1 ¿ +3 = 2 (a +2)(a −2 a+1)+3=(a + 2)¿ ∀a (2 điểm) Vì a +2>0 a −1 ¿2 ≥0 ∀ a và a −1 ¿ ¿≥0 ∀ a nên đó 0,5đ (a +2) ¿ a −1 ¿2 +3 ≥ ∀ a ( a2 +2)¿ ⇔ a=1 Dấu = xảy và a −1=0 KL 0,25đ 0,25đ B A Bài (5 điểm) M a, (1,5 điểm) O N C D OM OD OD OC Lập luận để có AB = BD , ON OC = AB AC 0,5đ 0,5đ Lập luận để có DB =AC ⇒ OM ON = AB AB ⇒ 0,5đ OM = ON b, (1,5 điểm) OM DM OM AM = = Δ ADC để có (1), xét AB AD DC AD 1 AM+ DM AD = =1 Từ (1) và (2) ⇒ OM.( AB + CD ) ¿ AD AD 1 Chứng minh tương tự ON ( AB + CD )=1 1 1 + = ⇒ từ đó có (OM + ON) ( AB + CD )=2 AB CD MN Xét Δ ABD để có (2) 0,5đ 0,5đ 0,5đ c, (2 điểm) S AOB OB S BOC OB , = = ⇒ S AOD OD S DOC OD S AOB S DOC =S BOC S AOD Chứng minh S AOD =S BOC S AOD ¿ ⇒ S AOB S DOC =¿ S AOB =¿ S AOD S BOC S DOC ⇒ Thay số để có 20102.20112 = (SAOD)2 ⇒ SAOD = 2010.2011 Do đó SABCD= 20102 + 2.2010.2011 + 20112 = (2010 + 2011)2 = 40212 (đơn vị DT) _ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ